SystemPhysik - Benutzerbeiträge [de]

Isentrop

2008-03-16T16:33:06Z

User:

'''Isentrop''' beschreibt die Zustandsänderung eines homogenen Stoffes, bei der die [[Entropie]] konstant bleibt und das [[Volumen]] verändert wird. Die isentrope Zustandsänderung ist somit ein Kompressions- oder Expansionsprozess.

Die isentrope Zustandsänderung des [[ideales Gas|idealen Gases]] wird durch die folgende Gleichung beschrieben

:<math> pV^\kappa</math> = konstant oder <math> p_1 V_1^\kappa = p_2 V_2^\kappa</math>

Die Grösse ''κ'' heisst Isentropen- oder Adiabatenexponent und ist gleich dem Verhältnis der beiden [[Wärmekapazität]]en

:<math> \kappa = \frac {C_p}{C_V} = \frac {\hat c_p}{\hat c_V} = \frac {c_p}{c_V}</math>

Bei isentropen Prozess ist die Arbeit gleich der Änderung der [[innere Energie|inneren Energie]]

:<math> W = \Delta U = C_V \Delta T = n \hat c_V \Delta T = mc_V\Delta T</math>

Die isentrope Zustandsänderung des [[ideales Gas|idealen Gases]] erscheint im ''T-S-''Diagramm als vertikale Linie und im ''p-V-''Diagramm als Graph einer Potenzfunktion

:<math> p = p_0 V_0^\kappa \frac {1}{V^\kappa}</math>

Soll der [[Carnotor]] einen isentropen Prozess ausführen, muss der thermische [[Port]] geschlossen sein. Beim hydraulischen Port kann dann ein beliebiger Volumenstrom zu- oder abfliessen.

[[Kategorie:Thermo]]

Isentrop

2008-03-16T16:32:52Z

User:

'''Isentrop''' beschreibt die Zustandsänderung eines homogenen Stoffes, bei der die [[Entropie]] konstant bleibt und das [[Volumen]] verändert wird. Die isentrope Zustandsänderung ist somit ein Kompressions- oder Expansionsprozess.

Die isentrope Zustandsänderung des [[ideales Gas|idealen Gases]] wird durch die folgende Gleichung beschrieben

:<math> pV^\kappa</math> = konstant oder <math>p_1 V_1^\kappa = p_2 V_2^\kappa</math>

Die Grösse ''κ'' heisst Isentropen- oder Adiabatenexponent und ist gleich dem Verhältnis der beiden [[Wärmekapazität]]en

:<math> \kappa = \frac {C_p}{C_V} = \frac {\hat c_p}{\hat c_V} = \frac {c_p}{c_V}</math>

Bei isentropen Prozess ist die Arbeit gleich der Änderung der [[innere Energie|inneren Energie]]

:<math> W = \Delta U = C_V \Delta T = n \hat c_V \Delta T = mc_V\Delta T</math>

Die isentrope Zustandsänderung des [[ideales Gas|idealen Gases]] erscheint im ''T-S-''Diagramm als vertikale Linie und im ''p-V-''Diagramm als Graph einer Potenzfunktion

:<math> p = p_0 V_0^\kappa \frac {1}{V^\kappa}</math>

Soll der [[Carnotor]] einen isentropen Prozess ausführen, muss der thermische [[Port]] geschlossen sein. Beim hydraulischen Port kann dann ein beliebiger Volumenstrom zu- oder abfliessen.

[[Kategorie:Thermo]]

Isotherm

2008-03-16T16:31:17Z

User:

'''Isotherm''' beschreibt die Zustandsänderung eines homogenen Stoffes, bei der die [[Temperatur]] konstant bleibt und das [[Volumen]] zu- oder abnimmt. Die isotherme Zustandsänderung ist somit ein Kompressions- oder Expansionsprozess.

Die isotherme Zustandsänderung des [[ideales Gas|idealen Gases]] wird durch das Gesetz von Boyle-Mariotte

:<math> pV = nRT</math> = konstant oder <math> p_1 V_1 =p_2 V_2</math>

beschrieben. Bei diesem Prozess ändert sich die Entropie logarithmisch mit der relativen Volumenänderung

:<math> \Delta S = n R \ln \frac {V_2}{V_1}</math>

und die [[innere Energie]] bleibt konstant

Die isotherme Zustandsänderung des [[ideales Gas|idealen Gases]] erscheint im ''T-S-''Diagramm als horizontale Linie und im ''p-V-''Diagramm als Hyperbel.

Soll der [[Carnotor]] einen isothermen Prozess ausführen, muss der thermische [[Port]] offen und mit einem Gefäss konstanten Temperatur (in der Regel mit der Umwelt) verbunden sein. Beim hydraulischen Port kann dann ein beliebiger Volumenstrom zu- oder abfliessen.

[[Kategorie:Thermo]]

Dampfdruck

2008-03-09T07:49:37Z

User: Die Seite wurde neu angelegt: Gibt man Flüssigkeit in eine sonst absolut leere Kammer, verdampft ein Teil der Flüssigkeit, bis sich ein Gleichgewicht einstellt. Diese Gleichgewicht kann mit Hilfe ...

Gibt man Flüssigkeit in eine sonst absolut leere Kammer, verdampft ein Teil der Flüssigkeit, bis sich ein Gleichgewicht einstellt. Diese Gleichgewicht kann mit Hilfe des Drucks oder des chemischen Potenzials beschrieben werden.

[[Kategorie:Thermo]]

Winkelgeschwindigkeit

2007-07-29T11:56:07Z

User:

Unter der Winkelgeschwindigkeit versteht man die Änderungsrate des Drehwinkels. Als Formelzeichen verwendet man den letzten Buchstaben des griechischen Alphabets, das ''ω''. Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist Radiant pro Sekunde oder einfach nur 1/s.

==feste Achse==
Rotiert ein Körper um ein feste Achse, drehen sich alle Linien auf dem Körper in gleichen Zeiten um den gleichen Winkel ''Δ φ''. Die mittlere Winkelgeschwindigkeit auf dem Zeitabschnitt ''Δ t'' ist durch den folgenden Quotienten definiert

:<math>\overline {\omega} = \frac {\varphi_2 - \varphi_1}{t_2 - t_1} = \frac {\Delta \varphi}{\Delta t}</math>

Den Momentanwert der Winkelgeschwindigkeit erhält man durch einen Grenzübergang für ''Δt'' gegen 0

:<math>\omega = \lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta \varphi}{\Delta t}</math>

Die Winkelgeschwindigkeit entspricht der Geschwindigkeit eines Punktes auf dem [[Einheitskreis]]. Die [[Schnelligkeit]] eines Punktes auf dem rotierenden Körper ist gleich Winkelgeschwindigkeit mal Abstand des Punktes von der Drehachse

:<math>v = \omega r</math>

Die Geschwindigkeit steht immer normal zur Drehachse und normal zum Abstandsvektor '''''r'''''.

==starrer Körper==
Enthält der starre Körper keinen [[Impuls]], bleibt der [[Massenmittelpunkt]] an Ort. Die [[momentane Drehachse]], die Gerade, auf der alle im Moment ruhenden Punkte liegen, führt unter diesen Umständen zu jedem Zeitpunkt durch den Massenmittelpunkt. Die Winkelgeschwindigkeit darf als Vektor dargestellt werden, der in Richtung der momentanen Drehachse zeigt. Für die Geschwindigkeit eines Punktes auf dem starren Körper gilt

:<math>\vec v = \vec \omega \times \vec r</math>

Die Winkelgeschwindigkeit ist ein universelle Eigenschaft des starren Körpers. Zu jedem Zeitpunkt rotieren alle Linien auf dem starren Körper mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit. Deshalb gilt für die [[Geschwindigkeit]] zweier beliebigen Punkten ''A'' und ''B'' auf dem starren Körper

:<math>\vec v_B = \vec v_A + \vec \omega \times \vec r_{AB}</math>

Die erste Formel ist ein Spezialfall der zweiten mit '''''v'''A'' = 0.

==Kontinuum==
In einem Kontinuum (Gas, Flüssigkeit oder Festkörper) kann die Winkelgeschwindigkeit lokal definiert werden. Dazu bildet man aus dem Geschwindigkeitsgradienten den antisymmetrischen Tensor ''Ωij''

:<math>\Omega_{ij} = \frac {1}{2} (v_{i,j} - v_{j.i})</math>

Die Nichtdiagonalelemente können dann wie folgt dem Winkelgeschwindigkeitsvektor '''''ω''''' zugewiesen werden

:<math>\Omega_{ij} = \begin{bmatrix} 0 \ & -\omega_z \ & \omega_y \\ \omega_z \ & 0 \ & -\omega_x \\ -\omega_y \ & \omega_x \ & 0 \end{bmatrix}</math>

Die Winkelgeschwindigkeit in Gestalt eines Vektors kann auch direkt aus der Geschwindigkeit berechnet werden

:<math>2 \vec \omega = rot(\vec v)</math>

[[Kategorie: Rot]]

Winkelgeschwindigkeit

2007-07-29T11:54:48Z

User: /* starrer Körper */

Unter der Winkelgeschwindigkeit versteht man die Änderungsrate des Drehwinkels. Als Formelzeichen verwendet man den letzten Buchstaben des griechischen Alphabets, das ''ω''. Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist Radiant pro Sekunde oder einfach nur 1/s.

==feste Achse==
Rotiert ein Körper um ein feste Achse, drehen sich alle Linien auf dem Körper in gleichen Zeiten um den gleichen Winkel ''Δ φ''. Die mittlere Winkelgeschwindigkeit auf dem Zeitabschnitt ''Δ t'' ist durch den folgenden Quotienten definiert

<math>\overline {\omega} = \frac {\varphi_2 - \varphi_1}{t_2 - t_1} = \frac {\Delta \varphi}{\Delta t}</math>

Den Momentanwert der Winkelgeschwindigkeit erhält man durch einen Grenzübergang für ''Δt'' gegen 0

<math>\omega = \lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta \varphi}{\Delta t}</math>

Die Winkelgeschwindigkeit entspricht der Geschwindigkeit eines Punktes auf dem [[Einheitskreis]]. Die [[Schnelligkeit]] eines Punktes auf dem rotierenden Körper ist gleich Winkelgeschwindigkeit mal Abstand des Punktes von der Drehachse

<math>v = \omega r</math>

Die Geschwindigkeit steht immer normal zur Drehachse und normal zum Abstandsvektor '''''r'''''.

==starrer Körper==
Enthält der starre Körper keinen [[Impuls]], bleibt der [[Massenmittelpunkt]] an Ort. Die [[momentane Drehachse]], die Gerade, auf der alle im Moment ruhenden Punkte liegen, führt unter diesen Umständen zu jedem Zeitpunkt durch den Massenmittelpunkt. Die Winkelgeschwindigkeit darf als Vektor dargestellt werden, der in Richtung der momentanen Drehachse zeigt. Für die Geschwindigkeit eines Punktes auf dem starren Körper gilt

:<math>\vec v = \vec \omega \times \vec r</math>

Die Winkelgeschwindigkeit ist ein universelle Eigenschaft des starren Körpers. Zu jedem Zeitpunkt rotieren alle Linien auf dem starren Körper mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit. Deshalb gilt für die [[Geschwindigkeit]] zweier beliebigen Punkten ''A'' und ''B'' auf dem starren Körper

:<math>\vec v_B = \vec v_A + \vec \omega \times \vec r_{AB}</math>

Die erste Formel ist ein Spezialfall der zweiten mit '''''v'''A'' = 0.

==Kontinuum==
In einem Kontinuum (Gas, Flüssigkeit oder Festkörper) kann die Winkelgeschwindigkeit lokal definiert werden. Dazu bildet man aus dem Geschwindigkeitsgradienten den antisymmetrischen Tensor ''Ωij''

<math>\Omega_{ij} = \frac {1}{2} (v_{i,j} - v_{j.i})</math>

Die Nichtdiagonalelemente können dann wie folgt dem Winkelgeschwindigkeitsvektor '''''ω''''' zugewiesen werden

<math>\Omega_{ij} = \begin{bmatrix} 0 \ & -\omega_z \ & \omega_y \\ \omega_z \ & 0 \ & -\omega_x \\ -\omega_y \ & \omega_x \ & 0 \end{bmatrix}</math>

Die Winkelgeschwindigkeit in Gestalt eines Vektors kann auch direkt aus der Geschwindigkeit berechnet werden

<math>2 \vec \omega = rot(\vec v)</math>

[[Kategorie: Rot]]

Skalar

2007-07-27T11:13:52Z

User:

Unter einem '''Skalar''' versteht man in der Physik eine Grösse, die sich bei räumlicher Drehung nicht ändert. In der [[Relativitätstheorie]] wird der Begriff auf die raum-zeitliche "Drehung" ([[Lorentz-Transformation]]) ausgedehnt. Man spricht dann von einem Lorentz-Skalar.

Ein Skalar lässt sich immer mit einer einzigen Zahl (reell oder kompolex) darstellen. Der Betrag eines Vektors ist immer ein (positiver) Skalar, ebenso die Spur eines [[Tensor]]s. Mit dem [[Skalarprodukt]] wird aus zwei [[Vektor]]en ein Skalar gebildet.

'''Beispiele'''
*[[Energie]]
*Mechanik ([[Hydrodynamik]], [[Translationsmechanik]] oder [[Rotationsmechanik]]):
**[[Volumen]]
**[[Druck]]
**[[Masse]]
**[[Gravitationsfeld|Gravitationspotenzial]]
*[[Elektrodynamik]]
**[[elektrische Ladung]]
**Stärke des elektischen Stromes
**[[elektromagnetisches Feld|elektrisches Potential]]
**Spannung
*[[Thermodynamik]]
**[[Entropie]]
**[[Temperatur]]
**[[Stoffmenge]]
**[[chemisches Potenzial]]

Im allgemeinen wird der Druck als Drittel der Spur des Spannungstensors definiert, womit seine skalare Eigenschaft feststeht. In der [[Raumzeit]] bildet die [[Masse]] oder [[Energie]] die zeitliche Komponente des Energie-Impuls-Inhalts ([[Vektor]]) eines Objekts.

[[Kategorie:Basis]]

Skalar

2007-07-27T11:12:56Z

User:

Unter einem '''Skalar''' versteht man in der Physik eine Grösse, die sich bei räumlicher Drehung nicht ändert. In der [[Relativitätstheorie]] wird der Begriff auf die raum-zeitliche "Drehung" ([[Lorentz-Transformation]]) ausgedehtn. Man spricht dann von einem Lorentz-Skalar.

Ein Skalar lässt sich immer mit einer einzigen Zahl (reell oder kompolex) darstellen. Der Betrag eines Vektors ist immer ein (positiver) Skalar, ebenso die Spur eines [[Tensor]]s. Mit dem [[Skalarprodukt]] wird aus zwei [[Vektor]]en ein Skalar gebildet.

'''Beispiele'''
*[[Energie]]
*Mechanik ([[Hydrodynamik]], [[Translationsmechanik]] oder [[Rotationsmechanik]]):
**[[Volumen]]
**[[Druck]]
**[[Masse]]
**[[Gravitationsfeld|Gravitationspotenzial]]
*[[Elektrodynamik]]
**[[elektrische Ladung]]
**Stärke des elektischen Stromes
**[[elektromagnetisches Feld|elektrisches Potential]]
**Spannung
*[[Thermodynamik]]
**[[Entropie]]
**[[Temperatur]]
**[[Stoffmenge]]
**[[chemisches Potenzial]]

Im allgemeinen wird der Druck als Drittel der Spur des Spannungstensors definiert, womit seine skalare Eigenschaft feststeht. In der [[Raumzeit]] bildet die [[Masse]] oder [[Energie]] die zeitliche Komponente des Energie-Impuls-Inhalts ([[Vektor]]) eines Objekts.

[[Kategorie:Basis]]

Rotationsenergie

2007-05-24T15:10:35Z

User: /* starrer Körper */

Die Rotationsenergie ist die Energie, die zusammen mit dem [[Drehimpuls]] von einem Körper gespeichert wird. Um einen Körper aus der Ruhe heraus auf eine bestimmte Drehzahl zu bringen, muss man ihm Drehimpuls zuführen. Die Energie, die für diesen Drehimpulsaustausch aufgewendet werden muss, nennt man Rotationsenergie. Die Rotationsenergie ist Teil der [[Bewegungsenergie]].

==Rotation um Hauptachse==
Rotiert einen [[starrer Körper|starre Körper]] um eine [[Hauptachse]], ist der Drehimpulsinhalt gleich Winkelgeschwindigkeit mal [[Massenträgheitsmoment]] (im [[Flüssigkeitsbild]] ist der Inhalt gleich Füllhöhe mal Grundfläche)

<math>L = \omega J</math>

Die Rotationsenergie ist dann gleich Drehimpulsinhalt mal halbe Winkelgeschwindigkeit

<math>W_{rot} = L \frac {\omega}{2} = \frac {J}{2} \omega^2</math>

==starrer Körper==
[[Drehimpuls]] '''''L''''' und [[Winkelgeschwindigkeit]] '''''ω''''' sind beim starren Körper nur dann parallel, wenn der Körper um eine [[Hauptachse]] rotiert. Trotzdem ist die Rotationsenergie gleich der Summe über alle drei Drehimpulskomponenten mal die Hälfte der zugehörigen Komponente der Winkelgeschwindigkeit (gespeicherte [[Primärgrösse|Menge]] mal halbes [[Potenzial]])

<math>W_{rot} = L_x \frac {\omega_x}{2} + L_y \frac {\omega_y}{2} + L_z \frac {\omega_z}{2} = \frac {1}{2}\vec L \cdot \vec \omega</math>

Tauscht ein starrer Körper keinen Drehimpuls mit der umgebung aus, wirkt also kein [[Drehmoment]] auf ihn ein, kann sich die Winkelgeschwindigkeit trotz konstant bleibendem Drehimpuls fortlaufend ändern. Die Änderung erfolgt aber immer so, dass die Rotationsenergie erhalten bleibt.

==beliebiger Körper==
Die Winkelgeschwindigkeit ist nur beim starren Körper überall gleich gross; bei verformbaren Körpern ist die Winkelgeschwindigkeit ortsabhängig. Verformt sich der Körper langsam im Vergleich zu seiner Drehbewegung, kann er näherungsweise durch eine Abfolge von starren Körpern dargestellt werden. Wirkt kein Drehmoment auf ihn ein, bleibt sein Drehimpulsinhalt konstant. Seine Winkelgeschwindigkeit kann sich aus zwei Gründen dennoch ändern
*die Winkelgeschwindigkeit zeigt nicht in Richtung des Drehimpulses
*der Körper verformt sich
Im ersten Fall, der oft auch beim starren Körper vorkommt, wirbelt die Winkelgeschwindigkeit um den Drehimpuls herum. Im zweiten Fall ändert sich die in der Regel auch noch die Rotationsenergie. Diese Rotationsenergie berechnet sich zu jedem Zeitpunkt gemäss der oben gegebenen Formel. Würde ein rotierender Körper, der seine momentane Form beibehält, zum Stillstand gebracht, würde der Drehimpulsaustausch mit der Erde exakt diese Rotationsenergie freisetzen.

Den Zusammenhang zwischen Energieänderung und Verformung lässt sich schon bei der Rotation um eine [[Hauptachse]] studieren. Interessante Beispiele sind
*die [[Pirouette]]
*die [[Katze]], die immer auf den Füssen landet

[[Kategorie:Trans]]

Himmelslift

2007-05-17T16:35:40Z

User: /* Energiebetrachtung */

Einsteigen, Knopf drücken - nächster Halt: Erdumlaufbahn. An einem 36 000 Kilometer langen Seil klettert die Kabine vom Äquator bis hinauf in den [[Geostationäre Bahn|geostationären Orbit]].
Die Idee für einen Fahrstuhl ins All geht auf den russischen Raumfahrtpionier Konstantin Ziolkowski zurück. Inspiriert vom Pariser Eiffelturm entwarf er 1895 die grandiose Vision eines 36 000 Kilometer hohen Turms am Äquator. Den entscheidenden Gedanken hatte 1960 der russische Wissenschaftler Juri Artsutanow: Warum nicht das Gebäude weglassen? Das Tragseil des Fahrstuhls könnte man von einem geostationären Satelliten aus zur Erde herablassen und dann auf der Erde verankern. Zu breiter Popularität gelang die Idee 1978 durch den Roman "Fountains of Paradise" von Arthur C. Clarke, auf Deutsch unter dem Titel "Fahrstuhl zu den Sternen" erschienen.

==Problemstellung==
[[Bild:Weltraumlift_schema.png|thumb|Konzeptskizze des Lifts]]
Wählt man die positive Richtung nach oben, bildet das [[Gravitationsfeld]] der Erde zusammen mit der [[Masse]] des Turms oder des Seils eine [[Impulsquelle|Impulssenke]]. Der Turm von Ziolkowski muss folglich den ans Gravitationsfeld weg fliessenden [[Impuls]] von der Erde her aufnehmen. Deshalb wird der Turm durch den nach oben, also vorwärts strömenden Impuls auf Druck belastet. An der Turmbasis ist die Impulsstromstärke oder [[Kraft]] am stärksten.

Das [[Gravitationsfeld]] der rotierenden Erde besteht aus zwei Teilen. Der eine Teil wird durch die Masse der Erde erzeugt und nimmt, falls die Erde als Kugel angesehen wird, mit dem Abstand vom Zentrum der Erde wie folgt ab

:<math>g_G = -g_0 r_0^2 \cdot \frac {1}{r^2}</math>

Der zweite Teil, die Stärke des Zentrifugalfeldes, hängt mit der [[rotierendes Bezugssystem|Rotation]] der Erde zusammen und nimmt linear mit dem Abstand von der Erdachse zu

:<math>g_z = \omega^2 \cdot r</math>

Würde man auf einer Leiter sehr hoch steigen, könnte man spüren, wie das Gravitationsfeld immer schwächer wird. Bezüglich der erdfesten Leiter misst man ein Feld, das unten nach unten und oben nach oben zeigt

:<math>g = \omega^2 \cdot r -g_0 r_0^2 \cdot \frac {1}{r^2}</math>

An der Stelle, an der das Gravitationsfeld bezüglich der Erde verschwindet

:<math>r_{gs} = \left(\frac {g_0 r_0^2}{\omega^2} \right)^{\frac {1}{3}}</math> = 42'148 km

befinden sich die geostätionären Satelliten. Die geostationären Satelliten befinden sich demnach 35'770 km über der Erdoberfläche. Unterhalb der geostationären Bahn dominiert der Einfluss der Erdmasse, oberhalb die Rotation.

Das Seil von Artsutanow besitzt ein Gegengewicht, das sich ausserhalb der geostationären Bahn befindet. Dieses Gegengewicht wirkt als [[Impulsquelle]], die bei geeigneter Dimensionierung den gesamten Impulsabfluss des Seilstücks unterhalb der geostationären Bahn kompensiert. Der von oben nach unten [[Kraftfluss|fliessende Impuls]] erreicht bei der geostationären Bahn die grösste Stromstärke. Dort ist das Seil am stärksten auf Zug belastet.

Doch schon Artsutanow erkannte, dass die Entwicklung eines geeigneten Tragseils das grösste Problem ist. Das Tragseil muss extrem reissfest und extrem leicht sein. Ein gewöhnliches Stahlseil würde bereits bei einer Länge von neun Kilometern unter der Last seines Eigengewichts zerreissen. Seit Anfang des 21. Jahrhunderts ist ein Material bekannt, das die Anforderungen erfüllen könnte: Kohlenstoffnanoröhren. Anfang 2004 ist es einem Wissenschaftlerteam um Alan Windle an der University of Cambridge gelungen, auf der Grundlage dieser Technologie einen etwa 100 Meter langen Faden herzustellen. Kohlenstoffnanoröhren haben ein bis zu 100 mal besseres Verhältnis von Zugfestigkeit zu Gewicht als Stahl, deshalb ist dieser Werkstoff ein möglicher Kandidat für den Weltraumlift. Jedoch ist die Technologie noch längst nicht ausgereift.

==Impulsstrom==
===Impulsbilanz===
Betrachtet man ein Stück Seil mit der Länge ''dr'', dem Querschnitt ''A'' und der Dichte ''ρ'', lautet die [[Impulsbilanz]] bezüglich dieses Stücks

:<math>\Sigma_p + I_{p1} + I_{p2} = \rho A dr g - dI_p = 0</math>

''Σ'' steht für die Impulsquelle. Die Differenz der beiden Impulsstromstärken ''dI''p entspricht der Quellenstärke und ist unterhalb der geostationären Bahn negativ, darüber positiv. Nach der Division mit ''dr'' erhält man die Gleichung

:<math>\frac {dI_p}{dr} = \rho A g</math>

===Zylinder===
Geht man von einem zylinderförmigen oder prismatischen Seil aus, kann die Gleichung auf die Impulsstromdichte, die (negative) Zugspannung ''σ'', umgeschrieben werden

:<math>\frac {dI_p}{\rho A} = -\frac {d\sigma}{\rho} = g dr</math>

Im homogenen Gravitationsfeld (Gravitationsfeldstärke -''g''0) liefert die Integration über ''r''

:<math>\sigma = \rho g_0 \Delta r = \rho \Delta \varphi_G</math>

Die maximale Zugspannung ist somit gleich Dichte mal Zuwachs des [[Gravitationsfeld|Gravitationspotenzials]]. Geht man bei einer Dichte von 7300 kg/m3 von einer zulässigen Zugspannung von 800 N m2 aus, kann ein Seil höchstens 10 km lang sein.

