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Lösung zu Gezeitenfeld am Äquator

2015-11-30T08:51:44Z

KP14:

== Aufgabe 1 ==
Mit <math>g_M=G\frac{m_M}{r_M}</math> wird
<math>g_{Mitte}=G\frac{m_{M}}{s_{EM}}=\frac{G}{s_{EM}}\frac{g_{M}r_{M}}{s_{EM}}=g_{M}\frac{r_{M}}{s_{EM}}=1.464\cdot10^{-2}N/kg</math>

== Aufgabe 2 ==
<math>g_{nahe}=g_{M}\frac{r_{M}}{s_{EM}-r_{E}}=1.489\cdot10^{-2}N/kg</math>

== Aufgabe 3 ==
<math>g_{fern}=g_{M}\frac{r_{M}}{s_{EM}+r_{E}}=1.440\cdot10^{-2}N/kg</math>

== Aufgabe 4 ==
Mit <math>g_{t}=-g_{Mitte}</math> wird <math>g_{z,nahe}=\vec{g}_{Mond}+\vec{g}_{t}=\vec{g}_{Mond}-\vec{g}_{Mitte}=g_{nahe}+(-g_{Mitte})=2.46\cdot10^{-4}N/kg</math>

<math>g_{z,fern}=g_{fern}-g_{Mitte}=2.38\cdot10^{-4}N/kg</math>

== Aufgabe 5 ==
Wir vergleichen das Gezeitenfeld des Mondes auf die mondnahe Seite der Erde aus Aufgabe 4 mit dem Gezeitenfeld der Erde auf die erdnahe Seite des Mondes
:<math>g_{z,M-E,nahe}=g_{M}\frac{r_{M}}{s_{EM}-r_{E}}-g_{M}\frac{r_{M}}{s_{EM}}=2.46\cdot10^{-4}N/kg</math>
:<math>g_{z,E-M,nahe}=g_{E}\frac{r_{E}}{s_{EM}-r_{M}}-g_{E}\frac{r_{E}}{s_{EM}}=1.48\cdot10^{-3}N/kg</math>
und erkennen, dass das Gezeitenfeld des Mondes auf die Erde stärker ist als das Gezeitenfeld der Erde auf den Mond. Da man <math>r_E</math> und <math>r_M</math> im Nenner des ersten Terms gegenüber <math>s_{EM}</math> vernachlässigen kann wird der zweite Term ausschlaggebend (<math>g_M r_M\lt g_E r_E</math>).

Lösung zu Gezeitenfeld am Äquator

2015-11-30T08:11:49Z

KP14: Die Seite wurde neu angelegt: „== Aufgabe 1 == Mit <math>g_M=G\frac{m_M}{r_M}</math> wird <math>g_{Mitte}=G\frac{m_{M}}{s_{EM}}=\frac{G}{s_{EM}}\frac{g_{M}r_{M}}{s_{EM}}=g_{M}\frac{r_{M}}{s_…“

Gezeitenfeld am Äquator

2015-11-30T08:03:26Z

KP14:

Der Mond ist im Mittel 384'400 km von der Erde entfernt, hat einen Radius von 3474 km und an der Oberfläche eine Gravitationsfeldstärke von 1.62 N/kg.
#Wie stark ist das Gravitationsfeld des Mondes am Ort der Erdmitte?
#Wie stark ist das Gravitationsfeld des Mondes am mondnächsten Punkt der Erde (Erdradius 6360 km)?
#Wie stark ist Gravitationsfeld des Mondes am mondfernsten Punkt der Erde?
#Wie stark sind die Gezeitenfeldstärken an diesen beiden Punkten?
#Welches Gezeitenfeld ist stärker, das der Erde auf dem Mond oder das des Mondes auf der Erde?

'''[[Resultate zu Gezeitenfeld am Äquator|Resultate]]'''

'''[[Lösung zu Gezeitenfeld am Äquator|Lösung]]'''

Resultate zu Gezeitenfeld am Äquator

2015-11-30T08:02:49Z

KP14:

#<math>g_{Mitte}=1.464\cdot 10^{-2} N/kg</math>
#<math>g_{nahe}=1.489\cdot 10^{-2} N/kg</math>
#<math>g_{fern}=1.440\cdot 10^{-2} N/kg</math>
#<math>g_{z,nahe}=2.46\cdot 10^{-4} N/kg</math>, <math>g_{z,fern}=-2.38\cdot 10^{-4} N/kg</math>
#Das Gezeitenfeld des Mondes auf die Erde ist stärker

'''[[Gezeitenfeld am Äquator|Aufgabe]]'''

Resultate zu Gezeitenfeld am Äquator

2015-11-30T07:56:45Z

KP14: Die Seite wurde neu angelegt: „#<math>g_{Mitte}=1.464\cdot 10^{-2} N/kg</math> #<math>g_{nahe}=1.489\cdot 10^{-2} N/kg</math> #<math>g_{fern}=1.440\cdot 10^{-2} N/kg</math> #<math>g_{z,nahe}…“

Gezeitenfeld am Äquator

2015-11-30T07:44:19Z

KP14: Resultate hinzugefügt

Lösung zu Impuls und Flüssigkeitsbild

2015-10-28T10:05:04Z

KP14: /* Aufgabe 7 */

== Aufgabe 1 ==
[[Ip_vs_t_-_Fluessigkeitsbild.png]]

Grössen mit einem <math>'</math> (z.B. <math>\Delta p_1'</math>) beziehen sich auf die erste Stossphase, Grössen mit <math>''</math> beziehen sich auf die zweite Stossphase.

== Aufgabe2 ==
Der Impulsinhalt des ersten Wagens wird

<math>p_1=m_1 v_1=60\cdot 10^3 kg \cdot 5~m/s=3\cdot 10^5~Ns</math>,

und da der zweite Wagen stillsteht wird <math>p_2=0</math>.

Beide Wagen zusammen speichern den Impuls

<math>p_{ges}=p_1+p_2=3\cdot 10^5 Ns + 0 = 3\cdot 10^5 Ns</math>

und haben die Gesamtmasse

<math>m_{ges}=m_1+m_2=100~t</math>.

Die gemeinsame Geschwindigkeit wird

<math>v_g=\frac{p_{ges}}{m_{ges}}=\frac{3\cdot 10^5 Ns}{100\cdot 10^3 kg}=3~m/s</math>.

== Aufgabe 3 ==
In der ersten Stossphase gibt Wagen ein den Impuls

<math>\Delta p\prime=I_{p,max}\Delta t'</math>

an den zweiten Wagen ab. Aus dem Flüssigkeitsbild ergibt sich für

<math>\Delta p\prime=\Delta v\cdot m_1=(v_1-v_g)m_1</math>.

Setzt man diese beiden Gleichungen einander gleich, ergibt sich für

<math>\Delta t'=\frac{(v_1-v_g)m_1}{I_{p,max}}=\frac{2~m\cdot 6\cdot 10^4 kg~s^2}{s~12\cdot 10^5 kg~m}=0.1~s</math>.

== Aufgabe 4 ==
Aus

<math>I_{p,max}=F=m\cdot a</math>

folgt

<math>a_1=\frac{I_{p,max}}{m_1}=\frac{12\cdot 10^5~N}{60\cdot 10^3~kg}=20~m/s^2</math> (Wagen wird abgebremst, also ist <math>a_1</math> eigentlich negativ da <math>I_{p,max}</math> in die negative Bezugsrichtung fliesst),

und analog dazu wird <math>a_2=30~m/s^2</math>.

== Aufgabe 5 ==
In der zweiten Stossphase gibt Wagen 1 den Impuls

<math>\Delta p''=1/2\cdot I_{p,max}\cdot \Delta t'=0.5\cdot 1200~kN\cdot 0.1~s=60~kNs</math>

ab. Der erste Wagen enthält daher noch

<math>p_1''=p_1-\Delta p_1'-\Delta p_1''=3\cdot 10^5~Ns-1.2\cdot 10^5~Ns-0.6\cdot 10^5~Ns=1.2\cdot 10^5~Ns</math>.

Daraus folgt

<math>v_1''=\frac{p_1''}{m_1}=\frac{1.2\cdot 10^5~Ns}{6\cdot 10^4~kg}=2~m/s</math>.

Analog dazu wird

<math>p_2''=0+\Delta p_1'+\Delta p_1''=1.8\cdot 10^5~Ns</math>

und

<math>v_2''=p_2''/m_2=4.5~m/s</math>.

== Aufgabe 6 ==
Aus <math>s=\frac{a}{2}t^2</math> kann der Maximalhub eines Puffers berechnet werden. Zu beachten ist der Wert für <math>a</math>: <math>a_1, a_2</math> sind auf einen externen Beobachter bezogen, und zur Berechnung des Maximalhubs ist die relative Beschleunigung zwischen den Wagen ausschlaggebend. Daher wird <math>a=a_1+a_2</math>, und der Maximalhub ''eines'' Puffers

<math>s=\frac{1}{2} \frac{a_1+a_2}{2}\Delta t'^2=\frac{1}{2} \frac{(20+30)m}{s~2} 0.1^2 s^2=0.125~m</math>.

== Aufgabe 7 ==
Zur Abschätzung des Hubes beim Ausfahren der Puffer hilft das <math>v(t)</math> Diagramm.

[[v-t-Diagramm.png]]

Die Geschwindigkeiten <math>v_g, v_1'', v_2''</math> sind bekannt. Der Verlauf der Geschwindigkeiten in der zweiten Stossphase werden nicht linear sein, sondern quadratisch. Die Fläche unter der <math>v(t)</math> Kurve entspricht dem Hub. Nähert man die Fläche mit zwei Dreiecken an, ergibt sich für den Hub beim Ausfahren ''eines'' Puffers

<math>s=\frac{1}{2}\left [\frac{1}{2}\Delta t''\cdot (v_2''-v_g) + \frac{1}{2}\Delta t''\cdot (v_g-v_1'')\right ]=\frac{1}{4}\cdot 0.1\cdot(1.5+1)=0.0625~m</math>.

Die exakte Lösung <math>(s=0.083~m)</math> kann z.B. mit [[diesem Berkeley-Madonna Modell]] berechnet werden.

== Aufgabe 8 ==
In der ersten Stossphase nehmen die Puffer

<math>W_{ges}=P(F)\cdot \Delta t'</math>

auf. Mit

<math>P(F)=I_p\cdot \Delta v</math>

folgt

<math>W_{ges}=I_{p,max}\cdot \Delta v \cdot \Delta t'</math>.

Nachdem sich <math>\Delta v</math> während des Stosses ändert, muss die mittlere Geschwindigkeitsdifferenz verwendet werden:

<math>\Delta \bar{v}=\frac{\Delta v_{Anfang}+\Delta v_{Ende}}{2}=\frac{(v_1-v_2)+0}{2}=\frac{5}{2}~\frac{m}{s}</math>.

Daraus folgt für die Energieaufnahme ''eines'' Puffers

<math>W'=\frac{1}{4}W_{ges}=\frac{1}{4}12\cdot 10^5~N\cdot2.5~\frac{m}{s}\cdot 0.1~s=75~kJ</math>.

In der zweiten Stossphase ändert sich auch der Impulsstrom, und die von einem Puffer abgegebene Energie wird

<math>W''=\frac{1}{4}\bar{I_p}\cdot \Delta \bar{v}\cdot \Delta t'</math>.

Mit

<math>\Delta \bar{v}=\frac{0+(v_2''-v_1'')}{2}=\frac{4.5-2}{2}\frac{m}{s}=1.25~m/s</math>

und

<math>\bar{I_p}=\frac{1}{2}I_{p,max}</math>

folgt

<math>W''=\frac{1}{4}\frac{12\cdot 10^5~N}{2}\cdot 1.25 \frac{m}{s}\cdot 0.1~s=18.75~kJ</math>.

'''[[Impuls und Flüssigkeitsbild|Aufgabe]]'''

Lösung zu DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

2015-05-05T08:29:57Z

KP14:

1.
<math>\dot V=V_0\cdot \frac{-1}{RC}\cdot e^{-t/RC}</math> in die DGL einsetzen liefert genau die angenommene Lösung (q.e.d.).

2.

[[Datei:DGL_1_Ordnung_mit_konstanten_Koeffizienten_WolframAlpha.png|640px|Lösung in Wolfram Alpha]]
[[Datei:DGL_1_Ordnung_mit_konstanten_Koeffizienten_TI-NSpire.png|Lösung mit TI-NSpire]]

3.

[[Datei:DGL_1_Ordnung_mit_konstanten_Koeffizienten_Verlauf.png|Spannungsverlauf]]

4. Mit <math>R=1 (Pa⋅s)/m^3</math> , <math>C=1 m^3/Pa</math> und <math>V_0=1 m^3</math> wird <math>τ=1 s</math>. Nach 1s ist das Volumen um <math>e^{-1}=0.367=36.7%</math> auf 63.2% abgefallen.

5. Die Tangente schneidet die ''t''-Achse genau bei ''τ'', also bei 1s.

Datei:DGL 1 Ordnung mit konstanten Koeffizienten Verlauf.png

2015-05-05T08:15:23Z

KP14:

Datei:DGL 1 Ordnung mit konstanten Koeffizienten TI-NSpire.png

2015-05-05T08:08:05Z

KP14:

Lösung zu DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

2015-05-05T08:07:48Z

KP14: Erstellen der Lösung

Aufgabe 2
[[Datei:DGL_1_Ordnung_mit_konstanten_Koeffizienten_WolframAlpha.png|Flowchart zur Bierflasche]]

Datei:DGL 1 Ordnung mit konstanten Koeffizienten WolframAlpha.png

2015-05-05T08:04:40Z

KP14:

DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

2015-05-05T08:00:42Z

KP14:

Im Kapitel [[Dynamische Systeme 1. Ordnung]] wurde die folgende DGL (Differentialgleichung) für ein Gefäss mit horizontalem Abfluss (RC-Glied) hergeleitet <math>V/C+R*\dot{V}=0</math> bzw. <math>V + 1/RC * \dot{V}=0</math>
#Lösen Sie diese DGL, in dem sie den Ansatz <math>V=V_0*e^{-t/RC}</math> ableiten und in die DGL einsetzen.
#Lösen Sie diese DGL mit Hilfe von [http://www.wolframalpha.com Wolfram Alpha] oder eines CAS-fähigen Taschenrechners.

#Stellen Sie den zeitlichen Verlauf des Volumens in Funktion der Zeit quantitativ dar. Wählen Sie selbst Werte für ''R'', ''C'', und ''V0'' aus.
#Mit ''τ=RC'' wird die Zeitkonstante des Systems bezeichnet. Welchen Wert und welche Einheit hat ''τ'' in Aufgabe 3?
#Auf welchen Prozentsatz ist das Volumen bei t=''τ'' abgesunken? Zeichnen Sie eine Tangente an die Kurve aus Aufgabe 3 und vergleichen Sie den Wert bei dem die Tangente die t-Achse schneidet mit ''τ''.

'''[[Lösung zu DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten|Lösung]]'''

DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

2015-05-05T07:56:38Z

KP14:

Im Kapitel [[Dynamische Systeme 1. Ordnung]] wurde die folgende DGL (Differentialgleichung) für ein Gefäss mit horizontalem Abfluss (RC-Glied) hergeleitet <math>V/C+R*\dot{V}=0</math> bzw. <math>V+ ̇1/RC \dot{V}=0</math>
#Lösen Sie diese DGL, in dem sie den Ansatz <math>V=V_0*e^{-t/RC}</math> ableiten und in die DGL einsetzen.
#Lösen Sie diese DGL mit Hilfe von [http://www.wolframalpha.com Wolfram Alpha] oder eines CAS-fähigen Taschenrechners.
#Stellen Sie den zeitlichen Verlauf des Volumens in Funktion der Zeit quantitativ dar. Wählen Sie selbst Werte für ''R'', ''C'', und ''V0'' aus.
#Mit ''τ=RC'' wird die Zeitkonstante des Systems bezeichnet. Welchen Wert und welche Einheit hat ''τ'' in Aufgabe 3?
#Auf welchen Prozentsatz ist das Volumen bei t=''τ'' abgesunken? Zeichnen Sie eine Tangente an die Kurve aus Aufgabe 3 und vergleichen Sie den Wert bei dem die Tangente die t-Achse schneidet mit ''τ''.

Dynamische Systeme höherer Ordnung

2015-04-22T14:14:16Z

KP14: Tippfehler korrigiert

==Lernziele==
In dieser Vorlesung lernen Sie
*wie man die Kreisfrequenz, Frequenz und Schwingungsdauer eines harmonischen Oszillators berechnet.
*wie die Potential-Zeit-, die Stromstärke-Zeit- und die Leistungs-Zeit-Funktion bei einem harmonischen Oszillator formuliert werden.
*wie man die Abklingzeit und die Kreisfrequenz bei einem gedämpften Oszillator berechnet.
*unter welchen Bedingungen ein Serie-Schwingkreis bei harmonischer Anregung den stärksten Strom durchlässt
*wie das Verhalten dynmischer Systeme modelliert und analysiert wird.

==Problemstellung==
Zwei zylinderförmige Gefässe sind über ein bodennahes Röhrchen miteinander verbunden. Solange das eine Gefäss höher als das andere mit Wasser gefüllt ist, fliesst ein Ausgleichsstrom. Nimmt man Öl statt Wasser, bleibt die Strömung laminar und wir können den Ausgleichsvorgang mit einer Exponentialfunktion beschreiben. Nun denken wir uns das Röhrchen immer dicker bis ein mit Wasser gefülltes U-Rohr vor uns steht. Dann erfolgt der Ausgleichsvorgang nicht mehr über einen einmal abklingenden Volumenstrom, sondern über einen abklingend-oszillierenden Volumenstrom. Wäre die Flüssigkeit suprafluid, würde die Oszillation oder Schwingung überhaupt nicht mehr abklingen.

Das Verhalten des U-Rohrs kann durch zwei Speicher mit konstanter [[Kapazität]] und einem Leiter mit [[Widerstand]] und [[Induktivität]] modelliert werden. Analoge Systeme kennt man aus der Elektrodynamik (zwei über eine Spule verbunden Kondensatoren), aus der Translationsmechanik (zwei über eine Feder verbundene Luftkissenfahrzeuge) und aus der Rotationsmechanik (zwei über eine Drehfeder verbundene Schwungräder). Dominiert das Widerstandselement (Strömungswiderstand, elektrischer Widerstand der Spule, Dämpfer in Serie zur Feder), klingt der Potentialunterschied (Druck, Spannung, Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit) exponentiell ab, falls sich alle Elemente linear verhalten.

Dynamischen Systemen, die aus zwei Speichern bestehen und die über einen Leiter miteinander verbunden sind, können mathematisch zu einem System mit nur einem Speicher und reduzierter Kapazität zusammenfasst werden. Systeme mit Mengenspeicher und Induktivität nennt man Systeme 2. Ordnung, weil man zur Berechnung des Verhaltens zweimal integrieren muss. Systeme 2. Ordnung besitzen zwei unabhängige Energiespeicher.

==Speicher und Leiter==
Speicher mit konstanter Kapazität und Leiter mit linearem Widerstand und linearer Induktivität findet man in der Hydrodynamik, der Elektrodynamik, der Translationsmechanik und der Rotationsmechanik.

{|class="wikitable"
!style ="width:15em"|Gebiet
!style ="width:15em"|Speicher
!style ="width:15em"|Widerstand
!style ="width:15em"|Induktivität
!style ="width:15em"|Bemerkung
|-
|[[Hydrodynamik]]
|<math>\Delta p=\frac{\Delta V}{C_V}=\frac{\varrho g\Delta V}{A}</math>
|<math>\Delta p=R_VI_V</math>
|<math>\Delta p=L_V\dot I_V</math>
|[[gerades Rohrstück|laminare Strömung]]
|-
|[[Elektrodynamik]]
|<math>U=\frac{Q}{C}</math> oder <math>\dot U=\frac{I}{C}</math>
|<math>U=RI</math>
|<math>U=L\dot I</math>
|[[Kondensator]]
|-
|[[Translationsmechanik]]
|<math>v_x=\frac{p_x}{m}</math>
|<math>\Delta v_x=R_{px}F_x</math>
|<math>\Delta v_x=L_{px}\dot F_x</math>
|[[Feder|Federgesetz]]
|-
|[[Rotationsmechanik]]
|<math>\omega_x=\frac{L_x}{J_{xx}}</math>
|<math>\Delta \omega_x=R_{Lx}M_x</math>
|<math>\Delta \omega_x=L_{Lx}\dot M_x</math>
|[[Feder|Drehfedergesetz]]
|-
|}

Die mechanischen Systemparameter sind oft reziprok definiert. So ist der Impulswiderstand gleich dem Reziprokwert der Dämpferkonstanten und die mechanische Induktivität gleich dem Reziprokwert der Federkonstanten.

