Rotationsmechanik

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Gebiet

Die Rotationsmechanik beschäftigt sich mit der Dynamik (Speicher- und Transportvorgänge) des Drehimpulses und der damit verbundenen Rotation von Körpern. Solange man sich auf Drehungen um eine feste Achse beschränkt, findet man die gleichen Strukturelemente wie in der Hydrodynamik, der Elektrodynamik, der eindimensionalen Translationsmechanik oder der Thermodynamik. In der ebenen Mechanik sind zwei Impuls- und eine Drehimpulskomponente zu bilanzieren. Zudem findet eine Kopplung zwischen den Strömen dieser drei Mengen statt. In der räumlichen Mechanik muss die Bilanz auf sechs Mengen, drei Impuls- und drei Drehimpulskomponenten, ausgedehnt werden. Die Kopplung zwischen den Strömen dieser sechs Mengen kann aus der ebenen Mechanik übernommen werden. Neu kommt eine lineare Speicherkopplung dazu: im Modell des starren Körpers ist je nach Lage des Körpers jede der drei Winkelgeschwindigkeitskomponenten mit jeder der drei Drehimpulskomponenten verknüpft. Die Mechanik des starren Körpers kann deshalb nur bedingt als Analogon zur Punktmechanik angesehen werden. Die nachfolgende Darstellung der Rotationsmechanik beschäftigt sich nur mit Körpern auf einer Achse.

Modellmässig kann man die Körper in Speicher- und Stromgliedere unterteilen. Obwohl jeder Körper gleichzeitig Drehimpuls speichert und weiterleitet, macht diese Einteilung Sinn. Zur Erläuterung betrachten wir eine Reihe von Schwungrädern, die auf einer Achse aufgereiht sind. Die Schwungräder sind über Torsionsfedern, Rutschkupplungen oder Drehmomentenwandler miteinander verbunden. Die Schwungräder dürfen als Speicher-, die Federn und Kupplungen als Stromglieder angesehen werden.

Rechte-Hand-Regel: legt man die Finger der Rechten Hand in Drehrichtung um das Schwungrad, zeigt der achsial ausgerichtete Daumen den Winkelgeschwindigkeits- und in diesem Fall auch den Drehimpulsvektor an. Mit dieser Regel können alle drei Achsen des raumfesten Koordinatensystems mit einem positiven Drehsinn versehen werden. Da wir hier nur die Rotation längs einer Achse untersuchen, kann mit der rechten-Hand-Regel der Zusammenhang zwischen positiver Dreh- und Achsrichtung hergestellt werden.

Struktur

Bilanz

Ein rotierender Körper kann mit den achsial benachbarten Körpern oder über die Lager mit der Erde Drehimpuls austauschen. Fliesst der Drehimpuls bezüglich der durch die rechte-Hand-Regel definierten Bezugsrichtung vorwärts, verformt sich das durchflossene Element zu einer Linksschraube. Ein rückwärts fliessender Drehimpulsstrom verursacht eine rechtsschraubige Verformumg.

Die Drehimpulsbilanz besagt, dass die Summe über alle Impulsstromstärken gleich der Impulsänderungsrate ist. Zufliessende Ströme gehen mit einem positiven Vorzeichen, abfliessende Ströme mit einem negativen Vorzeichen in die Bilanz ein.

Drehimpulsströme bezüglich eines Körpers nennt man "Drehmomente", wobei ein zufliessender Drehimpulsstrom durch ein positives Drehmoment gekennzeichnet wird. Tauschen zwei Körper Drehimpuls aus, ist die Stromstärke von einem System aus gesehen immer positiv und vom andern aus negativ. Diesen Sachverhalt könnte man das Wechselwirkungsprinzip der Drehmechanik nennen.

konstitutive Gesetze

Das Masseträgheitsmoment wirkt als Kazität bezüglich der Primärgrösse Drehimpuls, d.h. der Quotien aus Drehimpulsinhalt und Massenträgheit definiert die Winkelgeschwindigkeit. Im räumlichen Modell des starren Körpers triff diese Aussage in dieser einfachen Form nicht mehr zu.

Resistive Elemente leiten den Drehimpuls über ein Winkelgeschwindigkeitsgefälle. Mit der Winkelgeschwindigkeitsdifferenz - Drehimpulsstromstärke - Funkton oder umgekehrt mit der Drehimpulsstromstärke - Winkelgeschwindigkeits - Funktion wird das dynamische Verhalten eines Widerstandselementes vollständig beschrieben.

Torsionsfedern verhalten sich induktiv, werden aber meist durch die Drehimpulsstromstärke-Verdrehungs-Funktion beschrieben.

Die Berechnung des Drehwinkels aus der Winkelgeschwindigkeit bzw. der Verdrehung aus der Winkelgeschwindigkeitsdifferenz durch eine Integration über die Zeit ist eine rein geometrische oder kinematische Angelegenheit.

Der gespeicherte Drehimpuls wird immer durch eine Impulsverteilung begrenzt und der Drehimpulsstrom ist immer von Impulsströmen umrandet. So weist ein um die Symmetrieachse rotierender Ring eine stationäre, also gleichbleibende Impulsverteilung auf. Der im Ring gespeicherte Impuls und die Innenfläche des Rings bestimmen gemeinsam die gespeicherte Menge an Drehimpuls. Der in einem verdrehten Hohlstab fliessende Drehimpuls ist von einem Wirbelstrom der zugehörigen Impulskomponente umschlossen. Zudem fliesset noch Impuls der andern beiden Komponenten in Richtung des Drehimpulses. Unter dem Begriff Kraftfluss werden diese Strom-Strom-Kopplungen eingehend erläutert.

Rolle der Energie

Ein Drehimpulsstrom ist von einem Energiestrom begleitet, sobald die Referenzfläche rotiert. Die Winkelgeschwindigkeit der Referenzfläche ordnet der Drehimpulsstrom einen Energiestrom zu

Energiestromstärke = Winkelgeschwindigkeit mal Drehimpulsstromstärke

Die Winkelgeschwindigkeit ist das Energiebeladungsmass des Drehimpulsstromes. Fliesst der Drehimpulsstrom durch eine Kupplung, setzt er eine Prozessleistung um, sobald die beiden Kupplungsteile mit unterschiedlicher Winkelgeschwindigkeit rotieren

Prozessleistung = Winkelgeschwindigkeitsdifferenz mal Drehimpulsstromstärke

Die Energie, die zusammen mit dem Drehimpuls in einem Körper gespeichert wird, nennt man Rotationsenergie. Der momentanen Wert der Rotationsenergie kann direkt dem Flüssigkeitsbild entnommen werden:

Rotationsenergie = halbe Winkelgeschwindigkeit mal Drehimpulsinhalt

Die Energiebetrachtung bildet eine zweite Ebene, die vollständig aus dem dynamischen Modell abgeleitet werden kann. Die Energiebetrachtung könnte auf die umrandende Impulsverteilung und die begleitenden Drehimpulsströme umgerechnet werden. Dies macht bei reiner Rotation und reinen Drehmomenten aber wenig Sinn.

Beispiel

formale Beschreibung

Anwendungsgebiete

Materialien