Im inhomogenen Feld der rotierenden Erde gilt

:<math>d\sigma = -\rho g dr = -\rho \omega^2 \cdot r dr + \rho g_0 r_0^2 \cdot \frac {1}{r^2} dr</math>

Eine Integration diese Gleichung von der Erdoberfläche (''r''E = 6378 km) bis zur geostationären Bahn liefert

:<math>\frac {\sigma}{\rho} = g_0 r_0^2 \left(\frac{1}{r_E} - \frac{1}{r_{gs}}\right) + \frac{\omega^2}{2}\left(r_E^2 - r_{gs}^2\right) = \Delta \varphi_G</math> = 48.4 MJ/kg

Die Zugspannung pro Masse ist gleich der Änderung des Gravitationspotenzials. Für die Dichte von Stahl (7300 kg/m3) erhält man eine maximale Zugspannung von 350 kN/mm2

===optimale Form===
Man könnte auch ein Seil entwickeln, das überall die gleich Zugspannung ''σ'' aufweist. Ausgehend von der [[Impulsbilanz]]

:<math>\frac {dI_p}{dr} = \frac {dA \sigma}{dr} = \rho A g</math>

oder umgeformt

:<math>\frac {dA}{A} = \frac {\rho}{\sigma} g dr</math>

und aufintegriert, ergibt

:<math>\ln \left( \frac {A_{gs}}{A_E} \right) = \frac {\rho}{\sigma} \cdot \left(g_0 r_0^2 \left(\frac{1}{r_E} - \frac{1}{r_{gs}}\right) + \frac{\omega^2}{2}\left(r_E^2 - r_{gs}^2\right)\right) = \frac {\rho}{\sigma} \cdot \Delta \varphi_G</math>

Eine optimierte Form, bei welcher der Querschnitt exponentiell mit dem Gravitationspotenzial zunimmt

:<math>A_{gs} = A_E e^{\frac {\rho}{\sigma} \Delta \varphi_G}</math>

vermag die maximale Zugspannung nur mässig zu mindern. Um die vorgegebene Zugspannung am unteren Ende des Seils zu erzeugen, muss man das Seil im Boden verankert werden. Als Alternative käme auch ein zylindrisches Seilstück in Frage, das gemäss der weiter oben durchgeführten Berechnung die gewünschte Grenzspannung erzeugt.

==Corioliskraft==
Auf den auf- oder absteigenden Lift wirkt normal zum Seil in der Äquatorialebene eine [[Corioliskraft]] . Die Corioliskraft muss von einer Führungskraft, die vom Seil auf den Lift einwirkt, kompensiert werden

:<math>F_F = F_C = 2mv\omega</math>

Der während einer Fahrt zwischen Lift und Seil ausgetauschte [[Impuls]] ist unabhängig von der Geschwindigkeit des Liftes

:<math>\Delta p = 2m\omega \Delta h</math>

Die [[spezifisch|spezifische]] [[Primärgrösse|Impulsmenge]] (Impuls pro Kilogramm) beträgt für eine einzige Weltraumfahrt 5217 Ns/kg. Dieser Impuls muss im Trag[[seil]] nach unten oder oben, also seitwärts zur eigenen Bezugsrichtung, abgeführt werden. Infolge dieses Impulsabflusses weicht das Seil seitlich weg. Zudem muss der nach oben abliessende Impuls auf irgend einem Weg an die Erde zurückgeführt werden. Die Wirkung der Corioliskraft kann gemildert werden, indem man mindestens zwei Lifte betreibt, die sich gegenläufig bewegen.

==Energiebetrachtung==
Auf den Lift wirken vier Kräfte ein:
*die Gewichtskraft (Summe aus Wirkung der Erdmasse und Erdrotation)
*die Hubkraft (separates Zugseil oder auf dem Liftseil arbeitender Antrieb)
*Corioliskraft (leistungsfrei)
*Führungskraft (leistungsfrei)

Die [[Arbeit]] der Hubkraft ist gleich Liftmasse mal Änderung des Gravitationspotentials

:<math>W(F_H) = -W(F_G) = m \Delta \varphi_G = m \left( g_0 r_0^2 \left(\frac{1}{r_E} - \frac{1}{r_{gs}}\right) + \frac{\omega^2}{2}\left(r_E^2 - r_{gs}^2\right)\right) = m</math>*48.4 MJ/kg

Betrachtet man den Vorgang von einem erdfesten, aber nicht rotierenden Bezugssytem aus, ändert der Lift sowohl seine potentielle als auch seine [[kinetische Energie]]

:<math>\Delta W = \Delta W_G + \Delta W_{kin} = m g_0 r_0^2 \left(\frac{1}{r_E} - \frac{1}{r_{gs}}\right) + \frac {m}{2} \omega^2 \left(r_{gs}^2 - r_E^2\right) = m</math>*57.6 MJ/kg

Diese Energiebetrachtung, die in Schulbüchern leider oft gemacht wird, ist völlig sinnlos. Entweder befördert man einen Satelliten mit einer Trägerrakete nach oben oder man plaziert ihn mit dem '''Weltraumlift'''. Bei der Rakete sieht die Energiebilanz völlig anders aus und beim Lift ist die Hubarbeit etwa 16% kleiner als die berechnete Energiedifferenz. Der Grund für diese Differenz liegt bei der Führungskraft. In einem nichtrotierenden [[Bezugssytem]] muss die Arbeit der Führungskraft mit einbezogen werden. Eine Führungskraft ist nur bezüglich der Führungsvorrichtung (Schiene, Seil, Zahnstange) leistungsfrei. Hat die Führung selber eine Geschwindigkeit in Richtung der Kraft, ist die [[Leistung einer Kraft|Leistung der Führungskraft]], der [[zugeordneter Energiestrom|zugeordnete Energiestrom]] ungleich Null. Die Arbeit der Hubkraft und die Arbeit der Führungskraft ergeben dann zusammen eine Energieänderung von 57.6 MJ pro Kilogramm Satellit. Aufwänden muss man aber nur die Arbeit der Hubkraft, also 48.4 kJ/kg.

== Weblinks ==
* [http://www.warr.de/projekte.php?projekt=space_elevator Space Elevator Projekt] der Wissenschaftliche Arbeitsgemeinschaft für Raketentechnik und Raumfahrt
* [http://www.spaceelevator.com Space Elevator Website] von SpaceRef mit aktuellen News zum Projekt, Präsentationen, Fachvorträgen und Links
* [http://www.elevator2010.org/site/index.html Space Elevator] Wettkampf der Entwicklungsteams 2006
* [http://www.ing-math.net/index.php?id=36 Space Elevator (Max-Born-Team 2006)] Weltraumfahrstuhl-Konstruktion 2006 (Schüler/Jungstudierenden Projekt)
* [http://www.space-elevator.de.vu Team „Turbo Crawler“ Deutschland] Alternativ zu Max-Born Team
* [http://www.isr.us/research_es_se.asp Institute for Scientific Research] Konzept des Space Elevator und FAQs
* [http://www.isr.us/Spaceelevatorconference/ The Space Elevator: 3rd Annual International Conference] (2004)
* [http://www.liftport.com/index.html Liftport Group]
* [http://www.space.com/businesstechnology/technology/space_elevator_020327-1.html Space.com] The Space Elevator Comes Closer to Reality

[[Kategorie:Trans]]

Ideales Gas

2007-05-15T16:35:58Z

User: /* Modell */

==Modell==
Das Modell des idealen Gases beschreibt den Zustand von stark verdünnten [[homogener Stoff|Stoffen]], wobei die Wechselwirkung zwischen den Teilchen dieses Stoffes vernachlässigbar klein sein sollte. Dieses Modell ist auf gasförmige und gelöste Stoffe anwendbar.

[[Bild: Ideales_Gas.gif|thumb|thermische und mechanische Verbindung des idealen Gases]]
Der Zustand des idealen Gases kann auf zwei Arten verändert werden, durch heizen und kühlen oder durch komprimieren und entspannen. Um diese Prozesse kontrolliert ablaufen zu lassen, gehen wir von folgender Anordnung aus. Das Gas befinde sich in einem Zylinder, der mit einem Kolben verschlossen ist. Der Zylinderboden sei ideal wärmedurchlässig (diatherm), besitze aber selber keine [[Wärmekapazität]]. Die Zylinderwände und der Kolben sind absolut wärmeisoliert (adiabatisch). Der reibunsfrei verschiebbare Kolben schliesst das Gas hermetisch gegen eine inkompressible Flüssigkeit ab, welche für den Druckaufbau verantwortlich ist. Bei Lösungen ist die Flüssigkeit gleichzeitig Lösungsmittel und der Kolben für das Lösungsmittel durchlässig, für den gelösten Stoff dagegen nicht. Einen dermassen selektiv durchlässigen Kolben nennt man semipermeabel.

Das Systeme Gas besitzt eine direkte thermische und eine indirekte hydraulische Verbindung zur Umgebung. Es kann deshalb mit der Umgebung Energie in Form von Wärme und Arbeit austauschen.

==Bilanzen und Prozesse==
Das ideal Gas kann über zwei Verbindungen (Portale oder Konnektoren) Entropie und Volumen mit der Umgebung austauschen. Weil das Gas homogen ist und die Verbindungen ideal sind, wird innerhalb des Systems keine Entropie produziert. Folglich kann die [[Entropiebilanz]] und die [[Volumenbilanz]] in einfachster Form hingeschrieben werden

<math>\begin{matrix} I_S &=& \dot S \\ I_V &=& \dot V_{Fluid} = -\dot V \end{matrix}</math>

Das ideale Gas kann vier einfach zu realisierende Prozesse durchlaufen. In zwei Prozessen ist je ein Portal geschlossen, in den zwei andern ist das Portal hemmungslos mit der Umwelt verbunden, so dass innen und aussen der gleiche Druck bzw. die gleiche Temperatur herrscht.
{|
!width = "100"|Prozess
!width = "100"|Beschreibung
!width = "150"|thermisches Portal
!width = "150"|hydraulisches Portal
|-
|isochor
|''V'' =konst
|aktiv
|geschlossen
|-
|isobar
|''p'' =konst
|aktiv
|direkt verbunden
|-
|isentrop
|''S'' =konst
|geschlossen
|aktiv
|-
|isotherm
|''T'' =konst
|direkt verbunden
|aktiv
|}

==konstitutive Gleichungen==
Beim idealen Gas koppeln zwei Bilanzgleichungen über die beiden zugehörigen [[Potenzial|Potenziale]]. Im Gegensatz zum [[Punktmechanik|Massenpunkt]], bei dem die [[Masse]] als dreifache [[Impuls]]kapazität auftritt und ähnlich wie beim [[starrer Körper|starren Körper]], bei dem die drei [[Drehimpuls]]komponenten über das [[Massenträgheitsmoment]] mit den drei Komponenten der [[Winkelgeschwindigkeit]] verknüpft sind, lässt sich die Struktur dieser beiden Speichergesetze nicht ganz einfach durchschauen.

Das erste Speichergesetz, die universelle Gasgleichung oder die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases, verknüpft die drei direkt messbaren Grössen Druck, Volumen und Temperatur miteinander

:<math>pV= nRT=mR_sT</math>

Die erste Form basiert auf der [[Stoffmenge]] als natürliches Mass für die Menge eines Stoffes, die zweite nimmt die [[Masse]] als Hilfsgrösse, um die Menge des Soffes zu quantifizieren. ''R'' steht für die [[Naturkonstanten|universelle Gaskonstante]] und ''Rs'' für die spezifische Gaskonstante, die für jeden Stoff einen andern Wert annimmt.

Das zweit Speichergesetz beschreibt die [[Entropie]] in Funktion des [[Volumen]]s und der [[Temperatur]]

:<math>S = S_0 + n (R ln \frac {V}{V_0} + \hat c_V ln \frac {T}{T_0}) = S_0 + m (R_s ln \frac {V}{V_0} + c_V ln \frac {T}{T_0})</math>

Die molare bzw. spezifische Energiekapazität (''c^V'' bzw. ''cV'') ist für einatomige Gase gleich 3 ''R'' / 2 bzw. 3 ''Rs / 2''. Diese Grössen nennt man auch molare bzw. spezifische [[Wärmekapazität]] bei konstantem Volumen, weil sie beim Heizen mit konstantem Volumen (isochores Heizen) ein Mass für die zuzuführende Wärmeenergie sind.

Mit Hilfe der universellen Gasgleichung kann das Speichergesetz für die Entropie umgeformt werden in

:<math>S = S_0 + n (R ln \frac {p_0}{p} + \hat c_p ln \frac {T}{T_0}) = S_0 + m (R_s ln \frac {p_0}{p} + c_p ln \frac {T}{T_0})</math>

vobei ''c^p'' oder ''cp'', die molare bzw. spezifische Enthalpiekapazität, um die Gaskonstante grösser ist als die molare bzw. spezifische Wärmekapazität. Diese Grössen heissen auch molare bzw. spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck, weil sie beim Heizen mit konstantem Druck (isobares Heizen) ein Mass für die zuzuführende Wärmeenergie sind.

Bei den vier grundlegenden Prozessen nehmen die beiden konstitutiven Gleichungen die folgende Form an (die Gleichungen müssen unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen nach der Zeit abgeleitet werden, damit sie in Form von [[Änderungsrate|Änderungsraten]] eine momentane Beschreibung des Prozesses abgeben)

{|
!width = "100"|Prozess
!width = "150"|Gasgleichung
!width = "150"|Entropiegesetz
!width = "150"|Bemerkung
|-
|isochor
|<math>V \dot p = n R \dot T</math>
|<math>\dot S = n \hat c_V \frac {\dot T}{T}</math>
|<math>\dot V = 0</math>
|-
|isobar
|<math>p \dot V = n R \dot T</math>
|<math>\dot S = n \hat c_p \frac {\dot T}{T}</math>
|<math>\dot p = 0</math>
|-
|isentrop
|<math>R \frac {\dot V}{V}\hat + c_V \frac {\dot T}{T} = 0</math>
|<math>\dot S = 0</math>
|erste Gleichung folgt aus Entropiegesetz
|-
|isotherm
|<math>\dot p V + \dot V p = 0</math>
|<math>\dot S = n R \frac {\dot V}{V}</math>
|<math>\dot T = 0</math>
|}

==Energiebilanz==
Die [[Energiebilanz]] bezüglich eines homogenen, thermischen Systems heisst aus historischen Gründen 1. Hauptsatz. Die Bilanz setzt die Stärke des thermischen Energiestromes (Wärme) und die des mechanischen (Arbeit) gleich der [[Änderungsrate]] der [[innere Energie|inneren Energie]]

<math>I_{W_{therm}} + I_{W_{mech}} = \dot W</math>

Die Energieströme können mit Hilfe des [[zugeordneter Energiestrom|zugeordneten Energiestromes]] durch die Stromstärke der [[Primärgrösse|Primärgrössen]] und die zugehörigen [[Potenzial|Potenziale]] ausgedrückt werden

<math>T I_S + p I_V = \dot W</math>

Weil das System reversibel (ohne Entropieproduktion) arbeitet und das Fluid inkompressibel ist, dürfen die Mengenströme über die [[Entropiebilanz]] und die [[Volumenbilanz]] durch die zugehörigen [[Änderungsrate]]n ersetzt werden

<math>T \dot S - p \dot V= \dot W</math>

Das Minuszeichen beim hydraulischen Teil kommt von der Konstanz der Summe aus Gasvolumen und Fluidvolumen: wenn das Fluidvolumen infolge Zufuhr zunimmt, vermindert sich das Gasvolumen und umgekehrt.

Die letzte Form ermöglicht eine graphische Interpretation der Wärme und der Arbeit bei homogenen und reversiblen Systemen. Die Wärme entpricht der Fläche (Integral) unter der Kurve im ''T-S-''Diagramm und die Arbeit ist gleich der Fläche (negatives Integral) im ''p-V-''Diagramm.

Setzt man in die letzte Form der Energiebilanz das Entropiegesetz für das ideale Gas bei einem isochorem Prozess ein (siehe Tabelle), erhält man folgende Aussage

<math>I_{W_{therm}}= \dot W = n \hat c_V \dot T</math>

In einem isochor geführten Prozess ist die Zunahme der inneren Energie gleich der zugeführten Wärme (daher der Name Wärmekapazität bei konstantem Volumen statt einfach und korrekt nur Energiekapazität). Indem man die konstitutiven Gesetze des idealen Gases für eine beliebe Prozessführunge einsetzt, kann man zeigen, dass die innere Energie des Gases immer diese Form hat, also proportional mit der Temperatur zunimmt und unabhängig vom Volumen ist.

Bei isobarer Prozessführung ist die in Form von Wärme zugeführte Energie gleich der Zunahme der inneren Energie plus die Expansionsarbeit des Gases gegen den Kolben (die hydraulische Abgabe von Energie an die Umwelt). Fügt man nun die [[Enthalpie]] als eine neue "Energieform" in die Energiebilanz ein, ist die zugeführte Wärme gleich der Enthalpieänderung

<math>I_{W_{therm}}= \dot W + p_0 \dot V = \dot H = n \hat c_p \dot T</math>

In einem isobar geführten Prozess ist die Zunahme der Enthalpie gleich der zugeführten Wärme (daher der Name Wärmekapazität bei konstantem Druck statt Enthalpiekapazität).

Bei isothermer Prozessführung ist die in Form von Arbeit zugeführte Energie gleich der Änderung der inneren Energie plus die in Form von Wärme an die Umwelt abgegebene Energie. Weil die innere Energie des idealen Gases nicht von der Temperatur abhängt, heben sich bei der isothermen Prozesführung Arbeit und Wärme auf. Fügt man nun die [[freie Energie]] als neue "Energieform" in die Energiebilanz ein, ist die zugeführt Arbeit gleich der Änderung der freien Energie

<math>I_{W_{mech}}= \dot W + T_0 \dot S = \dot F</math>

Die freie Energie kommt unserer Vorstellung von Arbeit sehr nahe. Bei der isothermen Expansion ist die Arbeit gleich der Änderung der freien Energie. Dass diese Energie zusammen mit der Entropie von der Umwelt her zugeführt wird, bemerken wir nicht. Das expandierende Gas nimmt von der Umwelt Energie und Entropie auf, gibt aber nur die Energie weiter und behält die Entropie. So kann Wärme vollständig in Arbeit "umgewandelt" werden.

==statische Beschreibung==

Die statische Beschreibung einer Zustandsänderung gewinnt man durch die Integration der entsprechenden Prozesse
{|
!width = "100"|Prozess
!width = "180"|Gasgleichung
!width = "180"|Entropie
!width = "200"|Energie
!width = "200"|Bemerkung
|-
|isochor
|<math>\frac {p}{p_0} = \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta S = n \hat c_V ln \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta W = n \hat c_V \Delta T</math>
|Gesetz von [[Amontons]]
|-
|isobar
|<math>\frac {V}{V_0} = \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta S = n \hat c_p ln \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta H = n \hat c_p \Delta T</math>
|Gesetz von [[Gay-Lussac]]
|-
|isentrop
|<math>(\frac {V}{V_0})^R = (\frac {T_0}{T})^{\hat c_V}</math>
|<math>\Delta S = 0</math>
|<math>\Delta W = n \hat c_V \Delta T</math>
|<math>\kappa = \fra{\hat c_p}{\hat c_V}</math>
|-
|isotherm
|<math>\frac {V}{V_0} = \frac {p_0}{p}</math>
|<math>\Delta S = n R ln(\frac {V}{V_0})</math>
|<math>\Delta F = n R T_0 ln(\frac {V_0}{V})</math>
|Gesetz von [[Boyle-Mariotte]]
|}

Den Ausdruck für die isentrope Zustandsänderung kann mit Hilfe des '''Isentropenexponentes''' <math>\kappa = \frac {\hat c_p}{\hat c_V}</math> umgeschrieben werden

:<math>(\frac {V}{V_0})^{\kappa -1} = \frac {T_0}{T}</math>

Unter Verwendung der universellen Gasgleichung lässt sich dieser Zusammenhang in eine Form mit den Variablen ''p'' und ''V'' umwandeln

:<math>(\frac {V}{V_0})^\kappa = \frac {p_0}{p}</math>

Eine weiter Umformung liefert

:<math>(\frac {p}{p_0})^{\kappa -1} = (\frac {T}{T_0})^\kappa</math>

==Anwendungen==
*das [[SD-Modell des idealen Gases]]
*[[Carnot-Prozess]]
*[[Stirling-Prozess]]
*[[Osmose]]

[[Kategorie:Thermo]]

Kinematik des Bugrades

2007-04-24T12:15:20Z

User:

Das Bugrad (Durchmesser 1.2 m) eines Verkehrsflugzeuges bewegt sich zu einem bestimmten Zeitpunkt mit einer Geschwindigkeit von 144 km/h über die Piste. In diesem Moment dreht sich das Rad mit 200 U/min, erfährt eine Winkelbeschleunigung von 5 s-2 und seine Achse wird mit -2 m/s2 abgebremst.
#Welche Geschwindigkeit hat der unterste Teil des Rades?
#Wie schnell bewegt sich der oberste Teil des Rades?
#Wie gross ist die Beschleunigung des untersten Teils des Rades?
#Welche Beschleunigung erfährt ein Punkt auf dem Umfang des Rades, der auf gleicher Höhe wie die Achse liegt? Wie schnell bewegt er sich?

'''[[Lösung zu Kinematik des Bugrades|Lösung]]'''

[[Kategorie:Rot]] [[Kategorie:Aufgaben]] [[Kategorie:RotAuf]]

Turmspringen

2007-04-03T19:32:47Z

User:

[[Bild:Turmsprung.jpg|thumb|Turmspringerin]]
Eine Springerin zeigt anlässlich einer Meisterschaft einen dreieinhalbfachen Salto rückwärts vom 10-m-Turm.
#Mit welcher Geschwindigkeit taucht die Springerin ins Wasser ein?
#Wie viel Zeit steht ihr pro Umdrehung etwa zur Verfügung?
#Wie bringt die Springerin den Drehimpuls in ihren Körper hinein?
#Wie schafft sie es, im richtigen Winkel einzutauchen?

'''[[Lösung zu Turmspringen|Lösung]]'''

[[Kategorie:Rot]] [[Kategorie:Aufgaben]] [[Kategorie:RotAuf]]

Güterwagen beladen

2007-03-26T04:39:47Z

User:

Ein Güterwagen (Masse 15 t) wird in zwölf Sekunden mit 24 Tonnen Schüttgut beladen. Das Schüttgut, das aus einem Silo senkrecht nach unten fällt, trifft mit einer mittleren Geschwindigkeit von 10 m/s auf der Ladefläche des Güterwagens auf. Die an den Rädern wirkende Reibkraft macht 4% der Normalkraft aus.

Wie stark muss am Wagen gezogen werden, damit dieser mit einer Geschwindigkeit von einem Meter pro Sekunde unter dem Silo durchfährt? Geben Sie den Verlauf der [[Kraft]] für die ganzen zwölf Sekunden an.

'''Lösungshinweis:''' [[Impulsbilanz]] für die vertikale und horizontale Richtung aufstellen.

'''[[Lösung zu Güterwagen beladen|Lösung]]'''

[[Kategorie:OffSys]] [[Kategorie:Aufgaben]] [[Kategorie:OffAuf]]

Kraft auf Rohrstück

2007-03-20T19:57:29Z

User:

Aus einem um 180° gebogenen Rohrstück (Durchmesser am Anfang des Rohrstückes 10 cm) ergiesst sich ein 5 cm dicker Wasserstrahl mit einer Austrittsgeschwindigkeit von 10 m/s ins Freie.

#Wie gross ist der Überdruck bei der Eintrittsstelle zu diesem Rohrstück?
#Mit welcher Kraft muss das Rohr fesgehalten werden?

'''Lösungshinweis:''' Die Energiebilanz ([[Gesetz von Bernoulli|Bernoulli]]) liefert zusammen mit
der Volumenbilanz ([[Kontinuitätsgleichung]]) den Überdruck bei der Eintrittsfläche. Die [[Kraft]] ergibt sich aus der [[Impulsbilanz]].

Quelle: Technikum Winterthur, Maschinenbau 1994

'''[[Lösung zu Kraft auf Rohrstück|Lösung]]'''

[[Kategorie:OffSys]] [[Kategorie:Aufgaben]] [[Kategorie:OffAuf]]

Impulstransport im Rohr

2007-03-20T19:55:49Z

User:

In einem sich Rohr, das sich von 35 mm auf 25 mm verjüngt, strömt eine Flüssigkeit (Dichte 0.85 kg/Liter) mit einer Volumenstromstärke von 2 Liter/s in ''x''-Richtung. Bei der ersten Querschnittsfläche herrsche ein Absolutdruck von 15 kPa.
#Wie gross sind die Strömungsgeschwindigkeiten bei den beiden Querschnittsflächen?
#Wie gross ist der [[Druck]] bei der zweiten Fläche?
#Wie viel ''x''-[[Impuls]] wird gesamthaft durch die beiden Querschnittsflächen transportiert?
#Wo geht der fehlende Impuls durch?

'''Lösungshinweis:''' Der Druck bei der zweiten Fläche berechnet sich aus der [[Energiebilanz]]
([[Gesetz von Bernoulli|Bernoulli]]). Der [[Impuls]] wird leitungsartig und konvektiv durch den offenen Querschnitt transportiert.

Quelle: Technikum Winterthur Maschinenbau 1992

'''[[Lösung zu Impulstransport im Rohr|Lösung]]'''

[[Kategorie:OffSys]] [[Kategorie:Aufgaben]] [[Kategorie:OffAuf]]

Güterwagen beladen

2007-03-20T19:55:27Z

User:

Ein Güterwagen (Masse 15 t) wird in zwölf Sekunden mit 24 Tonnen Schüttgut beladen. Das Schüttgut, das aus einem Silo senkrecht nach unten fällt, trifft mit einer mittleren Geschwindigkeit von 10 m/s auf der Ladefläche des Güterwagens auf. Die an den Rädern wirkende Reibkraft macht 4% der Normalkraft aus.
#Wie stark muss am Wagen gezogen werden, damit dieser mit einer Geschwindigkeit von einem Meter pro Sekunde unter dem Silo durchfährt?
#Geben Sie den Verlauf der [[Kraft]] für die ganzen zwölf Sekunden an.

'''Lösungshinweis:''' [[Impulsbilanz]] für die vertikale und horizontale Richtung aufstellen.

'''[[Lösung zu Güterwagen beladen|Lösung]]'''

[[Kategorie:OffSys]] [[Kategorie:Aufgaben]] [[Kategorie:OffAuf]]

Mantelstromtriebwerk

2007-03-20T19:54:56Z

User:

Ein Flugzeug fliegt mit einer Geschwindigkeit von 900 km/h durch die Luft (Dichte 0.85 kg/m3). Der Eintrittsdurchmesser des Zweistrom-Strahltriebwerkes (Turbofan) beträgt 2 m und für das Massenverhältnis der Mantel- zur Düsenströmung ist gleich 4:1. Die Austrittsgeschwindigkeit der Mantelströmung liegt 25% höher als die Anströmgeschwindigkeit, die der heissen Gase an der Düse ist doppelt so gross.

Wie gross ist die Schubkraft des Triebwerkes?

'''Lösungshinweis:''' Die resultierende Druckkraft auf das Triebwerk ist nicht zu berücksichtigen.