==Harmonischer Oszillator==
Ein harmonischer [[Oszillator]] ist ein schwingungsfähiges System, das aus einem oder zwei Speicher mit konstanter Kapazität und einem Leiter mit stromunabhängiger Induktivität besteht. Lenkt man ein solches System aus und lässt es los, schwingt es sinusförmig (harmonisch) um seine Ruhelage, wobei die Schwingungsdauer unabhängig von der Grösse der Auslenkung ist. Beispiele für harmonische Oszillatoren sind Federpendel, elektrische Schwingkreise und U-Rohr mit sehr grossem Querschnitt.

Der harmonische Oszillator ist ein wichtiges Modellsystem der Physik. Er ist durch nur zwei Parameter (Gesamtkapazität und die Induktivität) vollständig beschrieben. Viele komplexere Systeme verhalten sich bei kleinen Auslenkungen näherungsweise wie harmonische Oszillatoren. Der harmonische Oszillator der Quantenmechanik ist eines der wenigen quantenmechanischen Systeme, das sich ohne Näherungen berechnen lässt.

In der [[Elektrodynamik]] bildet ein über eine ideale Spule ([[Induktivität]] ''L'') kurz geschlossener [[Kondensator]] ([[Kapazität]] ''C'') einen harmonischen Oszillator. Lädt man den Kondensator auf die Spannung ''U0'' auf und verbindet ihn dann mit der idealen Spule, ist die Spannung über beiden Elementen zu jedem Zeitpunkt gleich gross (die Umlaufspannung muss immer gleich null sein)

:<math>U_C+U_L=0</math>

Setzt man für die beiden Spannungen die zugehörigen konstitutiven Gesetze ein, erhält man

:<math>\frac{Q}{C}+L\dot I=0</math>

Nun ersetzt man noch die Stromstärke über die Bilanz durch die Änderungsrate der Ladung

:<math>Q+LC\ddot Q=0</math>

Die allgemeine Lösung dieser linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist

:<math>Q(t)=Q_0cos(\omega_0t+\delta)</math>

wobei für die Kreisfrequenz gilt (Lösung in Differenzialgleichung einsetzen und vergleichen!)

:<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{CL}}</math>

Die Ladungsamplitude ''Q0'' und die Phasenverschiebung hängen von den Anfangsbedingungen ab. Mit Hilfe des [[Kapazität|kapazitiven Gesetzes]] kann auf die Spannungs-Zeit-Funktion umgerechnet werden

:<math>U(t)=U_0cos(\omega_0t+\delta)</math> mit <math>U_0=\frac{Q_0}{C}</math>

Ersetzt man die Spannung mit Hilfe des [[Induktivität|induktiven Gesetzes]] erhält man eine Funktion für die Änderungsrate der Stromstärke

:<math>\dot I(t)=\frac{U_0}{L}cos(\omega_0t+\delta)</math>.

Eine Integration über die Zeit liefert

:<math>I(t)=I_0sin(\omega_0t+\delta)</math> mit <math>I_0=\frac{U_0}{\omega_0L}=U_0\sqrt{\frac{C}{L}}=Q_0\sqrt{\frac{1}{CL}}=\omega_0 Q_0</math>

Für die Prozessleistung über dem Kondensator oder der Spule gilt

:<math>P=UI=U_0I_0cos(\omega_0t+\delta)sin(\omega_0t+\delta)</math>

Setzt man die Phasenverschiebung ''δ'' gleich null (freie Wahl des Zeitnullpunktes), erhält man eine Leistung, die mit doppeter [[Frequenz]] (Kreisfrequenz durch 2''π'') schwingt

:<math>P=UI=\frac{U_0I_0}{2}sin(2\omega_0t)</math>

Während einer [[Periode]] oder Schwingungsdauer (2''π'' durch Kreisfrequenz) ist der Kondensator zweimal geladen und der Strom erreicht zweimal seine maximale Stärke. Weil beide Bauteile zusammen mit der Ladung (Kondensator) oder mit dem Strom (Spule) Energie speichern, wird die Energie mit doppelter Oszillatorfrequenz hin und her verschoben.

'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=VkXZL-VAKxs harmonischer Oszillator]

==gedämpfter Oszillator==
Nun fügen wir beim elektrischen Schwingkreis noch einen Widerstand ein. Widerstand und Induktivität können als einfache Ersatzschaltung für eine reale Spule gesehen werden. Wieder gilt der Maschensatz, wonach Umlaufspannung gleich null sein muss

:<math>U_C+U_R+U_L=0</math>

Setzt man wie beim harmonischen Oszillator die konstitutiven Gesetze für die [[Kapazität]], den [[Widerstand]] und die [[Induktivität]] ein und ersetzt die Stromstärke über die [[Bilanz]]gleichung durch die Änderungsrate der Kondensatorladung, erhält man eine '''lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten'''

:<math>\frac{Q}{C}+R\dot Q+L\ddot Q=0</math> oder <math>\frac{1}{LC}Q+\frac{R}{L}\dot Q+\ddot Q=0</math>

Diese Gleichung wird durch folgende allgemeine Funktion erfüllt

:<math>Q(t)=Q_0e^{-t/\tau}cos(\omega t+\delta)</math>

Setzt man diese Funktion in die Differentialgleichung ein, erhält man folgende Beziehung

:<math>\left(\left(\frac{1}{LC}-\frac{R}{L\tau}+\frac{1}{\tau^2}-\omega^2\right)cos(\omega t+\delta)+\left(-\frac{R\omega}{L}+\frac{2\omega}{\tau}\right)sin(\omega t+\delta)\right)Q_0e^{-t/\tau}=0</math>

Die linke Seite dieser Gleichung kann nur zu allen Zeitpunkten gleich null sein, wenn beide Klammerausdrücke den Wert null annehmen. Damit gilt für die Abklingzeit

:<math>\tau =2\frac{L}{R}</math>

und für die Kreisfrequenz

:<math>\omega=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}</math>

Ohne Dämpfung ist die Abklingzeit unendlich gross und die Kreisfrequenz entspricht dem Wert des harmonischen Oszillators. Unterschreitet die Abklingzeit einen gewissen Wert, wird der Ausdruck unter der Wurzel negativ und das System schwingt gar nicht mehr, sondern kriecht - wie wenn die Induktivität nicht da wäre - gegen die Gleichgewichtslage. Die nachfolgende Tabelle zeigt noch die Analogie zwischen elektrischen und mechanischen Schwingkreisen

{|class="wikitable"
!style ="width:15em"|Thema
!style ="width:15em"|Elektrodynamik
!style ="width:15em"|Hydrodynamik
!style ="width:15em"|Translation
!style ="width:15em"|Rotation
|-
|Serie-Schwingkreis
|Kondensator, reale Spule
|U-Rohr
|Körper, Feder, Dämpfer, Körper
|Schwungrad, Feder, Dämpfer, Schwungrad
|-
|rowspan="3" |Systemparameter
|Kapazität ''C''
|<math>C_V=\frac{A}{\varrho g}</math>
|<math>C_{px}=m</math>
|<math>C_{Lx}=J_{xx}</math>
|-
|Widerstand ''R''
|<math>R_V=\frac{8\pi\cdot Länge\cdot\eta}{A^2}</math>
|<math>R_{px}=\frac{1}{k}</math>
|<math>R_{Lx}=\frac{1}{k^*}</math>
|-
|Induktivität ''L''
|<math>L_V=\frac{\varrho A}{Länge}</math>
|<math>L_{px}=\frac{1}{D}</math>
|<math>L_{Lx}=\frac{1}{D^*}</math>
|-
|Kreisfrequenz <math>\omega_0</math>
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}</math>
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{L_VC_V}}=\sqrt{\frac{g}{2\cdot Länge}}</math>
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{D(m_1+m_2)}{m_1m_2}}</math>
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{D^*(J_1+J_2)}{J_1J_2}}</math>
|-
|Abklingzeit
|<math>\tau=\frac{L}{R}</math>
|<math>\tau=\frac{L_V}{R_V}</math>
|<math>\tau=\frac{k}{D}</math>
|<math>\tau=\frac{k^*}{D^*}</math>
|-
|}
''k'' ist die Dämpferkonstante, ''D'' die Federkonstante oder Richtgrösse. Bei der entsprechenden Drehgrösse ist noch ein Stern zugefügt. In der Mechanik sind Feder und Dämpfer oft parallel statt in Reihe geschaltet. Der Strom verzweigt sich und man spricht man von einem Parallel-Schwingkreis. Das U-Ror verhält sich nur bedingt analog zu den andern Systemen, weil die Strömung eher turbulent als laminar ist und das System sich damit nichtlinear verhält.

'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=q1MuIE-TQDk Schwingkreis: Analogie und Dualität]

==Resonanz==
Ein elektrischer Schwingkreis kann mit einer Wechselspannungsquelle, die man in den Kreis einfügt, angeregt werden. Alle vier Elemente (Spannungsquelle, Kapazität, Widerstand und Induktivität) sind miteinander zu einem unverzweigten Kreis verbunden. Die beschreibende Gleichung lautet

:<math>U_C+U_R+U_L=\hat Ucos(\hat{\omega}t)</math>

Das System durchläuft zuerst einen Einschwingvorgang und geht dann in ein stationäres Verhalten über. Der Einschwingvorgang hängt von den Anfangsbedingungen ab. Oft interessiert man sich nur für das stationäre Verhalten nach dem Einschwingvorgang. Dann übernimmt die Spannungsquelle das Zepter und das ganze System schwingt mit <math>\hat{\omega}=2\pi\hat f=\frac{2\pi}{\hat T}</math>.

Weil sich alle Elemente im selben Kreis befinden, ist der elektrische Strom überall gleich stark. Im stationären Zustand schwingt der Strom mit der gleichen Frequenz wie die Spannung. Einzig eine Phasenverschiebung ist noch möglich. Diese Überlegung bringt uns zu folgendem Ansatz

:<math>I(t)=\hat Icos(\hat\omega t+\delta)</math>

Nun können wir in der Differentialgleichung die Spannungen mit Hilfe der konstitutiven Gesetze durch die Stromstärken ersetzen

:<math>\dot U_C=\frac{I}{C}</math> also <math>U_C=\frac{\hat I}{\hat\omega C}sin(\hat{\omega}t+\delta)</math>

:<math>U_R=RI</math> also <math>U_R=R\hat Icos(\hat{\omega}t+\delta))</math>

:<math>U_L=L\dot I</math> also <math>U_L=-\hat\omega Lsin(\hat{\omega}t+\delta))</math>

Würde mann jedes der drei Elemente einzeln mit der Spannungsquelle verbinden, wäre die Lösung der Gleichung einfach zu finden: beim Widerstand schwingt der Strom in Phase mit der angelegten Spannung, bei der Kapazität läuft der Strom der Spannung eine Viertelperiode voraus (der Strom baut die Spannung auf) und bei der Induktivität eine Vierelperiode nach (Spannung ändert Stromstärke).

Strom- und Spannungsamplituden unterscheiden sich bei allen drei Elementen um einen Faktor, der entweder konstant ist, sich proportional oder rezirok-proportional mit der angelegten Kreisfrequenz ändert. Dieser Faktor, eigentlich eine Verallgemeinerung des Widerstandes, heisst [[Impedanz]] ''Z''. Die Verallgemeinerung des Leitwerts, des Kehrwerts der Impedanz, nennt man [[Admittanz]]. Betrag und Phase dieser Grössen lassen sich entweder als Zeiger oder als komplexe Zahl darstellen, was das Berechnen von Strom und Spannung stark erleichter. Der Betrag der Impedanz, also das Verhältnis zwischen den Amplituden der Spannung und der Stromstärke, Scheinwiderstand genannt, kann bei Serie- oder Reihenschaltung mit Hilfe des Pythagoras gerechnet werden

:<math>Z=\sqrt{R^2+\left(\frac{1}{\hat\omega C}\right)^2-\left(\hat\omega L\right)^2}</math>

Der stärkste Strom tritt dann auf, wenn sich die Blindwiderstände der Kapazität und der Indukditvität genau kompensieren. Dann begrenzt nur noch der Wirkwiderstand die Stromstärke.

All diese Aussagen lassen sich auf mechanische Systeme übertragen, falls die zugehörigen Bauteile analog angeordnet sind. Oft sind Feder und Dämpfer aber parallel geschaltet (Impuls- bzw. Drehimpulsstrom verzweigen sich) und die Anregung erfolgt nicht mit konstanter Geschwindigkeits- oder Winkelgeschwindigkeitsamplitude. Dann muss man halt den dazu analogen elektrischen Kreis zur Untersuchung beiziehen. Die mechanisch-elektrische Analogie hat mehrere Vorteile. Erstens sind elektrische Systeme schneller aufgebaut, reagieren schneller und sind billiger als mechanische. Zweitens stehen für elektrische Netzwerke leistungsstarke Simulatoren zur Verfügung. Drittens interessiert man sich in der Regelungstechnik nur für das Verhalten eines Systems und nicht für dessen physikalischen Eigenheiten.

'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=BF1Wn40WlJk Resonanz]

==Modellbildung==
Die [[System Dynamics|Systemdynamik]] ermöglicht eine intuitive Modellbildung. Ausgehend von der Mengenbilanz fügt man die konstitutiven Gesetze ein und verbindet das Ganze zu einem Wirkkreis, was dann mathematisch zu einer Differentialgleichung führt. Konkret berechnet man aus den Speichern die Potentiale und daraus dann wiederum die Stromstärken. Diese Methode, die auch oft Analogien benutz, hat auch ihre Grenzen. So muss die [[Kausalität]] immer festgelegt sein und es dürfen keine algebraischen Gleichungen formuliert werden (circular referende, algebraic loop). Auch sind die Analogien nicht immer offensichtlich. Dementsprechend kann man nicht unbesehen Resultate von einem Gebiet ins andere übertragen. Nehmen wir als Beispiel den elektrischen Schwingkreis mit Kondensator, Widerstand und Induktivität in Reihe. Die entsprechende mechanische Anordung sind Körper mit Feder und Dämper in Reihe. Damit das System geschlossen ist (keine Impulsaustausch mit der Erde), nehmen wir zwei frei bewegliche Gleiter einer Luftkissenbahn mit Feder und Dämpfer im selben Impulsfluss (siehe Video Schwingkreis: Analogie und Dualität).

===Modell===
Zuerst zur Modellanalogie

{|class="wikitable"
!style ="width:10em"|Element
!style ="width:10em"|elektrisch
!style ="width:10em"|mechanisch
!style ="width:20em"|Bemerkung
|-
|Kapazität
|<math>Q=CU</math>
|<math>p=mv</math>
|Gesamtladung des Kondensators ist null
|-
|Widerstand
|<math>U=RI</math>
|<math>F=k\Delta v</math>
|Dämpferkonstante ''k'' entspricht einem Leitwert
|-
|Induktivität
|<math>U=L\dot I</math>
|<math>F=D\Delta x</math>
|Federkonstante ''D'' entspricht einer reziproken Induktivität
|}

Die Serischaltung von zwei Stromgliedern ist mit einem systemdynamischen Tool nicht ganz einfach zu modellieren (deshalb sind die Simulatoren für elektrische Netzwerke anders programmiert). Dazu muss die Kausalität des Widerstandselementes umgedreht werden, d.h. der Strom (Impulsstrom) bestimmt die Spannung (Geschwindigkeitsdifferenz) und diese muss vom kapazitiv berechneten Wert abgezogen werden.
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=q1MuIE-TQDkSchwingkreis: Analogie und Dualität].

===Verhalten im Zeitbereich===
Nun übersetzen wir die Berechnungsformel für die Kreisfrequen des ungedämpften Oszillators und die Abklingzeit von der Elektrizitätslehre in die Mechanik

:<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}=\sqrt{\frac{D}{m}}</math>

:<math>\tau=2\frac{L}{R}=2\frac{k}{D}</math>

Dann gilt für die Kreisfrequenz des gedämpften Oszillators

:<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=\sqrt{\frac{D}{m}-\frac{D^2}{4k^2}}</math>

Die Kreisfrequenz ist gleich null, wenn die Dämpferkonstante gleich der Hälfte der Wurzel aus Masse mal Federkonstante ist (bitte nachrechnen; die ganze Analyse wäre mit komplexen Zahlen etwas übersichtlicher).

Zur Analyse der Resultate sollte man zuerst die Strom- und Potentialgrössen darstellen, also Kraft und Geschwindigkeit. Zur Kontrolle kann man dann noch das Zeitverhalten der gespeicherten Energie beiziehen. Bei mechanischen Schwingkreisen sind Dämpfer und Feder meist parallel statt wie hier in Reihe geschaltet, es liegt dann eine duale Analogie vor.

===Phasenraum===
Statt alle Grössen als Funktion der Zeit darzustellen, kann man auch zwei Zustandgrössen (Topfgrössen in der Systemdynamik) gegeneinander auftragen. Man erhält dann eine [[Phasenraum]]darstellung. In der Translationsmechanik spannen [[Impuls]] und Ort den Phasenraum auf.

Die untenstehenden Bilder zeigen das Grundmodell des mechanischen Serie-Schwingkreises, die zugehörige Energieebene, das Geschwindigkeits- und das Impulsstromstärke-Zeit-Diagramm bei kritischer Dämpfung sowie die Phasenraumdarstellung für einen Körper bei drei verschiedenen Dämpfungen (unterkritisch bis kritisch).

<gallery>
MechSchwingkreisSerieBM.jpg|[[Systemdiagramm]] Grundmodell
MechSchwingkreisSerieEnergie.jpg|[[Systemdiagramm]] Energieebene
MechSchwingkreisSerie v F t.png|''v-t-'' und ''F-t-''Diagramm
MechSchwingkreisSerie p x.png|Phasenraum
</gallery>

==Systeme höherer Ordnung==
Die Ordnung eines System ist durch die Zahl der unabhängigen Integrationen gegeben (zwei in Reihe geschaltete Kapazitäten oder Induktivitäten ergeben nur eine Ordnung). Weil sowohl Kapazität als auch Induktivität Energie speichern können, darf die Ordnung auch durch die Zahl der unabhängigen Energiespeicher ausgedrückt werden. Das Verhalten nichtlinearer Systeme (Blasenspeicher, Teller- oder Elastomerfedern, nichtlineare Dämpfer) kann in der Nähe eines Arbeitspunktes linearisiert werden. Dieses Verfahren wird oft in der Regeleungstechnik angewendet, weil man dem System nicht erlaubt, sich allzuweit von gewissen Zuständen zu entfernen. Federn sollte man aber nur dann als Induktivitäten behandeln, wenn deren Verhalten näherungsweise linear ist und die Analogie mit elektrischen oder hydraulischen Systemen gesucht wird. Ansonsten beschreibt man diese Elemente mit der Kraft-Verformungs-Funktion bzw. der Drehmoment-Verdrehungs-Funktion. Die folgende Tabelle führt nochmals analoge Grössen auf

{|class="wikitable"
!style ="width:15em"|Grösse
!style ="width:15em"|Elektrodynamik
!style ="width:15em"|Hydrodynamik
!style ="width:15em"|Translation
!style ="width:15em"|Rotation
|-
|Menge
|elektrische Ladung
|Volumen
|Impuls
|Drehimpuls
|-
|Stromstärke
|elektrischer Strom
|Volumenstrom
|Kraft
|Drehmoment
|-
|Potential
|Spannung
|Druck
|Geschwindigkeit
|Winkelgeschwindigkeit
|-
|Extensum
|Spannungsstoss
|Druckstoss
|Ort
|Winkel
|-
|Prozessleistung
|<math>P=UI</math>
|<math>P=\Delta pI_V</math>
|<math>P=\Delta v_xF_x</math>
|<math>P=\Delta\omega_xM_x</math>
|-
|}

Ein Spannungsstoss (Integral der Spannung über die Zeit oder Fläche unter der Spannungs-Zeit-Kurve) ist oft die Folge einer magnetischen Flussänderung. Kraft oder Drehmoment sind Impuls- bzw. Drehimpulsstromstärken bezüglich eines Körpers. Wird eine Feder von einem Impulsstrom durchflossen, kann man die zugehörige Stromstärke am Ein- oder Ausgang messen. So erhält man die beiden Kräfte, welche die Feder im Gleichgewicht halten.

