Kapazitives Gesetz

Aus SystemPhysik
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Begriff

Das kapazitive Gesetz verknüpft die gespeicherte Menge oder Primärgrösse mit dem zugehörigen Potenzial. Bei jedem Speicher ist das Potenzial eine Funktion der Menge: sobald man zu einem bestimmten Zeitpunkt den Inhalt eines Systems kennt, kann das zugehörige Potenzial berechnet werden.

Im einfachsten Fall nimmt das Potenzial proportional mit der Menge zu (Füllstand wächst proportional mit dem Inhalt). Die zugehörige Kapazität ist dann eine Konstante. Die Kapazität kann entweder absolut oder relativ definiert werden

[math]C_M = \frac {M}{\varphi}[/math] oder [math]C_M = \frac {\Delta M}{\Delta \varphi}[/math]
  • Beispiel: Der Druck am Boden eines zylinderförmigen Gefässes ist proportional zur Füllhöhe. Setzt man das hydrostatische Gesetzt in die Definition für die Kapazität ein, erhält man [math]C_V = \frac {A \Delta h}{\rho g \Delta h} = \frac {A}{\rho g}[/math]

Der Begriff Kapazität ist auch anwendbar, wenn das Potenzial nicht proportional mit der gespeicherten Menge wächst, wenn die Kapazität nicht konstant ist. In diesem Fall ist die Kapazität eine Funktion des Potenzials

[math]C(\varphi) = \frac {dM(\varphi)}{d\varphi}[/math]

Die Menge berechnet sich dann durch eine Integration über alle Zwischenzustände (Füllzustände):

[math]M_{Speicher} = \int dM = \int C(\varphi)d\varphi[/math]
  • Beispiel: Der Inhalt eines Gefässes kann berechnet werden, sobald der Querschnitt in Funktion der Höhe bekannt ist :[math]V_{Speicher} = \int C_V(p)dp = \int \frac{A(h)}{\rho g} \rho g dh = \int A(h) dh[/math]

In diesem einfachen Beispiel kürzen sich die Konstanten Graviationsfeldstärke g und Dichte ρ weg.

Beispiele

Gebiet Element Kapazität Einheit Bemerkung
Hydrodynamik zylindrisches Gefäss A/(ρg) m3/Pa = m4s2/kg A(h) für beliebige Gefässe
Hydrodynamik Federspeicher A2/D m3/Pa = m4s2/kg D: Richtgrösse oder Gesamtfederkonstante
Elektrodynamik Plattenkondensator ε0A/d Farad (F) d: Plattenabstand
Translationsmechanik starrer Körper träge Masse m Kilogramm (kg) alle drei Komponenten
Rotationsmechanik starrer Körper Massenträgheit J kg m2 symmetrischer Tensor
Thermodynamik homogener Stoff mcS J/K2 spezifische Entropiekapazität cS=cW/T

Energie

Die Energie eines homogenen Speichers berechnet sich über den zugeordneten Energiestrom und die Mengenbilanz. Die Änderungsrate der Energie kann durch das Potenzial und die Änderungsrate der Menge ausgedrückt werden

[math]\dot W=\sum_i I_{W_i}=\sum_i I_{M_i}\varphi_{M_i}=\left(\sum_i I_{M_i}\right)\varphi_M=\dot M\varphi_M[/math]

Multipliziert man die Änderungsraten mit dem Zeitschritt dt und integriert (summiert) über alle Zwischenzustände, folgt:

[math]\Delta W = \int \dot M \varphi_M dt = \int \varphi_M \dot M dt = \int \varphi_M dM[/math]

Die Energie eines homogenen Speichers entspricht somit der Fläche unter der Potenzial-Mengen-Kurve. Ersetzt man den differenziellen Mengenzuwachs durch das Kapazitivgesetzt, kann über das Potenzial integriert werden

[math]\Delta W = \int \varphi_M dM = \int \varphi_M C_M(\varphi)d \varphi[/math]

Bei anfänglich leerem Speicher und konstanter Kapazität wächst die Energie quadratisch mit der Menge

[math]W_{Speicher} = \frac {1}{2} C_M \varphi_M^2[/math]

Beispiele

Gebiet Element Kapazität Energie Bemerkung
Hydrodynamik Federspeicher CV = A2/D [math]\frac {1}{2}C_V(p^2 - p_0^2)[/math] p0: Druck bei leerem Speicher
Elektrodynamik Kondensator Kapazität C [math]\frac {1}{2}CU^2[/math] falls C unabhängig von U
Translationsmechanik starrer Körper träge Masse m [math]\frac {1}{2}m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)[/math] falls v << Lichtgeschwindigkeit
Rotationsmechanik starrer Körper Massenträgheit J [math]\frac {1}{2}J\omega^2[/math] nur für Rotation um Hauptachse
Thermodynamik homogener Stoff mcS [math]\Delta S = \int m c_S(T) dT[/math] cS hängt von T ab