Quelle: Technikum Winterthur, Elektrotechnik 1996

'''[[Lösung zu Mantelstromtriebwerk|Lösung]]'''

[[Kategorie:OffSys]] [[Kategorie:Aufgaben]] [[Kategorie:OffAuf]]

Abfüllwaage

2007-03-20T19:54:29Z

User:

Aus einer grossen, flachen Wanne, die ein Meter hoch mit Wasser gefüllt ist, ergiesst sich durch ein Loch im Boden ein Wasserstrahl in ein Becherglas (Innendurchmesser 10 cm, Masse 2 kg), das auf einer Waage steht. Der Strahl hat einen Durchmesser von 2 cm (direkt beim Ausfluss gemessen) und der
Wasserspiegel des Becherglases liege im Moment vierzig Zentimeter unterhalb des Wannenbodens.
# Was zeigt diese bei einem Füllstand von 20 cm an?
#Der Boden des Becherglases weise ein Loch auf, das genau so gross ist, dass der Wasserspiegel weder steigt noch fällt. Mit welcher Kraft muss nun das Becherglas festgehalten werden?

'''Lösungshinweis:''' Ausflussgeschwindigkeit kann mit Hilfe der [[Energiebilanz]] ([[Ausflussgesetz von Torricelli|Torricelli]]) berechnet werden. [[Kraft|Kräfte]] sind Teil der [[Impulsbilanz]].

Quelle: Technikum Winterthur, Elektrotechnik 1996

'''[[Lösung zu Abfüllwaage|Lösung]]'''

[[Kategorie:OffSys]] [[Kategorie:Aufgaben]] [[Kategorie:OffAuf]]

Rutschen auf Zylinder

2007-03-17T08:40:52Z

User:

Ein kleines Stück Eis (Masse 5 g) rutscht vom Scheitel eines zylinderförmigen Daches längs einer Mantellinie hinunter. Nachfolgend werden alle [[Dissipation|dissipierenden]] Kräfte ([[Gleitreibung]], [[Strömungswiderstand|Luftwiderstand]]) vernachlässigt.
#Geben Sie die [[Schnelligkeit]] (Betrag der Geschwindigkeit) des Eisstückes in Funktion des Winkels zwischen der vertikalen Richtung und dem aktuellem Radius an!
#Was passiert mit der [[Normalkraft]] während des Rutschens?
#Welche [[Kraft|Kräfte]] wirken im Moment des Abhebens auf das Eisstück ein?
#Was macht das Eisstück nach dem Abheben?
#Formulieren Sie die [[Impulsbilanz]] in der Form des [[Punktmechanik|Newtonschen Aktionsprinzips]] für den Moment des Abhebens.
#Bei welchem Winkel hebt das Eisstück vom Dach ab?
#Würde das Eisstück früher oder später abheben, wenn Reibung im Spiel wäre?

'''[[Lösung zu Rutschen auf Zylinder|Lösung]]

[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:Aufgaben]] [[Kategorie:TransAuf]]

Konstitutives Gesetz

2007-03-13T19:30:15Z

User:

Das Modell eines dynamischen [[System|Systems]] besteht aus den [[Bilanz|Bilanzgleichungen]] und den konstitutiven Gesetzen. Diese Gesetze verknüpfen die gespeicherten [[Menge|Mengen]] mit den [[Potenzial|Pontenzialen]] und die Potenzialdifferenzen mit den Stromstärken.

Die bekanntesten, linearen Gesetze sind das [[kapazitives Gesetz|kapazitive]], das [[resistives Gesetz|resistive]] und das [[induktives Gesetz|induktive]].

[[Kategorie:Basis]]

Zentrifugalkraft

2007-03-13T09:56:12Z

User:

Der Begriff Zentrifugalkraft wird in der Mechanik zweifach verwendet:
*als Trägheits- oder Scheinkraft in [[rotierendes Bezugssystem|rotierenden Bezugssystemen]]
*als Trägheitskraft im Sinne von d'Alembert, um in der [[Technische Mechanik|Technischen Mechanik]] die Dynamik auf die Statik zurückzuführen.

Trägheits- oder Scheinkräfte sind heute im Sinne von Einstein zu interpretieren. Der sich im rotierenden Bezugssystem aufhaltende Beobachter erlebt die Zentrifugalkraft als reine Gravitationskraft. So kann ein Bewohner von Winterthur mit keiner Messmethode entscheiden, welchen Anteil der Gewichtskraft auf die Masse der Erde und welchen Anteil auf die Rotation der Erde zurückzuführen ist.

Auf das Prinzip von d'Alembert sollte man auch in den Ingenieurwissenschaften verzichen. Sonst läuft der praktizierende Ingenieur Gefahr, eigene Fehlkonzepte in den Rang einer wissenschaftlichen Theorie zu heben. Die Vorliebe des Ingenieurs für die Statik ist historisch begründbar und hat im Brückenbau zu grossen Fortschritten geführt. Nur stehen heute ganz andere Probleme an, die mit quasistatischen Methoden nicht mehr gelöst werden können. Der von der [[Physik der dynamischen Systeme]] vorgezeichnete Weg mit [[Impuls]]- und [[Drehimpuls]]bilanzen sowie den zugehörigen [[konstitutive Gesetze|konstitutiven Gesetzen]] führt zu einem viel umfassenderen Verständnis des mechanischen Geschehens als der klassische Zugang über die Geometrie. Würde man den Ingenieuren auch in der Mechanik ein systemisches Verständnis beibringen, könnte man die Ausbildgung beschleunigen und viele "Konstruktionsmängel" verhindern.

Die Zentrifugalkraft wird oft als Gegenspielerin zur [[Zentripetalkraft]] gehandelt, was natürlich blanker Unsinn ist: die Zentrifugalkraft ist eine statische, gravitationsähnliche Kraft im rotierenden [[Bezugssystem]]; der Begriff Zentripetalkraft ist veraltet (aus Özis Tagebuch), überflüssig (Kräfte sollten nach der Einwirkung und nicht nach der Problemstellung benannt werden) und irreführend (die Wörter Zentripetal und Zentrifugal passen halt so schön zusammen wie Fix und Foxi).

[[Kategorie:Rot]]

Zentripetalkraft

2007-03-13T09:52:43Z

User:

Der Begriff '''Zentripetalkraft''' (lat.: ''petere'' = "sich begeben" oder "aufsuchen") verwendet man bei einem Körper, der sich auf einer Kreisbahn bewegt. Mit Zentripetalkraft wird entweder die resultierende Kraft ([[gleichmässige Kreisbewegung]]) oder die Normalkomponente der resultierenden Kraft (allgemeine [[Kreisbewegung]]) bezeichnet.

Der Begriff '''Zentripetalkraft''' ist überflüssig, didaktisch fragwürdig und irreführend.
*'''Überflüssig:''' [[Kraft|Kräfte]], also Stärken von [[Impulsstrom|Impulsströmen]] oder [[Quelle|Impulsquellen]], sollten nur nach der Einwirkung benannt werden. So z.B.
**Gravitations- oder Gewichtskraft auf einen Satelliten, der die Erde umkreist
**elektrische Kraft auf eine Elektron, das ein Proton umkreist
**Schnurkraft auf einen Körper, der durch eine Schnur auf einer Kreisbahn gehalten wird
**Haftreibungskraft auf das Auto, das eine Kurve fährt
*'''Didaktisch fragwürdig:''' Mit dem Begriff Zentripetalkraft werden Schüler und Studierende darauf konditioniert, die richtige Formel für die resultierende Kraft bei der [[gleichmässige Kreisbewegung|gleichmässigen Kreisbewegung]] zu verwenden, ohne sich Gedanken über die Art der Kräfte oder die Richtung der Beschleunigung zu machen.
*'''Irreführend:''' Schüler und Studierende assozieren den Begriff Zentripetalkraft gern mit der auf rotierenden Bezugssystemen einzuführenden Grösse [[Zentrifugalkraft]]. Dieser geistige Kurzschluss führt dann zu einer ganzen Reihe von Fehlaussagen wie
**Zentripetal- und Zentrifugalkraft halten den Körper im Gleichgewicht (obwohl dieser normal- oder zentralbeschleunigt ist)
**Zentripetal- und Zentrifugalkraft bilden ein [[Wechselwirkung]]spaar im Sinne des dritten Newtonschen Axioms (was natürlich völliger Quatsch ist)

[[Kategorie:Trans]]

Enthalpie

2007-03-10T09:56:13Z

User:

Die Enthalpie (gr. ''en'' = "innerhalb" + ''thalpos'' = "Wärme") ist ein Mass für die Energie eines thermodynamischen Systems. Die Enthalpie wird in Joule (J) gemessen. Als Formelzeichen wird oft ''H'' verwendet.

==Motivation==
Heizt man ein Gas oder eine Flüssigkeit auf, kann aus der [[Energiebilanz]]

:<math>I_{W_{therm}} + I_{W_{mech}} = \dot W</math>

unter Berücksichtigung der Homogenität (überall gleicher Zustand) und der Isotropie (nur Druck) der mechanische Energiestrom mit Hilfe der Zustandsgrössen [[Druck]] und [[Volumen]] umgeformt werden

:<math>I_{W_{therm}} = \dot W - I_{W_{mech}} = \dot W + p \dot V</math>

Die rechte Seite der Gleichung kann als Speicher für die thermische Energie aufgefasst werden, solange die Umgebung den Druck auf einem festen Wert hält. Diese Argumentation, bei der die Änderung der inneren Energie und die Expansionsarbeit einem gemeinsamen Speicher zugewiesen werden, folgt der Begriffsbildung der [[potenzielle Energie|potenziellen Energie]], bei der die gespeicherte Energie auch dem Körper und nicht dem [[elektromagnetisches Feld|elektromagnetischen Feld]] oder dem [[Gravitationsfeld]], dem eigentlichen Speicher, zugewiesen wird. Die Argumentation mit der thermisch gespeicherten Energie bleibt konsistent, solange bei konstantem Druck geheizt und gekühlt wird. Sobald aber ein Stoff unterschiedliche Prozesse durchläuft, muss man die Idee einer thermisch gespeicherten Energie fallen lassen.

==Definition==
Die Enthalpie, die der Fiktion des thermischen Energiespeichers entspringt, hat als sauber definierte Zustandsgrösse den Irrtum ihrer Entstehung überlebt. Für homogene Flüssigkeiten und Gase ist die Enthalpie gleich der [[innere Energie|inneren Energie]] plus das Produkt aus [[Volumen]] und [[Druck]]

:<math>H = W + pV = U + pV</math>

In der zweiten Form ist das klassische Formelzeichen ''U'' für die innere Energie verwendet worden. Die innere Energie oder Selbstenergie eines Systems, die gemäss der Relativtitätstheorie gleich Mass mal Lichtgeschwindigkeit im Quadrat ist, wird üblicherweise bei einem bestimmten Zustand (''T0'', ''p0'') gleich Null gesetzt.

Heizt man ein homogenes [[Fluid]] bei konstantem Druck auf, gilt

:<math>I_{W_{therm}} = \dot W + p \dot V = \dot H</math>

Bei konstant gehaltenem Druck ist der Wärmestrom gleich der Änderungsrate der Enthalpie.

==einfache, homogene Systeme==
Flüssige, gasförmige und auch feste Stoffe bei nicht zu tiefer Temperatur besitzen eine nahezu konstante [[Wärmekapazität]]. Heizt man einen solchen Stoff bei konstantem Druck auf, steigt die Temperatur proportional mit der zugeführten Wärmeenergie an

:<math>I_{W_{therm}} = \dot H = m c \dot T = n \hat c \dot T</math>

Die Wärmkapazazität, die eigentlich Enthalpiekapaztität heissen müsste, wird hier einmal auf die Mass ([[spezifisch]]) und einmal auf die Stoffmenge ([[molar]]) bezogen.

Nimmt man die Schmelzenthalpie (''m q'') und die Verdampfungsenthalpie (''m r'') dazu, kann die Enthalpie eines einfachen, homogenen Systems bei einem gegebenen Druck in Form einer Funktion angegeben werden

:<math>H = H_0 + m \left(c_{fest}(T_{schmelz} - T_0) + q + c_{fluessig}(T_{siede} - T_{schmelz}) + r + c_{gas}(T - T_{siede}) \right)</math>

Liegt die Temperatur unter dem Siedepunkt für den gegebenen Druck, entfallen einzelne Terme. Liegt ein Gemisch fest/flüssig oder flüssig/gasförmig vor, muss der schon verflüssigte oder vergaste Teil mit der Schmelz- oder Verdampfungsenthalpie multipliziert werden.

==Reaktionsenthalpie==
Die Reaktionsenthalpie gibt den Energieumsatz einer bei konstantem Druck durchgeführten Reaktion an. Die Reaktionsenthalpie, die mit einem [[Reaktionskalorimeter]] gemessen wird, entspricht der Enthalpieänderung des Kalorimeters.

Eine Reaktion kann [[exotherm]] oder [[endotherm]] verlaufen. Bei einer exothermen Reaktion ist die Enthalpieänderung positiv, d.h. die Reaktanden geben Energie in Form von Wärme an das Kalorimeter ab. Bei einer endothermen nehmen die Stoffe bei der Reaktion Wärme vom Kalorimeter auf. Endotherme Reaktionen hat man erst mit Hilfe einer korrekten [[Entropiebilanz]] richtig verstanden. Weil bei jedem irreversiblen, also spontan ablaufenden Prozess [[Entropie]] erzeugt wird, hat man zuerst angenommen, dass immer [[Wärme]] abgeführt werden muss. Speichern die Edukte aber bei gleichem Druck und fast gleicher Temperatur bedeutend mehr Entropie als die Edukte, kann der zusätzliche Bedarf nicht alleine durch die bei der Reaktion produzierten Entropie gedeckt werden. Folglich muss zusätzlich noch Entropie zugeführt werden. Die zugeführte Entropie mal die absolute Temperatur ergibt die [[zugeordneter Energiestrom|zugeordnete Energie]], also die Wärmeenergie. Eine bekannte endotherme Reaktion ist das Lösen von Salzen in Wasser.

[[Kategorie: Thermo]]

Ideales Gas

2007-02-28T22:01:14Z

User: /* statische Beschreibung */

==Modell==
Das Modell des idealen Gases beschreibt den Zustand von stark verdünnten [[homogener Stoff|Stoffen]], wobei die Wechselwirkung zwischen den Teilchen dieses Stoffes vernachlässigbar klein sein sollte. Dieses Modell ist auf gasförmige und gelöste Stoffe anwendbar.

[[Bild: Ideales_Gas.gif|thumb|thermische und mechanische Verbindung des idealen Gases]]
Der Zustand des idealen Gases kann auf zwei Arten verändert werden, durch heizen und kühlen oder durch komprimieren und entspannen. Um diese Prozesse kontrolliert ablaufen zu lassen, gehen wir von folgender Anordnung aus. Das Gas befinde sich in einem Zylinder, der mit einem Kolben verschlossen ist. Der Zylinderboden sei ideal wärmedurchlässig (diatherm), besitze aber selber keine Wärmekapazität. Die Zylinderwände und der Kolben sind absolut wärmeisoliert (adiabatisch). Der reibunsfrei verschiebbare Kolben schliesst das Gas hermetisch gegen eine inkompressible Flüssigkeit ab, welche für den Druckaufbau verantwortlich ist. Bei Lösungen ist die Flüssigkeit gleichzeitig Lösungsmittel und der Kolben für das Lösungsmittel durchlässig, für den gelösten Stoff dagegen nicht. Einen dermassen selektiv durchlässigen Kolben nennt man semipermeabel.

Das Systeme Gas besitzt eine direkte thermische und eine indirekte hydraulische Verbindung zur Umgebung. Es kann deshalb mit der Umgebung Energie in Form von Wärme und Arbeit austauschen.

==Bilanzen und Prozesse==
Das ideal Gas kann über zwei Verbindungen (Portale oder Konnektoren) Entropie und Volumen mit der Umgebung austauschen. Weil das Gas homogen ist und die Verbindungen ideal sind, wird innerhalb des Systems keine Entropie produziert. Folglich kann die [[Entropiebilanz]] und die [[Volumenbilanz]] in einfachster Form hingeschrieben werden

<math>\begin{matrix} I_S &=& \dot S \\ I_V &=& \dot V_{Fluid} = -\dot V \end{matrix}</math>

Das ideale Gas kann vier einfach zu realisierende Prozesse durchlaufen. In zwei Prozessen ist je ein Portal geschlossen, in den zwei andern ist das Portal hemmungslos mit der Umwelt verbunden, so dass innen und aussen der gleiche Druck bzw. die gleiche Temperatur herrscht.
{|
!width = "100"|Prozess
!width = "100"|Beschreibung
!width = "150"|thermisches Portal
!width = "150"|hydraulisches Portal
|-
|isochor
|''V'' =konst
|aktiv
|geschlossen
|-
|isobar
|''p'' =konst
|aktiv
|direkt verbunden
|-
|isentrop
|''S'' =konst
|geschlossen
|aktiv
|-
|isotherm
|''T'' =konst
|direkt verbunden
|aktiv
|}

==konstitutive Gleichungen==
Beim idealen Gas koppeln zwei Bilanzgleichungen über die beiden zugehörigen [[Potenzial|Potenziale]]. Im Gegensatz zum [[Punktmechanik|Massenpunkt]], bei dem die [[Masse]] als dreifache [[Impuls]]kapazität auftritt und ähnlich wie beim [[starrer Körper|starren Körper]], bei dem die drei [[Drehimpuls]]komponenten über das [[Massenträgheitsmoment]] mit den drei Komponenten der [[Winkelgeschwindigkeit]] verknüpft sind, lässt sich die Struktur dieser beiden Speichergesetze nicht ganz einfach durchschauen.

Das erste Speichergesetz, die universelle Gasgleichung oder die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases, verknüpft die drei direkt messbaren Grössen Druck, Volumen und Temperatur miteinander

:<math>pV= nRT=mR_sT</math>

Die erste Form basiert auf der [[Stoffmenge]] als natürliches Mass für die Menge eines Stoffes, die zweite nimmt die [[Masse]] als Hilfsgrösse, um die Menge des Soffes zu quantifizieren. ''R'' steht für die [[Naturkonstanten|universelle Gaskonstante]] und ''Rs'' für die spezifische Gaskonstante, die für jeden Stoff einen andern Wert annimmt.

Das zweit Speichergesetz beschreibt die [[Entropie]] in Funktion des [[Volumen]]s und der [[Temperatur]]

:<math>S = S_0 + n (R ln \frac {V}{V_0} + \hat c_V ln \frac {T}{T_0}) = S_0 + m (R_s ln \frac {V}{V_0} + c_V ln \frac {T}{T_0})</math>

Die molare bzw. spezifische Energiekapazität (''c^V'' bzw. ''cV'') ist für einatomige Gase gleich 3 ''R'' / 2 bzw. 3 ''Rs / 2''. Diese Grössen nennt man auch molare bzw. spezifische [[Wärmekapazität]] bei konstantem Volumen, weil sie beim Heizen mit konstantem Volumen (isochores Heizen) ein Mass für die zuzuführende Wärmeenergie sind.

Mit Hilfe der universellen Gasgleichung kann das Speichergesetz für die Entropie umgeformt werden in

:<math>S = S_0 + n (R ln \frac {p_0}{p} + \hat c_p ln \frac {T}{T_0}) = S_0 + m (R_s ln \frac {p_0}{p} + c_p ln \frac {T}{T_0})</math>

vobei ''c^p'' oder ''cp'', die molare bzw. spezifische Enthalpiekapazität, um die Gaskonstante grösser ist als die molare bzw. spezifische Wärmekapazität. Diese Grössen heissen auch molare bzw. spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck, weil sie beim Heizen mit konstantem Druck (isobares Heizen) ein Mass für die zuzuführende Wärmeenergie sind.

Bei den vier grundlegenden Prozessen nehmen die beiden konstitutiven Gleichungen die folgende Form an (die Gleichungen müssen unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen nach der Zeit abgeleitet werden, damit sie in Form von [[Änderungsrate|Änderungsraten]] eine momentane Beschreibung des Prozesses abgeben)

{|
!width = "100"|Prozess
!width = "150"|Gasgleichung
!width = "150"|Entropiegesetz
!width = "150"|Bemerkung
|-
|isochor
|<math>V \dot p = n R \dot T</math>
|<math>\dot S = n \hat c_V \frac {\dot T}{T}</math>
|<math>\dot V = 0</math>
|-
|isobar
|<math>p \dot V = n R \dot T</math>
|<math>\dot S = n \hat c_p \frac {\dot T}{T}</math>
|<math>\dot p = 0</math>
|-
|isentrop
|<math>R \frac {\dot V}{V}\hat + c_V \frac {\dot T}{T} = 0</math>
|<math>\dot S = 0</math>
|erste Gleichung folgt aus Entropiegesetz
|-
|isotherm
|<math>\dot p V + \dot V p = 0</math>
|<math>\dot S = n R \frac {\dot V}{V}</math>
|<math>\dot T = 0</math>
|}

==Energiebilanz==
Die [[Energiebilanz]] bezüglich eines homogenen, thermischen Systems heisst aus historischen Gründen 1. Hauptsatz. Die Bilanz setzt die Stärke des thermischen Energiestromes (Wärme) und die des mechanischen (Arbeit) gleich der [[Änderungsrate]] der [[innere Energie|inneren Energie]]

<math>I_{W_{therm}} + I_{W_{mech}} = \dot W</math>

Die Energieströme können mit Hilfe des [[zugeordneter Energiestrom|zugeordneten Energiestromes]] durch die Stromstärke der [[Primärgrösse|Primärgrössen]] und die zugehörigen [[Potenzial|Potenziale]] ausgedrückt werden

<math>T I_S + p I_V = \dot W</math>

Weil das System reversibel (ohne Entropieproduktion) arbeitet und das Fluid inkompressibel ist, dürfen die Mengenströme über die [[Entropiebilanz]] und die [[Volumenbilanz]] durch die zugehörigen [[Änderungsrate]]n ersetzt werden

<math>T \dot S - p \dot V= \dot W</math>

Das Minuszeichen beim hydraulischen Teil kommt von der Konstanz der Summe aus Gasvolumen und Fluidvolumen: wenn das Fluidvolumen infolge Zufuhr zunimmt, vermindert sich das Gasvolumen und umgekehrt.

Die letzte Form ermöglicht eine graphische Interpretation der Wärme und der Arbeit bei homogenen und reversiblen Systemen. Die Wärme entpricht der Fläche (Integral) unter der Kurve im ''T-S-''Diagramm und die Arbeit ist gleich der Fläche (negatives Integral) im ''p-V-''Diagramm.

Setzt man in die letzte Form der Energiebilanz das Entropiegesetz für das ideale Gas bei einem isochorem Prozess ein (siehe Tabelle), erhält man folgende Aussage

<math>I_{W_{therm}}= \dot W = n \hat c_V \dot T</math>

In einem isochor geführten Prozess ist die Zunahme der inneren Energie gleich der zugeführten Wärme (daher der Name Wärmekapazität bei konstantem Volumen statt einfach und korrekt nur Energiekapazität). Indem man die konstitutiven Gesetze des idealen Gases für eine beliebe Prozessführunge einsetzt, kann man zeigen, dass die innere Energie des Gases immer diese Form hat, also proportional mit der Temperatur zunimmt und unabhängig vom Volumen ist.

Bei isobarer Prozessführung ist die in Form von Wärme zugeführte Energie gleich der Zunahme der inneren Energie plus die Expansionsarbeit des Gases gegen den Kolben (die hydraulische Abgabe von Energie an die Umwelt). Fügt man nun die [[Enthalpie]] als eine neue "Energieform" in die Energiebilanz ein, ist die zugeführte Wärme gleich der Enthalpieänderung

<math>I_{W_{therm}}= \dot W + p_0 \dot V = \dot H = n \hat c_p \dot T</math>

In einem isobar geführten Prozess ist die Zunahme der Enthalpie gleich der zugeführten Wärme (daher der Name Wärmekapazität bei konstantem Druck statt Enthalpiekapazität).

Bei isothermer Prozessführung ist die in Form von Arbeit zugeführte Energie gleich der Änderung der inneren Energie plus die in Form von Wärme an die Umwelt abgegebene Energie. Weil die innere Energie des idealen Gases nicht von der Temperatur abhängt, heben sich bei der isothermen Prozesführung Arbeit und Wärme auf. Fügt man nun die [[freie Energie]] als neue "Energieform" in die Energiebilanz ein, ist die zugeführt Arbeit gleich der Änderung der freien Energie

<math>I_{W_{mech}}= \dot W + T_0 \dot S = \dot F</math>

Die freie Energie kommt unserer Vorstellung von Arbeit sehr nahe. Bei der isothermen Expansion ist die Arbeit gleich der Änderung der freien Energie. Dass diese Energie zusammen mit der Entropie von der Umwelt her zugeführt wird, bemerken wir nicht. Das expandierende Gas nimmt von der Umwelt Energie und Entropie auf, gibt aber nur die Energie weiter und behält die Entropie. So kann Wärme vollständig in Arbeit "umgewandelt" werden.

==statische Beschreibung==

Die statische Beschreibung einer Zustandsänderung gewinnt man durch die Integration der entsprechenden Prozesse
{|
!width = "100"|Prozess
!width = "180"|Gasgleichung
!width = "180"|Entropie
!width = "200"|Energie
!width = "200"|Bemerkung
|-
|isochor
|<math>\frac {p}{p_0} = \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta S = n \hat c_V ln \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta W = n \hat c_V \Delta T</math>
|Gesetz von [[Amontons]]
|-
|isobar
|<math>\frac {V}{V_0} = \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta S = n \hat c_p ln \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta H = n \hat c_p \Delta T</math>
|Gesetz von [[Gay-Lussac]]
|-
|isentrop
|<math>(\frac {V}{V_0})^R = (\frac {T_0}{T})^{\hat c_V}</math>
|<math>\Delta S = 0</math>
|<math>\Delta W = n \hat c_V \Delta T</math>
|<math>\kappa = \fra{\hat c_p}{\hat c_V}</math>
|-
|isotherm
|<math>\frac {V}{V_0} = \frac {p_0}{p}</math>
|<math>\Delta S = n R ln(\frac {V}{V_0})</math>
|<math>\Delta F = n R T_0 ln(\frac {V_0}{V})</math>
|Gesetz von [[Boyle-Mariotte]]
|}

Den Ausdruck für die isentrope Zustandsänderung kann mit Hilfe des '''Isentropenexponentes''' <math>\kappa = \frac {\hat c_p}{\hat c_V}</math> umgeschrieben werden

:<math>(\frac {V}{V_0})^{\kappa -1} = \frac {T_0}{T}</math>

Unter Verwendung der universellen Gasgleichung lässt sich dieser Zusammenhang in eine Form mit den Variablen ''p'' und ''V'' umwandeln

:<math>(\frac {V}{V_0})^\kappa = \frac {p_0}{p}</math>

Eine weiter Umformung liefert

:<math>(\frac {p}{p_0})^{\kappa -1} = (\frac {T}{T_0})^\kappa</math>

==Anwendungen==
*das [[SD-Modell des idealen Gases]]
*[[Carnot-Prozess]]
*[[Stirling-Prozess]]
*[[Osmose]]

[[Kategorie:Thermo]]

Ideales Gas

2007-02-28T21:59:33Z

User: /* konstitutive Gleichungen */

==Modell==
Das Modell des idealen Gases beschreibt den Zustand von stark verdünnten [[homogener Stoff|Stoffen]], wobei die Wechselwirkung zwischen den Teilchen dieses Stoffes vernachlässigbar klein sein sollte. Dieses Modell ist auf gasförmige und gelöste Stoffe anwendbar.