Systeme n-ter Ordnung werden mit einer Differentialgleichung der entsprechenden Ordnung beschrieben. Bei linearen, zeitinvarianten Systemen führt dies zu einer Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Solche Systeme lassen sich auch und in gewissem Sinne anachaulicher mit n Differentialgleichungen erster Ordnung beschreiben. Die [[Systemphysik]] erlaubt eine direkte Modellierung mechanischer Systeme mittels Gleichungen erster Ordnung. Die Impulsbilanz bzw. die Drehimpulsbilanz liefert so für jedes System und jede Komponente eine Gleichung, die zugehörige Kinematik steuert dann die zweite Gleichung bie. Die meisten Modelle, die Sie mit BerkeleyMadonna aufgebaut haben, erzeugen solche Gleichungen. So gesehen haben Sie ab erster Woche in der Zustandsraumdarstellung modelliert.

==Kontrollfragen==
#Ein Körper schwingt an einer Feder auf und ab. Wie gross ist die Schwingungsdauer, wenn Masse und Federkonstante bekannt sind?
#Zwei Schwungräder, die über eine elastische Welle miteinander verbunden und reibungsfrei gelagert sind, schwingen gegeneinander. Wie berechnet man die Winkelrichtgrösse (Drehfederkonstante der Welle) aus Schwingungsdauer und den beiden Massenträgheitsmomenten?
#Wie gross muss der Widerstand in einem elektrischen Schwingkreis (Kapazität ''C'', Induktivität ''L'') gewählt werden, damit der Strom kritisch gedämpft abklingt?
#Ein gefedertes Fahrzeug belastet die vier Räder gleichmässig. Wie berechnet man die Dämpferkonstante für die kritische Dämpfung aus der Masse des Fahrzeugs und der Konstante für die Federung eines Rades (lineares Verhalten vorausgesetzt)?
#Um einen geraden Stahldraht um eine halbe Umdrehung zu verdrehen, muss man einen Drehimpulsstrom der Stärke 5 Nm durchfliessen lassen. Nun hängt man den Draht an der Decke auf und befestigt am unteren Ende einen Körper. Wie gross ist dessen Massenträgheitsmoment, wenn er für eine volle Drehschwingung 0.8 s benötigt?
#Zwei Schwungräder sind über eine elastische Welle miteinander verbunden. Zeichnen Sie eine elektrisch analoges Schaltbild unter der Annahme, dass die Reibung in beiden Lagern proportional zu Winkelgeschwindigkeit ist.
#Ein Körper liegt auf einem Feder-Dämpfer-System (parallel geschaltet) auf. Skizzieren Sie die elektrisch analoge Schaltung. Nun fügen sie in diesem Schaltbild eine Wechselspannungsquelle ein und überliegen sich, wie das mechanische Analogon aussehen müsste.

==Antworten zu den Kontrollfragen==
#Schwingungsdauer <math>T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}</math>
#Schwingungsdauer <math>T=2\pi\sqrt{\frac{J}{D^*}}</math> also gilt <math>D^*=J\frac{4\pi^2}{T^2}</math>
#Kritische Dämpfung tritt ein, wenn die Kreisfrequenz null ist, wenn gilt <math>\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=0</math>. Somit gilt für den Widerstand bei kritischer Dämpfung <math>R=2\sqrt\frac{L}{C}</math>
#Übersetzen wir die Formel für die kritische Dämpfung vom elektrischen auf den mechanischen Schwingkreis <math>k=\frac{1}{2}\sqrt{mD}</math> (die Dämpferkonstante entspricht einem reziproken Widerstant, also einem Leitwert, die Federkonstante der reziproken Induktivität und die Masse der Kapazität). Nun verteilt sich der Impulsstrom zwischen Fahrzeug und Erde auf vier identische Stromglieder. Also ist nur ein Viertel der Masse zu nehmen <math>k=\frac{1}{4}\sqrt{m_{Fahrzeug}D}</math>
#<math>J=D^*J\frac{T^2}{4\pi^2}=\frac{5 N}{\pi}\frac{(0.8 s)^2}{4\pi^2}=2.58 10^{-2} kgm^2</math>
#Zwei Kondensatoren einseitig geerdet mit Induktivität in erster Verbindung und zwei Widerständen in der zweiten Verbindung. Ein Punkt zwischen den beiden Widerständen ist geerdet.
#Kondensator und Wechselspannungsquelle einseitig geerdet. Induktivität und Widerstand parallel mit den andern beiden Enden von Kondensator und Wechselspannungsquelle verbunden. Mechanische Anregung erfolgt vom Boden her. Das ist ein einfaches Modell für ein Auto, das über Bodenwellen fährt. Die Gewichtskraft wäre als Konstantstromquelle zu modellieren, was aber keinen Einfluss auf die Dynamik hat.

'''[[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014]]'''

Dynamische Systeme 1. Ordnung

2015-04-09T13:44:17Z

KP14: /* Nichtlineare RC-Glieder */

==Lernziele==
In dieser Vorlesung lernen Sie
*wie eine [[Kapazität]] definiert ist
*wie ein lineares Widerstandsgesetz zu formulieren ist
*wie eine Induktivität zu definieren ist
*wie die Potential-Zeit- oder die Stromstärke-Zeit-Funktion eines linearen RC-Gliedes aussieht
*wie die Spannungs-Zeit- oder die Stromstärke-Zeit-Funktion eines linearen LR-Gliedes aussieht
*wie die dissipierte Leistung bei einem Widerstandselement berechnet wird
*wie die Energie eines Speichers mit konstanter Kapazität berechnet wird
*wie die Energie einer Induktivität zu berechnen ist
*wie man Systeme mit zwei Speicher auf solche mit einem zurück führt

==Problemstellung==
Ein mit Wasser gefülltes Gefäss hängt an einem Kraftmessgerät. Nachdem man den Stöpsel im Boden heraus gezogen hat, leert sich das Gefäss über einen dünnen Wasserstrahl, der nach unten weg geht. Über die Kraftmessung können wir das Masse-Zeit-Verhalten beobachten. Wann ist das Gefäss noch halb voll? Wann ist es leer? Gibt es eine Füllstand-Zeit-Funktion für dieses Problem? Sie haben dieses Problem ist der ersten Woche des ersten Semesters mit Hilfe eines [[Systemdynamik|systemdynamischen Tools]] modelliert und simuliert. Nun wollen wird dieses System und eine ganze Klasse von ähnlichen Problemen mathematisch behandeln.

Wir stellen dazu ein zylinderförmiges Gefäss, aus dem in bodennähe ein Röhrchen horizontal weg führt, auf eine Waage. Das Gefäss entlehrt also seinen Inhalt über ein längeres Röhrchen statt über ein kleines Loch. Damit haben wir ein klare Trennung von Speicher und Leiter. Das Verhalten des Speichers kann mit Hilfe der Kapazität beschrieben werden
:<math>\Delta V=C_V\Delta p</math>
wobei für zylinderförmige Gefässe gilt
:<math>C_V=\frac{A}{\varrho g}</math>
Die Druckdifferenz über dem Röhrchen treibt den Volumenstrom. Falls die Flüssigkeit zäh genug ist und der Durchmesser des Röhrchens nicht zu gross, bleibt die Strömung laminar, d.h. Volumenstromstärke und Druckdifferenz sind proportional zueinander
:<math>\Delta p = R_VI_V</math>
Der [[gerades Rohrstück|laminare Strömungswiderstand]] kann mit Hilfe des Gesetzes von [[Hagen-Poiseuille]] berechnet werden. Beachten Sie, dass <math>\Delta p</math> in den beiden Formeln eine unterschiedliche Bedeutung hat: im Kapazitivgesetz wird die Druckdifferenz zwischen den Füllzuständen zu zwei verschiedenen Zeitpunkten gebildet, im Widerstandsgesetz ist die Druckdifferenz über dem Rohr zum gleichen Zeitpunkt einzusetzen. Die erste Druckdifferenz wird demnach über eine Zeitspanne, die zweite über einer Länge gebildet.

==Leiter==
Lineare Widerstandsgesetze findet man in verschiedenen Gebieten der Physik

{|class="wikitable"
!style ="width:15em"|Gebiet
!style ="width:15em"|Menge
!style ="width:15em"|Potential
!style ="width:15em"|Gesetz
!style ="width:15em"|Beispiel
|-
|[[Hydrodynamik]]
|[[Volumen]]
|[[Druck]]
|<math>\Delta p=R_VI_V</math>
|[[gerades Rohrstück|laminare Strömung]]
|-
|[[Elektrodynamik]]
|[[elektrische Ladung]]
|[[Potential|Spannung]]
|<math>U=RI</math>
|Widerstandselement
|-
|[[Translationsmechanik]]
|[[Impuls]]
|[[Geschwindigkeit]]
|<math>\Delta v_x=R_{px}F_x</math>
|linearer Dämpfer
|-
|[[Rotationsmechanik]]
|[[Drehimpuls]]
|[[Winkelgeschwindigkeit]]
|<math>\Delta \omega_x=R_{Lx}M_x</math>
|Wirbelstrombremse
|-
|[[Thermodynamik]]
|[[Energie]]
|[[Temperatur]]
|<math>\Delta T=R_WI_W</math>
|[[Wärmeleitung]]
|-
|}

In den ersten vier Beispielen fliesst ein Mengenstrom über eine Potentialdifferenz ([[Wasserfallbild]]). Dabei wird [[Prozessleistung|Energie]] frei gesetzt und [[Entropie]] erzeugt. Weil bei der [[Wärmeleitung]] Entropie hinunter fliesst und gleichzeitig Entropie erzeugt wird, nimmt man meist die [[Wärme|Wärmeenergie]] als erhaltene mengenartige Grösse.

==Speicher==
Speicher mit konstanter Kapazität findet man in den folgenden fünf Gebieten der Physik
{|class="wikitable"
!style ="width:15em"|Gebiet
!style ="width:15em"|Menge
!style ="width:15em"|Potential
!style ="width:15em"|Gesetz
!style ="width:15em"|Beispiel
|-
|[[Hydrodynamik]]
|[[Volumen]]
|[[Druck]]
|<math>C_V\Delta p=\Delta V</math>
|zylinderförmiger Behälter
|-
|[[Elektrodynamik]]
|[[elektrische Ladung]]
|[[Potential|Spannung]]
|<math>CU=Q</math>
|[[Kondensator]]
|-
|[[Translationsmechanik]]
|[[Impuls]]
|[[Geschwindigkeit]]
|<math>mv_x=p_x</math>
|Hammer
|-
|[[Rotationsmechanik]]
|[[Drehimpuls]]
|[[Winkelgeschwindigkeit]]
|<math>J\omega_x=L_x</math>
|Schwungrad
|-
|[[Thermodynamik]]
|[[Energie]]
|[[Temperatur]]
|<math>C_p\Delta T=\Delta H</math>
|[[Wärmespeicher]]
|-
|}
Die [[Masse]] eines Körpers bildet die [[Kapazität|Impulskapazität]] für alle drei Impulskomponenten. Rotierende Körper besitzen mindestens drei Hauptachsen mit drei verschiedenen [[Massenträgheitsmoment]]en. Nimmt man in der Thermodynamik die Energie als Bilanzgrösse, heisst die eigentliche Speichergrösse [[Enthalpie]]. Die Enthalpiekapazität oder Wärmekapazität bei konstantem Druck ist bei vielen Körpern über grössere Temperaturbereiche nahezu konstant.

==RC-Glied==
Taucht man in das Gefäss mit dem horizontalen Abflussrohr ein, steigt der Druck mit der Eintauchtiefe.

:<math>\Delta p=\varrho gh</math>

Folgt man dann der durch das horizontale Rohr werströmenden Flüssigkeit, sinkt der Druck kontinuierlich bis auf das Umgebungsniveau ab. Folglich sind hydrosatischer Druckanstieg und reibungsbedingter Druckabfall gleich gross

:<math>\Delta p_C+\Delta p_R=0\</math>

Setzt man nun die konstitutiven Gesetze ([[kapazitives Gesetz|kapazitives]] und [[resistives Gesetz|resistives]]) in die Druckgleichung ein, erhält man

:<math>\frac{V}{C_V}+R_VI_V=0</math>

Ersetzt man nun noch die Stromstärke mit Hilfe der Bilanzgleichung durch die Änderungsrate des Volumens,

:<math>I_V=\dot V</math>

erhält man eine homogene Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten

:<math>\frac{V}{C_V}+R_V\dot V=0</math> oder <math>\frac{V}{C_VR_V}+\dot V=0</math>

Die folgende Funktion erfüllt diese Differentialgleichung (bitte selber mal einsetzen),

:<math>V=V_0e^{-t/\tau}</math>

wenn für die [[Zeitkonstante]] ''τ'' gilt

:<math>\tau =R_VC_V</math>

Für die Füllhöhe dividiert man das Volumen durch den Querschnitt. Den Druck am Boden des Gefässes in Funktion erhält man durch Multiplikation der Füllhöhe mit [[Dichte]] und [[Gravitationsfeld]]stärke oder durch Division des Volumens mit der Kapazität. Für die Umrechnung auf das Volumenstromstärke-Zeit-Verhalten benutzt man das Widerstandsgesetz oder leitet die Volumen-Zeit-Funktion nach der Zeit ab

:<math>I_V=-I_{V0}e^{-t/\tau}</math> mit <math>I_{V0}=\frac{\Delta p_0}{R_V}</math>

Legt man umgekehrt bei einem leeren Gefäss mit horizontalem Röhrchen einen konstanten Druck an, füllt sich das Gefäss bis zum Gleichgewichtszustand. Die zugehörige Druckgleichung lautet

:<math>\Delta p_C+\Delta p_R=\Delta p_{aussen}\</math>

und Volumen-Zeit-Funktion ist monoton steigend

:<math>V=V_0\left(1-e^{-t/\tau}\right)</math> mit <math>V_0=C_V\Delta p_{aussen}=\frac{A\Delta p_{aussen}}{\varrho g}</math>

Durch Ableiten nach der Zeit erhält man das Volumenstromstärke-Zeit-Verhalten. Das Druck-Zeit-Verhalten berechnet man Wahlweise aus dem Volumen mit Hilfe des kapazitiven Gesetzes oder aus der Stromstärke mit Hilfe des resistiven Gesetzes.

Diese Herleitungen und Ergebnisse können unter Beizug der Tabellen für Kapazität und Widerstand auf die Mechanik, die Elektrodynamik oder die Thermodynamik übertragen.

==Induktivität==
Induktive Glieder findet man in der Hydrodynamik, der Elektrodynamik und der Mechanik
{|class="wikitable"
!style ="width:15em"|Gebiet
!style ="width:15em"|Menge
!style ="width:15em"|Potential
!style ="width:15em"|Gesetz
!style ="width:15em"|Beispiel
|-
|[[Hydrodynamik]]
|[[Volumen]]
|[[Druck]]
|<math>\Delta p=L_V\dot I_V</math>
|[[gerades Rohrstück|langes Rohr]]
|-
|[[Elektrodynamik]]
|[[elektrische Ladung]]
|[[Potential|Spannung]]
|<math>U=L\dot I</math>
|supraleitende Spule
|-
|[[Translationsmechanik]]
|[[Impuls]]
|[[Geschwindigkeit]]
|<math>\Delta v_x=L_p\dot I_{px}</math>
|ideale Feder
|-
|[[Rotationsmechanik]]
|[[Drehimpuls]]
|[[Winkelgeschwindigkeit]]
|<math>\Delta\omega_x=L_L\dot I_{Lx}</math>
|ideale Drehfeder
|-
|}

In der Mechanik formuliert man üblicherweise die Federgesetze mit Kraft und Federdehnung

:<math>F_x=D\Delta x</math> oder <math>M_x=D^*\Delta\phi</math>

wobei immer zwei Kräfte oder zwei Drehmomente an der Feder angreifen. Diese Einwirkungen entsprechen der Impuls- bzw. der Drehimpulsstromstärke an den jeweiligen Stellen bezogen auf die Feder. Leitet man die Federgesetze nach der Zeit ab, wird ersichtlich, dass die mechanischen Induktivitäten den Reziprokwerten der Federkonstanten entsprechen.

==RL-Glied==
Die Reihenschaltung eines Widerstandselementes mit einer Induktivität bildet ein RL-Glied. In der Mechanik sind das eine Feder und ein Dämpfer im gleichen "[[Kraftfluss]]". In der Elektrodynamik verhält sich eine reale Spule wie ein RL-Glied, d.h. die reale Spule kann in guter Näherung als Serieschaltung eines Widerstandes mit einer Induktivität dargestellt werden. Schliesst man eine stromdruchflossene Spule kurz, fällt die Spannung zwischen den Enden sofort auf null und für die beiden "inneren" Spannungen gilt

:<math>U_R+U_L=0</math>

Die beiden Spannungen ersetzen wir nun über das [[resistives Gesetz|resistive]] und das [[induktives Gesetz|induktive Gesetz]] durch die Stromstärke beziehungsweise die Änderungsrate der Stromstärke

:<math>RI+L\dot I=0</math> oder <math>\frac{R}{L}I+\dot I=0</math>

Diese lineare Differentialgeleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten kann wieder mit einem Exponentialansatz gelöst werden

:<math>I=I_0e^{-t/\tau}</math>

womit für die Zeitkonstante ''τ'' gilt

:<math>\tau=\frac{L}{R}</math>

In der Mechanik definiert man oft eine Dämpferkonstante ''k'', die dem Reziprokwert des Widerstandes enstpricht und damit einen [[Leitwert]] darstellt. Mit der Federkonstante ''D'' ergibt sich für die Zeitkonstante des serielle Feder-Dämpfer-Systems

:<math>\tau=\frac{k}{D}</math>

In der Hydraulik macht sich die Induktivität nur bei Rohren ab einem gewissen Durchmesser bemerkbar. Dann ist die Strömung nicht mehr [[laminar]] und die hier definierte Zeitkonstante kann nicht direkt auf hydraulische Systeme übertragen werden.

==Energie und Prozessleistung==
Mengenspeicher (Kapazitäten) und Induktivitäten sind Energiespeicher. Für lineare Elemente gilt (''M'' steht für Menge und ''φ'' für Potential)

:<math>W=M\frac{\varphi}{2}=\frac{C_M}{2}\varphi^2=\frac{M^2}{2C_M}</math>

In der Mechanik nennt man die zusammen mit dem Impuls gespeicherte Energie [[kinetische Energie]] und die zusammen mit dem Drehimpuls gespeicherte Energie [[Rotationsenergie]].

Die Energie einer Induktivität berechnet sich

:<math>W=\frac{L_M}{2}I_M^2</math>

womit man in der Mechanik die Energie einer linearen Feder erhält.

Fliesst ein Mengenstrom bei einem Widerstandelement über eine Potentialdifferenz, wird eine Prozessleistung freigesetzt und dissipiert

:<math>P=\Delta\varphi I_M=R_M I_M^2=\frac{\Delta\varphi^2}{R_M}</math>

Bei der [[Wärmeleitung]] lässt sich die Formel für die Prozessleistung nur auf den [[Entropie]]strom anwenden. Die dabei produzierte Entropie muss zum abfliessenden Entropiestrom dazu gerechnet werden (siehe [[Wärme als Entropie]]). So erhält man die Energieerhaltung bei der Wärmeleitung.

