https://systemdesign.ch/api.php?action=feedcontributions&user=Systemdynamiker&feedformat=atomSystemPhysik - Benutzerbeiträge [de]2024-03-29T07:28:11ZBenutzerbeiträgeMediaWiki 1.35.0-rc.2https://systemdesign.ch/index.php?title=Gutachten_der_DPG&diff=12288Gutachten der DPG2017-12-31T18:09:25Z<p>Systemdynamiker: /* Links */</p>
<hr />
<div>==Sachverhalt==<br />
Am 12. Februar 2013 hat die Deutsche Physikalische Gesellschaft (DPG) ein "Gutachten" über den [[Karlsruher Physikkurs]] (KPK) verfasst und auf ihrer Webseite aufgeschaltet. Dieses "Gutachten" wurde von erbitterten Gegnern des KPK initiiert und sehr wahrscheinlich auch verfasst. Dementsprechend hart ist auch das Fazit verfasst<br />
<br />
'''Version vom 12. Februar 2013:''' ''Der KPK ist als Grundlage eines physikalischen Unterrichts ebenso ungeeignet wie als Leitlinie zur Formulierung physikalsicher Lehr- und Bildungspläne. Die Deutsche Physikalische Gesellschaft rät mit allem Nachdruck davon ab, den KPK in der physikalischen Ausbildung zu verwenden.''<br />
<br />
'''Version vom 28. Februar 2013:''' ''Der KPK ist als Grundlage eines physikalischen Unterrichts ebenso ungeeignet wie als Leitlinie zur Formulierung physikalsicher Lehr- und Bildungspläne. Wir empfehlen der Deutschen Physikalische Gesellschaft, mit allem Nachdruck dafür einzutreten, dass der KPK nicht in der physikalischen Ausbildung verwendent wird.''<br />
<br />
Vergleicht man die beiden Versionen und berücksichtigtd dabei, dass Vorstandsmitglieder gleichzeitig als "Gutachter" gewirkt haben, wird sofort klar, welch abgekartetes Spiel da getrieben worden ist. Im Gutachten werden drei Punkte aus dem KPK aufgegriffen und kritisiert:<br />
#Begriff des [[Impulsstrom]]es in der [[Mechanik]]<br />
#[[Entropie]] und [[Wärme]] in der [[Thermodynamik]]<br />
#Magnetische Ladungen und der Begriff des Vakuums in der [[Elektrodynamik]]<br />
In einem weiteren Punkt wird noch die mangelnde Anschlussfähigkeit des KPK bezüglich eines technisch oder naturwissenschaftlich ausgerichteten Studiums moniert. Weil die [[Systemphysik]] nur von den ersten beiden Punkten betroffen ist, werden nachfolgend auch nur die zwei Punkte kritisch hinterfragt.<br />
<br />
==Impulsbilanz==<br />
Der [[Impuls]] ist eine vektorwertige mengenartige Grösse, die lokal [[Bilanz|bilanzierbar]] ist. Nun kann Impuls durch die [[Materie]] ([[leitungsartig]]), über Felder (feld- oder [[strahlungsartig]]) sowie zusammen mit Materie ([[konvektiv]]), transportiert werden. Den Impulsaustausch zwischen Materie und Felder beschreibt man mit Quellen und Senken. Betrachtet man ein Stück Materie, das mit dem Gravitationsfeld in Kontakt steht, besagt die lokale Impulsbilanz, dass die Divergenz der leitungsartigen plus die Divergenz der konvektiven Impulsstromdichte plus die Änderungsrate der Impulsdichte gleich der gravitativen Impulsquellendichte ist<br />
<br />
:<math>j_{p_{ij,j}}+j_{{p}_{ij,j}}^{conv}+\varrho_{p_{i,t}}=\sigma_{p_i}</math><br />
<br />
''i = x, y, z'' mit der [[Einstein-Notation]], wonach über gleiche Indices zu summieren ist und eine Komma vor dem Index die partielle Ableitung bedeutet. Die negative, leitungsartige Impulsstromdichte ist der Spannungstensor. Die konvektive Impulsstromdichte ist Massendichte mal das Tensorprodukt der Geschwindigkeit, die Impulsdichte ist Massendichte mal Geschwindigkeit und die Impulsquellendichte ist Massendichte mal Graviatationsfeldstärke<br />
<br />
:<math>-\sigma_{ij,j}+(\varrho v_iv_j)_{,j}+(\varrho v_i)_{,t}=\varrho g_i</math><br />
<br />
Als Nebenbedingungen kann man noch die [[Massenbilanz]] formulieren<br />
<br />
:<math>(\varrho v_j)_{,j}+\varrho_{,t}=0</math><br />
<br />
und in die [[Impulsbilanz]] einfügen<br />
<br />
:<math>-\sigma_{ij,j}+\varrho v_jv_{i,j}+\varrho v_{i,t}=\varrho g_i</math><br />
<br />
Ersetzt man nun noch den Spannungstensor mit Hilfe des linear-viskosen Materialgesetzes, erhält man die [[Navier-Stokes-Gleichung]].<br />
<br />
Die lokale Impulsbilanz kann nun bezogen auf ein raumfestes oder ein materiefestes Bilanzgebiet aufintegriert werden. Nimmt man ein materiefestes Bilanzgebiet und integriert die lokale Bilanz über das Volumen eines Körpers, erhält man nach Anwendung des Satzes von Gauss die Impulsbilanz bezüglich dieses Körpers<br />
<br />
:<math>\dot{\vec p} = m\dot{\vec v}_{MMP}=\vec{F_{Res}}^{OF}+\vec{F_G}</math><br />
<br />
Die Impulsänderungsrate ist gleich Mass mal Beschleunigung des Massenmittelpunkts, die resultierende Oberflächenkraft ergibt sich aus dem Spannungstensor durch Integration über die ganze Oberfläche, der konvektive Impulsstrom verschwindet und die Gewichtskraft ist gleich der Gravitationsfeldstärke mal das Volumenintegral über die Massendichte. Oft tauscht ein Körper gleichzeitig mit mehreren andern Körpern Impuls aus. Der Spannungstensor ist dann stückweise über jede einzelne Berührfläche zu den Nachbarkörpern zu integrieren. Die Impulsbilanz oder das zweite Newton'sche Gesetz nimmt damit folgende Form an<br />
<br />
::<math>m\dot{\vec v}_{MMP}=\sum_i \vec{F_i}+\vec{F_G}</math><br />
<br />
Aufgrund dieser Zusammenhänge wird eine Oberflächenkraft oft als Flächenintegral über den Spannungstensor definiert, wobei in der Regel über eine '''offene Teilfläche''' zu integrieren ist. Orientiert man die Schnittfläche auf die andere Seite, also bezüglich des Nachbarkörpers, erhält man die Reaktionskraft im Sinne des dritten Newton'schen Gesetzes.<br />
<br />
==Impulsstrom und Kraft==<br />
Nimmt man den [[Impuls]] als primäre, vektorwertige, mengenartige Grösse, erscheinen die [[Newtonsche Axiome|Newton'sche Gesetze]] als anitquierte und umständliche Formulierung eines Bilanzgesetzes für Spezialfälle. Themen wie die Relativitätstheorie, die Mechanik offener Systeme ([[Rakete]], [[Strahltriebwerk]], Turbinen und anderes) und die Impulsbilanz in der [[Kontinuumsmechanik]] können schneller und effizienter erschlossen werden, wenn man vom Impuls als Primärgrösse der [[Mechanik]] ausgeht. Zudem kann man ganz neue Darstellungsformen entwickeln wie zum Beispiel das [[Flüssigkeitsbild]] oder das [[Impulsstrombild]]. Um Impulsstrombilder zu erzeugen, muss ein raumfestes Koordinatensystem eingeführt werden, damit für jede der drei Komponenten ein eigenes Strombild gezeichnet werden kann.<br />
<br />