[[Bild: Ideales_Gas.gif|thumb|thermische und mechanische Verbindung des idealen Gases]]
Der Zustand des idealen Gases kann auf zwei Arten verändert werden, durch heizen und kühlen oder durch komprimieren und entspannen. Um diese Prozesse kontrolliert ablaufen zu lassen, gehen wir von folgender Anordnung aus. Das Gas befinde sich in einem Zylinder, der mit einem Kolben verschlossen ist. Der Zylinderboden sei ideal wärmedurchlässig (diatherm), besitze aber selber keine Wärmekapazität. Die Zylinderwände und der Kolben sind absolut wärmeisoliert (adiabatisch). Der reibunsfrei verschiebbare Kolben schliesst das Gas hermetisch gegen eine inkompressible Flüssigkeit ab, welche für den Druckaufbau verantwortlich ist. Bei Lösungen ist die Flüssigkeit gleichzeitig Lösungsmittel und der Kolben für das Lösungsmittel durchlässig, für den gelösten Stoff dagegen nicht. Einen dermassen selektiv durchlässigen Kolben nennt man semipermeabel.

Das Systeme Gas besitzt eine direkte thermische und eine indirekte hydraulische Verbindung zur Umgebung. Es kann deshalb mit der Umgebung Energie in Form von Wärme und Arbeit austauschen.

==Bilanzen und Prozesse==
Das ideal Gas kann über zwei Verbindungen (Portale oder Konnektoren) Entropie und Volumen mit der Umgebung austauschen. Weil das Gas homogen ist und die Verbindungen ideal sind, wird innerhalb des Systems keine Entropie produziert. Folglich kann die [[Entropiebilanz]] und die [[Volumenbilanz]] in einfachster Form hingeschrieben werden

<math>\begin{matrix} I_S &=& \dot S \\ I_V &=& \dot V_{Fluid} = -\dot V \end{matrix}</math>

Das ideale Gas kann vier einfach zu realisierende Prozesse durchlaufen. In zwei Prozessen ist je ein Portal geschlossen, in den zwei andern ist das Portal hemmungslos mit der Umwelt verbunden, so dass innen und aussen der gleiche Druck bzw. die gleiche Temperatur herrscht.
{|
!width = "100"|Prozess
!width = "100"|Beschreibung
!width = "150"|thermisches Portal
!width = "150"|hydraulisches Portal
|-
|isochor
|''V'' =konst
|aktiv
|geschlossen
|-
|isobar
|''p'' =konst
|aktiv
|direkt verbunden
|-
|isentrop
|''S'' =konst
|geschlossen
|aktiv
|-
|isotherm
|''T'' =konst
|direkt verbunden
|aktiv
|}

==konstitutive Gleichungen==
Beim idealen Gas koppeln zwei Bilanzgleichungen über die beiden zugehörigen [[Potenzial|Potenziale]]. Im Gegensatz zum [[Punktmechanik|Massenpunkt]], bei dem die [[Masse]] als dreifache [[Impuls]]kapazität auftritt und ähnlich wie beim [[starrer Körper|starren Körper]], bei dem die drei [[Drehimpuls]]komponenten über das [[Massenträgheitsmoment]] mit den drei Komponenten der [[Winkelgeschwindigkeit]] verknüpft sind, lässt sich die Struktur dieser beiden Speichergesetze nicht ganz einfach durchschauen.

Das erste Speichergesetz, die universelle Gasgleichung oder die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases, verknüpft die drei direkt messbaren Grössen Druck, Volumen und Temperatur miteinander

:<math>pV= nRT=mR_sT</math>

Die erste Form basiert auf der [[Stoffmenge]] als natürliches Mass für die Menge eines Stoffes, die zweite nimmt die [[Masse]] als Hilfsgrösse, um die Menge des Soffes zu quantifizieren. ''R'' steht für die [[Naturkonstanten|universelle Gaskonstante]] und ''Rs'' für die spezifische Gaskonstante, die für jeden Stoff einen andern Wert annimmt.

Das zweit Speichergesetz beschreibt die [[Entropie]] in Funktion des [[Volumen]]s und der [[Temperatur]]

:<math>S = S_0 + n (R ln \frac {V}{V_0} + \hat c_V ln \frac {T}{T_0}) = S_0 + m (R_s ln \frac {V}{V_0} + c_V ln \frac {T}{T_0})</math>

Die molare bzw. spezifische Energiekapazität (''c^V'' bzw. ''cV'') ist für einatomige Gase gleich 3 ''R'' / 2 bzw. 3 ''Rs / 2''. Diese Grössen nennt man auch molare bzw. spezifische [[Wärmekapazität]] bei konstantem Volumen, weil sie beim Heizen mit konstantem Volumen (isochores Heizen) ein Mass für die zuzuführende Wärmeenergie sind.

Mit Hilfe der universellen Gasgleichung kann das Speichergesetz für die Entropie umgeformt werden in

:<math>S = S_0 + n (R ln \frac {p_0}{p} + \hat c_p ln \frac {T}{T_0}) = S_0 + m (R_s ln \frac {p_0}{p} + c_p ln \frac {T}{T_0})</math>

vobei ''c^p'' oder ''cp'', die molare bzw. spezifische Enthalpiekapazität, um die Gaskonstante grösser ist als die molare bzw. spezifische Wärmekapazität. Diese Grössen heissen auch molare bzw. spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck, weil sie beim Heizen mit konstantem Druck (isobares Heizen) ein Mass für die zuzuführende Wärmeenergie sind.

Bei den vier grundlegenden Prozessen nehmen die beiden konstitutiven Gleichungen die folgende Form an (die Gleichungen müssen unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen nach der Zeit abgeleitet werden, damit sie in Form von [[Änderungsrate|Änderungsraten]] eine momentane Beschreibung des Prozesses abgeben)

{|
!width = "100"|Prozess
!width = "150"|Gasgleichung
!width = "150"|Entropiegesetz
!width = "150"|Bemerkung
|-
|isochor
|<math>V \dot p = n R \dot T</math>
|<math>\dot S = n \hat c_V \frac {\dot T}{T}</math>
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|-
|isobar
|<math>p \dot V = n R \dot T</math>
|<math>\dot S = n \hat c_p \frac {\dot T}{T}</math>
|<math>\dot p = 0</math>
|-
|isentrop
|<math>R \frac {\dot V}{V}\hat + c_V \frac {\dot T}{T} = 0</math>
|<math>\dot S = 0</math>
|erste Gleichung folgt aus Entropiegesetz
|-
|isotherm
|<math>\dot p V + \dot V p = 0</math>
|<math>\dot S = n R \frac {\dot V}{V}</math>
|<math>\dot T = 0</math>
|}

==Energiebilanz==
Die [[Energiebilanz]] bezüglich eines homogenen, thermischen Systems heisst aus historischen Gründen 1. Hauptsatz. Die Bilanz setzt die Stärke des thermischen Energiestromes (Wärme) und die des mechanischen (Arbeit) gleich der [[Änderungsrate]] der [[innere Energie|inneren Energie]]

<math>I_{W_{therm}} + I_{W_{mech}} = \dot W</math>

Die Energieströme können mit Hilfe des [[zugeordneter Energiestrom|zugeordneten Energiestromes]] durch die Stromstärke der [[Primärgrösse|Primärgrössen]] und die zugehörigen [[Potenzial|Potenziale]] ausgedrückt werden

<math>T I_S + p I_V = \dot W</math>

Weil das System reversibel (ohne Entropieproduktion) arbeitet und das Fluid inkompressibel ist, dürfen die Mengenströme über die [[Entropiebilanz]] und die [[Volumenbilanz]] durch die zugehörigen [[Änderungsrate]]n ersetzt werden

<math>T \dot S - p \dot V= \dot W</math>

Das Minuszeichen beim hydraulischen Teil kommt von der Konstanz der Summe aus Gasvolumen und Fluidvolumen: wenn das Fluidvolumen infolge Zufuhr zunimmt, vermindert sich das Gasvolumen und umgekehrt.

Die letzte Form ermöglicht eine graphische Interpretation der Wärme und der Arbeit bei homogenen und reversiblen Systemen. Die Wärme entpricht der Fläche (Integral) unter der Kurve im ''T-S-''Diagramm und die Arbeit ist gleich der Fläche (negatives Integral) im ''p-V-''Diagramm.

Setzt man in die letzte Form der Energiebilanz das Entropiegesetz für das ideale Gas bei einem isochorem Prozess ein (siehe Tabelle), erhält man folgende Aussage

<math>I_{W_{therm}}= \dot W = n \hat c_V \dot T</math>

In einem isochor geführten Prozess ist die Zunahme der inneren Energie gleich der zugeführten Wärme (daher der Name Wärmekapazität bei konstantem Volumen statt einfach und korrekt nur Energiekapazität). Indem man die konstitutiven Gesetze des idealen Gases für eine beliebe Prozessführunge einsetzt, kann man zeigen, dass die innere Energie des Gases immer diese Form hat, also proportional mit der Temperatur zunimmt und unabhängig vom Volumen ist.

Bei isobarer Prozessführung ist die in Form von Wärme zugeführte Energie gleich der Zunahme der inneren Energie plus die Expansionsarbeit des Gases gegen den Kolben (die hydraulische Abgabe von Energie an die Umwelt). Fügt man nun die [[Enthalpie]] als eine neue "Energieform" in die Energiebilanz ein, ist die zugeführte Wärme gleich der Enthalpieänderung

<math>I_{W_{therm}}= \dot W + p_0 \dot V = \dot H = n \hat c_p \dot T</math>

In einem isobar geführten Prozess ist die Zunahme der Enthalpie gleich der zugeführten Wärme (daher der Name Wärmekapazität bei konstantem Druck statt Enthalpiekapazität).

Bei isothermer Prozessführung ist die in Form von Arbeit zugeführte Energie gleich der Änderung der inneren Energie plus die in Form von Wärme an die Umwelt abgegebene Energie. Weil die innere Energie des idealen Gases nicht von der Temperatur abhängt, heben sich bei der isothermen Prozesführung Arbeit und Wärme auf. Fügt man nun die [[freie Energie]] als neue "Energieform" in die Energiebilanz ein, ist die zugeführt Arbeit gleich der Änderung der freien Energie

<math>I_{W_{mech}}= \dot W + T_0 \dot S = \dot F</math>

Die freie Energie kommt unserer Vorstellung von Arbeit sehr nahe. Bei der isothermen Expansion ist die Arbeit gleich der Änderung der freien Energie. Dass diese Energie zusammen mit der Entropie von der Umwelt her zugeführt wird, bemerken wir nicht. Das expandierende Gas nimmt von der Umwelt Energie und Entropie auf, gibt aber nur die Energie weiter und behält die Entropie. So kann Wärme vollständig in Arbeit "umgewandelt" werden.

==statische Beschreibung==

Die statische Beschreibung einer Zustandsänderung gewinnt man durch die Integration der entsprechenden Prozesse
{|
!width = "100"|Prozess
!width = "180"|Gasgleichung
!width = "180"|Entropie
!width = "200"|Energie
!width = "200"|Bemerkung
|-
|isochor
|<math>\frac {p}{p_0} = \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta S = n \hat c_V ln \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta W = n \hat c_V \Delta T</math>
|Gesetz von [[Amontons]]
|-
|isobar
|<math>\frac {V}{V_0} = \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta S = n \hat c_p ln \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta H = n \hat c_p \Delta T</math>
|Gesetz von [[Gay-Lussac]]
|-
|isentrop
|<math>(\frac {V}{V_0})^R = (\frac {T_0}{T})^{\hat c_V}</math>
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|<math>\Delta W = n \hat c_V \Delta T</math>
|<math>\kappa = \fra{\hat c_p}{\hat c_V}</math>
|-
|isotherm
|<math>\frac {V}{V_0} = \frac {p_0}{p}</math>
|<math>\Delta S = n R ln(\frac {V}{V_0})</math>
|<math>\Delta F = n R T_0 ln(\frac {V_0}{V})</math>
|Gesetz von [[Boyle-Mariotte]]
|}

Den Ausdruck für die isentrope Zustandsänderung kann mit Hilfe des Isentropenexponentes <math>\kappa = \frac {\hat c_p}{\hat c_V}</math> umgeschrieben werden

:<math>(\frac {V}{V_0})^{\kappa -1} = \frac {T_0}{T}</math>

Unter Verwendung der universellen Gasgleichung lässt sich dieser Zusammenhang in eine Form mit den Variablen ''p'' und ''V'' umwandeln

:<math>(\frac {V}{V_0})^\kappa = \frac {p_0}{p}</math>

Eine weiter Umformung liefert

:<math>(\frac {p}{p_0})^{\kappa -1} = (\frac {T}{T_0})^\kappa</math>

==Anwendungen==
*das [[SD-Modell des idealen Gases]]
*[[Carnot-Prozess]]
*[[Stirling-Prozess]]
*[[Osmose]]

[[Kategorie:Thermo]]

Ideales Gas

2007-02-28T21:49:56Z

User: /* konstitutive Gleichungen */

==Modell==
Das Modell des idealen Gases beschreibt den Zustand von stark verdünnten [[homogener Stoff|Stoffen]], wobei die Wechselwirkung zwischen den Teilchen dieses Stoffes vernachlässigbar klein sein sollte. Dieses Modell ist auf gasförmige und gelöste Stoffe anwendbar.

[[Bild: Ideales_Gas.gif|thumb|thermische und mechanische Verbindung des idealen Gases]]
Der Zustand des idealen Gases kann auf zwei Arten verändert werden, durch heizen und kühlen oder durch komprimieren und entspannen. Um diese Prozesse kontrolliert ablaufen zu lassen, gehen wir von folgender Anordnung aus. Das Gas befinde sich in einem Zylinder, der mit einem Kolben verschlossen ist. Der Zylinderboden sei ideal wärmedurchlässig (diatherm), besitze aber selber keine Wärmekapazität. Die Zylinderwände und der Kolben sind absolut wärmeisoliert (adiabatisch). Der reibunsfrei verschiebbare Kolben schliesst das Gas hermetisch gegen eine inkompressible Flüssigkeit ab, welche für den Druckaufbau verantwortlich ist. Bei Lösungen ist die Flüssigkeit gleichzeitig Lösungsmittel und der Kolben für das Lösungsmittel durchlässig, für den gelösten Stoff dagegen nicht. Einen dermassen selektiv durchlässigen Kolben nennt man semipermeabel.

Das Systeme Gas besitzt eine direkte thermische und eine indirekte hydraulische Verbindung zur Umgebung. Es kann deshalb mit der Umgebung Energie in Form von Wärme und Arbeit austauschen.

==Bilanzen und Prozesse==
Das ideal Gas kann über zwei Verbindungen (Portale oder Konnektoren) Entropie und Volumen mit der Umgebung austauschen. Weil das Gas homogen ist und die Verbindungen ideal sind, wird innerhalb des Systems keine Entropie produziert. Folglich kann die [[Entropiebilanz]] und die [[Volumenbilanz]] in einfachster Form hingeschrieben werden

<math>\begin{matrix} I_S &=& \dot S \\ I_V &=& \dot V_{Fluid} = -\dot V \end{matrix}</math>

Das ideale Gas kann vier einfach zu realisierende Prozesse durchlaufen. In zwei Prozessen ist je ein Portal geschlossen, in den zwei andern ist das Portal hemmungslos mit der Umwelt verbunden, so dass innen und aussen der gleiche Druck bzw. die gleiche Temperatur herrscht.
{|
!width = "100"|Prozess
!width = "100"|Beschreibung
!width = "150"|thermisches Portal
!width = "150"|hydraulisches Portal
|-
|isochor
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|isentrop
|''S'' =konst
|geschlossen
|aktiv
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|isotherm
|''T'' =konst
|direkt verbunden
|aktiv
|}

==konstitutive Gleichungen==
Beim idealen Gas koppeln zwei Bilanzgleichungen über die beiden zugehörigen [[Potenzial|Potenziale]]. Im Gegensatz zum Massenpunkt als dreifacher, aber entkoppelter Impulsspeicher und anders als beim [[starrer Körper|starren Körper]] als dreifacher Drehimpulsspeicher, ist die Struktur dieser beiden Speichergesetze nicht ganz einfach zu durchschauen.

Das erste Speichergesetz, die universelle Gasgleichung oder die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases, verknüpft die drei direkt messbaren Grössen Druck, Volumen und Temperatur miteinander

:<math>pV= nRT=mR_sT</math>

Die erste Form basiert auf der [[Stoffmenge]] als natürliches Mass für die Menge eines Stoffes, die zweite nimmt die Masse als Hilfsgrösse, um die Menge des Soffes zu quantifizieren. ''R'' steht für die universelle Gaskonstante und ''Rs'' für die spezifische Gaskonstante, die für jeden Stoff einen andern Wert annimmt.

Das zweit Speichergesetz beschreibt die Entropie in Funktion des Volumens und der Temperatur

:<math>S = S_0 + n (R ln \frac {V}{V_0} + \hat c_V ln \frac {T}{T_0}) = S_0 + m (R_s ln \frac {V}{V_0} + c_V ln \frac {T}{T_0})</math>

Die molare bzw. spezifische Energiekapazität (''c^V'' bzw. ''cV'') ist für einatomige Gase gleich 3 ''R'' / 2 bzw. 3 ''Rs / 2''. Diese Grössen nennt man auch molare bzw. spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen, weil sie beim Heizen mit konstantem Volumen (isochores Heizen) ein Mass für die zuzuführende Wärmeenergie sind.

Mit Hilfe der universellen Gasgleichung kann das Speichergesetz für die Entropie umgeformt werden in

:<math>S = S_0 + n (R ln \frac {p_0}{p} + \hat c_p ln \frac {T}{T_0}) = S_0 + m (R_s ln \frac {p_0}{p} + c_p ln \frac {T}{T_0})</math>

vobei ''c^p'' oder ''cp'', die molare bzw. spezifische Enthalpiekapazität, um die Gaskonstante grösser ist als die molare bzw. spezifische Wärmekapazität. Diese Grössen heissen auch molare bzw. spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck, weil sie beim Heizen mit konstantem Druck (isobares Heizen) ein Mass für die zuzuführende Wärmeenergie sind.

Bei den vier grundlegenden Prozessen nehmen die beiden konstitutiven Gleichungen die folgende Form an (die Gleichungen müssen unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen nach der Zeit abgeleitet werden, damit sie in Form von [[Änderungsrate|Änderungsraten]] eine momentane Beschreibung des Prozesses abgeben)

{|
!width = "100"|Prozess
!width = "150"|Gasgleichung
!width = "150"|Entropiegesetz
!width = "150"|Bemerkung
|-
|isochor
|<math>V \dot p = n R \dot T</math>
|<math>\dot S = n \hat c_V \frac {\dot T}{T}</math>
|<math>\dot V = 0</math>
|-
|isobar
|<math>p \dot V = n R \dot T</math>
|<math>\dot S = n \hat c_p \frac {\dot T}{T}</math>
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|-
|isentrop
|<math>R \frac {\dot V}{V}\hat + c_V \frac {\dot T}{T} = 0</math>
|<math>\dot S = 0</math>
|erste Gleichung folgt aus Entropiegesetz
|-
|isotherm
|<math>\dot p V + \dot V p = 0</math>
|<math>\dot S = n R \frac {\dot V}{V}</math>
|<math>\dot T = 0</math>
|}

==Energiebilanz==
Die [[Energiebilanz]] bezüglich eines homogenen, thermischen Systems heisst aus historischen Gründen 1. Hauptsatz. Die Bilanz setzt die Stärke des thermischen Energiestromes (Wärme) und die des mechanischen (Arbeit) gleich der [[Änderungsrate]] der [[innere Energie|inneren Energie]]

<math>I_{W_{therm}} + I_{W_{mech}} = \dot W</math>

Die Energieströme können mit Hilfe des [[zugeordneter Energiestrom|zugeordneten Energiestromes]] durch die Stromstärke der [[Primärgrösse|Primärgrössen]] und die zugehörigen [[Potenzial|Potenziale]] ausgedrückt werden

<math>T I_S + p I_V = \dot W</math>

Weil das System reversibel (ohne Entropieproduktion) arbeitet und das Fluid inkompressibel ist, dürfen die Mengenströme über die [[Entropiebilanz]] und die [[Volumenbilanz]] durch die zugehörigen [[Änderungsrate]]n ersetzt werden

<math>T \dot S - p \dot V= \dot W</math>

Das Minuszeichen beim hydraulischen Teil kommt von der Konstanz der Summe aus Gasvolumen und Fluidvolumen: wenn das Fluidvolumen infolge Zufuhr zunimmt, vermindert sich das Gasvolumen und umgekehrt.

Die letzte Form ermöglicht eine graphische Interpretation der Wärme und der Arbeit bei homogenen und reversiblen Systemen. Die Wärme entpricht der Fläche (Integral) unter der Kurve im ''T-S-''Diagramm und die Arbeit ist gleich der Fläche (negatives Integral) im ''p-V-''Diagramm.

Setzt man in die letzte Form der Energiebilanz das Entropiegesetz für das ideale Gas bei einem isochorem Prozess ein (siehe Tabelle), erhält man folgende Aussage

<math>I_{W_{therm}}= \dot W = n \hat c_V \dot T</math>

In einem isochor geführten Prozess ist die Zunahme der inneren Energie gleich der zugeführten Wärme (daher der Name Wärmekapazität bei konstantem Volumen statt einfach und korrekt nur Energiekapazität). Indem man die konstitutiven Gesetze des idealen Gases für eine beliebe Prozessführunge einsetzt, kann man zeigen, dass die innere Energie des Gases immer diese Form hat, also proportional mit der Temperatur zunimmt und unabhängig vom Volumen ist.

Bei isobarer Prozessführung ist die in Form von Wärme zugeführte Energie gleich der Zunahme der inneren Energie plus die Expansionsarbeit des Gases gegen den Kolben (die hydraulische Abgabe von Energie an die Umwelt). Fügt man nun die [[Enthalpie]] als eine neue "Energieform" in die Energiebilanz ein, ist die zugeführte Wärme gleich der Enthalpieänderung

<math>I_{W_{therm}}= \dot W + p_0 \dot V = \dot H = n \hat c_p \dot T</math>

In einem isobar geführten Prozess ist die Zunahme der Enthalpie gleich der zugeführten Wärme (daher der Name Wärmekapazität bei konstantem Druck statt Enthalpiekapazität).

Bei isothermer Prozessführung ist die in Form von Arbeit zugeführte Energie gleich der Änderung der inneren Energie plus die in Form von Wärme an die Umwelt abgegebene Energie. Weil die innere Energie des idealen Gases nicht von der Temperatur abhängt, heben sich bei der isothermen Prozesführung Arbeit und Wärme auf. Fügt man nun die [[freie Energie]] als neue "Energieform" in die Energiebilanz ein, ist die zugeführt Arbeit gleich der Änderung der freien Energie

<math>I_{W_{mech}}= \dot W + T_0 \dot S = \dot F</math>

Die freie Energie kommt unserer Vorstellung von Arbeit sehr nahe. Bei der isothermen Expansion ist die Arbeit gleich der Änderung der freien Energie. Dass diese Energie zusammen mit der Entropie von der Umwelt her zugeführt wird, bemerken wir nicht. Das expandierende Gas nimmt von der Umwelt Energie und Entropie auf, gibt aber nur die Energie weiter und behält die Entropie. So kann Wärme vollständig in Arbeit "umgewandelt" werden.

==statische Beschreibung==

Die statische Beschreibung einer Zustandsänderung gewinnt man durch die Integration der entsprechenden Prozesse
{|
!width = "100"|Prozess
!width = "180"|Gasgleichung
!width = "180"|Entropie
!width = "200"|Energie
!width = "200"|Bemerkung
|-
|isochor
|<math>\frac {p}{p_0} = \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta S = n \hat c_V ln \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta W = n \hat c_V \Delta T</math>
|Gesetz von [[Amontons]]
|-
|isobar
|<math>\frac {V}{V_0} = \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta S = n \hat c_p ln \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta H = n \hat c_p \Delta T</math>
|Gesetz von [[Gay-Lussac]]
|-
|isentrop
|<math>(\frac {V}{V_0})^R = (\frac {T_0}{T})^{\hat c_V}</math>
|<math>\Delta S = 0</math>
|<math>\Delta W = n \hat c_V \Delta T</math>
|<math>\kappa = \fra{\hat c_p}{\hat c_V}</math>
|-
|isotherm
|<math>\frac {V}{V_0} = \frac {p_0}{p}</math>
|<math>\Delta S = n R ln(\frac {V}{V_0})</math>
|<math>\Delta F = n R T_0 ln(\frac {V_0}{V})</math>
|Gesetz von [[Boyle-Mariotte]]
|}

Den Ausdruck für die isentrope Zustandsänderung kann mit Hilfe des Isentropenexponentes <math>\kappa = \frac {\hat c_p}{\hat c_V}</math> umgeschrieben werden

:<math>(\frac {V}{V_0})^{\kappa -1} = \frac {T_0}{T}</math>

Unter Verwendung der universellen Gasgleichung lässt sich dieser Zusammenhang in eine Form mit den Variablen ''p'' und ''V'' umwandeln

:<math>(\frac {V}{V_0})^\kappa = \frac {p_0}{p}</math>

Eine weiter Umformung liefert

:<math>(\frac {p}{p_0})^{\kappa -1} = (\frac {T}{T_0})^\kappa</math>

==Anwendungen==
*das [[SD-Modell des idealen Gases]]
*[[Carnot-Prozess]]
*[[Stirling-Prozess]]
*[[Osmose]]

[[Kategorie:Thermo]]

Ideales Gas

2007-02-28T21:47:59Z

User: /* statische Beschreibung */

==Modell==
Das Modell des idealen Gases beschreibt den Zustand von stark verdünnten [[homogener Stoff|Stoffen]], wobei die Wechselwirkung zwischen den Teilchen dieses Stoffes vernachlässigbar klein sein sollte. Dieses Modell ist auf gasförmige und gelöste Stoffe anwendbar.