==Nichtlineare RC-Glieder==
Beim [[Blasenspeicher]] steigt der Druck überproportional mit dem Volumen, d.h. dieses Element verhält sich nichtlinear und seine Kapazität ist vom Volumen abhängig. Wasser strömt nur in dünnen Röhrchen und bei nicht allzu grosser Strömungsgeschwindigkeit laminiar. Ab einer kritischen [[Reynolds-Zahl]] wird die Strömung turbulent und der Druckabfall nimmt mit dem Quadrat der Volumenstromstärke zu

:<math>\Delta p = k_VI_V^2</math>

In der Mechanik verhalten sich die meisten Stromglieder (Impuls- und Drehimpulsleiter) nichtlinear. Dynamische Systeme, die Elemente mit nichtlinearer Charakteristik enthalten, werden oft um einen Arbeitspunkt herum linearisiert. Dann kann man wenigstens in diesem Bereich annähernd exakte Aussagen über das Systemverhalten machen. Einige wenige Systeme mit nichtlinearem Verhalten lassen sich so modellieren, dass deren Verhalten geschlossen lösbar sind. Ihr zeitliches Verhalten kann dann mit Funktionen beschrieben werden. Dazu gehört auch der wassergefüllt Topf mit einem Loch im Boden. Anstelle des Lochs nehmen wir ein horizontal wegführendes Rohr, das so dick ist, dass das Wasser meist turbulent wegfliesst. Wieder ist die hydrostatische Druckzunahme gleich dem Druckabfall im horizontalen Rohr. Setzen wir nun die beiden konstitutiven Gesetze ein, erhalten wir

:<math>\frac{V}{C_V}+k_VI_V^2=0</math> oder umgeformt mit Hilfe der Bilanz <math>V+C_Vk_V\dot V^2=0</math>

Die Lösung dieser '''nichtlinearen''' Differenzialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten kann man ein Stück weit erraten: gesucht ist eine Funktion ''V(t)'', die einmal nach der Zeit abgeleitet und dann quadriert bis auf eine konstante sich selbst entspricht. Diese Forderung erfüllt eine quadratische Funktion. Die Volumenstromstärk-Zeit-Funktion ist dann linear abnehmend

:<math>I_V=I_{V0}-Konstante\cdot t</math>

Die Volumenstromstärke zu Beginn des Entleervorgangs ist gleich Wurzel aus dem Quotienten von Anfangsbodendruck und turbulentem Strömungswiderstand. Die Konstante entspricht dem Reziprokwert der Entleerzeit ''Τ''. Die Entleerzeit ist doppelt so lang, wie wenn die Anfangsstromstärke erhalten bliebe

:<math>I_{V0}=\sqrt{\frac{V_0}{C_Vk_V}}=\sqrt{\frac{V_0\varrho g}{Ak_V}}</math>

:<math>\Tau=\frac{2V_0}{I_{V0}}</math> und damit <math>Konstante=2\sqrt{V_0C_Vk_V}=2\sqrt{\frac{V_0Ak_V}{\varrho g}}</math>

Der Graph der Volumen-Zeit-Funktion ist ein Parabelast mit Scheitelwert gleich null bei der Entleerzeit. Der turbulente Widerstand ''kV'' berechnet sich aus der Dichte der kinetischen Energie, dem Querschnitt ''ARohr''und der Verlustziffer ''ζ''

:<math>k_V=\zeta\frac{\varrho}{2}v^2\frac{1}{A_{Rohr}^2}</math>

Beim Topf mit dem Loch im Boden ist ''ζ''=1 und statt des Rohrquerschnitts nimmt man den Querschnitt des Freistrahls (nicht des Lochs). Anhand dieses Beispiels sollten Sie den Nutzen der [[Systemdynamik|systemdynamischen]] Modellbildung erkennen. Modellieren und Simulieren kann man dieses Problem schon in der ersten Woche des ersten Semesters. Das mathematische Verständnis dauert etwas länger.

Das systemdynamische Modell des [[RC-Glied]]es zeigt die Struktur mit Dynamikebene und Energieebene sehr schön auf. Für komplexere Systeme nimmt man mit grossem Gewinn ein objektoriente Sprache wie [[Modelica]].

==Zwei Speicher==

Im Laufe dieses Kurses haben Sie oft Probleme gelöst, bei denen ein Speicher mit einem zweiten verbunden ist ([[zwei Gefässe]], [[U-Rohr mit Federn]], [[zwei Kondensatoren]], [[RC-Glied mit zwei Kondensatoren]], [[Rangierstoss]], [[zwei Klötze mit Feder]], [[zwei Schwungräder]] oder [[zwei Wärmespeicher]]). Solche Systeme lassen sich in ihrer Komplexität reduzieren, indem man die beiden in Serie geschalteten Speicher durch einen einzigen mit kleinerer Kapazität ersetzt

:<math>C_{Serie}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}</math>

und statt des Potentials die Potentialdifferenz nimmt. Verhält sich das Verbindungsstück wie ein linearer Widerstand, berechnet sich die Zeitkonstante wie beim einfachen RC-Glied. Nur ist dann die Kapazität der Serieschaltung einzusetzen.

In der Mechanik wird dieses Verfahren oft angewendet, um ein Zweikörperproblem (z.B. Doppelsterne) auf ein Einkörperproblem zu reduzieren. Für die Masse als Kapazität gilt dann

:<math>m_{red}=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}</math>

''mred'' heisst auch reduzierte Masse.

==Kontrollfragen==
#Wann gehorcht strömende Flüssigkeit in einem Rohr dem linearen Widerstandsgesetz?
#Welche mechanischen Bauteile wirken als Impulswiderstände? Welche Bauteile verhalten sich wie lineare Drehimpulswiderstände?
#Zählen Sie ein Kapaztitäten aus den Gebieten Hydrodynamik, Elektrodynamik, Translations- und Rotatonsmechanik sowie Thermodynamik auf.
#Nennen Sie Beispiele von hydraulischen, mechanischen oder thermischen RC-Glieder. Wie heisst die dabei ausgetauschte mengenartige Grösse?
#Auf welchen Prozentsatz ist das Potential oder die Spannung bei einem linearen RC-Glied nach sechs Zeitkonstanten gesunken?
#Nach welcher Zeit (ausgedrückt durch die Zeitkonstante) hat sich das Potential oder die Spannung bei einem linearen RC-Glied halbiert?
#Auf welchen Prozentsatz ist die Prozessleistung bei einem linearen RC-Glied nach sechs Zeitkonstanten gesunken?
#Wie lange dauert nach dem Einschalten bis der Strom bei einem LR-Glied 90% des Endwertes erreicht hat (ausgedrückt durch die Zeitkonstante)?

==Antworten zu den Kontrollfragen==

==Links==
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=eR0l2sqv8Zo Das RC-Glied]
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=oH9f2ZoRY74 hydraulisches RC-Glied]
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=yaQmGFE_n00 elektrisches RC-Glied]
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=QiWTrNmvl-Y mechanisches RC-Glied]
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=HRYAYH5FN8Q rotationsmechanisches RC-Glied]
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=5luXptUy8Jw thermodynamisches RC-Glied]
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=ojyBnTu9FJw Systemphysik: RC-Glied]

'''[[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014]]'''

[[Kategorie:VorAV]]

Dynamische Systeme 1. Ordnung

2015-04-09T13:02:44Z

KP14: /* Energie und Prozessleistung */

==Lernziele==
In dieser Vorlesung lernen Sie
*wie eine [[Kapazität]] definiert ist
*wie ein lineares Widerstandsgesetz zu formulieren ist
*wie eine Induktivität zu definieren ist
*wie die Potential-Zeit- oder die Stromstärke-Zeit-Funktion eines linearen RC-Gliedes aussieht
*wie die Spannungs-Zeit- oder die Stromstärke-Zeit-Funktion eines linearen LR-Gliedes aussieht
*wie die dissipierte Leistung bei einem Widerstandselement berechnet wird
*wie die Energie eines Speichers mit konstanter Kapazität berechnet wird
*wie die Energie einer Induktivität zu berechnen ist
*wie man Systeme mit zwei Speicher auf solche mit einem zurück führt

==Problemstellung==
Ein mit Wasser gefülltes Gefäss hängt an einem Kraftmessgerät. Nachdem man den Stöpsel im Boden heraus gezogen hat, leert sich das Gefäss über einen dünnen Wasserstrahl, der nach unten weg geht. Über die Kraftmessung können wir das Masse-Zeit-Verhalten beobachten. Wann ist das Gefäss noch halb voll? Wann ist es leer? Gibt es eine Füllstand-Zeit-Funktion für dieses Problem? Sie haben dieses Problem ist der ersten Woche des ersten Semesters mit Hilfe eines [[Systemdynamik|systemdynamischen Tools]] modelliert und simuliert. Nun wollen wird dieses System und eine ganze Klasse von ähnlichen Problemen mathematisch behandeln.

Wir stellen dazu ein zylinderförmiges Gefäss, aus dem in bodennähe ein Röhrchen horizontal weg führt, auf eine Waage. Das Gefäss entlehrt also seinen Inhalt über ein längeres Röhrchen statt über ein kleines Loch. Damit haben wir ein klare Trennung von Speicher und Leiter. Das Verhalten des Speichers kann mit Hilfe der Kapazität beschrieben werden
:<math>\Delta V=C_V\Delta p</math>
wobei für zylinderförmige Gefässe gilt
:<math>C_V=\frac{A}{\varrho g}</math>
Die Druckdifferenz über dem Röhrchen treibt den Volumenstrom. Falls die Flüssigkeit zäh genug ist und der Durchmesser des Röhrchens nicht zu gross, bleibt die Strömung laminar, d.h. Volumenstromstärke und Druckdifferenz sind proportional zueinander
:<math>\Delta p = R_VI_V</math>
Der [[gerades Rohrstück|laminare Strömungswiderstand]] kann mit Hilfe des Gesetzes von [[Hagen-Poiseuille]] berechnet werden. Beachten Sie, dass <math>\Delta p</math> in den beiden Formeln eine unterschiedliche Bedeutung hat: im Kapazitivgesetz wird die Druckdifferenz zwischen den Füllzuständen zu zwei verschiedenen Zeitpunkten gebildet, im Widerstandsgesetz ist die Druckdifferenz über dem Rohr zum gleichen Zeitpunkt einzusetzen. Die erste Druckdifferenz wird demnach über eine Zeitspanne, die zweite über einer Länge gebildet.

==Leiter==
Lineare Widerstandsgesetze findet man in verschiedenen Gebieten der Physik

{|class="wikitable"
!style ="width:15em"|Gebiet
!style ="width:15em"|Menge
!style ="width:15em"|Potential
!style ="width:15em"|Gesetz
!style ="width:15em"|Beispiel
|-
|[[Hydrodynamik]]
|[[Volumen]]
|[[Druck]]
|<math>\Delta p=R_VI_V</math>
|[[gerades Rohrstück|laminare Strömung]]
|-
|[[Elektrodynamik]]
|[[elektrische Ladung]]
|[[Potential|Spannung]]
|<math>U=RI</math>
|Widerstandselement
|-
|[[Translationsmechanik]]
|[[Impuls]]
|[[Geschwindigkeit]]
|<math>\Delta v_x=R_{px}F_x</math>
|linearer Dämpfer
|-
|[[Rotationsmechanik]]
|[[Drehimpuls]]
|[[Winkelgeschwindigkeit]]
|<math>\Delta \omega_x=R_{Lx}M_x</math>
|Wirbelstrombremse
|-
|[[Thermodynamik]]
|[[Energie]]
|[[Temperatur]]
|<math>\Delta T=R_WI_W</math>
|[[Wärmeleitung]]
|-
|}

In den ersten vier Beispielen fliesst ein Mengenstrom über eine Potentialdifferenz ([[Wasserfallbild]]). Dabei wird [[Prozessleistung|Energie]] frei gesetzt und [[Entropie]] erzeugt. Weil bei der [[Wärmeleitung]] Entropie hinunter fliesst und gleichzeitig Entropie erzeugt wird, nimmt man meist die [[Wärme|Wärmeenergie]] als erhaltene mengenartige Grösse.

==Speicher==
Speicher mit konstanter Kapazität findet man in den folgenden fünf Gebieten der Physik
{|class="wikitable"
!style ="width:15em"|Gebiet
!style ="width:15em"|Menge
!style ="width:15em"|Potential
!style ="width:15em"|Gesetz
!style ="width:15em"|Beispiel
|-
|[[Hydrodynamik]]
|[[Volumen]]
|[[Druck]]
|<math>C_V\Delta p=\Delta V</math>
|zylinderförmiger Behälter
|-
|[[Elektrodynamik]]
|[[elektrische Ladung]]
|[[Potential|Spannung]]
|<math>CU=Q</math>
|[[Kondensator]]
|-
|[[Translationsmechanik]]
|[[Impuls]]
|[[Geschwindigkeit]]
|<math>mv_x=p_x</math>
|Hammer
|-
|[[Rotationsmechanik]]
|[[Drehimpuls]]
|[[Winkelgeschwindigkeit]]
|<math>J\omega_x=L_x</math>
|Schwungrad
|-
|[[Thermodynamik]]
|[[Energie]]
|[[Temperatur]]
|<math>C_p\Delta T=\Delta H</math>
|[[Wärmespeicher]]
|-
|}
Die [[Masse]] eines Körpers bildet die [[Kapazität|Impulskapazität]] für alle drei Impulskomponenten. Rotierende Körper besitzen mindestens drei Hauptachsen mit drei verschiedenen [[Massenträgheitsmoment]]en. Nimmt man in der Thermodynamik die Energie als Bilanzgrösse, heisst die eigentliche Speichergrösse [[Enthalpie]]. Die Enthalpiekapazität oder Wärmekapazität bei konstantem Druck ist bei vielen Körpern über grössere Temperaturbereiche nahezu konstant.

==RC-Glied==
Taucht man in das Gefäss mit dem horizontalen Abflussrohr ein, steigt der Druck mit der Eintauchtiefe.

:<math>\Delta p=\varrho gh</math>

Folgt man dann der durch das horizontale Rohr werströmenden Flüssigkeit, sinkt der Druck kontinuierlich bis auf das Umgebungsniveau ab. Folglich sind hydrosatischer Druckanstieg und reibungsbedingter Druckabfall gleich gross

:<math>\Delta p_C+\Delta p_R=0\</math>

Setzt man nun die konstitutiven Gesetze ([[kapazitives Gesetz|kapazitives]] und [[resistives Gesetz|resistives]]) in die Druckgleichung ein, erhält man

:<math>\frac{V}{C_V}+R_VI_V=0</math>

Ersetzt man nun noch die Stromstärke mit Hilfe der Bilanzgleichung durch die Änderungsrate des Volumens,

:<math>I_V=\dot V</math>

erhält man eine homogene Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten

:<math>\frac{V}{C_V}+R_V\dot V=0</math> oder <math>\frac{V}{C_VR_V}+\dot V=0</math>

Die folgende Funktion erfüllt diese Differentialgleichung (bitte selber mal einsetzen),

:<math>V=V_0e^{-t/\tau}</math>

wenn für die [[Zeitkonstante]] ''τ'' gilt

:<math>\tau =R_VC_V</math>

Für die Füllhöhe dividiert man das Volumen durch den Querschnitt. Den Druck am Boden des Gefässes in Funktion erhält man durch Multiplikation der Füllhöhe mit [[Dichte]] und [[Gravitationsfeld]]stärke oder durch Division des Volumens mit der Kapazität. Für die Umrechnung auf das Volumenstromstärke-Zeit-Verhalten benutzt man das Widerstandsgesetz oder leitet die Volumen-Zeit-Funktion nach der Zeit ab

:<math>I_V=-I_{V0}e^{-t/\tau}</math> mit <math>I_{V0}=\frac{\Delta p_0}{R_V}</math>

Legt man umgekehrt bei einem leeren Gefäss mit horizontalem Röhrchen einen konstanten Druck an, füllt sich das Gefäss bis zum Gleichgewichtszustand. Die zugehörige Druckgleichung lautet

:<math>\Delta p_C+\Delta p_R=\Delta p_{aussen}\</math>

und Volumen-Zeit-Funktion ist monoton steigend

:<math>V=V_0\left(1-e^{-t/\tau}\right)</math> mit <math>V_0=C_V\Delta p_{aussen}=\frac{A\Delta p_{aussen}}{\varrho g}</math>

Durch Ableiten nach der Zeit erhält man das Volumenstromstärke-Zeit-Verhalten. Das Druck-Zeit-Verhalten berechnet man Wahlweise aus dem Volumen mit Hilfe des kapazitiven Gesetzes oder aus der Stromstärke mit Hilfe des resistiven Gesetzes.

Diese Herleitungen und Ergebnisse können unter Beizug der Tabellen für Kapazität und Widerstand auf die Mechanik, die Elektrodynamik oder die Thermodynamik übertragen.

==Induktivität==
Induktive Glieder findet man in der Hydrodynamik, der Elektrodynamik und der Mechanik
{|class="wikitable"
!style ="width:15em"|Gebiet
!style ="width:15em"|Menge
!style ="width:15em"|Potential
!style ="width:15em"|Gesetz
!style ="width:15em"|Beispiel
|-
|[[Hydrodynamik]]
|[[Volumen]]
|[[Druck]]
|<math>\Delta p=L_V\dot I_V</math>
|[[gerades Rohrstück|langes Rohr]]
|-
|[[Elektrodynamik]]
|[[elektrische Ladung]]
|[[Potential|Spannung]]
|<math>U=L\dot I</math>
|supraleitende Spule
|-
|[[Translationsmechanik]]
|[[Impuls]]
|[[Geschwindigkeit]]
|<math>\Delta v_x=L_p\dot I_{px}</math>
|ideale Feder
|-
|[[Rotationsmechanik]]
|[[Drehimpuls]]
|[[Winkelgeschwindigkeit]]
|<math>\Delta\omega_x=L_L\dot I_{Lx}</math>
|ideale Drehfeder
|-
|}

In der Mechanik formuliert man üblicherweise die Federgesetze mit Kraft und Federdehnung

:<math>F_x=D\Delta x</math> oder <math>M_x=D^*\Delta\phi</math>

wobei immer zwei Kräfte oder zwei Drehmomente an der Feder angreifen. Diese Einwirkungen entsprechen der Impuls- bzw. der Drehimpulsstromstärke an den jeweiligen Stellen bezogen auf die Feder. Leitet man die Federgesetze nach der Zeit ab, wird ersichtlich, dass die mechanischen Induktivitäten den Reziprokwerten der Federkonstanten entsprechen.

==RL-Glied==
Die Reihenschaltung eines Widerstandselementes mit einer Induktivität bildet ein RL-Glied. In der Mechanik sind das eine Feder und ein Dämpfer im gleichen "[[Kraftfluss]]". In der Elektrodynamik verhält sich eine reale Spule wie ein RL-Glied, d.h. die reale Spule kann in guter Näherung als Serieschaltung eines Widerstandes mit einer Induktivität dargestellt werden. Schliesst man eine stromdruchflossene Spule kurz, fällt die Spannung zwischen den Enden sofort auf null und für die beiden "inneren" Spannungen gilt

:<math>U_R+U_L=0</math>

Die beiden Spannungen ersetzen wir nun über das [[resistives Gesetz|resistive]] und das [[induktives Gesetz|induktive Gesetz]] durch die Stromstärke beziehungsweise die Änderungsrate der Stromstärke

:<math>RI+L\dot I=0</math> oder <math>\frac{R}{L}I+\dot I=0</math>

Diese lineare Differentialgeleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten kann wieder mit einem Exponentialansatz gelöst werden

:<math>I=I_0e^{-t/\tau}</math>

womit für die Zeitkonstante ''τ'' gilt

:<math>\tau=\frac{L}{R}</math>

In der Mechanik definiert man oft eine Dämpferkonstante ''k'', die dem Reziprokwert des Widerstandes enstpricht und damit einen [[Leitwert]] darstellt. Mit der Federkonstante ''D'' ergibt sich für die Zeitkonstante des serielle Feder-Dämpfer-Systems

:<math>\tau=\frac{k}{D}</math>

In der Hydraulik macht sich die Induktivität nur bei Rohren ab einem gewissen Durchmesser bemerkbar. Dann ist die Strömung nicht mehr [[laminar]] und die hier definierte Zeitkonstante kann nicht direkt auf hydraulische Systeme übertragen werden.

==Energie und Prozessleistung==
Mengenspeicher (Kapazitäten) und Induktivitäten sind Energiespeicher. Für lineare Elemente gilt (''M'' steht für Menge und ''φ'' für Potential)

:<math>W=M\frac{\varphi}{2}=\frac{C_M}{2}\varphi^2=\frac{M^2}{2C_M}</math>

In der Mechanik nennt man die zusammen mit dem Impuls gespeicherte Energie [[kinetische Energie]] und die zusammen mit dem Drehimpuls gespeicherte Energie [[Rotationsenergie]].

Die Energie einer Induktivität berechnet sich

:<math>W=\frac{L_M}{2}I_M^2</math>

womit man in der Mechanik die Energie einer linearen Feder erhält.

Fliesst ein Mengenstrom bei einem Widerstandelement über eine Potentialdifferenz, wird eine Prozessleistung freigesetzt und dissipiert

:<math>P=\Delta\varphi I_M=R_M I_M^2=\frac{\Delta\varphi^2}{R_M}</math>

Bei der [[Wärmeleitung]] lässt sich die Formel für die Prozessleistung nur auf den [[Entropie]]strom anwenden. Die dabei produzierte Entropie muss zum abfliessenden Entropiestrom dazu gerechnet werden (siehe [[Wärme als Entropie]]). So erhält man die Energieerhaltung bei der Wärmeleitung.