Stein des Anstosses in Bezug auf den Impulsstrom ist meist die Statik: weil in der Alltagssprache Strom mit Bewegung gleich gesetzt wird, stolpert man oft über das eigene Vorurteil, wonach in einem ruhenden Körper nichts fliessen kann. Eine direkte Kopplung zwischen Strom und Bewegung existiert jedoch nur bei konvektiven Transportvorgängen. Bei leitungsartigen Transporten wie elektrischer Strom im Kupferdraht, Wärmeleitung durch eine Wand oder Drehimpulstransport durch eine Antriebswelle ist in Stromrichtung direkt keine Bewegung im Sinne der Mechanik feststellbar. Schwingen zum Beispiel zwei über eine Feder verbundene Gleiter im Gegentakt auf der Luftkissenbahn hin und her, fliesst ein Impulswechselstrom durch die Feder, ohne dass sich diese in die eine oder die andere Richtung bewegt ('''Video:''' [http://www.youtube.com/watch?v=5EfcO8w57xg Gibt es Impulsströme])<br />
<br />
Die Gutachter der DPG haben etwas Mühe mit der korrekten Begriffsbildung. Ein '''Strom''' bezeichnet den Transportvorgang einer mengenartigen Grösse durch den Raum oder ein Bauteil. Eine '''[[Stromdichte]]''' misst die lokale Stärke dieses Transports (z.B. Impuls pro Zeit und pro Fläche). Die '''[[Stromstärke]]''' beschreibt die pro Zeiteinheit durch eine orientierte [[Referenzfläche]] transportierte Menge. Die Stromstärke berechnet sich aus der Stromdichte durch Integration über die meist offene Referenzfläche. Eine Impulsstromstärke ist deshalb gleich dem Integral des Spannungstensors (negative leitungsartige Impulsstromdichte) über eine meist offene Referenzfläche. Ist die Referenzfläche Teil eines ausgewählten Körpers, nennt man die Impulsstromstärke auch [[Kraft]] auf den Körper.<br />
<br />
[[Flüssigkeitsbild]], [[Impulsstrombild]] und Kraft- oder [[Schnittbild]] sind drei mögliche Darstellungsformen für mechanische Prozesse. Mit diesen drei Bildern kann man viele Vorgänge umfassend und widerspruchsfrei erklären ('''Video:''' [http://www.youtube.com/watch?v=RGLocnPH5u0 drei Biler]). Leider sind im deutschen Sprachraum viele Physik-Lehrbücher auf dem Markt, bei denen bei einfachen Beispielen die Kräfte sogar falsch eingezeichnet sind ('''Video:''' [http://www.youtube.com/watch?v=ymQ-WGVph0k Perversion in der Physik]).<br />
<br />
=="Gutachten"==<br />
Eine umfassende Analyse des "Gutachtens" lohnt sich kaum, weil es mit zweifelhafter Absicht und ziemlich stümperhaft verfasst worden ist. Die nachfolgende Liste führt ein paar Punkte zum Thema Impulsstrom auf. Die Aussagen der Experten sind kursiv geschrieben.<br />
*''Verwendung von Impulsstrom anstelle von Kraft führt auf widersprüchliche z.T. falsche Aussagen''. Aufgrund der in die Bilder des KPK hinein gezeichneten Kraftpfeile und anhand von Büchern und Skripten, welche einzelne Experten heraus gegeben haben, muss man annehmen, dass die Experten selber den Kraftbegriff der Mechanik nicht verstanden haben.<br />
*''Wenn man die Lage des Koordinatensystems nicht kennt, kann man auch nicht die Richtung des KPK-Impulsstroms festlegen.'' Impulsströme sind bildhafte '''Darstellungen''' des Impulstransportes durch das Material. Weil der Impuls eine vektorwertige Grösse ist und folglich die Impulsstromdichte als Tensor 2. Stufe geschrieben werden muss, braucht es für die konkrete Darstellung der Impulsströme ein Koordinatensystem.<br />
*''Aber da zu jeder Kraft auch eine entgegengesetzte gleich starke Gegenkraft gehört (actio = reactio) und diese beiden vollständig symmetrisch sind, können Kraftmesser prinzipiell keine Richtung auszeichnen.'' Neuere Kraftmesser können Zug- und Druckkräfte messen. Also ist die Richtung des Impulsstromes eindeutig messbar (relativ zum Koordinatensystem). Der unangebrachte Hinweis auf das dritte Newton'sche Gesetz lässt den Verdacht aufkommen, dass die Experten auch dieses Gesetz nicht verstanden haben. Der Verdacht erhärtet sich, wenn man das Papier "Ergänzende Bemerkungen zum DPG-Gutachten über den Karlsruher Physikkurs" desselben Gremiums beizieht ('''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=pO6G3V3jfPA Wechselwirkungsprinzip und die DPG]).<br />
*''Damit kann auch die Richtung des KPK-Impulsstroms willkürlich, d.h. unabhängig vom Geschehen im System allein durch eine neue Wahl des Koordinatensystems verändert werden.'' Das gilt nur für die Darstellung der drei Komponenten, nicht aber für die zugrunde gelegte Theorie. Das lokale Hooke'sche Gesetz, das die Impulsstromdichte mit dem Dehnung verknüpft, lässt sich koordinatenfrei formulieren.<br />
*''Deshalb ist die vom KPK eingeführte Richtung des Impulsstroms eine willkürlich festgelegte Konvention, der keine objektive Realität zukommt: Es gibt diesen Strom in der Natur nicht.'' Die Abhängigkeit der Darstellungsform vom Koordinatensystem und letztendlich auch vom Bezugssystem berechtigt noch lange nicht, dem Impulsstrom jegliche Existenz abzusprechen. Bei naturwissenschaftlich begründeten Grössen geht es ja nicht um "Realität", sondern um Konsistenz, Kohärenz und Relevanz. Ein kurzer Blick in ein neueres Lehrbuch zur Kontinuumsmechanik hätte genügt, um zu sehen, dass konvektive und leitungsartige Impulsstromdichten etablierte Begriffe sind.<br />
<br />
Die Experten der DPG haben im Teil "Impulsstrom" mit ihren Einwänden gegen den KPK nur gezeigt, dass sie selber nichts, aber auch gar nichts von Mechanik verstehen.<br />
<br />
==Wärme==<br />
Die [[Entropie]] ist die Basismenge der [[Thermodynamik]]. Ohne Entropie kann man weder Wärmepumpen noch Wärmekraftmaschinen wirklich verstehen. Der KPK führt deshalb die Entropie zu Beginn der Wärmelehre ein und verknüpft diesen Begriff direkt mit dem Vorwissen der Schülerinnen und Schüler. Diese didaktisch motivierte Begriffsbildung wird auch an der [[ZHAW]] bei der Ausbildung von Ingenieuren mit grossem Erfolg angewendet. Weil aufgrund einer historischen Fehlentwicklung in der Thermodynamik mit Wärme die thermisch ausgetauschte Energie gemeint ist, versuchen die Experten der DPG dem KPK daraus einen Strick zu drehen. Dabei schrecken sie auch vor plumpen Verdrehungen nicht zurück, wie das folgende Zitat zeigt: ''Aber deshalb ist Entropie noch lange nicht der Wärme gleichzusetzen, auch keiner „umgangssprachlich“ so bezeichneten. Beide haben verschiedene Maßeinheiten, können also schon deshalb nicht gleich sein. Wärme misst man in Joule, Entropie in Joule/Kelvin.'' Wenn man das umgangssprachliche Wort '''Wärme''' mit Entropie gleichsetzt, dann hat dieser Wärmebegriff die Einheit Joule/Kelvin. Wenn man das umgangssprachliche Wort Wärme für die thermische Austauschform der Energie nimmt (offizielle Definition), dann hat Wärme die Einheit Joule. Eine ähnliche Situation findet man beim Kraftbegriff. Helmholtz hat das Wort "Kraft" für die Energie verwendet (Über die Erhaltung der Kraft). Nach der Logik des Expertengremiums der DPG müsst man Hermann von Helmholtz aus dem Olymp der Physik vertreiben, weil Kraft in Newton gemessen wird. Der KPK verwendet das Wort Wärme nur im einführenden Kapitel zur Wärmelehre. Danach ist nur noch von Entropie und Energie die Rede. Ausser der Systemphysik, die auf dem KPK aufbaut, gibt es weltweit keinen Physikkurs, der die Struktur der Thermodynamik so klar und einfach vermittelt.<br />