[[Bild: Ideales_Gas.gif|thumb|thermische und mechanische Verbindung des idealen Gases]]
Der Zustand des idealen Gases kann auf zwei Arten verändert werden, durch heizen und kühlen oder durch komprimieren und entspannen. Um diese Prozesse kontrolliert ablaufen zu lassen, gehen wir von folgender Anordnung aus. Das Gas befinde sich in einem Zylinder, der mit einem Kolben verschlossen ist. Der Zylinderboden sei ideal wärmedurchlässig (diatherm), besitze aber selber keine Wärmekapazität. Die Zylinderwände und der Kolben sind absolut wärmeisoliert (adiabatisch). Der reibunsfrei verschiebbare Kolben schliesst das Gas hermetisch gegen eine inkompressible Flüssigkeit ab, welche für den Druckaufbau verantwortlich ist. Bei Lösungen ist die Flüssigkeit gleichzeitig Lösungsmittel und der Kolben für das Lösungsmittel durchlässig, für den gelösten Stoff dagegen nicht. Einen dermassen selektiv durchlässigen Kolben nennt man semipermeabel.

Das Systeme Gas besitzt eine direkte thermische und eine indirekte hydraulische Verbindung zur Umgebung. Es kann deshalb mit der Umgebung Energie in Form von Wärme und Arbeit austauschen.

==Bilanzen und Prozesse==
Das ideal Gas kann über zwei Verbindungen (Portale oder Konnektoren) Entropie und Volumen mit der Umgebung austauschen. Weil das Gas homogen ist und die Verbindungen ideal sind, wird innerhalb des Systems keine Entropie produziert. Folglich kann die [[Entropiebilanz]] und die [[Volumenbilanz]] in einfachster Form hingeschrieben werden

<math>\begin{matrix} I_S &=& \dot S \\ I_V &=& \dot V_{Fluid} = -\dot V \end{matrix}</math>

Das ideale Gas kann vier einfach zu realisierende Prozesse durchlaufen. In zwei Prozessen ist je ein Portal geschlossen, in den zwei andern ist das Portal hemmungslos mit der Umwelt verbunden, so dass innen und aussen der gleiche Druck bzw. die gleiche Temperatur herrscht.
{|
!width = "100"|Prozess
!width = "100"|Beschreibung
!width = "150"|thermisches Portal
!width = "150"|hydraulisches Portal
|-
|isochor
|''V'' =konst
|aktiv
|geschlossen
|-
|isobar
|''p'' =konst
|aktiv
|direkt verbunden
|-
|isentrop
|''S'' =konst
|geschlossen
|aktiv
|-
|isotherm
|''T'' =konst
|direkt verbunden
|aktiv
|}

==konstitutive Gleichungen==
Beim idealen Gas koppeln zwei Bilanzgleichungen über die beiden zugehörigen [[Potenzial|Potenziale]]. Im Gegensatz zum Massenpunkt als dreifacher, aber entkoppelter Impulsspeicher und anders als beim [[starrer Körper|starren Körper]] als dreifacher Drehimpulsspeicher, ist die Struktur dieser beiden Speichergesetze nicht ganz einfach zu durchschauen.

Das erste Speichergesetz, die universelle Gasgleichung oder die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases, verknüpft die drei direkt messbaren Grössen Druck, Volumen und Temperatur miteinander

<math>pV= nRT=mR_sT</math>

Die erste Form basiert auf der [[Stoffmenge]] als natürliches Mass für die Menge eines Stoffes, die zweite nimmt die Masse als Hilfsgrösse, um die Menge des Soffes zu quantifizieren. ''R'' steht für die universelle Gaskonstante und ''R_s'' für die spezifische Gaskonstante, die für jeden Stoff einen andern Wert annimmt.

Das zweit Speichergesetz beschreibt die Entropie in Funktion des Volumens und der Temperatur

<math>S = S_0 + n (R ln \frac {V}{V_0} + \hat c_V ln \frac {T}{T_0}) = S_0 + m (R_s ln \frac {V}{V_0} + c_V ln \frac {T}{T_0})</math>

Die molare bzw. spezifische Energiekapazität (''c^V'' bzw. ''cV'') ist für einatomige Gase gleich 3 ''R'' / 2 bzw. 3 ''Rs / 2''. Diese Grössen nennt man auch molare bzw. spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen, weil sie beim Heizen mit konstantem Volumen (isochores Heizen) ein Mass für die zuzuführende Wärmeenergie sind.

Mit Hilfe der universellen Gasgleichung kann das Speichergesetz für die Entropie umgeformt werden in

<math>S = S_0 + n (R ln \frac {p_0}{p} + \hat c_p ln \frac {T}{T_0}) = S_0 + m (R_s ln \frac {p_0}{p} + c_p ln \frac {T}{T_0})</math>

vobei ''c^p'' oder ''cp'', die molare bzw. spezifische Enthalpiekapazität, um die Gaskonstante grösser ist als die molare bzw. spezifische Wärmekapazität. Diese Grössen heissen auch molare bzw. spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck, weil sie beim Heizen mit konstantem Druck (isobares Heizen) ein Mass für die zuzuführende Wärmeenergie sind.

Bei den vier grundlegenden Prozessen nehmen die beiden konstitutiven Gleichungen die folgende Form an (die Gleichungen müssen unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen nach der Zeit abgeleitet werden, damit sie in Form von [[Änderungsrate|Änderungsraten]] eine momentane Beschreibung des Prozesses abgeben)

{|
!width = "100"|Prozess
!width = "150"|Gasgleichung
!width = "150"|Entropiegesetz
!width = "150"|Bemerkung
|-
|isochor
|<math>V \dot p = n R \dot T</math>
|<math>\dot S = n \hat c_V \frac {\dot T}{T}</math>
|<math>\dot V = 0</math>
|-
|isobar
|<math>p \dot V = n R \dot T</math>
|<math>\dot S = n \hat c_p \frac {\dot T}{T}</math>
|<math>\dot p = 0</math>
|-
|isentrop
|<math>R \frac {\dot V}{V}\hat + c_V \frac {\dot T}{T} = 0</math>
|<math>\dot S = 0</math>
|erste Gleichung folgt aus Entropiegesetz
|-
|isotherm
|<math>\dot p V + \dot V p = 0</math>
|<math>\dot S = n R \frac {\dot V}{V}</math>
|<math>\dot T = 0</math>
|}

==Energiebilanz==
Die [[Energiebilanz]] bezüglich eines homogenen, thermischen Systems heisst aus historischen Gründen 1. Hauptsatz. Die Bilanz setzt die Stärke des thermischen Energiestromes (Wärme) und die des mechanischen (Arbeit) gleich der [[Änderungsrate]] der [[innere Energie|inneren Energie]]

<math>I_{W_{therm}} + I_{W_{mech}} = \dot W</math>

Die Energieströme können mit Hilfe des [[zugeordneter Energiestrom|zugeordneten Energiestromes]] durch die Stromstärke der [[Primärgrösse|Primärgrössen]] und die zugehörigen [[Potenzial|Potenziale]] ausgedrückt werden

<math>T I_S + p I_V = \dot W</math>

Weil das System reversibel (ohne Entropieproduktion) arbeitet und das Fluid inkompressibel ist, dürfen die Mengenströme über die [[Entropiebilanz]] und die [[Volumenbilanz]] durch die zugehörigen [[Änderungsrate]]n ersetzt werden

<math>T \dot S - p \dot V= \dot W</math>

Das Minuszeichen beim hydraulischen Teil kommt von der Konstanz der Summe aus Gasvolumen und Fluidvolumen: wenn das Fluidvolumen infolge Zufuhr zunimmt, vermindert sich das Gasvolumen und umgekehrt.

Die letzte Form ermöglicht eine graphische Interpretation der Wärme und der Arbeit bei homogenen und reversiblen Systemen. Die Wärme entpricht der Fläche (Integral) unter der Kurve im ''T-S-''Diagramm und die Arbeit ist gleich der Fläche (negatives Integral) im ''p-V-''Diagramm.

Setzt man in die letzte Form der Energiebilanz das Entropiegesetz für das ideale Gas bei einem isochorem Prozess ein (siehe Tabelle), erhält man folgende Aussage

<math>I_{W_{therm}}= \dot W = n \hat c_V \dot T</math>

In einem isochor geführten Prozess ist die Zunahme der inneren Energie gleich der zugeführten Wärme (daher der Name Wärmekapazität bei konstantem Volumen statt einfach und korrekt nur Energiekapazität). Indem man die konstitutiven Gesetze des idealen Gases für eine beliebe Prozessführunge einsetzt, kann man zeigen, dass die innere Energie des Gases immer diese Form hat, also proportional mit der Temperatur zunimmt und unabhängig vom Volumen ist.

Bei isobarer Prozessführung ist die in Form von Wärme zugeführte Energie gleich der Zunahme der inneren Energie plus die Expansionsarbeit des Gases gegen den Kolben (die hydraulische Abgabe von Energie an die Umwelt). Fügt man nun die [[Enthalpie]] als eine neue "Energieform" in die Energiebilanz ein, ist die zugeführte Wärme gleich der Enthalpieänderung

<math>I_{W_{therm}}= \dot W + p_0 \dot V = \dot H = n \hat c_p \dot T</math>

In einem isobar geführten Prozess ist die Zunahme der Enthalpie gleich der zugeführten Wärme (daher der Name Wärmekapazität bei konstantem Druck statt Enthalpiekapazität).

Bei isothermer Prozessführung ist die in Form von Arbeit zugeführte Energie gleich der Änderung der inneren Energie plus die in Form von Wärme an die Umwelt abgegebene Energie. Weil die innere Energie des idealen Gases nicht von der Temperatur abhängt, heben sich bei der isothermen Prozesführung Arbeit und Wärme auf. Fügt man nun die [[freie Energie]] als neue "Energieform" in die Energiebilanz ein, ist die zugeführt Arbeit gleich der Änderung der freien Energie

<math>I_{W_{mech}}= \dot W + T_0 \dot S = \dot F</math>

Die freie Energie kommt unserer Vorstellung von Arbeit sehr nahe. Bei der isothermen Expansion ist die Arbeit gleich der Änderung der freien Energie. Dass diese Energie zusammen mit der Entropie von der Umwelt her zugeführt wird, bemerken wir nicht. Das expandierende Gas nimmt von der Umwelt Energie und Entropie auf, gibt aber nur die Energie weiter und behält die Entropie. So kann Wärme vollständig in Arbeit "umgewandelt" werden.

==statische Beschreibung==

Die statische Beschreibung einer Zustandsänderung gewinnt man durch die Integration der entsprechenden Prozesse
{|
!width = "100"|Prozess
!width = "180"|Gasgleichung
!width = "180"|Entropie
!width = "200"|Energie
!width = "200"|Bemerkung
|-
|isochor
|<math>\frac {p}{p_0} = \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta S = n \hat c_V ln \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta W = n \hat c_V \Delta T</math>
|Gesetz von [[Amontons]]
|-
|isobar
|<math>\frac {V}{V_0} = \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta S = n \hat c_p ln \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta H = n \hat c_p \Delta T</math>
|Gesetz von [[Gay-Lussac]]
|-
|isentrop
|<math>(\frac {V}{V_0})^R = (\frac {T_0}{T})^{\hat c_V}</math>
|<math>\Delta S = 0</math>
|<math>\Delta W = n \hat c_V \Delta T</math>
|<math>\kappa = \fra{\hat c_p}{\hat c_V}</math>
|-
|isotherm
|<math>\frac {V}{V_0} = \frac {p_0}{p}</math>
|<math>\Delta S = n R ln(\frac {V}{V_0})</math>
|<math>\Delta F = n R T_0 ln(\frac {V_0}{V})</math>
|Gesetz von [[Boyle-Mariotte]]
|}

Den Ausdruck für die isentrope Zustandsänderung kann mit Hilfe des Isentropenexponentes <math>\kappa = \frac {\hat c_p}{\hat c_V}</math> umgeschrieben werden

:<math>(\frac {V}{V_0})^{\kappa -1} = \frac {T_0}{T}</math>

Unter Verwendung der universellen Gasgleichung lässt sich dieser Zusammenhang in eine Form mit den Variablen ''p'' und ''V'' umwandeln

:<math>(\frac {V}{V_0})^\kappa = \frac {p_0}{p}</math>

Eine weiter Umformung liefert

:<math>(\frac {p}{p_0})^{\kappa -1} = (\frac {T}{T_0})^\kappa</math>

==Anwendungen==
*das [[SD-Modell des idealen Gases]]
*[[Carnot-Prozess]]
*[[Stirling-Prozess]]
*[[Osmose]]

[[Kategorie:Thermo]]

Ideales Gas

2007-02-28T21:44:32Z

User: /* formale Beschreibung */

==Modell==
Das Modell des idealen Gases beschreibt den Zustand von stark verdünnten [[homogener Stoff|Stoffen]], wobei die Wechselwirkung zwischen den Teilchen dieses Stoffes vernachlässigbar klein sein sollte. Dieses Modell ist auf gasförmige und gelöste Stoffe anwendbar.

[[Bild: Ideales_Gas.gif|thumb|thermische und mechanische Verbindung des idealen Gases]]
Der Zustand des idealen Gases kann auf zwei Arten verändert werden, durch heizen und kühlen oder durch komprimieren und entspannen. Um diese Prozesse kontrolliert ablaufen zu lassen, gehen wir von folgender Anordnung aus. Das Gas befinde sich in einem Zylinder, der mit einem Kolben verschlossen ist. Der Zylinderboden sei ideal wärmedurchlässig (diatherm), besitze aber selber keine Wärmekapazität. Die Zylinderwände und der Kolben sind absolut wärmeisoliert (adiabatisch). Der reibunsfrei verschiebbare Kolben schliesst das Gas hermetisch gegen eine inkompressible Flüssigkeit ab, welche für den Druckaufbau verantwortlich ist. Bei Lösungen ist die Flüssigkeit gleichzeitig Lösungsmittel und der Kolben für das Lösungsmittel durchlässig, für den gelösten Stoff dagegen nicht. Einen dermassen selektiv durchlässigen Kolben nennt man semipermeabel.

Das Systeme Gas besitzt eine direkte thermische und eine indirekte hydraulische Verbindung zur Umgebung. Es kann deshalb mit der Umgebung Energie in Form von Wärme und Arbeit austauschen.

==Bilanzen und Prozesse==
Das ideal Gas kann über zwei Verbindungen (Portale oder Konnektoren) Entropie und Volumen mit der Umgebung austauschen. Weil das Gas homogen ist und die Verbindungen ideal sind, wird innerhalb des Systems keine Entropie produziert. Folglich kann die [[Entropiebilanz]] und die [[Volumenbilanz]] in einfachster Form hingeschrieben werden

<math>\begin{matrix} I_S &=& \dot S \\ I_V &=& \dot V_{Fluid} = -\dot V \end{matrix}</math>

Das ideale Gas kann vier einfach zu realisierende Prozesse durchlaufen. In zwei Prozessen ist je ein Portal geschlossen, in den zwei andern ist das Portal hemmungslos mit der Umwelt verbunden, so dass innen und aussen der gleiche Druck bzw. die gleiche Temperatur herrscht.
{|
!width = "100"|Prozess
!width = "100"|Beschreibung
!width = "150"|thermisches Portal
!width = "150"|hydraulisches Portal
|-
|isochor
|''V'' =konst
|aktiv
|geschlossen
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|isobar
|''p'' =konst
|aktiv
|direkt verbunden
|-
|isentrop
|''S'' =konst
|geschlossen
|aktiv
|-
|isotherm
|''T'' =konst
|direkt verbunden
|aktiv
|}

==konstitutive Gleichungen==
Beim idealen Gas koppeln zwei Bilanzgleichungen über die beiden zugehörigen [[Potenzial|Potenziale]]. Im Gegensatz zum Massenpunkt als dreifacher, aber entkoppelter Impulsspeicher und anders als beim [[starrer Körper|starren Körper]] als dreifacher Drehimpulsspeicher, ist die Struktur dieser beiden Speichergesetze nicht ganz einfach zu durchschauen.

Das erste Speichergesetz, die universelle Gasgleichung oder die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases, verknüpft die drei direkt messbaren Grössen Druck, Volumen und Temperatur miteinander

<math>pV= nRT=mR_sT</math>

Die erste Form basiert auf der [[Stoffmenge]] als natürliches Mass für die Menge eines Stoffes, die zweite nimmt die Masse als Hilfsgrösse, um die Menge des Soffes zu quantifizieren. ''R'' steht für die universelle Gaskonstante und ''R_s'' für die spezifische Gaskonstante, die für jeden Stoff einen andern Wert annimmt.

Das zweit Speichergesetz beschreibt die Entropie in Funktion des Volumens und der Temperatur

<math>S = S_0 + n (R ln \frac {V}{V_0} + \hat c_V ln \frac {T}{T_0}) = S_0 + m (R_s ln \frac {V}{V_0} + c_V ln \frac {T}{T_0})</math>

Die molare bzw. spezifische Energiekapazität (''c^V'' bzw. ''cV'') ist für einatomige Gase gleich 3 ''R'' / 2 bzw. 3 ''Rs / 2''. Diese Grössen nennt man auch molare bzw. spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen, weil sie beim Heizen mit konstantem Volumen (isochores Heizen) ein Mass für die zuzuführende Wärmeenergie sind.

Mit Hilfe der universellen Gasgleichung kann das Speichergesetz für die Entropie umgeformt werden in

<math>S = S_0 + n (R ln \frac {p_0}{p} + \hat c_p ln \frac {T}{T_0}) = S_0 + m (R_s ln \frac {p_0}{p} + c_p ln \frac {T}{T_0})</math>

vobei ''c^p'' oder ''cp'', die molare bzw. spezifische Enthalpiekapazität, um die Gaskonstante grösser ist als die molare bzw. spezifische Wärmekapazität. Diese Grössen heissen auch molare bzw. spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck, weil sie beim Heizen mit konstantem Druck (isobares Heizen) ein Mass für die zuzuführende Wärmeenergie sind.

Bei den vier grundlegenden Prozessen nehmen die beiden konstitutiven Gleichungen die folgende Form an (die Gleichungen müssen unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen nach der Zeit abgeleitet werden, damit sie in Form von [[Änderungsrate|Änderungsraten]] eine momentane Beschreibung des Prozesses abgeben)

{|
!width = "100"|Prozess
!width = "150"|Gasgleichung
!width = "150"|Entropiegesetz
!width = "150"|Bemerkung
|-
|isochor
|<math>V \dot p = n R \dot T</math>
|<math>\dot S = n \hat c_V \frac {\dot T}{T}</math>
|<math>\dot V = 0</math>
|-
|isobar
|<math>p \dot V = n R \dot T</math>
|<math>\dot S = n \hat c_p \frac {\dot T}{T}</math>
|<math>\dot p = 0</math>
|-
|isentrop
|<math>R \frac {\dot V}{V}\hat + c_V \frac {\dot T}{T} = 0</math>
|<math>\dot S = 0</math>
|erste Gleichung folgt aus Entropiegesetz
|-
|isotherm
|<math>\dot p V + \dot V p = 0</math>
|<math>\dot S = n R \frac {\dot V}{V}</math>
|<math>\dot T = 0</math>
|}

==Energiebilanz==
Die [[Energiebilanz]] bezüglich eines homogenen, thermischen Systems heisst aus historischen Gründen 1. Hauptsatz. Die Bilanz setzt die Stärke des thermischen Energiestromes (Wärme) und die des mechanischen (Arbeit) gleich der [[Änderungsrate]] der [[innere Energie|inneren Energie]]

<math>I_{W_{therm}} + I_{W_{mech}} = \dot W</math>

Die Energieströme können mit Hilfe des [[zugeordneter Energiestrom|zugeordneten Energiestromes]] durch die Stromstärke der [[Primärgrösse|Primärgrössen]] und die zugehörigen [[Potenzial|Potenziale]] ausgedrückt werden

<math>T I_S + p I_V = \dot W</math>

Weil das System reversibel (ohne Entropieproduktion) arbeitet und das Fluid inkompressibel ist, dürfen die Mengenströme über die [[Entropiebilanz]] und die [[Volumenbilanz]] durch die zugehörigen [[Änderungsrate]]n ersetzt werden

<math>T \dot S - p \dot V= \dot W</math>

Das Minuszeichen beim hydraulischen Teil kommt von der Konstanz der Summe aus Gasvolumen und Fluidvolumen: wenn das Fluidvolumen infolge Zufuhr zunimmt, vermindert sich das Gasvolumen und umgekehrt.

Die letzte Form ermöglicht eine graphische Interpretation der Wärme und der Arbeit bei homogenen und reversiblen Systemen. Die Wärme entpricht der Fläche (Integral) unter der Kurve im ''T-S-''Diagramm und die Arbeit ist gleich der Fläche (negatives Integral) im ''p-V-''Diagramm.

Setzt man in die letzte Form der Energiebilanz das Entropiegesetz für das ideale Gas bei einem isochorem Prozess ein (siehe Tabelle), erhält man folgende Aussage

<math>I_{W_{therm}}= \dot W = n \hat c_V \dot T</math>

In einem isochor geführten Prozess ist die Zunahme der inneren Energie gleich der zugeführten Wärme (daher der Name Wärmekapazität bei konstantem Volumen statt einfach und korrekt nur Energiekapazität). Indem man die konstitutiven Gesetze des idealen Gases für eine beliebe Prozessführunge einsetzt, kann man zeigen, dass die innere Energie des Gases immer diese Form hat, also proportional mit der Temperatur zunimmt und unabhängig vom Volumen ist.

Bei isobarer Prozessführung ist die in Form von Wärme zugeführte Energie gleich der Zunahme der inneren Energie plus die Expansionsarbeit des Gases gegen den Kolben (die hydraulische Abgabe von Energie an die Umwelt). Fügt man nun die [[Enthalpie]] als eine neue "Energieform" in die Energiebilanz ein, ist die zugeführte Wärme gleich der Enthalpieänderung

<math>I_{W_{therm}}= \dot W + p_0 \dot V = \dot H = n \hat c_p \dot T</math>

In einem isobar geführten Prozess ist die Zunahme der Enthalpie gleich der zugeführten Wärme (daher der Name Wärmekapazität bei konstantem Druck statt Enthalpiekapazität).

Bei isothermer Prozessführung ist die in Form von Arbeit zugeführte Energie gleich der Änderung der inneren Energie plus die in Form von Wärme an die Umwelt abgegebene Energie. Weil die innere Energie des idealen Gases nicht von der Temperatur abhängt, heben sich bei der isothermen Prozesführung Arbeit und Wärme auf. Fügt man nun die [[freie Energie]] als neue "Energieform" in die Energiebilanz ein, ist die zugeführt Arbeit gleich der Änderung der freien Energie

<math>I_{W_{mech}}= \dot W + T_0 \dot S = \dot F</math>

Die freie Energie kommt unserer Vorstellung von Arbeit sehr nahe. Bei der isothermen Expansion ist die Arbeit gleich der Änderung der freien Energie. Dass diese Energie zusammen mit der Entropie von der Umwelt her zugeführt wird, bemerken wir nicht. Das expandierende Gas nimmt von der Umwelt Energie und Entropie auf, gibt aber nur die Energie weiter und behält die Entropie. So kann Wärme vollständig in Arbeit "umgewandelt" werden.

==statische Beschreibung==

Die statische Beschreibung einer Zustandsänderung gewinnt man durch die Integration der entsprechenden Prozesse
{|
!width = "100"|Prozess
!width = "180"|Gasgleichung
!width = "180"|Entropie
!width = "200"|Energie
!width = "200"|Bemerkung
|-
|isochor
|<math>\frac {p}{p_0} = \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta S = n \hat c_V ln \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta W = n \hat c_V \Delta T</math>
|Gesetz von [[Amontons]]
|-
|isobar
|<math>\frac {V}{V_0} = \frac {T}{T_0}</math>
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|Gesetz von [[Gay-Lussac]]
|-
|isentrop
|<math>(\frac {V}{V_0})^R = (\frac {T_0}{T})^{\hat c_V}</math>
|<math>\Delta S = 0</math>
|<math>\Delta W = n \hat c_V \Delta T</math>
|<math>\kappa = \fra{\hat c_p}{\hat c_V}</math>
|-
|isotherm
|<math>\frac {V}{V_0} = \frac {p_0}{p}</math>
|<math>\Delta S = n R ln(\frac {V}{V_0})</math>
|<math>\Delta F = n R T_0 ln(\frac {V_0}{V})</math>
|Gesetz von [[Boyle-Mariotte]]
|}

Den Ausdruck für die isentrope Zustandsänderung kann mit Hilfe des Isentropenexponenters <math>\kappa = \frac {\hat c_p}{\hat c_V}</math> umgeschrieben werden

:<math>(\frac {V}{V_0})^{\kappa -1} = \frac {T_0}{T}</math>

Unter Verwendung der Gasgleichung lässt sich dieser Zusammenhang in eine Form mit den Variablen ''p'' und ''V'' umwandeln

:<math>(\frac {V}{V_0})^\kappa = \frac {p_0}{p}</math>

Eine weiter Umformung liefert

:<math>(\frac {p}{p_0})^{\kappa -1} = (\frac {T}{T_0})^\kappa</math>

==Anwendungen==
*das [[SD-Modell des idealen Gases]]
*[[Carnot-Prozess]]
*[[Stirling-Prozess]]
*[[Osmose]]

[[Kategorie:Thermo]]

Energieträger

2007-02-27T21:49:30Z

User:

Im [[Karlsruher Physikkurs]] werden die [[Primärgrösse|Primärgrössen]] auch '''Energieträger''' genannt. Die Einsicht, dass die Energie zu ihrem Transport immer eines Trägers bedarf, steht dabei im Zentrum. Im Karlsruher Physikkurs wird der Energie eine klar fassbare und wissenschaftlich korrekte Rolle zugewiesen. Dass die beiden andern Pfeiler der [[Physik der dynamischen Systeme]], die Bilanz und die konstitutiven Gesetze, etwas in den Hintergrund treten, ist auf der Sekundarstufe I durchaus vertretbar.