==Nichtlineare RC-Glieder==
Beim [[Blasenspeicher]] steigt der Druck überproportional mit dem Volumen, d.h. dieses Element verhält sich nichtlinear und seine Kapazität ist vom Volumen abhängig. Wasser strömt nur in dünnen Röhrchen und bei nicht allzu grosser Strömungsgeschwindigkeit laminiar. Ab einer kritischen [[Reynolds-Zahl]] wird die Strömung turbulent und der Druckabfall nimmt mit dem Quadrat der Volumenstromstärke zu

:<math>\Delta p = k_VI_V^2</math>

In der Mechanik verhalten sich die meisten Stromglieder (Impuls- und Drehimpulsleiter} nichtlinear. Dynamische Systeme, die Elemente mit nichtlinearer Charakteristik enthalten, werden oft um einen Arbeitspunkt herum linearisiert. Dann kann man wenigstens in diesem Bereich annähernd exakte Aussagen über das Systemverhalten machen. Einige wenige Systeme mit nichtlinearem Verhalten lassen sich so modellieren, dass deren Verhalten geschlossen lösbar sind. Ihr zeitliches Verhalten kann dann mit Funktionen beschrieben werden. Dazu gehört auch der wassergefüllt Topf mit einem Loch im Boden. Anstelle des Lochs nehmen wir ein horizontal wegführendes Rohr, das so dick ist, dass das Wasser meist turbulent wegfliesst. Wieder ist die hydrostatische Druckzunahme gleich dem Druckabfall im horizontalen Rohr. Setzen wir nun die beiden konstitutiven Gesetze ein, erhalten wir

:<math>\frac{V}{C_V}+k_VI_V^2=0</math> oder umgeformt mit Hilfe der Bilanz <math>V+C_Vk_V\dot V^2=0</math>

Die Lösung dieser '''nichtlinearen''' Differenzialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten kann man ein Stück weit erraten: gesucht ist eine Funktion ''V(t)'', die einmal nach der Zeit abgeleitet und dann quadriert bis auf eine konstante sich selbst entspricht. Diese Forderung erfüllt eine quadratische Funktion. Die Volumenstromstärk-Zeit-Funktion ist dann linear abnehmend

:<math>I_V=I_{V0}-Konstante\cdot t</math>

Die Volumenstromstärke zu Beginn des Entleervorgangs ist gleich Wurzel aus dem Quotienten von Anfangsbodendruck und turbulentem Strömungswiderstand. Die Konstante entspricht dem Reziprokwert der Entleerzeit ''Τ''. Die Entleerzeit ist doppelt so lang, wie wenn die Anfangsstromstärke erhalten bliebe

:<math>I_{V0}=\sqrt{\frac{V_0}{C_Vk_V}}=\sqrt{\frac{V_0\varrho g}{Ak_V}}</math>

:<math>\Tau=\frac{2V_0}{I_{V0}}</math> und damit <math>Konstante=2\sqrt{V_0C_Vk_V}=2\sqrt{\frac{V_0Ak_V}{\varrho g}}</math>

Der Graph der Volumen-Zeit-Funktion ist ein Parabelast mit Scheitelwert gleich null bei der Entleerzeit. Der turbulente Widerstand ''kV'' berechnet sich aus der Dichte der kinetischen Energie, dem Querschnitt ''ARohr''und der Verlustziffer ''ζ''

:<math>k_V=\zeta\frac{\varrho}{2}v^2\frac{1}{A_{Rohr}^2}</math>

Beim Topf mit dem Loch im Boden ist ''ζ''=1 und statt des Rohrquerschnitts nimmt man den Querschnitt des Freistrahls (nicht des Lochs). Anhand dieses Beispiels sollten Sie den Nutzen der [[Systemdynamik|systemdynamischen]] Modellbildung erkennen. Modellieren und Simulieren kann man dieses Problem schon in der ersten Woche des ersten Semesters. Das mathematische Verständnis dauert etwas länger.

Das systemdynamische Modell des [[RC-Glied]]es zeigt die Struktur mit Dynamikebene und Energieebene sehr schön auf. Für komplexere Systeme nimmt man mit grossem Gewinn ein objektoriente Sprache wie [[Modelica]].

==Zwei Speicher==

Im Laufe dieses Kurses haben Sie oft Probleme gelöst, bei denen ein Speicher mit einem zweiten verbunden ist ([[zwei Gefässe]], [[U-Rohr mit Federn]], [[zwei Kondensatoren]], [[RC-Glied mit zwei Kondensatoren]], [[Rangierstoss]], [[zwei Klötze mit Feder]], [[zwei Schwungräder]] oder [[zwei Wärmespeicher]]). Solche Systeme lassen sich in ihrer Komplexität reduzieren, indem man die beiden in Serie geschalteten Speicher durch einen einzigen mit kleinerer Kapazität ersetzt

:<math>C_{Serie}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}</math>

und statt des Potentials die Potentialdifferenz nimmt. Verhält sich das Verbindungsstück wie ein linearer Widerstand, berechnet sich die Zeitkonstante wie beim einfachen RC-Glied. Nur ist dann die Kapazität der Serieschaltung einzusetzen.

In der Mechanik wird dieses Verfahren oft angewendet, um ein Zweikörperproblem (z.B. Doppelsterne) auf ein Einkörperproblem zu reduzieren. Für die Masse als Kapazität gilt dann

:<math>m_{red}=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}</math>

''mred'' heisst auch reduzierte Masse.

==Kontrollfragen==
#Wann gehorcht strömende Flüssigkeit in einem Rohr dem linearen Widerstandsgesetz?
#Welche mechanischen Bauteile wirken als Impulswiderstände? Welche Bauteile verhalten sich wie lineare Drehimpulswiderstände?
#Zählen Sie ein Kapaztitäten aus den Gebieten Hydrodynamik, Elektrodynamik, Translations- und Rotatonsmechanik sowie Thermodynamik auf.
#Nennen Sie Beispiele von hydraulischen, mechanischen oder thermischen RC-Glieder. Wie heisst die dabei ausgetauschte mengenartige Grösse?
#Auf welchen Prozentsatz ist das Potential oder die Spannung bei einem linearen RC-Glied nach sechs Zeitkonstanten gesunken?
#Nach welcher Zeit (ausgedrückt durch die Zeitkonstante) hat sich das Potential oder die Spannung bei einem linearen RC-Glied halbiert?
#Auf welchen Prozentsatz ist die Prozessleistung bei einem linearen RC-Glied nach sechs Zeitkonstanten gesunken?
#Wie lange dauert nach dem Einschalten bis der Strom bei einem LR-Glied 90% des Endwertes erreicht hat (ausgedrückt durch die Zeitkonstante)?

==Antworten zu den Kontrollfragen==

==Links==
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=eR0l2sqv8Zo Das RC-Glied]
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=oH9f2ZoRY74 hydraulisches RC-Glied]
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=yaQmGFE_n00 elektrisches RC-Glied]
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=QiWTrNmvl-Y mechanisches RC-Glied]
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=HRYAYH5FN8Q rotationsmechanisches RC-Glied]
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=5luXptUy8Jw thermodynamisches RC-Glied]
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=ojyBnTu9FJw Systemphysik: RC-Glied]

'''[[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014]]'''

[[Kategorie:VorAV]]

Lösung zu Rakete im Gravitationsfeld

2014-12-16T09:38:47Z

KP14: Lösung 4 einfacher beschrieben

Die eindimensionale [[Impulsbilanz]] für offene Systeme, welche die Summe über alle leitungsartigen und konvektiven Impulsströme zusammen mit der gravitativen Impulsquelle gleich der Änderungsrate des Impulsinhaltes setzt, kann etwas konkreter formuliert werden, indem man
*die Stärken der leitungsartigen Impulsströme als [[Kraft|Kräfte]] bezeichnet,
*die konvektiven Impulsströme durch Massenstromstärke mal zugehörige Ausströmgeschwindigkeit ersetzt,
*die gravitative Impulsquelle als Masse mal [[Gravitationsfeld]]stärke schreibt,
*den Impulsinhalt durch das [[kapazitives Gesetz|kapazitive Gesetz]] der [[Translationsmechanik]] ([[Impuls]]inhalt gleich [[Masse]] mal [[Geschwindigkeit]]) ausdrückt:

===Lösung zu Frage 1===
Die [[Impulsbilanz]] fasst die leitungsartigen Impulsströme (Kräfte), die konvektiven Impulsströme sowie die Impulsquelle (Gewichtskraft) zur Impulsänderungsrate zusammen

:<math> \sum_i F_i + \sum_i v_i I_{mi} + m g = \dot p = \dot m v + m \dot v</math>

Die allgemeine [[Massenbilanz]] besagt, dass die Summe über alle Massenstromstärken gleich der Änderungsrate der Masse ist

:<math> \sum_i I_{mi} = \dot m</math>

Die Masse geht aus der Rakete an die Umgebung weg, also ist die Massenstromstärke negativ. Die vertikale Bezugsachse soll nach oben zeigen. Die beiden Bilanzen auf die Rakete angewandt sehen dann so aus:

:<math> v_{Gas} I_{m} - m g = \dot p = \dot m v + m \dot v</math>

:<math> I_{m} = \dot m</math> mit <math> I_{m}= -200 kg/s<0</math>

===Lösung zu Frage 2===

Im vorliegenden Beispiel mit der [[Rakete]] gibt es keine Oberflächenkräfte (leitungsartige Impulsströme) und nur einen einzigen Massenstrom. Die Geschwindigkeit des ausströmenden Gases im Bezugssystem Erde (Beobachter) ist gleich der Geschwindigkeit der Rakete (''v'') minus der Geschwindigkeit des ausströmenden Gases (''c'') relativ zur Rakete. Diese Ausströmgeschwindigkeit c ist durch den thermodynamischen Verbrennungsprozess bestimmt. Die Impulsbilanz nimmt deshalb eine einfachere Form (an ''p''-Bezugsachse vertikal nach oben)

:<math> - m g + I_m (v - c) = \dot p = \dot m v + m \dot v</math>

Setzt man für die Gravitationsfeldstärke 9 N/kg ein, erhält man eine Impulsänderungsrate von

:<math> \dot p = </math> - 25000 kg * 9 N/kg - 200 kg/s * (5000 m/s - 3700 m/s) = -485 kN

Der Impuls der Rakete nimmt ab, weil das Gravitationsfeld Impuls absaugt und das ausströmende Gas Impuls mitnimmt.

===Lösung zu Frage 3===
Setzt man die Massenbilanz

:<math> I_m = \dot m</math>

in die Impulsbilanz ein, kann man auf beiden Seiten dieser Gleichung den Term <math> v \cdot I_m</math> streichen und man erhält eine sehr kompakte Formel, die an das [[Grundgesetz der Mechanik]] erinnert

:<math> - m g - c I_m = m \dot v</math>

Daraus lässt sich die Beschleunigung ermitteln

:<math>\dot v = - g + c \frac {-I_m}{m}</math> = - 9 N/kg + 3700 m/s * 200 kg/s / 25'000 kg = 20.6 m/s2

Die Beschleunigung der Rakete ist trotz negativer Impulsänderungsrate positiv, weil die Rakete Masse abgibt, die mit wenig Impuls beladen ist.

===Lösung zu Frage 4===
Aus <math>\dot p = \dot m v + m \dot v</math> erhält man den Zusammenhang zwischen Beschleunigung und Impulsänderungsrate

:<math>\dot v = \frac {\dot p - \dot m v}{m} = \frac {\dot p}{m} + \frac {-I_m}{m} v = \frac {-485 kN}{25'000 kg} + \frac {200 kg/s}{25'000 kg} \cdot 5000 m/s = </math> - 19.4 m/s2 + 40 m/s2

Die Beschleunigung wird kleiner als Null, sobald die (negative) Impulsänderunsrate kleiner als das Negative des Produktes aus Massenstromstärke und Geschwindigkeit der Rakete wird.

'''[[Rakete im Gravitationsfeld|Aufgabe]]'''

Lösung zu Kraft auf Rohrstück

2014-12-16T09:23:29Z

KP14: Neg. Vorzeichen in 2. zu Im genommen statt zu v2

[[Bild:Kraft_auf_Rohrstueck.png]]

Bei dieser Problemstellung sollte man sowohl beim Aufstellen der Energiebilanz als auch bei der Impulsbilanz mit dem Ueberdruck arbeiten. Das heisst, dass der Referenzdruck der Umgebungsdruck ist, also ca. 105 Pa.

Bezugsachse für Impuls von links nach rechts.

Die Ein- und Austrittsflächen betragen A1 = π/4 * (0.1 m)2 = 0.00785 m2, A2 = π/4 * (0.05 m)2 = 0.00196 m2 und der Volumen- und der [[Massenstrom]] IV = v2 * A2 = 10 m/s * 0.00196 m2 = 0.0196 m3/s, Im = ρ * IV = 1000 kg/m3 * 0.0196 m3/s = 19.6 kg/s.

1. Die [[Energiebilanz]], das [[Gesetz von Bernoulli]], liefert zusammen mit der [[Kontinuitätsgleichung]]
:<math>p_1 + \frac {\rho}{2} v_1^2 = p_2 + \frac {\rho}{2} v_2^2</math>

:<math> v_1 A_1 = v_2 A_2, \quad v_1 = v_2 \cdot \frac {d_2^2}{d_1^2} = 10 m/s \cdot \frac {(0.05 m)^2}{(0.1 m)^2}</math> = 2.50 m/s

:den Ueberdruck p1 beim Eintritt, wobei p2 = 0 Pa den Ueberdruck beim Austritt darstellt.

:<math> p_1 = p_2 + \frac {\rho}{2} \left(1 - \left(\frac {d_2}{d_1}\right)^4 \right) v_2^2 = 0 + \frac {1000 kg/m^3}{2} \left(1 - \left(\frac {0.05 m}{0.1 m}\right)^4 \right) (10 m/s)^2</math> = 46.9 kPa

2. Die [[Impulsbilanz]] verlangt, dass sich die Festhaltekraft, die Überdruckkraft beim Eintritt und die beiden konvektiven Impulsströme zu Null addieren, weil der Impulsinhalt des Rohrstückes keine Änderung erfährt. Die Überdruckkraft beim Austritt ist 0, weil hier der Überdruck 0 ist. Die Impulsbilanz wenden wir auf das System Rohrstück plus Wasser an:

:<math>F_A - F_{D1} + \left(- v_1 \right) \cdot I_m + v_2 \cdot (-I_m) = F_A - p_1 \cdot A_1 - \left(v_1 + v_2 \right) \cdot I_m = \dot p = 0</math>

Zu den Vorzeichen der konvektiven Impulsströme: Beim Eintritt strömt der Massenstrom ins Systemhinein, also Im positiv nehmen. Er trägt aber negativen Impuls ins System hinein, also muss der Geschwindigkeitsbetrag v1 negativ genommen werden. Beim Austritt muss man Im negativ nehmen, weil er das System verlässt. Der Impuls ist aber mit der Bezugsrichtung, also positive Geschwindigkeit.

Bei der Ein- und Austrittsfläche berechnen wir die Druckkraft nur mit dem Ueberdruck. Wenn auf der ganzen Systemgrenze nur der überall gleiche Umgebungsdruck (also der Luftdruck) herrschen würde, hätten wir eine Nettokraft von 0. Diese Kräfte können wir also in der Impulsbilanz weglassen. Wir müssen nur das berücksichtigen, was darüber hinausgeht: die mit dem Überdruck berechnete Druckkraft beim Eintritt und die Haltekraft FA auf das Rohr.

:<math>F_A = p_1 A_1 + v_1 I_m + v_2 I_m = </math> 46.9 kPa * 0.00785 m2 + 2.5 m/s * 19.6 kg/s + 10 m/s * 19.6 kg/s = 368 N + 49 N + 196 N = 613 N

'''[[Kraft auf Rohrstück|Aufgabe]]'''

Lösung zu Impuls und Flüssigkeitsbild

2014-11-03T12:04:24Z

KP14: /* Aufgabe 8 */

== Aufgabe 1 ==
[[Ip_vs_t_-_Fluessigkeitsbild.png]]

Grössen mit einem <math>'</math> (z.B. <math>\Delta p_1'</math>) beziehen sich auf die erste Stossphase, Grössen mit <math>''</math> beziehen sich auf die zweite Stossphase.

== Aufgabe2 ==
Der Impulsinhalt des ersten Wagens wird

<math>p_1=m_1 v_1=60\cdot 10^3 kg \cdot 5~m/s=3\cdot 10^5~Ns</math>,

und da der zweite Wagen stillsteht wird <math>p_2=0</math>.

Beide Wagen zusammen speichern den Impuls

<math>p_{ges}=p_1+p_2=3\cdot 10^5 Ns + 0 = 3\cdot 10^5 Ns</math>

und haben die Gesamtmasse

<math>m_{ges}=m_1+m_2=100~t</math>.

Die gemeinsame Geschwindigkeit wird

<math>v_g=\frac{p_{ges}}{m_{ges}}=\frac{3\cdot 10^5 Ns}{100\cdot 10^3 kg}=3~m/s</math>.

== Aufgabe 3 ==
In der ersten Stossphase gibt Wagen ein den Impuls

<math>\Delta p\prime=I_{p,max}\Delta t'</math>

an den zweiten Wagen ab. Aus dem Flüssigkeitsbild ergibt sich für

<math>\Delta p\prime=\Delta v\cdot m_1=(v_1-v_g)m_1</math>.

Setzt man diese beiden Gleichungen einander gleich, ergibt sich für

<math>\Delta t'=\frac{(v_1-v_g)m_1}{I_{p,max}}=\frac{2~m\cdot 6\cdot 10^4 kg~s^2}{s~12\cdot 10^5 kg~m}=0.1~s</math>.

== Aufgabe 4 ==
Aus

<math>I_{p,max}=F=m\cdot a</math>

folgt

<math>a_1=\frac{I_{p,max}}{m_1}=\frac{12\cdot 10^5~N}{60\cdot 10^3~kg}=20~m/s^2</math> (Wagen wird abgebremst, also ist <math>a_1</math> eigentlich negativ da <math>I_{p,max}</math> in die negative Bezugsrichtung fliesst),

und analog dazu wird <math>a_2=30~m/s^2</math>.

== Aufgabe 5 ==
In der zweiten Stossphase gibt Wagen 1 den Impuls

<math>\Delta p''=1/2\cdot I_{p,max}\cdot \Delta t'=0.5\cdot 1200~kN\cdot 0.1~s=60~kNs</math>

ab. Der erste Wagen enthält daher noch

<math>p_1''=p_1-\Delta p_1'-\Delta p_1''=3\cdot 10^5~Ns-1.2\cdot 10^5~Ns-0.6\cdot 10^5~Ns=1.2\cdot 10^5~Ns</math>.

Daraus folgt

<math>v_1''=\frac{p_1''}{m_1}=\frac{1.2\cdot 10^5~Ns}{6\cdot 10^4~kg}=2~m/s</math>.

Analog dazu wird

<math>p_2''=0+\Delta p_1'+\Delta p_1''=1.8\cdot 10^5~Ns</math>

und

<math>v_2''=p_2''/m_2=4.5~m/s</math>.

== Aufgabe 6 ==
Aus <math>s=\frac{a}{2}t^2</math> kann der Maximalhub eines Puffers berechnet werden. Zu beachten ist der Wert für <math>a</math>: <math>a_1, a_2</math> sind auf einen externen Beobachter bezogen, und zur Berechnung des Maximalhubs ist die relative Beschleunigung zwischen den Wagen ausschlaggebend. Daher wird <math>a=a_1+a_2</math>, und der Maximalhub ''eines'' Puffers

<math>s=\frac{1}{2} \frac{a_1+a_2}{2}\Delta t'^2=\frac{1}{2} \frac{(20+30)m}{s~2} 0.1^2 s^2=0.125~m</math>.

== Aufgabe 7 ==
Zur Abschätzung des Hubes beim Ausfahren der Puffer hilft das <math>v(t)</math> Diagramm.