<br />
Die Einwände der Experten im Einzelnen widerlegen zu wollen, wäre reine Zeitverschwendung. Die völlig antiquierte und zum Teil falsche Argumentation der Experten (Hauptsätze, Entropie nur als Zustandsgrösse, Ungleichungen bei irreversiblen Prozessen, fehlende Bilanzgleichung) lässt den Verdacht aufkommen, dass an deutschen Universitäten Thermodynamik von Professoren der Physik unterrichtet wird, die selber noch nie auf diesem Gebiet tätig gewesen sind. Dieter Meschede, einer der Experten der DPG, ist Herausgeber von '''Gerthsen Physik'''. Analysiert man dort die Begriffsbildung in Bezug auf Mechanik und Thermodynamik, begreift man auch, wieso nach der Veröffentlichung des "Gutachtens" kein Aufschrei des Entsetzens durch die deutsche Gemeinschaft der Physiker gegangen ist. Viele Physiker haben in ihrem Studium in Mechanik und Thermodynamik nur gerechnet und nichts begriffen. Das ist nicht weiter schlimm, weil sich die Physik heute mit ganz anderen Themen beschäftigt. Schlimm ist nur, dass die Physiker immer noch davon überzeugt sind, dass sie die Grundlagen für Ingenieure, Naturwissenschaftler und Ärzte kennen und vermitteln können (Sheldon-Cooper-Syndrom).<br />
<br />
==Links==<br />
*[https://www.dpg-physik.de/veroeffentlichung/stellungnahmen/kpk.html "Gutachten" der DPG]<br />
*[http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/ Karlsruher Physikkurs]<br />
*[http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/kpk/Fragen_Kritik/DPG.html Reaktionen auf das Gutachten]<br />
*[http://www.physik.hu-berlin.de/top/DPG-Stellungnahme-zum-KPK_Erklaerung-von-Theorieprofessoren_2013-09-02.pdf Rücknahmeforderung von Professoren der theoretischen Physik]<br />
*[http://www.physik.uni-regensburg.de/forschung/rincke/Allgemeines/stellungnahme_leserbrief_rincke_strunk.pdf Stellungnahme von Karsten Rincke, Christoph Strunk]<br />
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PL918XBsgASEnMhGxNb7asQMQo6IqTrxSW 29 Videos von Werner Maurer]<br />
*[https://www.academia.edu/12951878/Analyse_zum_Gutachten_der_DPG_%C3%BCber_den_Karlsruher_Physikkurs Analyse von Werner Maurer]<br />
*[http://pegaswiss.ch/community/gutachten-der-dpg/1088-impulsstroeme Diskussion im Forum der Systemphysik über das "Gutachten"]</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Kreisbewegung&diff=12287Kreisbewegung2017-11-19T12:35:19Z<p>Systemdynamiker: /* Siehe auch */</p>
<hr />
<div>Ein Körper, der sich auf einer Kreisbahn bewegt, muss mit der Umgebung andauernd [[Impuls]] austauschen. Die Impulsänderungsrate heisst auch resultierende [[Kraft]] auf den Körper. Die Normalkomponente dieser resultierenden Kraft zeigt gegen die Kreismitte. Die Normalkomonente der resultierenden Kraft ändert die Bewegungsrichtung, die Tangentialkomponente die [[Schnelligkeit]] des Körpers. <br />
<br />
Die Kreisbewegung gibt Anlass zu mehreren Missverständnissen:<br />
*Weil nur die Tangentialkomponente der Kraft eine [[Leistung einer Kraft|Leistung]] besitzt, spricht man in der Umgangssprache bei der [[gleichmässige Kreisbewegung|gleichmässigen Kreisbewegung]] von einem unbeschleunigten Vorgang. <br />
*Die gegen die Kreismitte weisende Beschleunigung wird oft nach aussen gedreht und als zentrifugal bezeichnet. Diese Betrachtungsweise bezieht sich auf einen [[rotierendes Bezugssystem|rotierenden Beobachter]]. In einem rotierenden System herrscht ein Zentrifugalfeld. Die zugehörige Feldstärke '''''g'''<sub>zf</sub>'' ist an jedem Punkt entgegengesetzt gleich gross wie die Beschleunigung '''''a'''<sub>n</sub>'', die ein aussenstehender Beobachter diesem Punkt des rotierenden Systems zuschreiben würde.<br />
<br />
==Geometrie==<br />
[[Bild:Kreisbewegung.png|thumb|kartesische und Polarkoordinaten bei Kreisbewegung]]<br />
Die Bewegung eines Körpers auf einer Kreisbahn beschreibt man am einfachsten mittels den Polarkoordinaten ''r'' und ''&phi;''. Polarkoordinaten lassen sich mit Hilfe von trigonometrischen Funktionen in kartesische Korrdinaten umrechnen<br />
<br />
:<math>\vec r = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} \cos \varphi \\ \sin \varphi \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Bei der Kreisbewegung ist ''r'' ein [[Parameter]] und ''&phi;'' eine Funktion der Zeit. Die Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit liefert den Geschwindigkeitsvektor des kreisenden [[Referenzpunkt|Referenzpunktes]]<br />
<br />
:<math>\dot {\vec r} = \begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} \dot \varphi</math><br />
oder<br />
:<math>\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix} = r \omega \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} = v \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Der Geschwindigkeitsvektor steht normal zum Radius. Sein Betrag ist gleich dem Produkt aus dem Betrag des Radius und der Winkelgeschwindigkeit.<br />
<br />
==Impulsbilanz==<br />
Das [[kapazitives Gesetz|Kapazitivgesetz]] liefert bei gegebener Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes den Impulsinhalt des Körpers<br />
<br />
:<math>\vec p = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} = m \vec v = m v \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} = p \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix}</math> <br />
<br />
Für den Betrag des Impulsvektors gilt: ''p = m v = m &omega; r''<br />
<br />
Die Impulsänderungsrate erhält man durch nochmaliges Ableiten nach der Zeit<br />