Das Produkt aus '''Trägerstromstärke''' und '''Energiebeladungsmass''' ergibt immer die mittransportierte Energie
{|
|td width = "140"|'''Energieträger'''
|td width = "60"|'''Einheit'''
|td width = "150"|'''Beladungsmass'''
|td width = "120"|'''Einheit'''
|td width = "400"|'''Anwendung'''
|-
|Masse
|kg
|Gravitationspotenzial
|J/kg
|Bergbach, Pumpspeicherwerk
|-
|Volumen
|m3
|Druck
|Pa
|Wasserleitung, Hydraulik, Blutkreislauf
|-
|elektrische Ladung
|As
|elektrisches Potenzial
|J/C = W/A = V
|elektrisches Netzwerk, Oberleitung
|-
|Impuls
|Ns
|Geschwindigkeit
|m/s = W/N
|Riementrieb, Velokette, Seilwinde
|-
|Drehimpuls
|Nms
|Winkelgeschwindigkeit
|1/s = W/Nm
|Riemenscheibe, Antriebswelle
|-
|Entropie
|J/K
|Temperatur
|K
|Wärmeleitung, Wärmetauscher
|-
|Stoffmenge
|mol
|chemisches Potenzial
|J/mol
|Brennstoffzelle
|}

[[Kategorie:Basis]]

Gesetz von Bernoulli

2007-02-26T15:40:33Z

User:

Das Gesetz von ''Daniel Bernoulli'' (* 8. Februar 1700 in Groningen; † 17. März 1782 in Basel) basiert auf der Energieerhaltung längs eines [[Stromfaden]]s. Das Gesetz gilt, falls
*das strömende [[Fluid]] inkompressibel ist
*keine Reibung auftritt, die [[Viskosität]] gleich Null ist
*die Strömung stationär ist

Das Gesetz von Bernoulli kann in einer [[Potenzialströmung]] zwischen zwei beliebigen Punkten angewendet werden, d.h. bei einer [[Potenzialströmung]] gilt das Gesetz von Bernoulli auch zwischen zwei Punkten, die nicht im gleichen Stromfaden liegen.

==Herleitung==
Wählt man längs einer stationären Strömung eines reibungsfreien, inkompressiblen [[Fluid]]s zwei Querschnittflächen in der gleichen Stromröhre aus, muss der durch den ersten Querschnitt transportierte [[Energiestrom]] gleich stark sein wie der durch die zweite Fläche tretende Energiestrom. Da der Energiestrom die drei Komponenten kinetische, potenzielle und hydraulische Energie aufweist, lautet die [[Energiebilanz]] für das Raumgebiet in der Stromröhre zwischen den beiden Flächen

: <math>\left(\frac {\rho}{2} v_1^2 + \rho g h_1 + p_1 \right) I_V{_1} + \left(\frac {\rho}{2} v_2^2 + \rho g h_2 + p_2 \right) I_V_2 = 0 </math>

Kürzt man die beiden entgegengesetzt gleichen Volumenstromstärken weg, erhält man das Gesetz von Bernoulli

:<math>\frac {\rho}{2} v_1^2 + \rho g h_1 + p_1 = \frac {\rho}{2} v_2^2 + \rho g h_2 + p_2</math>

Die drei Terme des Gesetzes von Bernoulli werden oft als Druck bezeichnet, obwohl nur ''p'' für einen Druck steht (nur ''p'' beschreibt eine isotrope [[Impulsstrom]]dichte)
*'''hydrostatische Druck''' <math>p</math>: mit dem Manometer messbar
*'''Staudruck''' <math>\frac {\rho}{2} v_1^2 </math>: Dichte der kinetischen Energie
*'''hydrostatische''' Druck <math>\frac {\rho}{2} v^2 </math>: Dichte der potenziellen Energie

==Gültigkeit und Anwendung==
Das Gesetz von Bernoulli basiert auf einem Vergleich von Energiestromstärken bzw. Energiestromdichten zwischen verschiedenen Referenzflächen bzw. Bezugspunkten einer Strömung. Bei der Anwendung des Gesetzes von Bernoulli geht man wie folgt vor:
#Abklären, ob die Bedingungen des Gesetzes von Bernoulli erfüllt sind:
##Liegen alle Bezugspunkte im gleichen Stromfaden oder in der gleichen unverzweigten Rohrströmung (Ausnahme: bei einer [[Potenzialströmung]] müssen die Punkte strömungsmässig nicht miteinander verbunden sein)?
##Geht zwischen den beiden Punkten Energie weg (Reibung, [[Turbine]], [[Hydraulikmotor]]) oder kommt welche dazu (Pumpe)?
##Spielt die Kompressibilität des [[Fluid]]s wirklich keine grosse Rolle?
##Ist die Strömung stationär oder fällt die Änderungsrate der Energie im dazwischenliegenden Gebiet nicht ins Gewicht?
#Punkte auswählen und durchnummerieren.
#Für jeden Punkt alle drei Terme des Gesetzes von Bernoulli formulieren.
#Die drei Terme des Gesetzes von Bernoulli für zwei Punkte gleich setzen.
#Irrelevante Terme wegkürzen, eventuell Geschwindigkeiten mit Hilfe der Volumenerhaltung in Beziehung setzten und nach der gesuchten Grösse auflösen.

==Spezialfälle und Beispiele==
Aus dem Gesetz von Bernoulli können weitere Gesetze als Spezialfälle abgeleitet werden
*Zunahme des Druckes mit der Eintauchtiefe ([[Druckgesetz der Hydrostatik]])
*[[Ausflussgesetz von Torricelli]]
*[[Venturirohr]]
*[[Staurohr]] von Prandtl oder Pitot

'''Beispiele:'''

[[Kategorie:Hydro]] [[Kategorie:OffSys]]

Gesetz von Bernoulli

2007-02-26T15:39:45Z

User:

Das Gesetz von ''Daniel Bernoulli'' (* 8. Februar 1700 in Groningen; † 17. März 1782 in Basel) basiert auf der Energieerhaltung längs eines [[Stromfaden]]s. Das Gesetz gilt, falls
*das strömende [[Fluid]] inkompressibel ist
*keine Reibung auftritt, die [[Viskosität]] gleich Null ist
*die Strömung stationär ist

Das Gesetz von Bernoulli kann in einer [[Potenzialströmung]] zwischen zwei beliebigen Punkten angewendet werden: bei einer [[Potenzialströmung]] gilt das Gesetz von Bernoulli auch zwischen zwei Punkten, die nicht im gleichen Stromfaden liegen.

==Herleitung==
Wählt man längs einer stationären Strömung eines reibungsfreien, inkompressiblen [[Fluid]]s zwei Querschnittflächen in der gleichen Stromröhre aus, muss der durch den ersten Querschnitt transportierte [[Energiestrom]] gleich stark sein wie der durch die zweite Fläche tretende Energiestrom. Da der Energiestrom die drei Komponenten kinetische, potenzielle und hydraulische Energie aufweist, lautet die [[Energiebilanz]] für das Raumgebiet in der Stromröhre zwischen den beiden Flächen

: <math>\left(\frac {\rho}{2} v_1^2 + \rho g h_1 + p_1 \right) I_V{_1} + \left(\frac {\rho}{2} v_2^2 + \rho g h_2 + p_2 \right) I_V_2 = 0 </math>

Kürzt man die beiden entgegengesetzt gleichen Volumenstromstärken weg, erhält man das Gesetz von Bernoulli

:<math>\frac {\rho}{2} v_1^2 + \rho g h_1 + p_1 = \frac {\rho}{2} v_2^2 + \rho g h_2 + p_2</math>

Die drei Terme des Gesetzes von Bernoulli werden oft als Druck bezeichnet, obwohl nur ''p'' für einen Druck steht (nur ''p'' beschreibt eine isotrope [[Impulsstrom]]dichte)
*'''hydrostatische Druck''' <math>p</math>: mit dem Manometer messbar
*'''Staudruck''' <math>\frac {\rho}{2} v_1^2 </math>: Dichte der kinetischen Energie
*'''hydrostatische''' Druck <math>\frac {\rho}{2} v^2 </math>: Dichte der potenziellen Energie

==Gültigkeit und Anwendung==
Das Gesetz von Bernoulli basiert auf einem Vergleich von Energiestromstärken bzw. Energiestromdichten zwischen verschiedenen Referenzflächen bzw. Bezugspunkten einer Strömung. Bei der Anwendung des Gesetzes von Bernoulli geht man wie folgt vor:
#Abklären, ob die Bedingungen des Gesetzes von Bernoulli erfüllt sind:
##Liegen alle Bezugspunkte im gleichen Stromfaden oder in der gleichen unverzweigten Rohrströmung (Ausnahme: bei einer [[Potenzialströmung]] müssen die Punkte strömungsmässig nicht miteinander verbunden sein)?
##Geht zwischen den beiden Punkten Energie weg (Reibung, [[Turbine]], [[Hydraulikmotor]]) oder kommt welche dazu (Pumpe)?
##Spielt die Kompressibilität des [[Fluid]]s wirklich keine grosse Rolle?
##Ist die Strömung stationär oder fällt die Änderungsrate der Energie im dazwischenliegenden Gebiet nicht ins Gewicht?
#Punkte auswählen und durchnummerieren.
#Für jeden Punkt alle drei Terme des Gesetzes von Bernoulli formulieren.
#Die drei Terme des Gesetzes von Bernoulli für zwei Punkte gleich setzen.
#Irrelevante Terme wegkürzen, eventuell Geschwindigkeiten mit Hilfe der Volumenerhaltung in Beziehung setzten und nach der gesuchten Grösse auflösen.

==Spezialfälle und Beispiele==
Aus dem Gesetz von Bernoulli können weitere Gesetze als Spezialfälle abgeleitet werden
*Zunahme des Druckes mit der Eintauchtiefe ([[Druckgesetz der Hydrostatik]])
*[[Ausflussgesetz von Torricelli]]
*[[Venturirohr]]
*[[Staurohr]] von Prandtl oder Pitot

'''Beispiele:'''

[[Kategorie:Hydro]] [[Kategorie:OffSys]]

Gesetz von Bernoulli

2007-02-26T15:39:31Z

User:

Das Gesetz von ''Daniel Bernoulli'' (* 8. Februar 1700 in Groningen; † 17. März 1782 in Basel)basiert auf der Energieerhaltung längs eines [[Stromfaden]]s. Das Gesetz gilt, falls
*das strömende [[Fluid]] inkompressibel ist
*keine Reibung auftritt, die [[Viskosität]] gleich Null ist
*die Strömung stationär ist

Das Gesetz von Bernoulli kann in einer [[Potenzialströmung]] zwischen zwei beliebigen Punkten angewendet werden: bei einer [[Potenzialströmung]] gilt das Gesetz von Bernoulli auch zwischen zwei Punkten, die nicht im gleichen Stromfaden liegen.

==Herleitung==
Wählt man längs einer stationären Strömung eines reibungsfreien, inkompressiblen [[Fluid]]s zwei Querschnittflächen in der gleichen Stromröhre aus, muss der durch den ersten Querschnitt transportierte [[Energiestrom]] gleich stark sein wie der durch die zweite Fläche tretende Energiestrom. Da der Energiestrom die drei Komponenten kinetische, potenzielle und hydraulische Energie aufweist, lautet die [[Energiebilanz]] für das Raumgebiet in der Stromröhre zwischen den beiden Flächen

: <math>\left(\frac {\rho}{2} v_1^2 + \rho g h_1 + p_1 \right) I_V{_1} + \left(\frac {\rho}{2} v_2^2 + \rho g h_2 + p_2 \right) I_V_2 = 0 </math>

Kürzt man die beiden entgegengesetzt gleichen Volumenstromstärken weg, erhält man das Gesetz von Bernoulli

:<math>\frac {\rho}{2} v_1^2 + \rho g h_1 + p_1 = \frac {\rho}{2} v_2^2 + \rho g h_2 + p_2</math>

Die drei Terme des Gesetzes von Bernoulli werden oft als Druck bezeichnet, obwohl nur ''p'' für einen Druck steht (nur ''p'' beschreibt eine isotrope [[Impulsstrom]]dichte)
*'''hydrostatische Druck''' <math>p</math>: mit dem Manometer messbar
*'''Staudruck''' <math>\frac {\rho}{2} v_1^2 </math>: Dichte der kinetischen Energie
*'''hydrostatische''' Druck <math>\frac {\rho}{2} v^2 </math>: Dichte der potenziellen Energie

==Gültigkeit und Anwendung==
Das Gesetz von Bernoulli basiert auf einem Vergleich von Energiestromstärken bzw. Energiestromdichten zwischen verschiedenen Referenzflächen bzw. Bezugspunkten einer Strömung. Bei der Anwendung des Gesetzes von Bernoulli geht man wie folgt vor:
#Abklären, ob die Bedingungen des Gesetzes von Bernoulli erfüllt sind:
##Liegen alle Bezugspunkte im gleichen Stromfaden oder in der gleichen unverzweigten Rohrströmung (Ausnahme: bei einer [[Potenzialströmung]] müssen die Punkte strömungsmässig nicht miteinander verbunden sein)?
##Geht zwischen den beiden Punkten Energie weg (Reibung, [[Turbine]], [[Hydraulikmotor]]) oder kommt welche dazu (Pumpe)?
##Spielt die Kompressibilität des [[Fluid]]s wirklich keine grosse Rolle?
##Ist die Strömung stationär oder fällt die Änderungsrate der Energie im dazwischenliegenden Gebiet nicht ins Gewicht?
#Punkte auswählen und durchnummerieren.
#Für jeden Punkt alle drei Terme des Gesetzes von Bernoulli formulieren.
#Die drei Terme des Gesetzes von Bernoulli für zwei Punkte gleich setzen.
#Irrelevante Terme wegkürzen, eventuell Geschwindigkeiten mit Hilfe der Volumenerhaltung in Beziehung setzten und nach der gesuchten Grösse auflösen.

==Spezialfälle und Beispiele==
Aus dem Gesetz von Bernoulli können weitere Gesetze als Spezialfälle abgeleitet werden
*Zunahme des Druckes mit der Eintauchtiefe ([[Druckgesetz der Hydrostatik]])
*[[Ausflussgesetz von Torricelli]]
*[[Venturirohr]]
*[[Staurohr]] von Prandtl oder Pitot

'''Beispiele:'''

[[Kategorie:Hydro]] [[Kategorie:OffSys]]

Starrer Körper

2007-02-25T09:19:12Z

User: /* Bilanzgleichungen */

==Modell==
Der starre Köper weist, wie der Name sagt, eine absolut starre Massenverteilung auf. Dieser Modellkörper besitzt keine internen Freiheitsgrade. Er kann also in keiner Weise vibrieren und der zugeführte Impuls verteilt sich beliebig schnell entsprechend den Anforderungen des momentanen Bewegungszustandes.

Der starre Körper kann von den sieben [[Primärgrösse|Primärgrössen]] nur [[Impuls]] und [[Drehimpuls]] speichern und austauschn. Folglich ist der Zustand des starren Körpers durch die beiden [[Potenzial|Potenziale]] Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit vollständig beschrieben.

Der starre Körper soll nun nach den Prinzipien der [[Physik der dynamischen Systeme]] modelliert werden: zuerst die Bilanzgleichung, dann die konstitutiven Gesetze und als Supplément die Energiebilanz.

==Bilanzgleichungen==
Der quellenartige oder volumenmässige Impuls- und Drehimpulsaustausch mit dem Gravitationsfeld kann mittels der Schwer- oder Gewichtskraft, die im Schwerpunkt "angreift", beschrieben werden. Im homogenen Gravitationsfeld fällt der Schwerpunkt mit dem [[Massenmittelpunkt]] zusammen. Die durch die Oberfläche des starren Körpes tretenden Impulsströme nennt man ebenfalls Kräfte. Damit nimmt die [[Impulsbilanz]] die folgende Form an

:<math>\sum_{i} \vec F_i + \vec F_G= \dot {\vec p}</math>

Die Summe über die Stärke aller Impulsströme plus die gravititative Quellenstärke ist gleich der Änderungsrate des Impulses.

Der starre Körper kann Drehimpuls über Ströme oder Quellen austauschen. Das homogene Gravitationsfeld erzeugt im starren Körper keine Drehimpulsquellen. Deshalb darf der ganze Impuls- und Drehimpulsaustausch zwischen Gravitationsfeld und Köprer - wie oben erwähnt - durch die Wirkung einer einziger [[Gewicht|Gewichts]]- oder Schwerkraft (einer punktförmigen Impulsquelle im Schwerpunkt) ersetzt werden. Weist der starre Körper zusätzlich noch die Eigenschaften elektrisches oder magnetisches [[Dipolmoment]] auf, bilden sich bezüglich des elektromagnetischen Feldes sehr wohl Drehimpulsquellen aus (vergl. [[Larmorpräzession]]).

Stromstärken von Drehimpulsströmen, die über einzelne Bauteile zugeführt werden, und die Stärken von Drehimpulsquellen, die durch das [[elektromagnetische Feld]] bedingt sind, nennt man oft '''reine''' Drehmomente '''''M'''''. Die durch querflissdende Impulsströme erzeugten Drehimpulsquellen dürfen den Impulsströmen, also den Oberflächenkräften, zugeordnet werden. Als Bezugspunkt für die Zuordnung muss hier in jedem Fall der Massenmittelpunkt des starren Körpers genommen werden. Gemäss der [[Drehimpulsbilanz]] bestimmen dann die reinen und die über das [[Hebelgesetz]] den Kräften zugeordneten Drehmonente die Drehimpulsänderungsrate

:<math>\sum_{j} \vec M_j + \sum_{i} (\vec r_i \times \vec F_i) = \dot {\vec L}</math>

Die Vektoren '''''r'''i'' zeigen vom Massenmittelpunkt zur Mitte der Kraftangriffsfläche. Wie bei der Impulsbilanz ergibt die Summe über die Stärke aller Drehimpulsströme plus die durch querfliessende Impulsströme erzeugten Quellenstärken die Änderungsrate des Drehimpulses.

Die Impuls- und die Drehimpulsänderungsrate sind getrennt über die Zeit aufzusummieren. Alle sechs Komponenten (drei des Impulses und drei des Drehimpulses) bilden die dynamischen [[Zustandsgrösse|Zustandsgrössen]] des Systems '''starrer Körper'''.

==Kapazitivgesetze==
Die träge Masse wirkt als Impulskapazität

<math>\begin{pmatrix} p_x \\ P_y \\ p_z \end{pmatrix} = m \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}</math>

Die Kapazität bezüglich des Drehimpulses wird durch das [[Massenträgheitsmoment]] beschrieben

<math>\begin{pmatrix} L_x \\ L_y \\ L_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} J_{xx} & J_{xy} & J_{xz} \\ J_{yx} & J_{yy} & J_{yz} \\ J_{zx} & J_{zy} & J_{zz} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{pmatrix}</math>

Weil das Massenträgheitsmoment ein symmetrischer Tensor ist, kann jede Drehimpulskomponente von jeder der drei Winkelgeschwindigkeiten abhängen. Die hier gegeben Darstellung des Massenträgheitsmomentes in Komponenten bezüglich des Weltsystems verändert sich andauernd.

==Geometrie==
Impuls- und Drehimpulsbilanz bilden das Rückgrat der Mechanik. Sind die dynamischen [[Zustandsgrösse|Zustandsgrössen]] Impuls und Drehimpuls ermittelt, können mit Hilfe des [[kapazitives Gesetz|Kapazitivgesetzes]] die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes und die Winkelgeschwindigkeit berechnet werden.

Aus der Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes kann der momentane Ort desselben durch eine Integration über die Zeit (drei skalare Integrationen) ermittelt werden:

<math>\vec r_{MMP} = \vec r_{MMP0} + \int {\vec v_{MMP} dt}</math>

Die [[Drehung]] des starren Körpers wird mit Hilfe der Drehmatrix ''Rij'' beschrieben. Diese Drehmatrix kann fortlaufend aus der Winkelgeschwindigkeit gebildet werden, indem man die aus der Drehimpulsbilanz ermittelte Winkelgeschwindigkeit einen Einheitsvektor '''''a'''' in Richtung der Drehachse bildet,

<math>\vec a = \frac {\vec \omega}{\omega}</math>

den Drehwinkel ''φ'' durch Multiplikation mit dem Zeitschritt ''Δ t'' berechnet

<math>\varphi = \omega \Delta t</math>

und mit diesen beiden Grössen die Drehung im Zeitschritt ''Δ t'' gemäss folgender Vorschrift bestimmt

<math>
\begin{pmatrix} a_x^2 \ & a_x a_y \ & a_x a_z \\ a_y a_x \ & a_y^2 \ & a_y a_z \\ a_z a_x \ & a_z a_y \ & a_z^2 \end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} 1 - a_x^2 \ & -a_x a_y \ & -a_x a_z \\ -a_y a_x \ & 1 - a_y^2 \ & -a_y a_z \\ -a_z a_x \ & -a_z a_y \ & 1 - a_z^2 \end{pmatrix}\cos \varphi +
\begin{pmatrix} 0 \ & -a_z \ & a_y \\ a_z \ & 0 \ & -a_x \\ -a_y \ & a_x \ & 0 \end{pmatrix} \sin \varphi
</math>

Die totale Drehung ist dann gleich dem Produkt aus allen Teildrehungen. Diese Berechnungsmethode ist aufwändig und numerisch nicht sehr stabil.

==Energie==

[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:Rot]]

Lösung zu Puffer-Prüfstand

2007-02-19T15:29:12Z

User:

Der schwerere Wagen stehe links, die positive Richtung zeige nach rechts.
#Die Hydraulik fördert zuerst Impuls vom rechten in den linken Wagen. Die Stangen werden auf Zug belastet, weil der Impuls gegen die Bezugsrichtung fliesst. Beim Aufprall strömt der Impuls durch die Puffer vom linken in den rechten Wagen zurück. Sobald die Wagen still stehen, sind die Puffer voll eingefahren. Beim Ausfahren der Puffer wird - vor allem durch die Wirkung der Ringfeder - zusätzlich Impuls vorwärts, also von links nach rechts gepumpt. Deshalb fährt der schwere Wagen nach dem Auflaufstoss zurück und der leichte vorwärts, also nach rechts. Am Schluss werden die Wagen von der Hydraulik abgebremst. Dabei fliesst nochmals Impuls von rechts nach links durch die Zugstangen der Hydraulik.
#[[Bild:Puffer_Pruefstand_FB.png|thumb|Flüssigkeitsbild der beiden Methoden]]Bei der Schwab-Methode bleibt der Massenmittelpunkt des Gesamtsystems immer in Ruhe. Die Hydraulik muss nur soviel Energie aufwenden, wie die Puffer im Idealfall aufnehmen. Lässt man dagegen nur einen Wagen gegen einen ruhenden rollen, ist die kinetische Energie des Hammerwagens anfänglich grösser als die von den Puffern aufzunehmende Energie, wie aus dem [[Flüssigkeitsbild]] klar hervorgeht.
#Die Stärke des durch die Puffer fliessenden Impulsstromes erreicht eine Stärke von knapp 1000 kN. Folglich sollte die Beschleunigung der Wagen (Impulsänderungsrate geteilt durch die Masse) höchstens 22.2 m/s2 und 25m/s2 betragen.
#Die Puffer haben eine relativ kleine Masse, der Impuls strömt daher direkt von einem Wagen in den andern und die "Pufferkraft" ist bei beiden Puffern zu jedem Zeitpunkt gleich gross. Nun geht der Ringfederpuffer schon bei etwa 600 kN auf Block. Die Einfahrgeschwindigkeit dieses Puffers geht dann sehr rasch gegen Null. Folglich ist der Hydraulikpuffer plötzlich mit einer grösseren Geschwindigkeitsdifferenz konfrontiert und reagiert entsprechend steifer.
#Die von den Puffern aufgenommene Energie entspricht der Fläche unter der Kurve im Kraft-Hub-Diagramm.
#Anfänglich bewegen sich die Wagen im umgekehrten Verhältnis ihrer Massen aufeinander zu, also mit 1.69 m/s und -1.9 m/s. Weil der Massenmittelpunkt in Ruhe bleibt, ist die von den Puffern maximal aufzunehmende Energie gleich der Summe der beiden kinetischen Energien, als gleich 64.3 kJ und 72.2 kJ. Davon übernehmen die Wagen den Teil, der sich bei den Puffern nicht nachweisen lässt:''W''Wagen = 64.3 kJ + 72.2 kJ - (63.4 kJ - 33.6 kJ) = 39.5 kJ. Dieser relativ grosse Anteil hängt mit Schlag zusammen, der entsteht, wenn der Ringfederpuffer auf Block geht. Dann rutscht die Ladung (Betonklötze) trotz massiver Befestigung ein wenig.

[[Bild:Puffer_Pruefstand_F_s2.jpg|thumb|Das Kraft-Hub-Diagramm des Hydraulikpuffers bei verschiedenen Geschwindigkeiten]]

Solange der Gegenpuffer nicht auf Block geht, zeigt der Hydraulikpuffer ein sehr schönes Verhalten. Die Kraft steigt sehr rasch an und bleibt dann mehr oder weniger konstant. Mit diesem Verhalten nimmt der Hydraulikpuffer bezogen auf Maximalkraft und Hub mehr Energie auf als ein Ringfeder- oder Elastomerpuffer.

'''[[Puffer-Prüfstand|Aufgabe]]'''

Puffer-Prüfstand

2007-02-19T15:28:09Z

User:

[[Bild:Puffer_Pruefstand.jpg|thumb|Prüfstand der Firma Schwab Verkehrstechnik AG]]
Auf dem Prüfstand der Firma Schwab Verkehrstechnik AG in Schaffhausen werden zwei Güterwagen mittels hydraulischer Zylinder gegeneinander gezogen. Die beiden Hydraulikzylinder sind nur an den beiden Wagen befestigt und haben keinen Kontakt zur Erde. Kurz vor dem Aufschlag hört die Wirkung der Hydraulik auf. Weil man auf diesem Prüfstand mit nur zwei Puffern auf einer Stosslinie statt vier Puffern auf zwei Stosslinien arbeitet, sind die Wagen auch nur halb so schwer wie von der UIC vorgeschrieben.