[[v-t-Diagramm.png]]

Die Geschwindigkeiten <math>v_g, v_1'', v_2''</math> sind bekannt. Der Verlauf der Geschwindigkeiten in der zweiten Stossphase werden nicht linear sein, sondern quadratisch. Die Fläche unter der <math>v(t)</math> Kurve entspricht dem Hub. Nähert man die Fläche mit zwei Dreiecken an, ergibt sich für den Hub beim Ausfahren ''eines'' Puffers

<math>s=\frac{1}{2}\left [\frac{1}{2}\Delta t''\cdot (v_2''-v_g) + \frac{1}{2}\Delta t''\cdot (v_g-v_1'')\right ]=\frac{1}{4}\cdot 0.1\cdot(1.5+2)=0.0875~m</math>.

Die exakte Lösung <math>(s=0.083~m)</math> kann z.B. mit [[diesem Berkeley-Madonna Modell]] berechnet werden.

== Aufgabe 8 ==
In der ersten Stossphase nehmen die Puffer

<math>W_{ges}=P(F)\cdot \Delta t'</math>

auf. Mit

<math>P(F)=I_p\cdot \Delta v</math>

folgt

<math>W_{ges}=I_{p,max}\cdot \Delta v \cdot \Delta t'</math>.

Nachdem sich <math>\Delta v</math> während des Stosses ändert, muss die mittlere Geschwindigkeitsdifferenz verwendet werden:

<math>\Delta \bar{v}=\frac{\Delta v_{Anfang}+\Delta v_{Ende}}{2}=\frac{(v_1-v_2)+0}{2}=\frac{5}{2}~\frac{m}{s}</math>.

Daraus folgt für die Energieaufnahme ''eines'' Puffers

<math>W'=\frac{1}{4}W_{ges}=\frac{1}{4}12\cdot 10^5~N\cdot2.5~\frac{m}{s}\cdot 0.1~s=75~kJ</math>.

In der zweiten Stossphase ändert sich auch der Impulsstrom, und die von einem Puffer abgegebene Energie wird

<math>W''=\frac{1}{4}\bar{I_p}\cdot \Delta \bar{v}\cdot \Delta t'</math>.

Mit

<math>\Delta \bar{v}=\frac{0+(v_2''-v_1'')}{2}=\frac{4.5-2}{2}\frac{m}{s}=1.25~m/s</math>

und

<math>\bar{I_p}=\frac{1}{2}I_{p,max}</math>

folgt

<math>W''=\frac{1}{4}\frac{12\cdot 10^5~N}{2}\cdot 1.25 \frac{m}{s}\cdot 0.1~s=18.75~kJ</math>.

'''[[Impuls und Flüssigkeitsbild|Aufgabe]]'''

Lösung zu Impuls und Flüssigkeitsbild

2014-11-03T12:03:45Z

KP14: /* Aufgabe 7 */

== Aufgabe 1 ==
[[Ip_vs_t_-_Fluessigkeitsbild.png]]

Grössen mit einem <math>'</math> (z.B. <math>\Delta p_1'</math>) beziehen sich auf die erste Stossphase, Grössen mit <math>''</math> beziehen sich auf die zweite Stossphase.

== Aufgabe2 ==
Der Impulsinhalt des ersten Wagens wird

<math>p_1=m_1 v_1=60\cdot 10^3 kg \cdot 5~m/s=3\cdot 10^5~Ns</math>,

und da der zweite Wagen stillsteht wird <math>p_2=0</math>.

Beide Wagen zusammen speichern den Impuls

<math>p_{ges}=p_1+p_2=3\cdot 10^5 Ns + 0 = 3\cdot 10^5 Ns</math>

und haben die Gesamtmasse

<math>m_{ges}=m_1+m_2=100~t</math>.

Die gemeinsame Geschwindigkeit wird

<math>v_g=\frac{p_{ges}}{m_{ges}}=\frac{3\cdot 10^5 Ns}{100\cdot 10^3 kg}=3~m/s</math>.

== Aufgabe 3 ==
In der ersten Stossphase gibt Wagen ein den Impuls

<math>\Delta p\prime=I_{p,max}\Delta t'</math>

an den zweiten Wagen ab. Aus dem Flüssigkeitsbild ergibt sich für

<math>\Delta p\prime=\Delta v\cdot m_1=(v_1-v_g)m_1</math>.

Setzt man diese beiden Gleichungen einander gleich, ergibt sich für

<math>\Delta t'=\frac{(v_1-v_g)m_1}{I_{p,max}}=\frac{2~m\cdot 6\cdot 10^4 kg~s^2}{s~12\cdot 10^5 kg~m}=0.1~s</math>.

== Aufgabe 4 ==
Aus

<math>I_{p,max}=F=m\cdot a</math>

folgt

<math>a_1=\frac{I_{p,max}}{m_1}=\frac{12\cdot 10^5~N}{60\cdot 10^3~kg}=20~m/s^2</math> (Wagen wird abgebremst, also ist <math>a_1</math> eigentlich negativ da <math>I_{p,max}</math> in die negative Bezugsrichtung fliesst),

und analog dazu wird <math>a_2=30~m/s^2</math>.

== Aufgabe 5 ==
In der zweiten Stossphase gibt Wagen 1 den Impuls

<math>\Delta p''=1/2\cdot I_{p,max}\cdot \Delta t'=0.5\cdot 1200~kN\cdot 0.1~s=60~kNs</math>

ab. Der erste Wagen enthält daher noch

<math>p_1''=p_1-\Delta p_1'-\Delta p_1''=3\cdot 10^5~Ns-1.2\cdot 10^5~Ns-0.6\cdot 10^5~Ns=1.2\cdot 10^5~Ns</math>.

Daraus folgt

<math>v_1''=\frac{p_1''}{m_1}=\frac{1.2\cdot 10^5~Ns}{6\cdot 10^4~kg}=2~m/s</math>.

Analog dazu wird

<math>p_2''=0+\Delta p_1'+\Delta p_1''=1.8\cdot 10^5~Ns</math>

und

<math>v_2''=p_2''/m_2=4.5~m/s</math>.

== Aufgabe 6 ==
Aus <math>s=\frac{a}{2}t^2</math> kann der Maximalhub eines Puffers berechnet werden. Zu beachten ist der Wert für <math>a</math>: <math>a_1, a_2</math> sind auf einen externen Beobachter bezogen, und zur Berechnung des Maximalhubs ist die relative Beschleunigung zwischen den Wagen ausschlaggebend. Daher wird <math>a=a_1+a_2</math>, und der Maximalhub ''eines'' Puffers

<math>s=\frac{1}{2} \frac{a_1+a_2}{2}\Delta t'^2=\frac{1}{2} \frac{(20+30)m}{s~2} 0.1^2 s^2=0.125~m</math>.

== Aufgabe 7 ==
Zur Abschätzung des Hubes beim Ausfahren der Puffer hilft das <math>v(t)</math> Diagramm.

[[v-t-Diagramm.png]]

Die Geschwindigkeiten <math>v_g, v_1'', v_2''</math> sind bekannt. Der Verlauf der Geschwindigkeiten in der zweiten Stossphase werden nicht linear sein, sondern quadratisch. Die Fläche unter der <math>v(t)</math> Kurve entspricht dem Hub. Nähert man die Fläche mit zwei Dreiecken an, ergibt sich für den Hub beim Ausfahren ''eines'' Puffers

<math>s=\frac{1}{2}\left [\frac{1}{2}\Delta t''\cdot (v_2''-v_g) + \frac{1}{2}\Delta t''\cdot (v_g-v_1'')\right ]=\frac{1}{4}\cdot 0.1\cdot(1.5+2)=0.0875~m</math>.

Die exakte Lösung <math>(s=0.083~m)</math> kann z.B. mit [[diesem Berkeley-Madonna Modell]] berechnet werden.

== Aufgabe 8 ==
In der ersten Stossphase nehmen die Puffer

<math>W_{ges}=P(F)\cdot \Delta t'</math>

auf. Mit

<math>P(F)=I_p\cdot \Delta v</math>

folgt

<math>W_{ges}=I_{p,max}\cdot \Delta v \cdot \Delta t'</math>.

Nachdem sich <math>\Delta v</math> während des Stosses ändert, muss die mittlere Geschwindigkeitsdifferenz verwendet werden:

<math>\Delta \bar{v}=\frac{\Delta v_{Anfang}+\Delta v_{Ende}}{2}=\frac{(v_1-v_2)+0}{2}=\frac{5}{2}~\frac{m}{s}</math>.

Daraus folgt für die Energieaufnahme ''eines'' Puffers

<math>W'=\frac{1}{4}W_{ges}=\frac{1}{4}12\cdot 10^5~N\cdot2.5~\frac{m}{s}\cdot 0.1~s=75~kJ</math>.

In der zweiten Stossphase ändert sich auch der Impulsstrom, und die von einem Puffer abgegebene Energie wird

<math>W''=\frac{1}{4}\bar{I_p}\cdot \Delta \bar{v}\cdot \Delta t'=</math>.

Mit

<math>\Delta \bar{v}=\frac{0+(v_2''-v_1'')}{2}=\frac{4.5-2}{2}\frac{m}{s}=1.25~m/s</math>

und

<math>\bar{I_p}=\frac{1}{2}I_{p,max}</math>

folgt

<math>W''=\frac{1}{4}\frac{12\cdot 10^5~N}{2}\cdot 1.25 \frac{m}{s}\cdot 0.1~s=18.75~kJ</math>.

'''[[Impuls und Flüssigkeitsbild|Aufgabe]]'''

Datei:V-t Diagramm.png

2014-11-03T09:49:46Z

KP14: v(t) Diagramm zur Aufgabe Impuls und Flüssigkeitsbild

v(t) Diagramm zur Aufgabe Impuls und Flüssigkeitsbild

Lösung zu Impuls und Flüssigkeitsbild

2014-11-03T09:49:04Z

KP14:

== Aufgabe 1 ==
[[Ip_vs_t_-_Fluessigkeitsbild.png]]

Grössen mit einem <math>'</math> (z.B. <math>\Delta p_1'</math>) beziehen sich auf die erste Stossphase, Grössen mit <math>''</math> beziehen sich auf die zweite Stossphase.

== Aufgabe2 ==
Der Impulsinhalt des ersten Wagens wird

<math>p_1=m_1 v_1=60\cdot 10^3 kg \cdot 5~m/s=3\cdot 10^5~Ns</math>,

und da der zweite Wagen stillsteht wird <math>p_2=0</math>.

Beide Wagen zusammen speichern den Impuls

<math>p_{ges}=p_1+p_2=3\cdot 10^5 Ns + 0 = 3\cdot 10^5 Ns</math>

und haben die Gesamtmasse

<math>m_{ges}=m_1+m_2=100~t</math>.

Die gemeinsame Geschwindigkeit wird

<math>v_g=\frac{p_{ges}}{m_{ges}}=\frac{3\cdot 10^5 Ns}{100\cdot 10^3 kg}=3~m/s</math>.

== Aufgabe 3 ==
In der ersten Stossphase gibt Wagen ein den Impuls

<math>\Delta p\prime=I_{p,max}\Delta t'</math>

an den zweiten Wagen ab. Aus dem Flüssigkeitsbild ergibt sich für

<math>\Delta p\prime=\Delta v\cdot m_1=(v_1-v_g)m_1</math>.

Setzt man diese beiden Gleichungen einander gleich, ergibt sich für

<math>\Delta t'=\frac{(v_1-v_g)m_1}{I_{p,max}}=\frac{2~m\cdot 6\cdot 10^4 kg~s^2}{s~12\cdot 10^5 kg~m}=0.1~s</math>.

== Aufgabe 4 ==
Aus

<math>I_{p,max}=F=m\cdot a</math>

folgt

<math>a_1=\frac{I_{p,max}}{m_1}=\frac{12\cdot 10^5~N}{60\cdot 10^3~kg}=20~m/s^2</math> (Wagen wird abgebremst, also ist <math>a_1</math> eigentlich negativ da <math>I_{p,max}</math> in die negative Bezugsrichtung fliesst),

und analog dazu wird <math>a_2=30~m/s^2</math>.

== Aufgabe 5 ==
In der zweiten Stossphase gibt Wagen 1 den Impuls

<math>\Delta p''=1/2\cdot I_{p,max}\cdot \Delta t'=0.5\cdot 1200~kN\cdot 0.1~s=60~kNs</math>

ab. Der erste Wagen enthält daher noch

<math>p_1''=p_1-\Delta p_1'-\Delta p_1''=3\cdot 10^5~Ns-1.2\cdot 10^5~Ns-0.6\cdot 10^5~Ns=1.2\cdot 10^5~Ns</math>.

Daraus folgt

<math>v_1''=\frac{p_1''}{m_1}=\frac{1.2\cdot 10^5~Ns}{6\cdot 10^4~kg}=2~m/s</math>.

Analog dazu wird

<math>p_2''=0+\Delta p_1'+\Delta p_1''=1.8\cdot 10^5~Ns</math>

und

<math>v_2''=p_2''/m_2=4.5~m/s</math>.

== Aufgabe 6 ==
Aus <math>s=\frac{a}{2}t^2</math> kann der Maximalhub eines Puffers berechnet werden. Zu beachten ist der Wert für <math>a</math>: <math>a_1, a_2</math> sind auf einen externen Beobachter bezogen, und zur Berechnung des Maximalhubs ist die relative Beschleunigung zwischen den Wagen ausschlaggebend. Daher wird <math>a=a_1+a_2</math>, und der Maximalhub ''eines'' Puffers

<math>s=\frac{1}{2} \frac{a_1+a_2}{2}\Delta t'^2=\frac{1}{2} \frac{(20+30)m}{s~2} 0.1^2 s^2=0.125~m</math>.

== Aufgabe 7 ==
Zur Abschätzung des Hubes beim Ausfahren der Puffer hilft das <math>v(t)</math> Diagramm.

[[v-t-Diagramm.png]]

Die Geschwindigkeiten <math>v_g, v_1'', v_2''</math> sind bekannt. Der Verlauf der Geschwindigkeiten in der zweiten Stossphase werden nicht linear sein, sondern quadratisch. Die Fläche unter der <math>v(t)</math> Kurve entspricht dem Hub. Nähert man die Fläche mit zwei Dreiecken an, ergibt sich für den Hub beim Ausfahren ''eines'' Puffers

<math>s=\frac{1}{2}\left [\frac{1}{2}\Delta t''\cdot (V_2''-v_g) + \frac{1}{2}\Delta t''\cdot (V_g-v_1'')\right ]=\frac{1}{4}\cdot 0.1\cdot(1.5+2)=0.0875~m</math>.

Die exakte Lösung <math>(s=0.083~m)</math> kann z.B. mit [[diesem Berkeley-Madonna Modell]] berechnet werden.

== Aufgabe 8 ==
In der ersten Stossphase nehmen die Puffer

<math>W_{ges}=P(F)\cdot \Delta t'</math>

auf. Mit

<math>P(F)=I_p\cdot \Delta v</math>

folgt

<math>W_{ges}=I_{p,max}\cdot \Delta v \cdot \Delta t'</math>.

Nachdem sich <math>\Delta v</math> während des Stosses ändert, muss die mittlere Geschwindigkeitsdifferenz verwendet werden:

<math>\Delta \bar{v}=\frac{\Delta v_{Anfang}+\Delta v_{Ende}}{2}=\frac{(v_1-v_2)+0}{2}=\frac{5}{2}~\frac{m}{s}</math>.

Daraus folgt für die Energieaufnahme ''eines'' Puffers

<math>W'=\frac{1}{4}W_{ges}=\frac{1}{4}12\cdot 10^5~N\cdot2.5~\frac{m}{s}\cdot 0.1~s=75~kJ</math>.

In der zweiten Stossphase ändert sich auch der Impulsstrom, und die von einem Puffer abgegebene Energie wird

<math>W''=\frac{1}{4}\bar{I_p}\cdot \Delta \bar{v}\cdot \Delta t'=</math>.

Mit

<math>\Delta \bar{v}=\frac{0+(v_2''-v_1'')}{2}=\frac{4.5-2}{2}\frac{m}{s}=1.25~m/s</math>

und

<math>\bar{I_p}=\frac{1}{2}I_{p,max}</math>

folgt

<math>W''=\frac{1}{4}\frac{12\cdot 10^5~N}{2}\cdot 1.25 \frac{m}{s}\cdot 0.1~s=18.75~kJ</math>.

'''[[Impuls und Flüssigkeitsbild|Aufgabe]]'''

Lösung zu Impuls und Flüssigkeitsbild

2014-11-03T09:35:49Z

KP14:

== Aufgabe 1 ==
[[Ip_vs_t_-_Fluessigkeitsbild.png]]

Grössen mit einem <math>'</math> (z.B. <math>\Delta p'</math>) beziehen sich auf die erste Stossphase, Grössen mit <math>''</math> beziehen sich auf die zweite Stossphase.

== Aufgabe2 ==
Der Impulsinhalt des ersten Wagens wird

<math>p_1=m_1 v_1=60\cdot 10^3 kg \cdot 5~m/s=3\cdot 10^5~Ns</math>,

und da der zweite Wagen stillsteht wird <math>p_2=0</math>.

Beide Wagen zusammen speichern den Impuls

<math>p_{ges}=p_1+p_2=3\cdot 10^5 Ns + 0 = 3\cdot 10^5 Ns</math>

und haben die Gesamtmasse

<math>m_{ges}=m_1+m_2=100~t</math>.

Die gemeinsame Geschwindigkeit wird

<math>v_g=\frac{p_{ges}}{m_{ges}}=\frac{3\cdot 10^5 Ns}{100\cdot 10^3 kg}=3~m/s</math>.

== Aufgabe 3 ==
In der ersten Stossphase gibt Wagen ein den Impuls

<math>\Delta p\prime=I_{p,max}\Delta t'</math>

an den zweiten Wagen ab. Aus dem Flüssigkeitsbild ergibt sich für

<math>\Delta p\prime=\Delta v\cdot m_1=(v_1-v_g)m_1</math>.

Setzt man diese beiden Gleichungen einander gleich, ergibt sich für

<math>\Delta t'=\frac{(v_1-v_g)m_1}{I_{p,max}}=\frac{2~m\cdot 6\cdot 10^4 kg~s^2}{s~12\cdot 10^5 kg~m}=0.1~s</math>.

== Aufgabe 4 ==
Aus

<math>I_{p,max}=F=m\cdot a</math>

folgt

<math>a_1=\frac{I_{p,max}}{m_1}=\frac{12\cdot 10^5~N}{60\cdot 10^3~kg}=20~m/s^2</math> (Wagen wird abgebremst, also ist <math>a_1</math> eigentlich negativ da <math>I_{p,max}</math> in die negative Bezugsrichtung fliesst),

und analog dazu wird <math>a_2=30~m/s^2</math>.

== Aufgabe 5 ==
In der zweiten Stossphase gibt Wagen 1 den Impuls

<math>\Delta p''=1/2\cdot I_{p,max}\cdot \Delta t'=0.5\cdot 1200~kN\cdot 0.1~s=60~kNs</math>

ab. Der erste Wagen enthält daher noch

<math>p_1''=p_1-\Delta p_1'-\Delta p_1''=3\cdot 10^5~Ns-1.2\cdot 10^5~Ns-0.6\cdot 10^5~Ns=1.2\cdot 10^5~Ns</math>.

Daraus folgt

<math>v_1''=\frac{p_1''}{m_1}=\frac{1.2\cdot 10^5~Ns}{6\cdot 10^4~kg}=2~m/s</math>.

Analog dazu wird

<math>p_2''=0+\Delta p_1'+\Delta p_1''=1.8\cdot 10^5~Ns</math>

und

<math>v_2''=p_2''/m_2=4.5~m/s</math>.

== Aufgabe 6 ==
Aus <math>s=\frac{a}{2}t^2</math> kann der Maximalhub eines Puffers berechnet werden. Zu beachten ist der Wert für <math>a</math>: <math>a_1, a_2</math> sind auf einen externen Beobachter bezogen, und zur Berechnung des Maximalhubs ist die relative Beschleunigung zwischen den Wagen ausschlaggebend. Daher wird <math>a=a_1+a_2</math>, und der Maximalhub ''eines'' Puffers

<math>s=\frac{1}{2} \frac{a_1+a_2}{2}\Delta t'^2=\frac{1}{2} \frac{(20+30)m}{s~2} 0.1^2 s^2=0.125~m</math>.