<br />
:<math>\begin{pmatrix} \dot p_x \\ \dot p_y \end{pmatrix} = \dot p \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -\cos \varphi \\ -\sin \varphi \end{pmatrix} \dot \varphi = \dot p \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} + \omega p \begin{pmatrix} -\cos \varphi \\ -\sin \varphi \end{pmatrix}</math> <br />
<br />
Der erste Term beschreibt die [[Änderungsrate]] des Impulsbetrages, der zweite Term die durch die Kreisbahn erzwungene Schwenkbewegung des Impulsvektors. Die [[Impulsbilanz]] setzt nun die Impulsänderungsrate gleich der Summe über alle Impulsstrom- und -quellenstärke. In der [[Punktmechanik]] sagt man dieser Summe resultierende [[Kraft]] und schreibt die Gleichung oft koordinatenunabhängig hin<br />
<br />
:<math>\vec F_{res} = \dot p \frac {\vec p} {p} + \vec \omega \times \vec p</math><br />
<br />
Mit ''p'' ist der Betrag des Impulsvektors gemeint. Dass die [[Winkelgeschwindigkeit]] als Vektor geschrieben werden darf, ist mathematisch nicht einfach zu begründen. Dieser Vektor steht nach der Rechten-Hand-Regel normal zur Kreisbahnebene. Die [[Rechte-Hand-Regel|Rechte-Hand-Regel]] besagt hier, dass der Daumen der rechten Hand die Richtung der Winkelgeschwindgigkeit anzeigt, wenn die Finger im Drehsinn auf den Kreis gelegt werden.<br />
<br />
Falls die Winkelgeschwindigkeit konstant ist, also bei einer gleichförmigen Kreisbewegung, entfällt der erste Term<br />
<br />
:<math>\vec F_{res} = \vec \omega \times \vec p = -\omega p \frac {\vec r} {r}</math><br />
<br />
Bei der [[gleichmässige Kreisbewegung|gleichmässigen Kreisbewegung]] zeigt der Vektor der resultierenden Kraft gegen das Kreiszentrum und sein Betrag ist gleich dem Produkt aus Winkelgeschwindigkeit und Impulsinhalt des Körpers.<br />
<br />
'''Beispiele'''<br />
*Ein Auto durchfährt eine Kurve: die horizontale Komponente der resultierenden Kraft setzt sich aus Luftwiderstand und Haftreibung zusammen. Die resultierende Kraft zeigt gegen die Kreismitte (konstante Schnelligkeit), schief nach vorn (Autofahrer gibt Gas) oder schief nach hinten (Autofahrer bremst). Eine Komponente der Kraft muss aber immer gegen die Kurvenmitte zeigen, sonst kann das Auto seine Richtung nicht ändern.<br />
*Ein Satellit "kreist" um die Erde: die resultierende Kraft besteht nur aus der Gewichts- oder Gravitationskraft (ein antriebsloser [[Satellit]] fällt gegen die Erde, verfehlt aber infolge seiner hohen Geschwindigkeit die Erdoberfläche). Die Bahn eines Satelliten ist ellipsenförmig. Die Gravitationskraft zeigt immer gegen die Erdmitte. Weist die Tangentialkomponente der Gravitationskraft nach vorne, wird der Satellit schneller, weist sie nach hinten, wird er langsamer. Am erdfernsten und am erdnächsten Punkt steht die Gewichtskraft normal zur Bahn.<br />
<br />
==Energiebetrachtung==<br />
Wird die Kreisbewegung durch einen einzigen Impulsstrom, eine einzige [[Kraft]], verursacht, kann der [[zugeordneter Energiestrom|zugeordnete Energiestrom]] durch das Skalarprodukt aus Geschwindigkeit und Impulsänderungsrate ausgedrückt werden (in diesem Fall ist die Impulsänderungsrate gleich gross wie die Impulsstromstärke)<br />
<br />
:<math>I_W = v_x \dot p_x + v_y \dot p_y + v_z \dot p_z = v \dot p [\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi] + v \omega p [\sin \varphi \cos \varphi - \cos \varphi \sin \varphi] = v \dot p</math><br />
<br />
Der zugeordnete Energiestrom ist gleich dem Produkt aus [[Schnelligkeit]] (Betrag der Geschwindigkeit) und [[Änderungsrate]] des Impulsbetrages. Dieser Energiestrom verschwindet bei einer [[gleichmässige Kreisbewegung|gleichmässigen Kreisbewegung]], weil dann der Betrag des Impulses konstant bleibt. Sobald mehrere Impulsströme im Spiel sind, mehrer Kräfte wirken (kreisendes Flugzeug, Kurvenfahrt eines Schnellzuges), verschwindet bei der gleichmässigen Kreisbewegung nur die Summe über alle Energieströme, nicht aber die den einzelnen Impulsströmen zugeordneten Energieströme.<br />
<br />
Setzt man den resultierenden Energiestrom in die Energiebilanz ein, bekommt man die [[Änderungsrate]] der kinetischen Energie<br />
<br />
:<math>I_W = \dot W_{kin} = \frac {m}{2}(v^2\dot) = m v \dot v = v \dot p</math><br />
<br />
Die Energiebilanz folgt somit - wie in der ganzen Mechanik der homogenen Systeme - direkt aus der Impulsbilanz. Die Änderungsrate der [[kinetische Energie|kinetischen Energie]] eines Körpers ist demnach immer gleich Geschwindigkeit mal Änderungsrate des Impulses.<br />
<br />
Ein Körper, der auf einer Kreisbahn gehalten wird, tauscht dauernd Impuls mit der Umgebung aus. Aber nur wenn sich der Betrag des Impulsinhaltes ändert, nimmt auch die kinetische Energie zu oder ab.<br />
<br />
==Punktmechanik==<br />
[[Bild:Kreisbewegung2.png|thumb|Normal- und Tangentialbeschleunigung bei einer Kreisbewegung]]<br />
In der Modellstruktur der [[Punktmechanik]] untersucht man die Bewegung von punkförmigen Körpern unter der Wirkung von Zentralkräften (Wechselwirkungspaare zwischen den einzelnen Punkten). Bei der Kreisbewegung beschränkt man sich auf einen einzigen Körper, der unter der Wirkung von Kräften einer vorgegebenen Kreisbahn folgt. Die resultierende Kraft ist dann gemäss dem Aktionsprinzip von [[Newtonsche Axiome|Newton]] über die Beschleunigung definiert. <br />
<br />
Die Beschleunigung bei Kreisbewegungen erhält man durch nochmaliges Ableiten der Geschwindigkeit nach der Zeit<br />
<br />
:<math>\begin{pmatrix} \dot v_x \\ \dot v_y \end{pmatrix} = \dot v \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} + v \begin{pmatrix} -\cos \varphi \\ -\sin \varphi \end{pmatrix} \dot \varphi = a_t \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} + a_n \begin{pmatrix} -\cos \varphi \\ -\sin \varphi \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Die Beschleunigung zerfällt in einen Anteil, der in Bewegungsrichtung zeigt (''a<sub>t</sub> = dv/dt''), und einen Anteil, der normal zur Bewegungsrichtung steht, also zur Kreismitte gerichtet ist (''a<sub>n</sub> = v &omega; = r &omega;<sup>2</sup> = v<sup>2</sup> / r'' ). Im [[Alltagsmechanik|Alltag]] wird nur die Tangentialbeschleunigung ''a<sub>t</sub>'' als Beschleunigung (Betrag der Geschwindigkeit nimmt zu) oder als Verzögerung (Betrag der Geschwindigkeit nimmt ab) wahrgenommen. Die Normalbeschleunigung gilt in der Umgangssprache nicht als Beschleunigung. <br />