Das untenstehende Diagramm zeigt die Kraf-Hub-Diagramme für einen Ringfederpuffer (grüne Kurve) und einen hydraulischen Puffer (blaue Kurve) bei einem Stoss mit den Wagenmassen 45 t gegen 40 t sowie einer Relativgeschwindigkeit von 12.9 km/h.
#Was passiert bei diesem Prüfstand mit dem Impuls in einem ganzen Zyklus (Anziehen der Wagen, Aufprall und Stillstand)?
#Wieso benötigt diese Methode weniger Energie, als die sonst übliche, bei der ein einzelner Wagen einen Ablaufberg hinauf gezogen und dann gegen einen ruhenden Wagen rollen gelassen wird?
#Wie gross wären die Maximalbeschleunigungen der beiden Wagen, wenn sie sich wie starre Körper verhalten würden (die gemessenen und gefilterten Werte liegen bei 33 m/s2 und 39 m/s2)?
#Wieso hat die Kraft-Verformungs-Kurve des Hydraulikpuffers bei einem Hub von etwa 55 mm einen Buckel?
#Das Auswertungsprogramm hat für den hydraulischen Puffer eine Energieaufnahme von ''We'' = 63.4 kJ und für den Ringfederpuffer einen Wert von ''We'' = 33.6 kJ ermittelt. Mit ''We'' wird die Energie bezeichnet, die der Puffer beim Einfahren aufnimmt. Wie kann man diese Grössen aus dem untenstehend abgebildeten Diagramm bestimmen?
#Wie viel Energie wird bei diesem Stoss nicht in den Puffern dissipiert?
[[Bild:Puffer_Pruefstand_F_s.png|Kraft Verformungs-Diagramm der beiden Puffer]]

'''[[Lösung zu Puffer-Prüfstand|Lösung]]'''

[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:Aufgaben]] [[Kategorie:TransAuf]]

Materie

2007-02-11T12:59:37Z

User:

'''Materie''' (lat.: ''materia'' zu Stoff) ist eine allgemeine Bezeichnung für '''alles Stoffliche''', was uns umgibt und aus dem wir selbst bestehen. Im physikalischen Sinne bezeichnet man mit Materie alles, was in mehr oder weniger komplizierter Weise aus [[Fermion|Fermionen]] aufgebaut ist. Im Gegensatz zu den Fermionen bauen die [[Boson|Bosonen]] die [[Kraftfelder]] auf. Die [[Antimaterie]] ist demnach Materie, die aus den zur gewöhnlichen Materie spiegelsymmetrischen Fermionen aufgebaut ist.

Im philosophischen Sinn bezeichnet Materie die objektive Realität, die von unseren Sinnen abgebildet oder wiedergespiegelt wird. [[Form]] oder [[Geist]] ist dann der Gegenbegriff zu Materie.

[[Kategorie:Basis]]

Magnus-Effekt

2007-02-02T07:51:01Z

User: /* Theorie */

==Phänomen==
Die Flugbahn eines rotierenden Fussballs nimmt einen eigenen Verlauf. Je nach Richtung der Drehachse weicht er seitwärts weg, taucht sehr schnell ab oder scheint förmlich zu schweben. Dieser '''Effet''' ermöglicht die direkte Verwertung eines Eckstosses oder das Zuspiel über eine Bananenflanke. Das gleiche Phänomen kann im Tennis, Tischtennis (Topspin, Sidespin) oder Faustball (Seitenschnitt) zur Täuschung des Gegners eingesetzt werden.

Heinrich Gustav Magnus (2. 5. 1802 - 4. 4. 1870) hat dieses Phänomen erstmals wissenschaftlich untersucht, um die Ablenkung von Artilleriegeschossen aus der ballistischen Bahn zu erklären.

==Theorie==
[[Bild:Zirkulation Magnus.gif|thumb|Reale Strömung (unten) als Superposition von Potenzialströmung und Potenzialwirbel]]
Zur Erklärung des Magnus-Effektes ersetzt man die reale Strömung durch eine reibungsfreie Strömung eines inkompressiblen Fluids. Die reibungsbedingte Wirkung des rotierenden Körpers auf das Fluid geht durch eine Wirbelströmung in dieses Modell ein. Die Strömung um den rotierenden Körper setzt sich demnach aus einer Potenzialströmung und einem Potenzialwirbel zusammen (eine Potenzialströmung ist überall wirbelfrei, d.h. die Winkelgeschwindigkeit ist überall Null; ein Potenzialwirbel ist mit Ausnahme des Zentrums, das nicht zum Strömungsgebiet gehört, überall wirbelfrei). Der [[dynamischer Auftrieb|dynamische Auftrieb]] eines Flugzeugflügels wird analog erklärt. Nur wird dort die Wirbelströmung nicht durch einen rotierenden Körper, sondern durch das Zusammenwirken von Wirbelstrasse und Geometrie des umströmten Körpers induziert.

Für diese Strömungsmodell (Superposition eines Potenzialwirbels mit einer Potenzialströmung) liefert der Satz von Kutta-Zhukhovski die Kraft pro Profillänge (Einheit N/m)

<math>f_A = v_\infty \rho \Gamma</math>

wobei voo die Anströmgeschwindigkeit bezeichnet und mit ''Γ'' die Zirkulation (Einheit m2/s), ein Wegintegral über die Strömungsgeschwindigkeit, gemeint ist

<math>\Gamma = \int \vec v \bullet d\vec s</math>

Man darf nun in guter Näherung annehmen, dass die umgebende Luft unmittelbar über dem rotierenden Körper die gleich Gesschwindigkeit besitzt wie die Körperoberfläche. Dann ist die Zirkulation gleich Umfang mal Umgangsgeschwindigkeit bezüglich der Körperachse (die Anströmung trägt als reine Potenzialströmung nichts zur Zirkulation bei)

<math>\Gamma = (2 \pi r) (\omega r) = 2 \omega A</math>

wobei mit ''A'' die Querschnittsfläche des den rotierenden Körper gemeint ist. Für die Magnuskraft pro Länge gilt dann

<math>f_M = 2 v_\infty \rho \omega A</math>

Weil die Magnuskraft genau senkrecht zur Anströmung steht, kann auch eine Vektordarstellung gegeben werden

<math>\vec f_M = 2 \rho (\vec v_\infty \times \vec \omega) A</math>

Integriert man längs der Rotationsachse auf, erhält man die Magnuskraft auf den entsprechenden Körper.

<math>\vec F_M = 2 \rho_{Luft} (\vec v_\infty \times \vec \omega) V_{Koerper}</math>

Diese theoretische Erklärung des Magnuseffekts ist nur auf zylindersymmetrische Körper, die um ihre eigene Symmetrieachse rotieren, anwendbar. Die reibungsbedingte Kraftwirkung parallel zur Anströmung, das reibungsbedingte Drehmoment und der [[statischer Auftrieb]] sind separat zu modellieren.

==Andwendungen==
*[[Flettner-Rotor]]
*[[Rotorflugzeug]]
*[[Magnusrolle]]
*[[Fussball]]

[[Kategorie:OffSys]]

Flugzeug auf Kreisbahn

2007-01-31T10:39:16Z

User:

Ein Flugzeug fliegt mit 480 km/h auf einer horizontalen Kreisbahn.
#Wie gross ist der Bahnradius, wenn die Flügelebene 40° gegen die Horizontale geneigt ist. Nehmen Sie an, dass die Kraft von der Luft auf das Flugzeug normal zur Flügelebene steht.
#Welche Gravitationsfeldstärke misst der Pilot in seinem Cockpit?

'''Hinweis:'''
*Das Flugzeug tauscht mit dem Gravitationsfeld und der Luft [[Impuls]] aus. Üblicherweise zerlegt man den Impulsaustausch mit der Luft in [[dynamischer Auftrieb|Auftrieb]], [[Lftwiderstand|Widerstand]], [[Flugzeug|Antrieb]]. Diese Zerlegung ist hier nicht gefragt. Falls sich die [[Schnelligkeit]] des Flugzeuges nicht ändert, steht die Kraft von der Luft auf das Flugzeug normal zur Geschwindigkeit.
*Im beschleunigten Bezugssystem wirkt neben dem normalen Gravitationsfeld, das wir alle auf der Erde wahrnehmen, noch ein [[Trägheitsfeld]].

Quelle: Reformstudium TWI 1994

'''[[Lösung zu Flugzeug auf Kreisbahn|Lösung]]'''

[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:Aufgaben]] [[Kategorie:TransAuf]]

Lösung zu Wurf nach oben

2007-01-29T14:20:41Z

User:

[[Bild:Wurf_oben.png|thumb|v-t-Diagramm der geworfenen Körper]]
Die Beschleunigung aller im Vakuum geworfener Körper ist gleich 10 m/s2, falls die Bezugsrichtung nach unten zeigt. Der Rest ist einfache Kinematik.
#Weil die Feder immer 5 m/s [[Schnelligkeit|schneller]] ist als die Bleikugel, holt sie diese nach einer Sekunde ein.
#Die Bleikugel bewegt sich dann noch mit 5 m/s nach oben und die [[Schnelligkeit]] der Feder ist von 20 m/s auf 10 m/s gesunken (die [[Geschwindigkeit]] ist von -20 m/s auf -10 m/s gestiegen).
#Die Bleikugel ist in dieser Sekunde um 10 m aufgestiegen (Fläche unter der Kurve im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm).

'''[[Wurf nach oben|Aufgabe]]'''

Satellit auf Kreisbahn

2007-01-29T09:58:23Z

User:

Eine Satellit kreist über dem Äquator in 1000 km Höhe. Die ersten drei Fragen beziehen sich auf ein erdfestes, aber nicht mitrotierendes Bezugssystem.
#Wie gross ist die Beschleunigung des Satelliten?
#Welche Kräfte wirken auf den Satelliten ein?
#Wie gross ist die [[Schnelligkeit]] des Satelliten?
#Wieso fühlen sich die Astronauten trotz hoher Beschleunigung schwerelos?

'''Hinweis:''' Die Erde hat einen Durchmesser von 12'740 km. Die Gravitationsfeldstärke nimmt ausserhalb eines Planeten gemäss dem ''1/r2''-Gesetz ab (das Produkt aus Gravitationsfeldstärke und Abstandsquadrat zum Mittelpunkt des Planeten bleibt konstan).

'''[[Lösung zu Satellit auf Kreisbahn|Lösung]]'''

[[Kategorie: Trans]] [[Kategorie: Aufgaben]] [[Kategorie: TransAuf]]

Satellit auf Kreisbahn

2007-01-29T09:57:32Z

User:

Eine Satellit kreist über dem Äquator in 1000 km Höhe. Die ersten drei Fragen beziehen sich auf erdfestes, aber nicht mitrotierendes System.
#Wie gross ist die Beschleunigung des Satelliten?
#Welche Kräfte wirken auf den Satelliten ein?
#Wie gross ist die [[Schnelligkeit]] des Satelliten?
#Wieso fühlen sich die Astronauten trotz hoher Beschleunigung schwerelos?

'''Hinweis:''' Die Erde hat einen Durchmesser von 12'740 km. Die Gravitationsfeldstärke nimmt ausserhalb eines Planeten gemäss dem ''1/r2''-Gesetz ab (das Produkt aus Gravitationsfeldstärke und Abstandsquadrat zum Mittelpunkt des Planeten bleibt konstan).

'''[[Lösung zu Satellit auf Kreisbahn|Lösung]]'''

[[Kategorie: Trans]] [[Kategorie: Aufgaben]] [[Kategorie: TransAuf]]

Trägheitsfeld

2007-01-29T09:54:47Z

User:

Nach dem [[Relativitätsprinzip]] der klassischen Mechanik gelten die Gesetze in allen Bezugssystemen, die sich gleichförmig gegenüber dem absoluten Raum bewegen. Dieses Relativitätsprinzip lässt sich auch im Rahmen der nichtrelativistischen Mechanik erweitern. Direkt messbar oder berechenbar sind bei einem ausgewählten Körper nur die Oberflächenkräfte und die Beschleunigung. Weil die Gewichtskraft nicht direkt messbar und die schwere [[Masse]] nicht von der trägen zu unterscheiden ist, kann die Stärke der gravitativen Impulsquelle, die Grösse der Gewichtskraft, mit der Änderungsrate des Impulsinhaltes verrechnet werden.

Geht man von einem beliebigen Bezugssystem und einem homogenen Gravitationsfeld (Gravitationsfelstärke '''''g''''') aus, lautet die Impulsbilanz

:<math>\sum_i \vec F_i + m \vec g = \dot {\vec p} = m \dot {\vec v} = m \vec a</math>

Bezieht man diese Bilanzgleichung auf ein System, das mit '''''a'''0'' gegen das erste beschleunigt wird, gilt

:<math>\sum_i \vec F_i + m \vec g = m (\vec a_0 + \vec a_{rel})</math>

Der mitbewegte Beobachter erlebt die Beschleunigung des neuen Systems als Gravitationswirkung, die er bedenkenlos einem Trägheitsfeld zuschreiben darf. Die Feldstärke dieses Trägheitsfeldes ist entgegengesetzt gleich gross wie die Beschleunigung des neuen Systems gegen das alte

:<math>\sum_i \vec F_i + m (\vec g - \vec a_0) = \sum_i \vec F_i + m (\vec g + \vec g_t) = m {\vec a_{rel}}</math>

Ist das Gravitationsfeld im ersten System inhomogen, gilt eine etwas allgemeinere Regel
*Bewegen sich zwei Bezugssyseme linear beschleunigt gegeneinader, ist das Gravitationsfeld im zweiten System gleich dem Gravitationsfeld im ersten, superponiert mit einem homogenen Trägheitsfeld. Die Feldstärke des Trägheitsfeldes ist entgegengesetzt gleich gross wie die Beschleunigung des neuen Systems gemessen im alten.

Superposition bedeutet, dass die Felstärken für jeden Punkt im Raum zu addieren sind

<math>\vec g_{neu} \ = \vec g_{alt} + \ \vec g_t</math> mit <math>\vec g_t = - \vec a_0</math>

[[Kategorie: Trans]]

Seil

2007-01-27T14:04:32Z

User: /* Beispiel */

==Wirkweise==
Ein Seil verhält sich wie eine [[Pendelstütze]], die nur auf Zug belastet werden kann. Das Seil kann weder unter [[Druck]], [[Biegung]] oder [[Torsion]] stehen. Orientiert man die ''x''-Achse in Seilrichtung und die beiden andern Achsen normal dazu, fliesst im gespannten Seil nur ''x''-[[Impuls]] in negative ''x''-Richtung. Das so orientierte Seil transportiert weder ''y''- noch ''z''-Impuls. Ein Seil ist auch nicht in der Lage, direkt [[Drehimpuls]] zu übertragen.

==Seilkraft==
Steht das Seil schief zum raumfesten [[Koordinatensystem]], werden gleichzeitig mehrere Impulskomponenten transportiert. Das Verhältnis der drei Impulsströme ist durch die Orientierung des Seils im Raum festgelegt:
*Die Stromstärken der drei Impulsströme verhalten sich zueinander wie die drei Komponenten des zugehörigen Seilabschnittes.

Legt man quer zum Seil eine Schnittfläche, zeigen die beiden [[Schnittkraft|Schnittkräfte]] in Seilrichtung (ein [[Impulsstrom]], der durch eine Schnittfläche tritt, ergibt entsprechend den beiden Orientierungen der Fläche zwei Kraftpfeile). Die beiden Schnittkräfte nennt man pauschal Seilkraft ''F'', wobei das Vorzeichen Konvention ist. Mit Seilkraft bezeichnet man also nicht die Impulsstromstärke bezüglich eines Körpers (allgemein übliche Definition der [[Kraft]]), sondern die Impulsstromstärke bezüglich einer Schnittfläche.

Im Anfängerunterricht werden Kräfte mittels Seilen materialisiert (Seilpolygon). Obwohl mit dieser Idee aus der Hochblüte der Statik die Vektoreigenschaft der Kraft sehr schön gezeigt werden kann, wird mehr verschüttet als geklärt. Die Schülerinnen und Schüler glauben nach diesen Ausführungen, dass eine [[Kraft]] eine objektivierbare Grösse sei, die mit bestimmten Eigenschaften ausgestattet ist. Zudem zeigt der Kraftvektor nur in Seilrichtung, weil das Seil weder Biege- noch Torsionssteif ist, weil es keinen Drehimpus zu transportieren vermag.

==Impulsströme==
Das globale [[Koordinatensystem]], das Weltsystem, teilt sowohl den [[Impuls]] als auch den [[Drehimpuls]] in seine drei Komponenten ("Sorten") auf. Nachfolgend wird gezeigt, wie die drei Impulsströme bei beliebiger Orientierung des Seils mit der "Seil[[kraft]]" zusammenhängen?

Um die Beziehung zwischen "Seilkraft" und Impulsstromstärke mathematisch zu formulieren, zeichenet man als erstes einen Bezugspfeil in Seilrichtung ein (zwei Möglichkeiten). Die Seilkraft ''F'' entspricht dann einer der beiden Schnittkräfte auf den Seilquerschnitt. Die Seilkraft soll bei einem belasteten Seil (Zug) kleiner Null sein (verläuft das belastete Seil parallel zu einer Achsen des Weltsystems, ist die Seilkraft damit gleich der Impulsstromstärke bezüglich des Weltsystems). Bei einer beliebigen Orientierung des Seils bestimmt man die drei Winkel zwischen je einer Koordinatenrichtungen und dem Bezugspfeil. Danach berechnet man den Cosinus der drei Winkel (Richtungscosinus). Die Stärken der drei Impulsströme berechnen sich dann aus der "Seilkraft" wie folgt

:<math>I_{pi} = F cos(\varphi_i)</math> (''i = x, y, z'')

Die "Seilkraft" beschreibt die Belastung des Seils, die Impulsströme zeigen, wie die [[Primärgrösse]] Impuls durch ein Bauwerk transportiert wird.

==Beispiele==
*Aus einem aufgehängten Körper fliesst der [[Gravitationsfeld|gravitativ]] zugeführte ''z''-Impuls durch ein Seil nach oben weg.
**Die Beschreibung impliziert eine nach unten weisende ''z''-Achse.
***Wählen wir den Bezugspfeil nach unten, ist die Stromstärke des ''z''-Impulses negativ. Wir wissen ja, dass der der Impuls nach oben, also gegen den Pfeil, durch das Seil wegfliesst. Da der Winkel zwischen Bezugspfeil und ''z''-Achse gleich Null ist, wird auch die Schnittkraft negativ, was der herrschenden Zugbelastung entspricht.
***Zeigt der Bezugspfeil nach oben, wird die Stromstärke des ''z''-Impulses positiv. Die Schnittkraft ''F'' bleibt aber negativ, weil nun der Cosinus des Winkels zwischen Bezugspfeil und Koordinatenrichtung den Wert minus eins annimmt.
**Die ''z''-Achse zeige nun nach oben. Folglich fliesst der Impuls von oben in den aufgehängten Körper und von dort ans Gravitationsfeld weg.
***Zeigt nun der Bezugspfeil nach unten, wird die Stromstärke des ''z''-Impulses positiv und der Cosinus des Zwischenwinkels gleich minus eins. Folglich ist die Schnittkraft ''F'' kleiner als Null.
***Orientiert man den Bezugspfeil nach oben, wird die die Stromstärke des ''z''-Impulses negativ. Weil der Zwischenwinkel nun gleich Null ist, bleibt ''F'' negativ.
*Eine Strassenlampe ist über eine kurzes Seil an einem quer über die Strasse gespannten Drahtseil aufgehängt. Der ''z''-Impuls fliesst vom Gravitationsfeld in die Lampe hinein und von dort über das Seilwerk weg. Wählt man die drei Bezugspfeile in Richtung des ''z''-Impulsstromes, können für die Stromverzweigung die beiden Knotensätze aufgestellt werden:
**''x''-Impulsstrom: <math>F_2 \cos \varphi_{2x} + F_3 \cos \varphi_{3x} = 0</math>
**''z''-Impulsstrom: <math>F_1 \cos 180^o + F_2 \cos \varphi_{2z} + F_3 \cos \varphi_{3z} = 0</math>
**Die erste Seilkraft entspricht bis auf das Vorzeichen (Zug) der Quellenstärke des ''z''-Impulses (Gewichtskraft) <math>F_1 = -mg</math>
**Löst man das Gleichungssystem auf, erhält man die beiden andern Seilkräfte. Der nach oben abliessende ''z''-Impuls induziert im Drahtseil einen in negative Richtung strömenden ''x''-Impulsstrom.

[[Kategorie: Trans]]

Seil

2007-01-27T12:00:49Z

User: /* Beispiel */

==Wirkweise==
Ein Seil verhält sich wie eine [[Pendelstütze]], die nur auf Zug belastet werden kann. Das Seil kann weder unter [[Druck]], [[Biegung]] oder [[Torsion]] stehen. Orientiert man die ''x''-Achse in Seilrichtung und die beiden andern Achsen normal dazu, fliesst im gespannten Seil nur ''x''-[[Impuls]] in negative ''x''-Richtung. Das so orientierte Seil transportiert weder ''y''- noch ''z''-Impuls. Ein Seil ist auch nicht in der Lage, direkt [[Drehimpuls]] zu übertragen.

==Seilkraft==
Steht das Seil schief zum raumfesten [[Koordinatensystem]], werden gleichzeitig mehrere Impulskomponenten transportiert. Das Verhältnis der drei Impulsströme ist durch die Orientierung des Seils im Raum festgelegt:
*Die Stromstärken der drei Impulsströme verhalten sich zueinander wie die drei Komponenten des zugehörigen Seilabschnittes.

Legt man quer zum Seil eine Schnittfläche, zeigen die beiden [[Schnittkraft|Schnittkräfte]] in Seilrichtung (ein [[Impulsstrom]], der durch eine Schnittfläche tritt, ergibt entsprechend den beiden Orientierungen der Fläche zwei Kraftpfeile). Die beiden Schnittkräfte nennt man pauschal Seilkraft ''F'', wobei das Vorzeichen Konvention ist. Mit Seilkraft bezeichnet man also nicht die Impulsstromstärke bezüglich eines Körpers (allgemein übliche Definition der [[Kraft]]), sondern die Impulsstromstärke bezüglich einer Schnittfläche.

Im Anfängerunterricht werden Kräfte mittels Seilen materialisiert (Seilpolygon). Obwohl mit dieser Idee aus der Hochblüte der Statik die Vektoreigenschaft der Kraft sehr schön gezeigt werden kann, wird mehr verschüttet als geklärt. Die Schülerinnen und Schüler glauben nach diesen Ausführungen, dass eine [[Kraft]] eine objektivierbare Grösse sei, die mit bestimmten Eigenschaften ausgestattet ist. Zudem zeigt der Kraftvektor nur in Seilrichtung, weil das Seil weder Biege- noch Torsionssteif ist, weil es keinen Drehimpus zu transportieren vermag.

==Impulsströme==
Das globale [[Koordinatensystem]], das Weltsystem, teilt sowohl den [[Impuls]] als auch den [[Drehimpuls]] in seine drei Komponenten ("Sorten") auf. Nachfolgend wird gezeigt, wie die drei Impulsströme bei beliebiger Orientierung des Seils mit der "Seil[[kraft]]" zusammenhängen?

Um die Beziehung zwischen "Seilkraft" und Impulsstromstärke mathematisch zu formulieren, zeichenet man als erstes einen Bezugspfeil in Seilrichtung ein (zwei Möglichkeiten). Die Seilkraft ''F'' entspricht dann einer der beiden Schnittkräfte auf den Seilquerschnitt. Die Seilkraft soll bei einem belasteten Seil (Zug) kleiner Null sein (verläuft das belastete Seil parallel zu einer Achsen des Weltsystems, ist die Seilkraft damit gleich der Impulsstromstärke bezüglich des Weltsystems). Bei einer beliebigen Orientierung des Seils bestimmt man die drei Winkel zwischen je einer Koordinatenrichtungen und dem Bezugspfeil. Danach berechnet man den Cosinus der drei Winkel (Richtungscosinus). Die Stärken der drei Impulsströme berechnen sich dann aus der "Seilkraft" wie folgt

:<math>I_{pi} = F cos(\varphi_i)</math> (''i = x, y, z'')

Die "Seilkraft" beschreibt die Belastung des Seils, die Impulsströme zeigen, wie die [[Primärgrösse]] Impuls durch ein Bauwerk transportiert wird.

==Beispiel==
*Aus einem aufgehängten Körper fliesst der gravitativ zugeführte ''z''-Impuls durch ein Seil nach oben weg.
**Die Beschreibung impliziert eine nach unten weisende ''z''-Achse.
***Wählen wir den Bezugspfeil nach unten, ist die Stromstärke des ''z''-Impulses negativ. Wir wissen ja, dass der der Impuls nach oben, also gegen den Pfeil, durch das Seil wegfliesst. Da der Winkel zwischen Bezugspfeil und ''z''-Achse gleich Null ist, wird auch die Schnittkraft negativ, was der herrschenden Zugbelastung entspricht.
***Zeigt der Bezugspfeil nach oben, wird die Stromstärke des ''z''-Impulses positiv. Die Schnittkraft ''F'' bleibt aber negativ, weil nun der Cosinus des Winkels zwischen Bezugspfeil und Koordinatenrichtung den Wert minus eins annimmt.
**Die ''z''-Achse zeige nun nach oben. Folglich fliesst der Impuls von oben in den aufgehängten Körper und von dort ans Gravitationsfeld weg.
***Zeigt nun der Bezugspfeil nach unten, wird die Stromstärke des ''z''-Impulses positiv und der Cosinus des Zwischenwinkels gleich minus eins. Folglich ist die Schnittkraft ''F'' kleiner als Null.
***Orientiert man den Bezugspfeil nach oben, wird die die Stromstärke des ''z''-Impulses negativ. Weil der Zwischenwinkel nun gleich Null ist, bleibt ''F'' negativ.

[[Kategorie: Trans]]

Seil

2007-01-27T11:57:58Z

User: /* Beispiel */

==Wirkweise==
Ein Seil verhält sich wie eine [[Pendelstütze]], die nur auf Zug belastet werden kann. Das Seil kann weder unter [[Druck]], [[Biegung]] oder [[Torsion]] stehen. Orientiert man die ''x''-Achse in Seilrichtung und die beiden andern Achsen normal dazu, fliesst im gespannten Seil nur ''x''-[[Impuls]] in negative ''x''-Richtung. Das so orientierte Seil transportiert weder ''y''- noch ''z''-Impuls. Ein Seil ist auch nicht in der Lage, direkt [[Drehimpuls]] zu übertragen.

==Seilkraft==
Steht das Seil schief zum raumfesten [[Koordinatensystem]], werden gleichzeitig mehrere Impulskomponenten transportiert. Das Verhältnis der drei Impulsströme ist durch die Orientierung des Seils im Raum festgelegt:
*Die Stromstärken der drei Impulsströme verhalten sich zueinander wie die drei Komponenten des zugehörigen Seilabschnittes.

Legt man quer zum Seil eine Schnittfläche, zeigen die beiden [[Schnittkraft|Schnittkräfte]] in Seilrichtung (ein [[Impulsstrom]], der durch eine Schnittfläche tritt, ergibt entsprechend den beiden Orientierungen der Fläche zwei Kraftpfeile). Die beiden Schnittkräfte nennt man pauschal Seilkraft ''F'', wobei das Vorzeichen Konvention ist. Mit Seilkraft bezeichnet man also nicht die Impulsstromstärke bezüglich eines Körpers (allgemein übliche Definition der [[Kraft]]), sondern die Impulsstromstärke bezüglich einer Schnittfläche.