== Aufgabe 7 ==
Zur Abschätzung des Hubes beim Ausfahren der Puffer hilft das v(t) Diagramm. Die Geschwindigkeiten <math>v_g, V_1'', v_2''</math> sind bekannt. Der Verlauf der Geschwindigkeiten in der zweiten Stossphase werden nicht linear sein, sondern quadratisch. Die Fläche unter der <math>v(t)</math> Kurve entspricht dem Hub. Nähert man die Fläche mit zwei Dreiecken an, ergibt sich für den Hub beim Ausfahren ''eines'' Puffers

<math>s=\frac{1}{2}\[\frac{1}{2}\Delta t''\cdot (V_2''-v_g) + \frac{1}{2}\Delta t''\cdot (V_g-v_1'')\]=\frac{1}{4}\cdot 0.1\cdot(1.5+2)=0.0875~m</math>.

Die exakte Lösung <math>(s=~m)</math> kann z.B. mit [[diesem Berkeley-Madonna Modell]] berechnet werden.

== Aufgabe 8 ==
In der ersten Stossphase nehmen die Puffer

<math>W_{ges}=P(F)\cdot \Delta t'</math>

auf. Mit

<math>P(F)=I_p\cdot \Delta v</math>

folgt

<math>W_{ges}=I_{p,max}\cdot \Delta v \cdot \Delta t'</math>.

Nachdem sich <math>\Delta v</math> während des Stosses ändert, muss die mittlere Geschwindigkeitsdifferenz verwendet werden:

<math>\Delta \bar{v}=\frac{\Delta v_{Anfang}+\Delta v_{Ende}}{2}=\frac{(v_1-v_2)+0}{2}=\frac{5}{2}~\frac{m}{s}</math>.

Daraus folgt für die Energieaufnahme ''eines'' Puffers

<math>W'=\frac{1}{4}W_{ges}=\frac{1}{4}12\cdot 10^5~N\cdot2.5~\frac{m}{s}\cdot 0.1~s=75~kJ</math>.

In der zweiten Stossphase ändert sich auch der Impulsstrom, und die von einem Puffer abgegebene Energie wird

<math>W''=\frac{1}{4}\bar{I_p}\cdot \Delta \bar{v}\cdot \Delta t'=</math>.

Mit

<math>\Delta \bar{v}=\frac{0+(v_2''-v_1'')}{2}=\frac{4.5-2}{2}\frac{m}{s}=1.25~m/s</math>

und

<math>\bar{I_p}=\frac{1}{2}I_{p,max}</math>

folgt

<math>W''=\frac{1}{4}\frac{12\cdot 10^5~N}{2}\cdot 1.25 \frac{m}{s}\cdot 0.1~s=18.75~kJ</math>.

'''[[Impuls und Flüssigkeitsbild|Aufgabe]]'''

Datei:Ip vs t - Flüssigkeitsbild.png

2014-11-03T09:21:52Z

KP14: KP14 lud eine neue Version von «Datei:Ip vs t - Flüssigkeitsbild.png» hoch

Ip(t) und Flüssigkeitsbild für Aufgabe "Impuls und Flüssigkeitsbild"

Lösung zu Impuls und Flüssigkeitsbild

2014-11-03T08:56:45Z

KP14:

== Aufgabe 1 ==
[[Ip_vs_t_-_Flüssigkeitsbild.png]]

Grössen mit einem <math>'</math> (z.B. <math>\Delta p'</math>) beziehen sich auf die erste Stossphase, Grössen mit <math>''</math> beziehen sich auf die zweite Stossphase.

== Aufgabe2 ==
Der Impulsinhalt des ersten Wagens wird

<math>p_1=m_1 v_1=60\cdot 10^3 kg \cdot 5~m/s=3\cdot 10^5~Ns</math>,

und da der zweite Wagen stillsteht wird <math>p_2=0</math>.

Beide Wagen zusammen speichern den Impuls

<math>p_{ges}=p_1+p_2=3\cdot 10^5 Ns + 0 = 3\cdot 10^5 Ns</math>

und haben die Gesamtmasse

<math>m_{ges}=m_1+m_2=100~t</math>.

Die gemeinsame Geschwindigkeit wird

<math>v_g=\frac{p_{ges}}{m_{ges}}=\frac{3\cdot 10^5 Ns}{100\cdot 10^3 kg}=3~m/s</math>.

== Aufgabe 3 ==
In der ersten Stossphase gibt Wagen ein den Impuls

<math>\Delta p\prime=I_{p,max}\Delta t'</math>

an den zweiten Wagen ab. Aus dem Flüssigkeitsbild ergibt sich für

<math>\Delta p\prime=\Delta v\cdot m_1=(v_1-v_g)m_1</math>.

Setzt man diese beiden Gleichungen einander gleich, ergibt sich für

<math>\Delta t'=\frac{(v_1-v_g)m_1}{I_{p,max}}=\frac{2~m\cdot 6\cdot 10^4 kg~s^2}{s~12\cdot 10^5 kg~m}=0.1~s</math>.

== Aufgabe 4 ==
Aus

<math>I_{p,max}=F=m\cdot a</math>

folgt

<math>a_1=\frac{I_{p,max}}{m_1}=\frac{12\cdot 10^5~N}{60\cdot 10^3~kg}=20~m/s^2</math> (Wagen wird abgebremst, also ist <math>a_1</math> eigentlich negativ da <math>I_{p,max}</math> in die negative Bezugsrichtung fliesst),

und analog dazu wird <math>a_2=30~m/s^2</math>.

== Aufgabe 5 ==
In der zweiten Stossphase gibt Wagen 1 den Impuls

<math>\Delta p''=1/2\cdot I_{p,max}\cdot \Delta t'=0.5\cdot 1200~kN\cdot 0.1~s=60~kNs</math>

ab. Der erste Wagen enthält daher noch

<math>p_1''=p_1-\Delta p_1'-\Delta p_1''=3\cdot 10^5~Ns-1.2\cdot 10^5~Ns-0.6\cdot 10^5~Ns=1.2\cdot 10^5~Ns</math>.

Daraus folgt

<math>v_1''=\frac{p_1''}{m_1}=\frac{1.2\cdot 10^5~Ns}{6\cdot 10^4~kg}=2~m/s</math>.

Analog dazu wird

<math>p_2''=0+\Delta p_1'+\Delta p_1''=1.8\cdot 10^5~Ns</math>

und

<math>v_2''=p_2''/m_2=4.5~m/s</math>.

== Aufgabe 6 ==
Aus <math>s=\frac{a}{2}t^2</math> kann der Maximalhub eines Puffers berechnet werden. Zu beachten ist der Wert für <math>a</math>: <math>a_1, a_2</math> sind auf einen externen Beobachter bezogen, und zur Berechnung des Maximalhubs ist die relative Beschleunigung zwischen den Wagen ausschlaggebend. Daher wird <math>a=a_1+a_2</math>, und der Maximalhub ''eines'' Puffers

<math>s=\frac{1}{2} \frac{a_1+a_2}{2}\Delta t'^2=\frac{1}{2} \frac{(20+30)m}{s~2} 0.1^2 s^2=0.125~m</math>.

== Aufgabe 7 ==
[ToDo]

== Aufgabe 8 ==
In der ersten Stossphase nehmen die Puffer

<math>W_{ges}=P(F)\cdot \Delta t'</math>

auf. Mit

<math>P(F)=I_p\cdot \Delta v</math>

folgt

<math>W_{ges}=I_{p,max}\cdot \Delta v \cdot \Delta t'</math>.

Nachdem sich <math>\Delta v</math> während des Stosses ändert, muss die mittlere Geschwindigkeitsdifferenz verwendet werden:

<math>\Delta \bar{v}=\frac{\Delta v_{Anfang}+\Delta v_{Ende}}{2}=\frac{(v_1-v_2)+0}{2}=\frac{5}{2}~\frac{m}{s}</math>.

Daraus folgt für die Energieaufnahme ''eines'' Puffers

<math>W'=\frac{1}{4}W_{ges}=\frac{1}{4}12\cdot 10^5~N\cdot2.5~\frac{m}{s}\cdot 0.1~s=75~kJ</math>.

In der zweiten Stossphase ändert sich auch der Impulsstrom, und die von einem Puffer abgegebene Energie wird

<math>W''=\frac{1}{4}\bar{I_p}\cdot \Delta \bar{v}\cdot \Delta t'=</math>.

Mit

<math>\Delta \bar{v}=\frac{0+(v_2''-v_1'')}{2}=\frac{4.5-2}{2}\frac{m}{s}=1.25~m/s</math>

und

<math>\bar{I_p}=\frac{1}{2}I_{p,max}</math>

folgt

<math>W''=\frac{1}{4}\frac{12\cdot 10^5~N}{2}\cdot 1.25 \frac{m}{s}\cdot 0.1~s=18.75~kJ</math>.

'''[[Impuls und Flüssigkeitsbild|Aufgabe]]'''

Datei:Ip vs t - Flüssigkeitsbild.png

2014-11-03T08:54:46Z

KP14: Ip(t) und Flüssigkeitsbild für Aufgabe "Impuls und Flüssigkeitsbild"

Ip(t) und Flüssigkeitsbild für Aufgabe "Impuls und Flüssigkeitsbild"

Lösung zu Impuls und Flüssigkeitsbild

2014-10-31T14:32:07Z

KP14:

== Aufgabe 1 ==
Siehe Bild [ToDo]
Grössen mit einem <math>'</math> (z.B. <math>\Delta p'</math>) beziehen sich auf die erste Stossphase, Grössen mit <math>''</math> beziehen sich auf die zweite Stossphase.

== Aufgabe2 ==
Der Impulsinhalt des ersten Wagens wird

<math>p_1=m_1 v_1=60\cdot 10^3 kg \cdot 5~m/s=3\cdot 10^5~Ns</math>,

und da der zweite Wagen stillsteht wird <math>p_2=0</math>.

Beide Wagen zusammen speichern den Impuls

<math>p_{ges}=p_1+p_2=3\cdot 10^5 Ns + 0 = 3\cdot 10^5 Ns</math>

und haben die Gesamtmasse

<math>m_{ges}=m_1+m_2=100~t</math>.

Die gemeinsame Geschwindigkeit wird

<math>v_g=\frac{p_{ges}}{m_{ges}}=\frac{3\cdot 10^5 Ns}{100\cdot 10^3 kg}=3~m/s</math>.

== Aufgabe 3 ==
In der ersten Stossphase gibt Wagen ein den Impuls

<math>\Delta p\prime=I_{p,max}\Delta t'</math>

an den zweiten Wagen ab. Aus dem Flüssigkeitsbild ergibt sich für

<math>\Delta p\prime=\Delta v\cdot m_1=(v_1-v_g)m_1</math>.

Setzt man diese beiden Gleichungen einander gleich, ergibt sich für

<math>\Delta t'=\frac{(v_1-v_g)m_1}{I_{p,max}}=\frac{2~m\cdot 6\cdot 10^4 kg~s^2}{s~12\cdot 10^5 kg~m}=0.1~s</math>.

== Aufgabe 4 ==
Aus

<math>I_{p,max}=F=m\cdot a</math>

folgt

<math>a_1=\frac{I_{p,max}}{m_1}=\frac{12\cdot 10^5~N}{60\cdot 10^3~kg}=20~m/s^2</math> (Wagen wird abgebremst, also ist <math>a_1</math> eigentlich negativ da <math>I_{p,max}</math> in die negative Bezugsrichtung fliesst),

und analog dazu wird <math>a_2=30~m/s^2</math>.

== Aufgabe 5 ==
In der zweiten Stossphase gibt Wagen 1 den Impuls

<math>\Delta p''=1/2\cdot I_{p,max}\cdot \Delta t'=0.5\cdot 1200~kN\cdot 0.1~s=60~kNs</math>

ab. Der erste Wagen enthält daher noch

<math>p_1''=p_1-\Delta p_1'-\Delta p_1''=3\cdot 10^5~Ns-1.2\cdot 10^5~Ns-0.6\cdot 10^5~Ns=1.2\cdot 10^5~Ns</math>.

Daraus folgt

<math>v_1''=\frac{p_1''}{m_1}=\frac{1.2\cdot 10^5~Ns}{6\cdot 10^4~kg}=2~m/s</math>.

Analog dazu wird

<math>p_2''=0+\Delta p_1'+\Delta p_1''=1.8\cdot 10^5~Ns</math>

und

<math>v_2''=p_2''/m_2=4.5~m/s</math>.

== Aufgabe 6 ==
Aus <math>s=\frac{a}{2}t^2</math> kann der Maximalhub eines Puffers berechnet werden. Zu beachten ist der Wert für <math>a</math>: <math>a_1, a_2</math> sind auf einen externen Beobachter bezogen, und zur Berechnung des Maximalhubs ist die relative Beschleunigung zwischen den Wagen ausschlaggebend. Daher wird <math>a=a_1+a_2</math>, und der Maximalhub ''eines'' Puffers

<math>s=\frac{1}{2} \frac{a_1+a_2}{2}\Delta t'^2=\frac{1}{2} \frac{(20+30)m}{s~2} 0.1^2 s^2=0.125~m</math>.

== Aufgabe 7 ==
[ToDo]

== Aufgabe 8 ==
In der ersten Stossphase nehmen die Puffer

<math>W_{ges}=P(F)\cdot \Delta t'</math>

auf. Mit

<math>P(F)=I_p\cdot \Delta v</math>

folgt

<math>W_{ges}=I_{p,max}\cdot \Delta v \cdot \Delta t'</math>.

Nachdem sich <math>\Delta v</math> während des Stosses ändert, muss die mittlere Geschwindigkeitsdifferenz verwendet werden:

<math>\Delta \bar{v}=\frac{\Delta v_{Anfang}+\Delta v_{Ende}}{2}=\frac{(v_1-v_2)+0}{2}=\frac{5}{2}~\frac{m}{s}</math>.

Daraus folgt für die Energieaufnahme ''eines'' Puffers

<math>W'=\frac{1}{4}W_{ges}=\frac{1}{4}12\cdot 10^5~N\cdot2.5~\frac{m}{s}\cdot 0.1~s=75~kJ</math>.

In der zweiten Stossphase ändert sich auch der Impulsstrom, und die von einem Puffer abgegebene Energie wird

<math>W''=\frac{1}{4}\bar{I_p}\cdot \Delta \bar{v}\cdot \Delta t'=</math>.

Mit

<math>\Delta \bar{v}=\frac{0+(v_2''-v_1'')}{2}=\frac{4.5-2}{2}\frac{m}{s}=1.25~m/s</math>

und

<math>\bar{I_p}=\frac{1}{2}I_{p,max}</math>

folgt

<math>W''=\frac{1}{4}\frac{12\cdot 10^5~N}{2}\cdot 1.25 \frac{m}{s}\cdot 0.1~s=18.75~kJ</math>.

'''[[Impuls und Flüssigkeitsbild|Aufgabe]]'''

Lösung zu Impuls und Flüssigkeitsbild

2014-10-31T13:37:39Z

KP14:

== Aufgabe 1 ==
Siehe Bild [ToDo]
Grössen mit einem <math>'</math> (z.B. <math>\Delta p'</math>) beziehen sich auf die erste Stossphase, Grössen mit <math>''</math> beziehen sich auf die zweite Stossphase.

== Aufgabe2 ==
Der Impulsinhalt des ersten Wagens wird

<math>p_1=m_1 v_1=60\cdot 10^3 kg \cdot 5~m/s=3\cdot 10^5~Ns</math>,

und da der zweite Wagen stillsteht wird <math>p_2=0</math>.

Beide Wagen zusammen speichern den Impuls

<math>p_{ges}=p_1+p_2=3\cdot 10^5 Ns + 0 = 3\cdot 10^5 Ns</math>

und haben die Gesamtmasse

<math>m_{ges}=m_1+m_2=100~t</math>.

Die gemeinsame Geschwindigkeit wird

<math>v_g=\frac{p_{ges}}{m_{ges}}=\frac{3\cdot 10^5 Ns}{100\cdot 10^3 kg}=3~m/s</math>.

== Aufgabe 3 ==
In der ersten Stossphase gibt Wagen ein den Impuls

<math>\Delta p\prime=I_{p,max}\Delta t'</math>

an den zweiten Wagen ab. Aus dem Flüssigkeitsbild ergibt sich für

<math>\Delta p\prime=\Delta v\cdot m_1=(v_1-v_g)m_1</math>.

Setzt man diese beiden Gleichungen einander gleich, ergibt sich für

<math>\Delta t'=\frac{(v_1-v_g)m_1}{I_{p,max}}=\frac{2~m\cdot 6\cdot 10^4 kg~s^2}{s~12\cdot 10^5 kg~m}=0.1~s</math>.

== Aufgabe 4 ==
Aus

<math>I_{p,max}=F=m\cdot a</math>

folgt

<math>a_1=\frac{I_{p,max}}{m_1}=\frac{12\cdot 10^5~N}{60\cdot 10^3~kg}=20~m/s^2</math> (Wagen wird abgebremst, also ist <math>a_1</math> eigentlich negativ da <math>I_{p,max}</math> in die negative Bezugsrichtung fliesst),

und analog dazu wird <math>a_2=30~m/s^2</math>.

== Aufgabe 5 ==
In der zweiten Stossphase gibt Wagen 1 den Impuls

<math>\Delta p''=1/2\cdot I_{p,max}\cdot \Delta t'=0.5\cdot 1200~kN\cdot 0.1~s=60~kNs</math>

ab. Der erste Wagen enthält daher noch

<math>p_1''=p_1-\Delta p_1'-\Delta p_1''=3\cdot 10^5~Ns-1.2\cdot 10^5~Ns-0.6\cdot 10^5~Ns=1.2\cdot 10^5~Ns</math>.

Daraus folgt

<math>v_1''=\frac{p_1''}{m_1}=\frac{1.2\cdot 10^5~Ns}{6\cdot 10^4~kg}=2~m/s</math>.

Analog dazu wird

<math>p_2''=0+\Delta p_1'+\Delta p_1''=1.8\cdot 10^5~Ns</math>

und

<math>v_2''=p_2''/m_2=4.5~m/s</math>.

== Aufgabe 6 ==
Aus <math>s=\frac{a}{2}t^2</math> kann der Maximalhub eines Puffers berechnet werden. Zu beachten ist der Wert für <math>a</math>: <math>a_1, a_2</math> sind auf einen externen Beobachter bezogen, und zur Berechnung des Maximalhubs ist die relative Beschleunigung zwischen den Wagen ausschlaggebend. Daher wird <math>a=a_1+a_2</math>, und der Maximalhub ''eines'' Puffers

<math>s=\frac{1}{2} \frac{a_1+a_2}{2}\Delta t'^2=\frac{1}{2} \frac{(20+30)m}{s~2} 0.1^2 s^2=0.125~m</math>.

== Aufgabe 7 ==
[ToDo]

== Aufgabe 8 ==
In der ersten Stossphase nehmen die Puffer

<math>W_{ges}=P(F)\cdot \Delta t'</math>

auf. Mit

<math>P(F)=I_p\cdot \Delta v</math>

folgt

<math>W_{ges}=I_{p,max}\cdot \Delta v \cdot \Delta t'</math>.

Nachdem sich <math>\Delta v</math> während des Stosses ändert, muss die mittlere Geschwindigkeitsdifferenz verwendet werden:

<math>\Delta \bar{v}=\frac{v_{Anfang}+\Delta v_{Ende}}{2}=\frac{(v_1-v_2)+0}{2}=\frac{5}{2}~\frac{m}{s}</math>.

Daraus folgt für die Energieaufnahme ''eines'' Puffers

<math>W'=\frac{1}{4}W_{ges}=\frac{1}{4}12\cdot 10^5~N\cdot2.5~\frac{m}{s}\cdot 0.1~s=75~kJ</math>.

In der zweiten Stossphase ändert sich auch der Impulsstrom, und die von einem Puffer abgegebene Energie wird

<math>W''=\frac{1}{4}\bar{I_p}\cdot \Delta \bar{v}\cdot \Delta t'=</math>.

Mit

<math>\Delta \bar{v}=\frac{0+(v_2''-v_1'')}{2}=\frac{4.5-2}{2}\frac{m}{s}=1.25~m/s</math>

und

<math>\bar{I_p}=\frac{1}{2}I_{p,max}</math>

folgt

<math>W''=\frac{1}{4}\frac{12\cdot 10^5~N}{2}\cdot 1.25 \frac{m}{s}\cdot 0.1~s=18.75~kJ</math>.