<br />
Die Dynamik der Kreisbewegung sollte nach mehr als zweihundert Jahren [[Newtonsche Axiome|Newtonscher Mechanik]] eigentlich keine ernsthaften Probleme mehr bereiten. Didaktische Untersuchungen haben aber gezeigt, dass die Mehrheit einer Gruppe von Physik Studierenden bei der Kreisfahrt eines Autos weder in der Lage ist, Kräfte korrekt einzuzeichnen, noch die Richtung der Beschleunigung einigermassen richtig anzugeben weiss [JUNG, W., WIESNER, H.: ''Verständnisschwierigkeiten beim physikalischen Kraftbegriff''. Eine Untersuchung zum Kraftbegriff bei Physikstudenten. In: Physik und Didaktik 2/1981, S. 111-122]. Was erzählen wohl diese ehemaligen Studenten, von denen viele als Physiklehrer tätig sein dürften, heute ihren Schülerinnen und Schülern?<br />
<br />
==Siehe auch==<br />
*[[Erzwungene Kreisbewegung]]<br />
*[http://www.youtube.com/watch?v=62ssS0Eow9s Video mit Animation]<br />
*[https://cast.switch.ch/vod/clips/1kmkuy0vb0/link_box Video der Vorlesung]<br />
*[http://www.youtube.com/watch?v=16HiNCBJAeg Kreisbewegung] auf Youtube<br />
<br />
[[Kategorie:Trans]]</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Kreisbewegung&diff=12286Kreisbewegung2017-11-19T12:34:32Z<p>Systemdynamiker: /* Siehe auch */</p>
<hr />
<div>Ein Körper, der sich auf einer Kreisbahn bewegt, muss mit der Umgebung andauernd [[Impuls]] austauschen. Die Impulsänderungsrate heisst auch resultierende [[Kraft]] auf den Körper. Die Normalkomponente dieser resultierenden Kraft zeigt gegen die Kreismitte. Die Normalkomonente der resultierenden Kraft ändert die Bewegungsrichtung, die Tangentialkomponente die [[Schnelligkeit]] des Körpers. <br />
<br />
Die Kreisbewegung gibt Anlass zu mehreren Missverständnissen:<br />
*Weil nur die Tangentialkomponente der Kraft eine [[Leistung einer Kraft|Leistung]] besitzt, spricht man in der Umgangssprache bei der [[gleichmässige Kreisbewegung|gleichmässigen Kreisbewegung]] von einem unbeschleunigten Vorgang. <br />
*Die gegen die Kreismitte weisende Beschleunigung wird oft nach aussen gedreht und als zentrifugal bezeichnet. Diese Betrachtungsweise bezieht sich auf einen [[rotierendes Bezugssystem|rotierenden Beobachter]]. In einem rotierenden System herrscht ein Zentrifugalfeld. Die zugehörige Feldstärke '''''g'''<sub>zf</sub>'' ist an jedem Punkt entgegengesetzt gleich gross wie die Beschleunigung '''''a'''<sub>n</sub>'', die ein aussenstehender Beobachter diesem Punkt des rotierenden Systems zuschreiben würde.<br />
<br />
==Geometrie==<br />
[[Bild:Kreisbewegung.png|thumb|kartesische und Polarkoordinaten bei Kreisbewegung]]<br />
Die Bewegung eines Körpers auf einer Kreisbahn beschreibt man am einfachsten mittels den Polarkoordinaten ''r'' und ''&phi;''. Polarkoordinaten lassen sich mit Hilfe von trigonometrischen Funktionen in kartesische Korrdinaten umrechnen<br />
<br />
:<math>\vec r = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} \cos \varphi \\ \sin \varphi \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Bei der Kreisbewegung ist ''r'' ein [[Parameter]] und ''&phi;'' eine Funktion der Zeit. Die Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit liefert den Geschwindigkeitsvektor des kreisenden [[Referenzpunkt|Referenzpunktes]]<br />
<br />
:<math>\dot {\vec r} = \begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} \dot \varphi</math><br />
oder<br />
:<math>\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix} = r \omega \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} = v \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Der Geschwindigkeitsvektor steht normal zum Radius. Sein Betrag ist gleich dem Produkt aus dem Betrag des Radius und der Winkelgeschwindigkeit.<br />
<br />
==Impulsbilanz==<br />
Das [[kapazitives Gesetz|Kapazitivgesetz]] liefert bei gegebener Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes den Impulsinhalt des Körpers<br />
<br />
:<math>\vec p = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} = m \vec v = m v \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} = p \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix}</math> <br />
<br />
Für den Betrag des Impulsvektors gilt: ''p = m v = m &omega; r''<br />
<br />
Die Impulsänderungsrate erhält man durch nochmaliges Ableiten nach der Zeit<br />
<br />
:<math>\begin{pmatrix} \dot p_x \\ \dot p_y \end{pmatrix} = \dot p \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -\cos \varphi \\ -\sin \varphi \end{pmatrix} \dot \varphi = \dot p \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} + \omega p \begin{pmatrix} -\cos \varphi \\ -\sin \varphi \end{pmatrix}</math> <br />
<br />
Der erste Term beschreibt die [[Änderungsrate]] des Impulsbetrages, der zweite Term die durch die Kreisbahn erzwungene Schwenkbewegung des Impulsvektors. Die [[Impulsbilanz]] setzt nun die Impulsänderungsrate gleich der Summe über alle Impulsstrom- und -quellenstärke. In der [[Punktmechanik]] sagt man dieser Summe resultierende [[Kraft]] und schreibt die Gleichung oft koordinatenunabhängig hin<br />
<br />
:<math>\vec F_{res} = \dot p \frac {\vec p} {p} + \vec \omega \times \vec p</math><br />
<br />
Mit ''p'' ist der Betrag des Impulsvektors gemeint. Dass die [[Winkelgeschwindigkeit]] als Vektor geschrieben werden darf, ist mathematisch nicht einfach zu begründen. Dieser Vektor steht nach der Rechten-Hand-Regel normal zur Kreisbahnebene. Die [[Rechte-Hand-Regel|Rechte-Hand-Regel]] besagt hier, dass der Daumen der rechten Hand die Richtung der Winkelgeschwindgigkeit anzeigt, wenn die Finger im Drehsinn auf den Kreis gelegt werden.<br />
<br />
Falls die Winkelgeschwindigkeit konstant ist, also bei einer gleichförmigen Kreisbewegung, entfällt der erste Term<br />
<br />
:<math>\vec F_{res} = \vec \omega \times \vec p = -\omega p \frac {\vec r} {r}</math><br />
<br />
Bei der [[gleichmässige Kreisbewegung|gleichmässigen Kreisbewegung]] zeigt der Vektor der resultierenden Kraft gegen das Kreiszentrum und sein Betrag ist gleich dem Produkt aus Winkelgeschwindigkeit und Impulsinhalt des Körpers.<br />
<br />
'''Beispiele'''<br />