Im Anfängerunterricht werden Kräfte mittels Seilen materialisiert (Seilpolygon). Obwohl mit dieser Idee aus der Hochblüte der Statik die Vektoreigenschaft der Kraft sehr schön gezeigt werden kann, wird mehr verschüttet als geklärt. Die Schülerinnen und Schüler glauben nach diesen Ausführungen, dass eine [[Kraft]] eine objektivierbare Grösse sei, die mit bestimmten Eigenschaften ausgestattet ist. Zudem zeigt der Kraftvektor nur in Seilrichtung, weil das Seil weder Biege- noch Torsionssteif ist, weil es keinen Drehimpus zu transportieren vermag.

==Impulsströme==
Das globale [[Koordinatensystem]], das Weltsystem, teilt sowohl den [[Impuls]] als auch den [[Drehimpuls]] in seine drei Komponenten ("Sorten") auf. Nachfolgend wird gezeigt, wie die drei Impulsströme bei beliebiger Orientierung des Seils mit der "Seil[[kraft]]" zusammenhängen?

Um die Beziehung zwischen "Seilkraft" und Impulsstromstärke mathematisch zu formulieren, zeichenet man als erstes einen Bezugspfeil in Seilrichtung ein (zwei Möglichkeiten). Die Seilkraft ''F'' entspricht dann einer der beiden Schnittkräfte auf den Seilquerschnitt. Die Seilkraft soll bei einem belasteten Seil (Zug) kleiner Null sein (verläuft das belastete Seil parallel zu einer Achsen des Weltsystems, ist die Seilkraft damit gleich der Impulsstromstärke bezüglich des Weltsystems). Bei einer beliebigen Orientierung des Seils bestimmt man die drei Winkel zwischen je einer Koordinatenrichtungen und dem Bezugspfeil. Danach berechnet man den Cosinus der drei Winkel (Richtungscosinus). Die Stärken der drei Impulsströme berechnen sich dann aus der "Seilkraft" wie folgt

:<math>I_{pi} = F cos(\varphi_i)</math> (''i = x, y, z'')

Die "Seilkraft" beschreibt die Belastung des Seils, die Impulsströme zeigen, wie die [[Primärgrösse]] Impuls durch ein Bauwerk transportiert wird.

==Beispiel==
*Aus einem aufgehängten Körper fliesst der gravitativ zugeführte ''z''-Impuls durch ein Seil nach oben weg. Diese Argumentation impliziert, dass die ''z''-Achse nach unten weist.
**Wählen wir den Bezugspfeil nach unten, ist die Stromstärke des ''z''-Impulses negativ. Wir wissen ja, dass der der Impuls nach oben, also gegen den Pfeil, durch das Seil wegfliesst. Da der Winkel zwischen Bezugspfeil und ''z''-Achse gleich Null ist, wird auch die Schnittkraft negativ, was der herrschenden Zugbelastung entspricht.
**Zeigt der Bezugspfeil nach oben, wird die Stromstärke des ''z''-Impulses positiv. Die Schnittkraft ''F'' bleibt aber negativ, da nun der Cosinus des Winkels zwischen Bezugspfeil und Koordinatenrichtung den Wert minus eins annimmt.
**Die ''z''-Achse zeige nun nach oben. Folglich fliesst der Impuls von oben in den aufgehängten Körper und von dort ans Gravitationsfeld weg.
***Zeigt nun der Bezugspfeil nach unten, wird die Stromstärke des ''z''-Impulses positiv und der Cosinus des Zwischenwinkels gleich minus eins. Folglich ist die Schnittkraft ''F'' kleiner als Null.
***Orientiert man den Bezugspfeil nach oben, wird die die Stromstärke des ''z''-Impulses negativ. Weil der Zwischenwinkel nun gleich Null ist, bleibt ''F'' negativ.
[[Kategorie: Trans]]

Seil

2007-01-27T11:57:29Z

User: /* Beispiel */

==Wirkweise==
Ein Seil verhält sich wie eine [[Pendelstütze]], die nur auf Zug belastet werden kann. Das Seil kann weder unter [[Druck]], [[Biegung]] oder [[Torsion]] stehen. Orientiert man die ''x''-Achse in Seilrichtung und die beiden andern Achsen normal dazu, fliesst im gespannten Seil nur ''x''-[[Impuls]] in negative ''x''-Richtung. Das so orientierte Seil transportiert weder ''y''- noch ''z''-Impuls. Ein Seil ist auch nicht in der Lage, direkt [[Drehimpuls]] zu übertragen.

==Seilkraft==
Steht das Seil schief zum raumfesten [[Koordinatensystem]], werden gleichzeitig mehrere Impulskomponenten transportiert. Das Verhältnis der drei Impulsströme ist durch die Orientierung des Seils im Raum festgelegt:
*Die Stromstärken der drei Impulsströme verhalten sich zueinander wie die drei Komponenten des zugehörigen Seilabschnittes.

Legt man quer zum Seil eine Schnittfläche, zeigen die beiden [[Schnittkraft|Schnittkräfte]] in Seilrichtung (ein [[Impulsstrom]], der durch eine Schnittfläche tritt, ergibt entsprechend den beiden Orientierungen der Fläche zwei Kraftpfeile). Die beiden Schnittkräfte nennt man pauschal Seilkraft ''F'', wobei das Vorzeichen Konvention ist. Mit Seilkraft bezeichnet man also nicht die Impulsstromstärke bezüglich eines Körpers (allgemein übliche Definition der [[Kraft]]), sondern die Impulsstromstärke bezüglich einer Schnittfläche.

Im Anfängerunterricht werden Kräfte mittels Seilen materialisiert (Seilpolygon). Obwohl mit dieser Idee aus der Hochblüte der Statik die Vektoreigenschaft der Kraft sehr schön gezeigt werden kann, wird mehr verschüttet als geklärt. Die Schülerinnen und Schüler glauben nach diesen Ausführungen, dass eine [[Kraft]] eine objektivierbare Grösse sei, die mit bestimmten Eigenschaften ausgestattet ist. Zudem zeigt der Kraftvektor nur in Seilrichtung, weil das Seil weder Biege- noch Torsionssteif ist, weil es keinen Drehimpus zu transportieren vermag.

==Impulsströme==
Das globale [[Koordinatensystem]], das Weltsystem, teilt sowohl den [[Impuls]] als auch den [[Drehimpuls]] in seine drei Komponenten ("Sorten") auf. Nachfolgend wird gezeigt, wie die drei Impulsströme bei beliebiger Orientierung des Seils mit der "Seil[[kraft]]" zusammenhängen?

Um die Beziehung zwischen "Seilkraft" und Impulsstromstärke mathematisch zu formulieren, zeichenet man als erstes einen Bezugspfeil in Seilrichtung ein (zwei Möglichkeiten). Die Seilkraft ''F'' entspricht dann einer der beiden Schnittkräfte auf den Seilquerschnitt. Die Seilkraft soll bei einem belasteten Seil (Zug) kleiner Null sein (verläuft das belastete Seil parallel zu einer Achsen des Weltsystems, ist die Seilkraft damit gleich der Impulsstromstärke bezüglich des Weltsystems). Bei einer beliebigen Orientierung des Seils bestimmt man die drei Winkel zwischen je einer Koordinatenrichtungen und dem Bezugspfeil. Danach berechnet man den Cosinus der drei Winkel (Richtungscosinus). Die Stärken der drei Impulsströme berechnen sich dann aus der "Seilkraft" wie folgt

:<math>I_{pi} = F cos(\varphi_i)</math> (''i = x, y, z'')

Die "Seilkraft" beschreibt die Belastung des Seils, die Impulsströme zeigen, wie die [[Primärgrösse]] Impuls durch ein Bauwerk transportiert wird.

==Beispiel==
*Aus einem aufgehängten Körper fliesst der gravitativ zugeführte ''z''-Impuls durch ein Seil nach oben weg. Diese Argumentation impliziert, dass die ''z''-Achse nach unten weist.
**Wählen wir den Bezugspfeil nach unten, ist die Stromstärke des ''z''-Impulses negativ. Wir wissen ja, dass der der Impuls nach oben, also gegen den Pfeil, durch das Seil wegfliesst. Da der Winkel zwischen Bezugspfeil und ''z''-Achse gleich Null ist, wird auch die Schnittkraft negativ, was der herrschenden Zugbelastung entspricht.
**Zeigt der Bezugspfeil nach oben, wird die Stromstärke des ''z''-Impulses positiv. Die Schnittkraft ''F'' bleibt aber negativ, da nun der Cosinus des Winkels zwischen Bezugspfeil und Koordinatenrichtung den Wert minus eins annimmt.
**Die ''z''-Achse zeige nun nach oben. Folglich fliesst der Impuls von oben in den aufgehängten Körper und von dort ans Gravitationsfeld weg.
***Zeigt nun der Bezugspfeil nach unten, wird die Stromstärke des ''z''-Impulses positiv und der Cosinus des Zwischenwinkels gleich minus eins. Folglich ist die Schnittkraft ''F'' kleiner als Null.
***Orientiert man den Bezugspfeil nach oben, wird die die Stromstärke des ''z''-Impulses negativ. Weil der Zwischenwinkel nun gleich Null ist, bleibt ''F'' negativ.
**Das Vorzeichen der Impulsströme hängt von der Wahl der zugehörigen Achse des globalen Koordinatensystems und der Richtung des Bezugspfeils ab. Die Schnittkraft ''F'' beschreibt die Belastung des Seils und hängt weder von der Wahl des globalen Koordinatensystems noch von der Richtung des Bezugspfeils ab.

[[Kategorie: Trans]]

Seil

2007-01-27T11:55:01Z

User: /* Impulsströme */

==Wirkweise==
Ein Seil verhält sich wie eine [[Pendelstütze]], die nur auf Zug belastet werden kann. Das Seil kann weder unter [[Druck]], [[Biegung]] oder [[Torsion]] stehen. Orientiert man die ''x''-Achse in Seilrichtung und die beiden andern Achsen normal dazu, fliesst im gespannten Seil nur ''x''-[[Impuls]] in negative ''x''-Richtung. Das so orientierte Seil transportiert weder ''y''- noch ''z''-Impuls. Ein Seil ist auch nicht in der Lage, direkt [[Drehimpuls]] zu übertragen.

==Seilkraft==
Steht das Seil schief zum raumfesten [[Koordinatensystem]], werden gleichzeitig mehrere Impulskomponenten transportiert. Das Verhältnis der drei Impulsströme ist durch die Orientierung des Seils im Raum festgelegt:
*Die Stromstärken der drei Impulsströme verhalten sich zueinander wie die drei Komponenten des zugehörigen Seilabschnittes.

Legt man quer zum Seil eine Schnittfläche, zeigen die beiden [[Schnittkraft|Schnittkräfte]] in Seilrichtung (ein [[Impulsstrom]], der durch eine Schnittfläche tritt, ergibt entsprechend den beiden Orientierungen der Fläche zwei Kraftpfeile). Die beiden Schnittkräfte nennt man pauschal Seilkraft ''F'', wobei das Vorzeichen Konvention ist. Mit Seilkraft bezeichnet man also nicht die Impulsstromstärke bezüglich eines Körpers (allgemein übliche Definition der [[Kraft]]), sondern die Impulsstromstärke bezüglich einer Schnittfläche.

Im Anfängerunterricht werden Kräfte mittels Seilen materialisiert (Seilpolygon). Obwohl mit dieser Idee aus der Hochblüte der Statik die Vektoreigenschaft der Kraft sehr schön gezeigt werden kann, wird mehr verschüttet als geklärt. Die Schülerinnen und Schüler glauben nach diesen Ausführungen, dass eine [[Kraft]] eine objektivierbare Grösse sei, die mit bestimmten Eigenschaften ausgestattet ist. Zudem zeigt der Kraftvektor nur in Seilrichtung, weil das Seil weder Biege- noch Torsionssteif ist, weil es keinen Drehimpus zu transportieren vermag.

==Impulsströme==
Das globale [[Koordinatensystem]], das Weltsystem, teilt sowohl den [[Impuls]] als auch den [[Drehimpuls]] in seine drei Komponenten ("Sorten") auf. Nachfolgend wird gezeigt, wie die drei Impulsströme bei beliebiger Orientierung des Seils mit der "Seil[[kraft]]" zusammenhängen?

Um die Beziehung zwischen "Seilkraft" und Impulsstromstärke mathematisch zu formulieren, zeichenet man als erstes einen Bezugspfeil in Seilrichtung ein (zwei Möglichkeiten). Die Seilkraft ''F'' entspricht dann einer der beiden Schnittkräfte auf den Seilquerschnitt. Die Seilkraft soll bei einem belasteten Seil (Zug) kleiner Null sein (verläuft das belastete Seil parallel zu einer Achsen des Weltsystems, ist die Seilkraft damit gleich der Impulsstromstärke bezüglich des Weltsystems). Bei einer beliebigen Orientierung des Seils bestimmt man die drei Winkel zwischen je einer Koordinatenrichtungen und dem Bezugspfeil. Danach berechnet man den Cosinus der drei Winkel (Richtungscosinus). Die Stärken der drei Impulsströme berechnen sich dann aus der "Seilkraft" wie folgt

:<math>I_{pi} = F cos(\varphi_i)</math> (''i = x, y, z'')

Die "Seilkraft" beschreibt die Belastung des Seils, die Impulsströme zeigen, wie die [[Primärgrösse]] Impuls durch ein Bauwerk transportiert wird.

==Beispiel==
*Aus einem aufgehängten Körper fliesst der gravitativ zugeführte ''z''-Impuls durch ein Seil nach oben weg. Diese Argumentation impliziert, dass die ''z''-Achse nach unten weist.
**Wählen wir den Bezugspfeil nach unten, ist die Stromstärke des ''z''-Impulses negativ. Wir wissen ja, dass der der Impuls nach oben, also gegen den Pfeil, durch das Seil wegfliesst. Da der Winkel zwischen Bezugspfeil und ''z''-Achse gleich Null ist, wird auch die Schnittkraft negativ, was der herrschenden Zugbelastung entspricht.
**Zeigt der Bezugspfeil nach oben, wird die Stromstärke des ''z''-Impulses positiv. Die Schnittkraft ''F'' bleibt aber negativ, da nun der Cosinus des Winkels zwischen Bezugspfeil und Koordinatenrichtung den Wert minus eins annimmt.
**Die ''z''-Achse zeige nun nach oben. Folglich fliesst der Impuls von oben in den aufgehängten Körper und von dort ans Gravitationsfeld weg.
***Zeigt nun der Bezugspfeil nach unten, wird die Stromstärke des ''z''-Impulses positiv und der Cosinus des Zwischenwinkels gleich minus eins. Folglich ist die Schnittkraft ''F'' kleiner als Null.
***Orientiert man den Bezugspfeil nach oben, wird die die Stromstärke des ''z''-Impulses negativ. Weil der Zwischenwinkel nun gleich Null ist, bleibt ''F'' negativ.
**Das Vorzeichen der Impulsströme hängt von der Wahl der zugehörigen Achse des globalen Koordinatensystems und der Richtung des Bezugspfeils ab. Die Schnittkraft ''F'' beschreibt beschreibt die Belastung der Pendelstütze und hängt weder von der Wahl des globalen Koordinatensystems noch von der Richtung des Bezugspfeils ab.

[[Kategorie: Trans]]

Seil

2007-01-27T11:54:42Z

User: /* Impulsströme */

==Wirkweise==
Ein Seil verhält sich wie eine [[Pendelstütze]], die nur auf Zug belastet werden kann. Das Seil kann weder unter [[Druck]], [[Biegung]] oder [[Torsion]] stehen. Orientiert man die ''x''-Achse in Seilrichtung und die beiden andern Achsen normal dazu, fliesst im gespannten Seil nur ''x''-[[Impuls]] in negative ''x''-Richtung. Das so orientierte Seil transportiert weder ''y''- noch ''z''-Impuls. Ein Seil ist auch nicht in der Lage, direkt [[Drehimpuls]] zu übertragen.

==Seilkraft==
Steht das Seil schief zum raumfesten [[Koordinatensystem]], werden gleichzeitig mehrere Impulskomponenten transportiert. Das Verhältnis der drei Impulsströme ist durch die Orientierung des Seils im Raum festgelegt:
*Die Stromstärken der drei Impulsströme verhalten sich zueinander wie die drei Komponenten des zugehörigen Seilabschnittes.

Legt man quer zum Seil eine Schnittfläche, zeigen die beiden [[Schnittkraft|Schnittkräfte]] in Seilrichtung (ein [[Impulsstrom]], der durch eine Schnittfläche tritt, ergibt entsprechend den beiden Orientierungen der Fläche zwei Kraftpfeile). Die beiden Schnittkräfte nennt man pauschal Seilkraft ''F'', wobei das Vorzeichen Konvention ist. Mit Seilkraft bezeichnet man also nicht die Impulsstromstärke bezüglich eines Körpers (allgemein übliche Definition der [[Kraft]]), sondern die Impulsstromstärke bezüglich einer Schnittfläche.

Im Anfängerunterricht werden Kräfte mittels Seilen materialisiert (Seilpolygon). Obwohl mit dieser Idee aus der Hochblüte der Statik die Vektoreigenschaft der Kraft sehr schön gezeigt werden kann, wird mehr verschüttet als geklärt. Die Schülerinnen und Schüler glauben nach diesen Ausführungen, dass eine [[Kraft]] eine objektivierbare Grösse sei, die mit bestimmten Eigenschaften ausgestattet ist. Zudem zeigt der Kraftvektor nur in Seilrichtung, weil das Seil weder Biege- noch Torsionssteif ist, weil es keinen Drehimpus zu transportieren vermag.

==Impulsströme==
Das globale [[Koordinatensystem]], das Weltsystem, teilt sowohl den [[Impuls]] als auch den [[Drehimpuls]] in seine drei Komponenten ("Sorten") auf. Nachfolgend wird gezeigt, wie die drei Impulsströme bei beliebiger Orientierung des Seils mit der "Seil[[kraft]]" zusammenhängen?

Um die Beziehung zwischen "Seilkraft" und Impulsstromstärke mathematisch zu formulieren, zeichenet man als erstes einen Bezugspfeil in Seilrichtung ein (zwei Möglichkeiten). Die Seilkraft ''F'' entspricht dann einer der beiden Schnittkräfte auf den Seilquerschnitt. Die Seilkraft soll bei einem belasteten Seil (Zug) kleiner Null sein (verläuft das belastete Seil parallel zu einer Achsen des Weltsystems, ist die Seilkraft damit gleich der Impulsstromstärke bezüglich des Weltsystems). Bei einer beliebigen Orientierung des Seils bestimmt man die drei Winkel zwischen je einer Koordinatenrichtungen und dem Bezugspfeil. Danach berechnet man den Cosinus der drei Winkel (Richtungscosinus). Die Stärken der drei Impulsströme berechnen sich dann aus der "Seilkraft" wie folgt

<math>I_{pi} = F cos(\varphi_i)</math> (''i = x, y, z'')

Die "Seilkraft" beschreibt die Belastung des Seils, die Impulsströme zeigen, wie die [[Primärgrösse]] Impuls durch ein Bauwerk transportiert wird.

==Beispiel==
*Aus einem aufgehängten Körper fliesst der gravitativ zugeführte ''z''-Impuls durch ein Seil nach oben weg. Diese Argumentation impliziert, dass die ''z''-Achse nach unten weist.
**Wählen wir den Bezugspfeil nach unten, ist die Stromstärke des ''z''-Impulses negativ. Wir wissen ja, dass der der Impuls nach oben, also gegen den Pfeil, durch das Seil wegfliesst. Da der Winkel zwischen Bezugspfeil und ''z''-Achse gleich Null ist, wird auch die Schnittkraft negativ, was der herrschenden Zugbelastung entspricht.
**Zeigt der Bezugspfeil nach oben, wird die Stromstärke des ''z''-Impulses positiv. Die Schnittkraft ''F'' bleibt aber negativ, da nun der Cosinus des Winkels zwischen Bezugspfeil und Koordinatenrichtung den Wert minus eins annimmt.
**Die ''z''-Achse zeige nun nach oben. Folglich fliesst der Impuls von oben in den aufgehängten Körper und von dort ans Gravitationsfeld weg.
***Zeigt nun der Bezugspfeil nach unten, wird die Stromstärke des ''z''-Impulses positiv und der Cosinus des Zwischenwinkels gleich minus eins. Folglich ist die Schnittkraft ''F'' kleiner als Null.
***Orientiert man den Bezugspfeil nach oben, wird die die Stromstärke des ''z''-Impulses negativ. Weil der Zwischenwinkel nun gleich Null ist, bleibt ''F'' negativ.
**Das Vorzeichen der Impulsströme hängt von der Wahl der zugehörigen Achse des globalen Koordinatensystems und der Richtung des Bezugspfeils ab. Die Schnittkraft ''F'' beschreibt beschreibt die Belastung der Pendelstütze und hängt weder von der Wahl des globalen Koordinatensystems noch von der Richtung des Bezugspfeils ab.

[[Kategorie: Trans]]

Seil

2007-01-27T11:29:37Z

User: /* Seilkraft */

==Wirkweise==
Ein Seil verhält sich wie eine [[Pendelstütze]], die nur auf Zug belastet werden kann. Das Seil kann weder unter [[Druck]], [[Biegung]] oder [[Torsion]] stehen. Orientiert man die ''x''-Achse in Seilrichtung und die beiden andern Achsen normal dazu, fliesst im gespannten Seil nur ''x''-[[Impuls]] in negative ''x''-Richtung. Das so orientierte Seil transportiert weder ''y''- noch ''z''-Impuls. Ein Seil ist auch nicht in der Lage, direkt [[Drehimpuls]] zu übertragen.

==Seilkraft==
Steht das Seil schief zum raumfesten [[Koordinatensystem]], werden gleichzeitig mehrere Impulskomponenten transportiert. Das Verhältnis der drei Impulsströme ist durch die Orientierung des Seils im Raum festgelegt:
*Die Stromstärken der drei Impulsströme verhalten sich zueinander wie die drei Komponenten des zugehörigen Seilabschnittes.

Legt man quer zum Seil eine Schnittfläche, zeigen die beiden [[Schnittkraft|Schnittkräfte]] in Seilrichtung (ein [[Impulsstrom]], der durch eine Schnittfläche tritt, ergibt entsprechend den beiden Orientierungen der Fläche zwei Kraftpfeile). Die beiden Schnittkräfte nennt man pauschal Seilkraft ''F'', wobei das Vorzeichen Konvention ist. Mit Seilkraft bezeichnet man also nicht die Impulsstromstärke bezüglich eines Körpers (allgemein übliche Definition der [[Kraft]]), sondern die Impulsstromstärke bezüglich einer Schnittfläche.

Im Anfängerunterricht werden Kräfte mittels Seilen materialisiert (Seilpolygon). Obwohl mit dieser Idee aus der Hochblüte der Statik die Vektoreigenschaft der Kraft sehr schön gezeigt werden kann, wird mehr verschüttet als geklärt. Die Schülerinnen und Schüler glauben nach diesen Ausführungen, dass eine [[Kraft]] eine objektivierbare Grösse sei, die mit bestimmten Eigenschaften ausgestattet ist. Zudem zeigt der Kraftvektor nur in Seilrichtung, weil das Seil weder Biege- noch Torsionssteif ist, weil es keinen Drehimpus zu transportieren vermag.

==Impulsströme==
Das globale Koordinatensystem des Beobachters, das Weltsystem, teilt sowohl den [[Impuls]] als auch den [[Drehimpuls]] in seine drei Komponenten ("Sorten") auf. Wie hängen die drei Impulsströme bei beliebiger Orientierung mit der Seilbelastung, der "Seil[[kraft]]", zusammen?

Um diese Frage zu beantworten, zeichenen wir als erstes in Seilreichtung einen Bezugspfeil ein und führen den Begriff Seilkraft ''F'' entsprechend der Schnittkraft auf den Seilquerschnitt ein. Diese Seilkraft nehme bei Zugbeansbruchung, also bei einem belasteten Seil, immer Werte kleiner als Null an. Mit dieser Konvention haben die Impulsstromstärke und die Seikkraft bei Ausrichtung des Seils längs einer Achse des Weltsystems das gleiche Vorzeichen. Danach bestimmen wir die Winkel zwischen den drei Koordinatenrichtungen und dem Bezugspfeil. Für die drei Impulsströme gilt dann die folgende Umrechnung

<math>I_{pi} = F cos(\varphi_i)</math> (''i = x, y, z'')

==Beispiel==
*Aus einem aufgehängten Körper fliesst der gravitativ zugeführte ''z''-Impuls durch ein Seil nach oben weg. Diese Argumentation impliziert, dass die ''z''-Achse nach unten weist.
**Wählen wir den Bezugspfeil nach unten, ist die Stromstärke des ''z''-Impulses negativ. Wir wissen ja, dass der der Impuls nach oben, also gegen den Pfeil, durch das Seil wegfliesst. Da der Winkel zwischen Bezugspfeil und ''z''-Achse gleich Null ist, wird auch die Schnittkraft negativ, was der herrschenden Zugbelastung entspricht.
**Zeigt der Bezugspfeil nach oben, wird die Stromstärke des ''z''-Impulses positiv. Die Schnittkraft ''F'' bleibt aber negativ, da nun der Cosinus des Winkels zwischen Bezugspfeil und Koordinatenrichtung den Wert minus eins annimmt.
**Die ''z''-Achse zeige nun nach oben. Folglich fliesst der Impuls von oben in den aufgehängten Körper und von dort ans Gravitationsfeld weg.
***Zeigt nun der Bezugspfeil nach unten, wird die Stromstärke des ''z''-Impulses positiv und der Cosinus des Zwischenwinkels gleich minus eins. Folglich ist die Schnittkraft ''F'' kleiner als Null.
***Orientiert man den Bezugspfeil nach oben, wird die die Stromstärke des ''z''-Impulses negativ. Weil der Zwischenwinkel nun gleich Null ist, bleibt ''F'' negativ.
**Das Vorzeichen der Impulsströme hängt von der Wahl der zugehörigen Achse des globalen Koordinatensystems und der Richtung des Bezugspfeils ab. Die Schnittkraft ''F'' beschreibt beschreibt die Belastung der Pendelstütze und hängt weder von der Wahl des globalen Koordinatensystems noch von der Richtung des Bezugspfeils ab.

[[Kategorie: Trans]]