'''[[Impuls und Flüssigkeitsbild|Aufgabe]]'''

Impuls und Flüssigkeitsbild

2014-10-31T12:43:57Z

KP14:

Ein Güterwagen (Masse 60 t) prallt mit einer Geschwindigkeit von 18 km/h gegen einen zweiten Wagen (Masse 40 t), der ungebremst auf der Schiene steht. Die vier am Stoss beteiligten Spezialpuffer lassen beim Einfahren einen konstanten [[Impulsstrom]] von 1200 kN durch. Beim Ausfahren der Puffer fällt die Stärke des Impulsstromes in einer Zehntelsekunde linear von 1200 kN auf 0 hinunter.

#Skizzieren Sie ein Impulsstrom-Zeit-Diagramm und ein [[Flüssigkeitsbild]].
#Welche [[Geschwindigkeit]] haben die Wagen in dem Moment, in dem die Puffer voll eingefahren sind?
#Wie lange dauert das Einfahren der Puffer (erste Stossphase)?
#Wie gross sind die Beschleunigungen der Wagen (ihres Massenmittelpunkts) in der ersten Stossphase?
#Welche Endgeschwindigkeiten erreichen die beiden Wagen?
#Wie gross ist der Maximalhub eines der vier Puffer?
#Schätzen Sie ab um wie viel die Puffer wieder ausfahren bevor sich die beiden Wagen nicht mehr berühren.
#Wie viel [[Energie]] nimmt ein Puffer auf und wie viel gibt er wieder zurück?

'''Hinweis:''' Diese Aufgabe sollten Sie ohne Formelsammlung und ohne Taschenrechner lösen können. Zur Lösung der Aufgaben 6 und 7 sollten Sie ein Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm skizzieren.

'''[[Resultate zu Impuls und Flüssigkeitsbild|Resultate]]'''

'''[[Lösung zu Impuls und Flüssigkeitsbild|Lösung]]'''

'''[http://youtu.be/3yRFD6IuB58 Lösungsvideo]'''

[[Kategorie:Elektro]] [[Kategorie:Aufgaben]] [[Kategorie:TransAuf]] [[Kategorie: UebAV]]

Lösung zu Impuls und Flüssigkeitsbild

2014-10-30T13:14:07Z

KP14:

== Aufgabe 1 ==
Siehe Bild [ToDo]

== Aufgabe2 ==
Der Impulsinhalt des ersten Wagens wird

<math>p_1=m_1 v_1=60\cdot 10^3 kg \cdot 5~m/s=3\cdot 10^5~Ns</math>,

und da der zweite Wagen stillsteht wird <math>p_2=0</math>.

Beide Wagen zusammen speichern den Impuls

<math>p_{ges}=p_1+p_2=3\cdot 10^5 Ns + 0 = 3\cdot 10^5 Ns</math>

und haben die Gesamtmasse

<math>m_{ges}=m_1+m_2=100~t</math>.

Die gemeinsame Geschwindigkeit wird

<math>v_g=\frac{p_{ges}}{m_{ges}}=\frac{3\cdot 10^5 Ns}{100\cdot 10^3 kg}=3~m/s</math>.

== Aufgabe 3 ==
In der ersten Stossphase gibt Wagen ein den Impuls

<math>\Delta p\prime=I_{p,max}\Delta t'</math>

an den zweiten Wagen ab. Aus dem Flüssigkeitsbild ergibt sich für

<math>\Delta p\prime=\Delta v\cdot m_1=(v_1-v_g)m_1</math>.

Setzt man diese beiden Gleichungen einander gleich, ergibt sich für

<math>\Delta t'=\frac{(v_1-v_g)m_1}{I_{p,max}}=\frac{2~m\cdot 6\cdot 10^4 kg~s^2}{s~12\cdot 10^5 kg~m}=0.1~s</math>.

== Aufgabe 4 ==
Aus

<math>I_{p,max}=F=m\cdot a</math>

folgt

<math>a_1=\frac{I_{p,max}}{m_1}=\frac{12\cdot 10^5~N}{60\cdot 10^3~kg}=20~m/s^2</math> (Wagen wird abgebremst, also ist <math>a_1</math> eigentlich negativ da <math>I_{p,max}</math> in die negative Bezugsrichtung fliesst),

und analog dazu wird <math>a_2=30~m/s^2</math>.

== Aufgabe 5 ==
In der zweiten Stossphase gibt Wagen 1 den Impuls

<math>\Delta p''=1/2\cdot I_{p,max}\cdot \Delta t'=0.5\cdot 1200~kN\cdot 0.1~s=60~kNs</math>

ab. Der erste Wagen enthält daher noch

<math>p_1''=p_1-\Delta p_1'-\Delta p_1''=3\cdot 10^5~Ns-1.2\cdot 10^5~Ns-0.6\cdot 10^5~Ns=1.2\cdot 10^5~Ns</math>.

Daraus folgt

<math>v_1''=\frac{p_1''}{m_1}=\frac{1.2\cdot 10^5~Ns}{6\cdot 10^4~kg}=2~m/s</math>.

Analog dazu wird

<math>p_2''=0+\Delta p_1'+\Delta p_1''=1.8\cdot 10^5~Ns</math>

und

<math>v_2''=p_2''/m_2=4.5~m/s</math>.

== Aufgabe 6 ==
Aus <math>s=\frac{a}{2}t^2</math> kann der Maximalhub eines Puffers berechnet werden. Zu beachten ist der Wert für <math>a</math>: <math>a_1, a_2</math> sind auf einen externen Beobachter bezogen, und zur Berechnung des Maximalhubs ist die relative Beschleunigung zwischen den Wagen ausschlaggebend. Daher wird <math>a=a_1+a_2</math>, und der Maximalhub ''eines'' Puffers

<math>s=\frac{1}{2} \frac{a_1+a_2}{2}\Delta t'^2=\frac{1}{2} \frac{(20+30)m}{s~2} 0.1^2 s^2=0.125~m</math>.

== Aufgabe 7 ==
[ToDo]

== Aufgabe 8 ==
In der ersten Stossphase nehmen die Puffer

<math>W_{ges}=P(F)\cdot \Delta t'</math>

auf. Mit

<math>P(F)=I_p\cdot \Delta v</math>

folgt

<math>W_{ges}=I_{p,max}\cdot \Delta v \cdot \Delta t'</math>.

Nachdem sich <math>\Delta v</math> während des Stosses ändert, muss die mittlere Geschwindigkeitsdifferenz verwendet werden:

<math>\Delta \bar{v}=\frac{v_{Anfang}+\Delta v_{Ende}}{2}=\frac{(v_1-v_2)+0}{2}=\frac{5}{2}~\frac{m}{s}</math>.

Daraus folgt für die Energieaufnahme ''eines'' Puffers

<math>W'=\frac{1}{4}W_{ges}=\frac{1}{4}12\cdot 10^5~N\cdot2.5~\frac{m}{s}\cdot 0.1~s=75~kJ</math>.

In der zweiten Stossphase ändert sich auch der Impulsstrom, und die von einem Puffer abgegebene Energie wird

<math>W''=\frac{1}{4}\bar{I_p}\cdot \Delta \bar{v}\cdot \Delta t'=</math>.

Mit

<math>\Delta \bar{v}=\frac{0+(v_2''-v_1'')}{2}=\frac{4.5-2}{2}\frac{m}{s}=1.25~m/s</math>

und

<math>\bar{I_p}=\frac{1}{2}I_{p,max}</math>

folgt

<math>W''=\frac{1}{4}\frac{12\cdot 10^5~N}{2}\cdot 1.25 \frac{m}{s}\cdot 0.1~s=18.75~kJ</math>.

'''[[Impuls und Flüssigkeitsbild|Aufgabe]]'''

Lösung zu Impuls und Flüssigkeitsbild

2014-10-30T13:09:28Z

KP14:

== Aufgabe 1 ==
Siehe Bild [ToDo]

== Aufgabe2 ==
Der Impulsinhalt des ersten Wagens wird

<math>p_1=m_1 v_1=60\cdot 10^3 kg \cdot 5~m/s=3\cdot 10^5~Ns</math>,

und da der zweite Wagen stillsteht wird <math>p_2=0</math>.

Beide Wagen zusammen speichern den Impuls

<math>p_{ges}=p_1+p_2=3\cdot 10^5 Ns + 0 = 3\cdot 10^5 Ns</math>

und haben die Gesamtmasse

<math>m_{ges}=m_1+m_2=100 t</math>.

Die gemeinsame Geschwindigkeit wird

<math>v_g=\frac{p_{ges}}{m_{ges}}=\frac{3\cdot 10^5 Ns}{100\cdot 10^3 kg}=3 m/s</math>.

== Aufgabe 3 ==
In der ersten Stossphase gibt Wagen ein den Impuls

<math>\Delta p\prime=I_{p,max}\Delta t'</math>

an den zweiten Wagen ab. Aus dem Flüssigkeitsbild ergibt sich für

<math>\Delta p\prime=\Delta v\cdot m_1=(v_1-v_g)m_1</math>.

Setzt man diese beiden Gleichungen einander gleich, ergibt sich für

<math>\Delta t'=\frac{(v_1-v_g)m_1}{I_{p,max}}=\frac{2~m\cdot 6\cdot 10^4 kg~s^2}{s~12\cdot 10^5 kg~m}=0.1~s</math>.

== Aufgabe 4 ==
Aus

<math>I_{p,max}=F=m\cdot a</math>

folgt

<math>a_1=\frac{I_{p,max}}{m_1}=\frac{12\cdot 10^5~N}{60\cdot 10^3~kg}=20~m/s^2</math> (Wagen wird abgebremst, also ist <math>a_1</math> eigentlich negativ da <math>I_{p,max} in die negative Bezugsrichtung fliesst</math>),

und analog dazu wird <math>a_2=30~m/s^2</math>.

== Aufgabe 5 ==
In der zweiten Stossphase gibt Wagen 1 den Impuls

<math>\Delta p''=1/2\cdot I_{p,max}\cdot \Delta t'=0.5\cdot 1200~kN\cdot 0.1~s=60~kNs</math>

ab. Der erste Wagen enthält daher noch

<math>p_1''=p_1-\Delta p_1'-\Delta p_1''=3\cdot 10^5~Ns-1.2\cdot 10^5~Ns-0.6\cdot 10^5~Ns=1.2\cdot 10^5~Ns</math>.

Daraus folgt

<math>v_1''=\frac{p_1''}{m_1}=\frac{1.2\cdot 10^5~Ns}{6\cdot 10^4~kg}=2~m/s</math>.

Analog dazu wird

<math>p_2''=0+\Delta p_1'+\Delta p_1''=1.8\cdot 10^5~Ns</math>

und

<math>v_2''=p_2''/m_2=4.5~m/s</math>.

== Aufgabe 6 ==
Aus <math>s=\frac{a}{2}t^2</math> kann der Maximalhub eines Puffers berechnet werden. Zu beachten ist der Wert für <math>a</math>: <math>a_1, a_2</math> sind auf einen externen Beobachter bezogen, und zur Berechnung des Maximalhubs ist die relative Beschleunigung zwischen den Wagen ausschlaggebend. Daher wird <math>a=a_1+a_2</math>, und der Maximalhub _eines_ Puffers

<math>s=\frac{1}{2} \frac{a_1+a_2}{2}\Delta t'^2=\frac{1}{2} \frac{(20+30)m}{s~2} 0.1^2 s^2=0.125~m</math>.

== Aufgabe 7 ==
[ToDo]

== Aufgabe 8 ==
In der ersten Stossphase nehmen die Puffer

<math>W_{ges}=P(F)\cdot \Delta t'</math>

auf. Mit

<math>P(F)=I_p\cdot \Delta v</math>

folgt

<math>W_{ges}=I_{p,max}\cdot \Delta \bar{v} \cdot \Delta t'</math>.

Nachdem sich <math>\Delta v</math> während des Stosses ändert, muss die mittlere Geschwindigkeitsdifferenz verwendet werden:

<math>\Delta \bar{v}=\frac{v_{Anfang}+\Delta v_{Ende}}{2}=\frac{(v_1-v_2)+0}{2}=\frac{5}{2}~\frac{m}{s}</math>.

Daraus folgt für die Energieaufnahme ''eines'' Puffers

<math>W'=\frac{1}{4}W_{ges}=\frac{1}{4}12\cdot 10^5~N\cdot2.5~\frac{m}{s}\cdot 0.1~s=75~kJ</math>.

In der zweiten Stossphase ändert sich auch der Impulsstrom, und die von einem Puffer abgegebene Energie wird

<math>W''=\frac{1}{4}\bar{I_p}\cdot \Delta \bar{v}\cdot \Delta t'=</math>.

Mit

<math>\Delta \bar{v}=\frac{0+(v_2''-v_1'')}{2}=\frac{4.5-2}{2}\frac{m}{s}=1.25~m/s</math>

und

<math>\bar{I_p}=\frac{1}{2}I_{p,max}</math>

folgt

<math>W''=\frac{1}{4}\frac{12\cdot 10^5~N}{2}\cdot 1.25 \frac{m}{s}\cdot 0.1~s=18.75~kJ</math>.

'''[[Impuls und Flüssigkeitsbild|Aufgabe]]'''

Lösung zu Impuls und Flüssigkeitsbild

2014-10-30T13:08:00Z

KP14:

== Aufgabe 1 ==
Siehe Bild [ToDo]

== Aufgabe2 ==
Der Impulsinhalt des ersten Wagens wird

<math>p_1=m_1 v_1=60\cdot 10^3 kg \cdot 5~m/s=3\cdot 10^5~Ns</math>,

und da der zweite Wagen stillsteht wird <math>p_2=0</math>.

Beide Wagen zusammen speichern den Impuls

<math>p_{ges}=p_1+p_2=3\cdot 10^5 Ns + 0 = 3\cdot 10^5 Ns</math>

und haben die Gesamtmasse

<math>m_{ges}=m_1+m_2=100 t</math>.

Die gemeinsame Geschwindigkeit wird

<math>v_g=\frac{p_{ges}}{m_{ges}}=\frac{3\cdot 10^5 Ns}{100\cdot 10^3 kg}=3 m/s</math>.

== Aufgabe 3 ==
In der ersten Stossphase gibt Wagen ein den Impuls

<math>\Delta p\prime=I_{p,max}\Delta t'</math>

an den zweiten Wagen ab. Aus dem Flüssigkeitsbild ergibt sich für

<math>\Delta p\prime=\Delta v\cdot m_1=(v_1-v_g)m_1</math>.

Setzt man diese beiden Gleichungen einander gleich, ergibt sich für

<math>\Delta t'=\frac{(v_1-v_g)m_1}{I_{p,max}}=\frac{2~m\cdot 6\cdot 10^4 kg~s^2}{s~12\cdot 10^5 kg~m}=0.1~s</math>.

== Aufgabe 4 ==
Aus

<math>I_{p,max}=F=m\cdot a</math>

folgt

<math>a_1=\frac{I_{p,max}}{m_1}=\frac{12\cdot 10^5~N}{60\cdot 10^3~kg}=20~m/s^2</math> (Wagen wird abgebremst, also ist <math>a_1</math> eigentlich negativ da <math>I_{p,max} in die negative Bezugsrichtung fliesst</math>),

und analog dazu wird <math>a_2=30~m/s^2</math>.

== Aufgabe 5 ==
In der zweiten Stossphase gibt Wagen 1 den Impuls

<math>\Delta p''=1/2\cdot I_{p,max}\cdot \Delta t'=0.5\cdot 1200~kN\cdot 0.1~s=60~kNs</math>

ab. Der erste Wagen enthält daher noch

<math>p_1''=p_1-\Delta p_1'-\Delta p_1''=3\cdot 10^5~Ns-1.2\cdot 10^5~Ns-0.6\cdot 10^5~Ns=1.2\cdot 10^5~Ns</math>.

Daraus folgt

<math>v_1''=\frac{p_1''}{m_1}=\frac{1.2\cdot 10^5~Ns}{6\cdot 10^4~kg}=2~m/s</math>.

Analog dazu wird

<math>p_2''=0+\Delta p_1'+\Delta p_1''=1.8\cdot 10^5~Ns</math>

und

<math>v_2''=p_2''/m_2=4.5~m/s</math>.

== Aufgabe 6 ==
Aus <math>s=\frac{a}{2}t^2</math> kann der Maximalhub eines Puffers berechnet werden. Zu beachten ist der Wert für <math>a</math>: <math>a_1, a_2</math> sind auf einen externen Beobachter bezogen, und zur Berechnung des Maximalhubs ist die relative Beschleunigung zwischen den Wagen ausschlaggebend. Daher wird <math>a=a_1+a_2</math>, und der Maximalhub _eines_ Puffers

<math>s=\frac{1}{2} \frac{a_1+a_2}{2}\Delta t'^2=\frac{1}{2} \frac{(20+30)m}{s~2} 0.1^2 s^2=0.125~m</math>.

== Aufgabe 7 ==
[ToDo]

== Aufgabe 8 ==
In der ersten Stossphase nehmen die Puffer

<math>W_{ges}=P(F)\cdot \Delta t'</math>

auf. Mit

<math>P(F)=I_p\cdot \Delta v</math>

folgt

<math>W_{ges}=I_{p,max}\cdot \Delta \bar{v} \cdot \Delta t'</math>.

Nachdem sich <math>\Delta v</math> während des Stosses ändert, muss die mittlere Geschwindigkeitsdifferenz verwendet werden:

<math>\Delta \bar{v}=\frac{v_{Anfang}+\Delta v_{Ende}}{2}=\frac{(v_1-v_2)+0}{2}=\frac{5}{2}~\frac{m}{s}</math>.

Daraus folgt für die Energieaufnahme ''eines'' Puffers

<math>W'=\frac{1}{4}W_{ges}=\frac{1}{4}12\cdot 10^5~N\cdot2.5~\frac{m}{s}\cdot 0.1~s=75~kJ</math>.

In der zweiten Stossphase ändert sich auch der Impulsstrom, und die von einem Puffer abgegebene Energie wird

<math>W''=\frac{1}{4}\bar{I_p}\cdot \Delta \bar{v}\cdot \Delta t'=</math>.

Mit

<math>\Delta \bar{v}=\frac{0+(v_2''-v_1'')}{2}=\frac{4.5-2}{2}\frac{m}{s}=1.25~m/s</math>

und

<math>\bar{I_p}=\frac{1}{2}I_{p,max}</math>

folgt

<math>W''=\frac{1}{4}</math>

'''[[Impuls und Flüssigkeitsbild|Aufgabe]]'''

Lösung zu Impuls und Flüssigkeitsbild

2014-10-30T12:48:11Z

KP14:

Lösung zu Impuls und Flüssigkeitsbild

2014-10-30T12:39:14Z

KP14:

Lösung zu Impuls und Flüssigkeitsbild

2014-10-30T12:38:21Z

KP14:

Lösung zu Impuls und Flüssigkeitsbild

2014-10-30T12:30:17Z

KP14:

Lösung zu Impuls und Flüssigkeitsbild

2014-10-30T12:26:34Z

KP14:

Lösung zu Impuls und Flüssigkeitsbild

2014-10-30T12:13:34Z

KP14:

== Aufgabe 1 ==
Siehe Bild [ToDo]

== Aufgabe2 ==
Der Impulsinhalt des ersten Wagens wird <math>p_1=m_1 v_1=60\cdot 10^3 kg \cdot 5 m/s=3\cdot 10^5 Ns</math>, und da der zweite Wagen stillsteht wird <math>p_2=0</math>.
Beide Wagen zusammen speichern den Impuls <math>p_{ges}=p_1+p_2=3\cdot 10^5 Ns + 0 = 3\cdot 10^5 Ns</math> und haben die Gesamtmasse <math>m_{ges}=m_1+m_2=100 t</math>. Die gemeinsame Geschwindigkeit wird <math>v_g=\frac{p_{ges}}{m_{ges}}=\frac{3\cdot 10^5 Ns}{100\cdot 10^3 kg}=3 m/s</math>

== Aufgasbe 3 ==
In der ersten Stossphase gibt Wagen ein den Impuls <math>\Delta p\prime=I_{p,max}\Delta t'</math> an den zweiten Wagen ab. Aus dem Flüssigkeitsbild ergibt sich für <math>\Delta p\prime=\Delta v\cdot m_1=(v_1-v_g)m_1</math>. Setzt man diese beiden Gleichungen einander gleich, ergibt sich für <math>\Delta t'=\frac{(v_1-v_g)m_1}{I_{p,max}}=\frac{2 m 6\cdot 10^4 kg s^2}{s12\cdot 10^5 kg m}=0.1 s</math>

Lösung zu Impuls und Flüssigkeitsbild

2014-10-30T12:04:36Z

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