*Ein Auto durchfährt eine Kurve: die horizontale Komponente der resultierenden Kraft setzt sich aus Luftwiderstand und Haftreibung zusammen. Die resultierende Kraft zeigt gegen die Kreismitte (konstante Schnelligkeit), schief nach vorn (Autofahrer gibt Gas) oder schief nach hinten (Autofahrer bremst). Eine Komponente der Kraft muss aber immer gegen die Kurvenmitte zeigen, sonst kann das Auto seine Richtung nicht ändern.<br />
*Ein Satellit "kreist" um die Erde: die resultierende Kraft besteht nur aus der Gewichts- oder Gravitationskraft (ein antriebsloser [[Satellit]] fällt gegen die Erde, verfehlt aber infolge seiner hohen Geschwindigkeit die Erdoberfläche). Die Bahn eines Satelliten ist ellipsenförmig. Die Gravitationskraft zeigt immer gegen die Erdmitte. Weist die Tangentialkomponente der Gravitationskraft nach vorne, wird der Satellit schneller, weist sie nach hinten, wird er langsamer. Am erdfernsten und am erdnächsten Punkt steht die Gewichtskraft normal zur Bahn.<br />
<br />
==Energiebetrachtung==<br />
Wird die Kreisbewegung durch einen einzigen Impulsstrom, eine einzige [[Kraft]], verursacht, kann der [[zugeordneter Energiestrom|zugeordnete Energiestrom]] durch das Skalarprodukt aus Geschwindigkeit und Impulsänderungsrate ausgedrückt werden (in diesem Fall ist die Impulsänderungsrate gleich gross wie die Impulsstromstärke)<br />
<br />
:<math>I_W = v_x \dot p_x + v_y \dot p_y + v_z \dot p_z = v \dot p [\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi] + v \omega p [\sin \varphi \cos \varphi - \cos \varphi \sin \varphi] = v \dot p</math><br />
<br />
Der zugeordnete Energiestrom ist gleich dem Produkt aus [[Schnelligkeit]] (Betrag der Geschwindigkeit) und [[Änderungsrate]] des Impulsbetrages. Dieser Energiestrom verschwindet bei einer [[gleichmässige Kreisbewegung|gleichmässigen Kreisbewegung]], weil dann der Betrag des Impulses konstant bleibt. Sobald mehrere Impulsströme im Spiel sind, mehrer Kräfte wirken (kreisendes Flugzeug, Kurvenfahrt eines Schnellzuges), verschwindet bei der gleichmässigen Kreisbewegung nur die Summe über alle Energieströme, nicht aber die den einzelnen Impulsströmen zugeordneten Energieströme.<br />
<br />
Setzt man den resultierenden Energiestrom in die Energiebilanz ein, bekommt man die [[Änderungsrate]] der kinetischen Energie<br />
<br />
:<math>I_W = \dot W_{kin} = \frac {m}{2}(v^2\dot) = m v \dot v = v \dot p</math><br />
<br />
Die Energiebilanz folgt somit - wie in der ganzen Mechanik der homogenen Systeme - direkt aus der Impulsbilanz. Die Änderungsrate der [[kinetische Energie|kinetischen Energie]] eines Körpers ist demnach immer gleich Geschwindigkeit mal Änderungsrate des Impulses.<br />
<br />
Ein Körper, der auf einer Kreisbahn gehalten wird, tauscht dauernd Impuls mit der Umgebung aus. Aber nur wenn sich der Betrag des Impulsinhaltes ändert, nimmt auch die kinetische Energie zu oder ab.<br />
<br />
==Punktmechanik==<br />
[[Bild:Kreisbewegung2.png|thumb|Normal- und Tangentialbeschleunigung bei einer Kreisbewegung]]<br />
In der Modellstruktur der [[Punktmechanik]] untersucht man die Bewegung von punkförmigen Körpern unter der Wirkung von Zentralkräften (Wechselwirkungspaare zwischen den einzelnen Punkten). Bei der Kreisbewegung beschränkt man sich auf einen einzigen Körper, der unter der Wirkung von Kräften einer vorgegebenen Kreisbahn folgt. Die resultierende Kraft ist dann gemäss dem Aktionsprinzip von [[Newtonsche Axiome|Newton]] über die Beschleunigung definiert. <br />
<br />
Die Beschleunigung bei Kreisbewegungen erhält man durch nochmaliges Ableiten der Geschwindigkeit nach der Zeit<br />
<br />
:<math>\begin{pmatrix} \dot v_x \\ \dot v_y \end{pmatrix} = \dot v \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} + v \begin{pmatrix} -\cos \varphi \\ -\sin \varphi \end{pmatrix} \dot \varphi = a_t \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} + a_n \begin{pmatrix} -\cos \varphi \\ -\sin \varphi \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Die Beschleunigung zerfällt in einen Anteil, der in Bewegungsrichtung zeigt (''a<sub>t</sub> = dv/dt''), und einen Anteil, der normal zur Bewegungsrichtung steht, also zur Kreismitte gerichtet ist (''a<sub>n</sub> = v &omega; = r &omega;<sup>2</sup> = v<sup>2</sup> / r'' ). Im [[Alltagsmechanik|Alltag]] wird nur die Tangentialbeschleunigung ''a<sub>t</sub>'' als Beschleunigung (Betrag der Geschwindigkeit nimmt zu) oder als Verzögerung (Betrag der Geschwindigkeit nimmt ab) wahrgenommen. Die Normalbeschleunigung gilt in der Umgangssprache nicht als Beschleunigung. <br />
<br />
Die Dynamik der Kreisbewegung sollte nach mehr als zweihundert Jahren [[Newtonsche Axiome|Newtonscher Mechanik]] eigentlich keine ernsthaften Probleme mehr bereiten. Didaktische Untersuchungen haben aber gezeigt, dass die Mehrheit einer Gruppe von Physik Studierenden bei der Kreisfahrt eines Autos weder in der Lage ist, Kräfte korrekt einzuzeichnen, noch die Richtung der Beschleunigung einigermassen richtig anzugeben weiss [JUNG, W., WIESNER, H.: ''Verständnisschwierigkeiten beim physikalischen Kraftbegriff''. Eine Untersuchung zum Kraftbegriff bei Physikstudenten. In: Physik und Didaktik 2/1981, S. 111-122]. Was erzählen wohl diese ehemaligen Studenten, von denen viele als Physiklehrer tätig sein dürften, heute ihren Schülerinnen und Schülern?<br />
<br />
==Siehe auch==<br />
*[[Erzwungene Kreisbewegung]]<br />
*[https:http://www.youtube.com/watch?v=62ssS0Eow9s Video mit Animation]<br />
*[https://cast.switch.ch/vod/clips/1kmkuy0vb0/link_box Video der Vorlesung]<br />
*[http://www.youtube.com/watch?v=16HiNCBJAeg Kreisbewegung] auf Youtube<br />
<br />
[[Kategorie:Trans]]</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2016/2&diff=12181Lösung zu Aviatik 2016/22017-06-30T11:15:05Z<p>Systemdynamiker: /* Lösung zu Aufgabe 5 */</p>
<hr />
<div>==Lösung zu Aufgabe 1==<br />
Diese Aufgabe sollte mit Hilfe des [[Flüssigkeitsbild]]es gelöst werden.<br />
#Weil beide Schwungräder mit der gleichen Winkelbeschleunigung hochgefahren werden, muss sich der Drehimpuls im Verhältnis der Massenträgheitsmomente auf die beiden Schwungräder verteilen. Folglich muss von links her dreimal mehr Drehimpuls zufliessen, als durch die Rutschkupplung geht, nämlich 150 Nm. Am Ende der ersten Phase enthalten beide Schwungräder 1500 Nms Drehimpuls (Grundfläche mal Füllhöhe im [[Flüssigkeitsbild]]). Teilt man diese Menge durch die Stromstärke des Zuflusses, erhält man 10 s.<br />
#In der zweiten Phase fliessen 5 s * 50 Nm Drehimpuls ins rechte Schwungrad, was dessen Winkelgeschwindigkeit um weitere 10 rad/s auf 30 rad/s erhöht. Die restlichen 5 s * 200 Nm verbleiben im linken Schwungrad und erhöhen dessen Winkelgeschwindigkeit um 20 rad/s auf 40 rad/s.<br />
#[[Datei:Aviatik_16_2_L2.PNG|thumb|Schnittbild zu Aufgabe 2 (Anstossphase)]]In der dritten Phase gleichen sich die Winkelgeschwindigkeiten an auf den Endwert von <math>\frac{J_1\omega_1+J_2\omega_2}{J_1+J_2}</math> = 36.7 rad/s. Weil die Stromstärke zwischen den Schungrädern weiterhin 50 Nm beträgt, dauert der Prozess <math>t=\frac{J_2\Delta\omega_2}{I_{L_{12}}}</math>=3.33 s<br />
#Die maximal Differenz der beiden Winkelgeschwindigkeiten beträgt 10 rad/s, was bei einem Durchfluss von 50 Nm eine Leistung von 500 W ergibt. Die dissipierte Energie ist das Zeitintegral über die dissipierte Leistung. Weil der Drehimpulsstrom zwischen den beiden Schwungrädern in allen drei Phasen konstant ist, kann der zugehörige Wert vor das Integral genommen werden <math>W = \int{Pdt}=\int{M\Delta\omega dt} =M\int{\Delta\omega dt}=M\Delta\varphi</math>= 2.08 kJ. Den totalen Verdrehwinkel entmimmt man den Winkelgeschwindigkeits-Zeit-Diagramm.<br />
Eine ausführliche Darstellung der Lösung finden Sie im '''[https://www.youtube.com/watch?v=4_W--uUplPs Lösungsvideo]'''<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 2==<br />
Diese Aufgabe besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil geht es um das Anstossen der Kugel ohne Reibung, im zweiten Teil um den Rutschprozess mit Gleitreibung (siehe z.B. Aufgabe [[Bowling]]).<br />
::1. Durch den Stoss werden der Kugel 12 N * 0.15 s = 1.8 Ns [[Impuls]] zugeführt. Dieser Impulsinhalt führt zu einer Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt]]es von 1.8 Ns / 0.18 kg = 10 m/s. Weil die Kugel so angestossen wird, dass sie rollt, gilt die Rollbedingung (<math>v_{MMP}=\omega r</math>), was eine Winkelgeschwindigkeit von 333 rad/s zur Folge hat.<br />
::2. Hier braucht es unbeding ein [[Schnittbild]]. Die drei Bilanzgleichungen (Grundgesetze) plus die Rollbedingung liefern die Lösung von 12 mm. <br />
::{|<br />
| ''x'': <math>F=ma_{MMP}</math><br />
|-<br />
| ''y'': <math>F_G-F_N=0</math><br />
|-<br />
| ''R'': <math>Fs=J\alpha</math><br />
|-<br />
| ''RB'': <math>a_{MMP}=r\alpha</math><br />
|}<br />
::3. [[Datei:Aviatik_16_2_L22.PNG|thumb|Flüssigkeitsbilder für die Rutschphase]]Zwischen gleitender Kugel und Tisch wirkt eine Gleitreibungskraft, welche die Geschwindigkeit verkleinert, die Drehzahl dagegen vergrössert. Die entscheidende Beziehung kann direkt den beiden Flüssigkeitsbildern entnommen werden <math>\frac{F_Rr}{F_R}=\frac{\Delta L}{|\Delta p|}=\frac{J\omega_e}{m(v_a-v_e)}</math>. Ersetzt man die Endwinkelgeschwindigkeit mit Hilfe der Rollbedingung durch die Endgeschwindigkeit, folgt <math>v_e=v_a\frac{mr^2}{J+mr^2}</math>= 8.56 m/s.<br />
::4. Die dissipierte Energie plus die Änderung der Bewegungsenergie (kinetische und Rotationsenergie) zwischen Anfang und Ende der Rutschphase muss gleich null sein (Energieerhaltung)<br />
::<math>W_{diss}+\Delta W_{rot}+\Delta W_{rot}</math> = 0. <br />
::Daraus folgt <math>W_{diss}= -\Delta pv_{mittel}-\frac{J}{2}\omega^2</math> = 3.71 J.<br />
Vorzeichen, Mengen und Fallhöhen bzw. Pumphöhen sind mit Vorteil direkt den beiden Flüssigkeitsbildern zu entnehmen. Eine detailliertere Erklärung finden Sie in diesem '''[https://www.youtube.com/watch?v=q3CVu4hHU0c Lösungsvideo]'''<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 3==<br />
[[Datei:Aviatik_16_2_L3.PNG|thumb|Flüssigkeitsbild zu Aufgabe 3]]Auch diese Aufgabe gliedert sich in zwei Teile. Die ersten drei Fragen sind schon in einigen Übungsaufgaben gestellt worden (z.B. [[Badewanne]]). Bei der vierten Frage geht es um ein thermisches [[RC-Glied]].<br />
#<math>\Delta H=mc\Delta T</math>=56.7 MJ und <math>\Delta S=mc \ln\left(\frac{T_{heiss}}{T_{kalt}}\right)</math>=183 kJ/K<br />
#<math>W_{pump}=S_{pump}(T_{ein}-T_{aus})</math>=10.0MJ, wobei <math>S_{pump}=\frac{\Delta H}{T_{aus}}</math>=167 kJ/K. Es muss weniger Entropie hochgepumpt werden, als nachher im Wasser zusätzlich gespeichert wird, weil zwischen Wärmepumpe und Wasser zusätzlich Entropie erzeugt wird.<br />
#Im Idealfall wird nirgends Entropie erzeugt. Folglich gilt <math>W_{ideal}=\Delta H-\Delta ST_{Umgebung}</math>=3.10 MJ.<br />
#<math>t=\tau\ln\left(\frac{\Delta T_0}{\Delta_T}\right)</math> = 6.99&middot;10<sup>5</sup> s mit <math>\tau=\frac{C}{G_W}</math>=5.05&middot;10<sup>5</sup> s und <math>G_W=\frac{I_{W_{therm}}}{\Delta T_0}</math> = 2.5 W/K.<br />
Details werden im '''[https://www.youtube.com/watch?v=a1c6DoPg3ko Lösungsvideo]''' erklärt.<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 4==<br />
#[[Datei:Aviatik_16_2_L4.PNG|thumb|''T-S''-Diagramm]]Zuerst muss viermal das [[ideales Gas|universelle Gasgesetz]] ausgewertet werden <math>T=\frac{pV}{nR}</math>= 271 K; 622 K; 1299K; 923 K.<br />
#Aus Frage 1 übernehmen wir die vier Temperaturen. Die Entropiezunahme ist bei Frage 3 zu berechnen.<br />
#Enetropiezunahme <math>\Delta S=n\hat c_p \ln \left(\frac{T_3}{T_2}\right)</math> =15.3 J/K; Energiezunahem <math>\Delta W=n\hat c_V(T_3-T_2)</math> = 8.45 kJ.<br />
#Die thermisch zugeführte Energie entspricht der Enthalpieänderung <math>W_{therm}=\Delta H=n\hat c_p(T_3-T_2)</math> = 14.1 kJ. Die mechanisch abgeführte Energie ist gleich der Differenz zwischen Energie- und Enthalpieänderung oder gleich der Fläche im ''p-V''-Diagramm <math>W_{mech}=-p_{23}(V_3-V_2)</math> = -5.63 kJ.<br />
Eine ausführliche Erklärung finden Sie im '''[https://www.youtube.com/watch?v=ws-0fmx50KI Lösungsvideo]'''.<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 5==<br />
Diese Aufgabe gliedert sich in zwei Teile. Die ersten beiden Fragen beschäftigen sich mit der Kinematik und der Dynamik des Jo-Jos. Bei den beiden letzten Fragen geht es um die Modellierung des Jo-Jos.<br />
#Aus der kinematischen Grundformel <math>\Delta v =\omega r</math> folgt <math>\omega =\frac{\Delta v}{r}</math> = 60 rad/s.<br />
#Ein [[Schnittbild]] ist hier hilfreich. Die beiden Bilanzgleichungen sind nicht gekoppelt, was die Lösung vereinfacht.<br />
##Aus der Impulsbilanz (Grundgesetz der Translation) folgt <math>a_{MMP}=\frac{F_G-F}{m}</math> = 5 m/s<sup>2</sup>.<br />
##Aus der Drehimpulsbilanz (Grundgesetz der Rotation) folgt <math>\alpha=\frac{Fr}{J}</math> = 100 rad/s<sup>2</sup>.<br />
#Das Modell besteht aus einer Impulsbilanz mit Gewichtskraft als Zu- und Fadenkraft als Abfluss, einer Drehimpulsbilanz mit Kraft mal Wickelradius als Zufluss. Die Kinematik besteht auf einem Topf für die (negative) Höhe mit der Geschwindigkeit als Zufluss und einem Topf für den Winkel mit der Winkelgeschwindigkeit als Zufluss. Die Winkelberechnung kann auch weggelassen werden.<br />
#Impuls geteilt durch Masse ergibt die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes, die Winkelgeschwindigkeit ist gleich Drehimpuls geteilt durch Massenträgheitsmoment, das Drehmoment ist gleich Fadenkraft mal Wickelradius und die Gewichtskraft ist gleich Masse mal Gravitationsfeldstärke. Diese vier Gleichungen bilden die konstitutiven Gesetzte für dieses Modell.<br />
Hier finden Sie das '''[https://www.youtube.com/watch?v=cd8-ntT-o6w Video zum Jo-Jo]''' aus dem Plenum von Woche 4 FS 2017.<br />
<br />
'''[[Aviatik 2016/2|Aufgabe]]'''</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2016/2&diff=12180Lösung zu Aviatik 2016/22017-06-30T11:10:37Z<p>Systemdynamiker: /* Lösung zu Aufgabe 4 */</p>
<hr />
<div>==Lösung zu Aufgabe 1==<br />
Diese Aufgabe sollte mit Hilfe des [[Flüssigkeitsbild]]es gelöst werden.<br />
#Weil beide Schwungräder mit der gleichen Winkelbeschleunigung hochgefahren werden, muss sich der Drehimpuls im Verhältnis der Massenträgheitsmomente auf die beiden Schwungräder verteilen. Folglich muss von links her dreimal mehr Drehimpuls zufliessen, als durch die Rutschkupplung geht, nämlich 150 Nm. Am Ende der ersten Phase enthalten beide Schwungräder 1500 Nms Drehimpuls (Grundfläche mal Füllhöhe im [[Flüssigkeitsbild]]). Teilt man diese Menge durch die Stromstärke des Zuflusses, erhält man 10 s.<br />
#In der zweiten Phase fliessen 5 s * 50 Nm Drehimpuls ins rechte Schwungrad, was dessen Winkelgeschwindigkeit um weitere 10 rad/s auf 30 rad/s erhöht. Die restlichen 5 s * 200 Nm verbleiben im linken Schwungrad und erhöhen dessen Winkelgeschwindigkeit um 20 rad/s auf 40 rad/s.<br />
#[[Datei:Aviatik_16_2_L2.PNG|thumb|Schnittbild zu Aufgabe 2 (Anstossphase)]]In der dritten Phase gleichen sich die Winkelgeschwindigkeiten an auf den Endwert von <math>\frac{J_1\omega_1+J_2\omega_2}{J_1+J_2}</math> = 36.7 rad/s. Weil die Stromstärke zwischen den Schungrädern weiterhin 50 Nm beträgt, dauert der Prozess <math>t=\frac{J_2\Delta\omega_2}{I_{L_{12}}}</math>=3.33 s<br />
#Die maximal Differenz der beiden Winkelgeschwindigkeiten beträgt 10 rad/s, was bei einem Durchfluss von 50 Nm eine Leistung von 500 W ergibt. Die dissipierte Energie ist das Zeitintegral über die dissipierte Leistung. Weil der Drehimpulsstrom zwischen den beiden Schwungrädern in allen drei Phasen konstant ist, kann der zugehörige Wert vor das Integral genommen werden <math>W = \int{Pdt}=\int{M\Delta\omega dt} =M\int{\Delta\omega dt}=M\Delta\varphi</math>= 2.08 kJ. Den totalen Verdrehwinkel entmimmt man den Winkelgeschwindigkeits-Zeit-Diagramm.<br />
Eine ausführliche Darstellung der Lösung finden Sie im '''[https://www.youtube.com/watch?v=4_W--uUplPs Lösungsvideo]'''<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 2==<br />
Diese Aufgabe besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil geht es um das Anstossen der Kugel ohne Reibung, im zweiten Teil um den Rutschprozess mit Gleitreibung (siehe z.B. Aufgabe [[Bowling]]).<br />
::1. Durch den Stoss werden der Kugel 12 N * 0.15 s = 1.8 Ns [[Impuls]] zugeführt. Dieser Impulsinhalt führt zu einer Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt]]es von 1.8 Ns / 0.18 kg = 10 m/s. Weil die Kugel so angestossen wird, dass sie rollt, gilt die Rollbedingung (<math>v_{MMP}=\omega r</math>), was eine Winkelgeschwindigkeit von 333 rad/s zur Folge hat.<br />
::2. Hier braucht es unbeding ein [[Schnittbild]]. Die drei Bilanzgleichungen (Grundgesetze) plus die Rollbedingung liefern die Lösung von 12 mm. <br />
::{|<br />
| ''x'': <math>F=ma_{MMP}</math><br />
|-<br />
| ''y'': <math>F_G-F_N=0</math><br />
|-<br />
| ''R'': <math>Fs=J\alpha</math><br />
|-<br />
| ''RB'': <math>a_{MMP}=r\alpha</math><br />
|}<br />
::3. [[Datei:Aviatik_16_2_L22.PNG|thumb|Flüssigkeitsbilder für die Rutschphase]]Zwischen gleitender Kugel und Tisch wirkt eine Gleitreibungskraft, welche die Geschwindigkeit verkleinert, die Drehzahl dagegen vergrössert. Die entscheidende Beziehung kann direkt den beiden Flüssigkeitsbildern entnommen werden <math>\frac{F_Rr}{F_R}=\frac{\Delta L}{|\Delta p|}=\frac{J\omega_e}{m(v_a-v_e)}</math>. Ersetzt man die Endwinkelgeschwindigkeit mit Hilfe der Rollbedingung durch die Endgeschwindigkeit, folgt <math>v_e=v_a\frac{mr^2}{J+mr^2}</math>= 8.56 m/s.<br />
::4. Die dissipierte Energie plus die Änderung der Bewegungsenergie (kinetische und Rotationsenergie) zwischen Anfang und Ende der Rutschphase muss gleich null sein (Energieerhaltung)<br />
::<math>W_{diss}+\Delta W_{rot}+\Delta W_{rot}</math> = 0. <br />
::Daraus folgt <math>W_{diss}= -\Delta pv_{mittel}-\frac{J}{2}\omega^2</math> = 3.71 J.<br />
Vorzeichen, Mengen und Fallhöhen bzw. Pumphöhen sind mit Vorteil direkt den beiden Flüssigkeitsbildern zu entnehmen. Eine detailliertere Erklärung finden Sie in diesem '''[https://www.youtube.com/watch?v=q3CVu4hHU0c Lösungsvideo]'''<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 3==<br />
[[Datei:Aviatik_16_2_L3.PNG|thumb|Flüssigkeitsbild zu Aufgabe 3]]Auch diese Aufgabe gliedert sich in zwei Teile. Die ersten drei Fragen sind schon in einigen Übungsaufgaben gestellt worden (z.B. [[Badewanne]]). Bei der vierten Frage geht es um ein thermisches [[RC-Glied]].<br />
#<math>\Delta H=mc\Delta T</math>=56.7 MJ und <math>\Delta S=mc \ln\left(\frac{T_{heiss}}{T_{kalt}}\right)</math>=183 kJ/K<br />
#<math>W_{pump}=S_{pump}(T_{ein}-T_{aus})</math>=10.0MJ, wobei <math>S_{pump}=\frac{\Delta H}{T_{aus}}</math>=167 kJ/K. Es muss weniger Entropie hochgepumpt werden, als nachher im Wasser zusätzlich gespeichert wird, weil zwischen Wärmepumpe und Wasser zusätzlich Entropie erzeugt wird.<br />
#Im Idealfall wird nirgends Entropie erzeugt. Folglich gilt <math>W_{ideal}=\Delta H-\Delta ST_{Umgebung}</math>=3.10 MJ.<br />
#<math>t=\tau\ln\left(\frac{\Delta T_0}{\Delta_T}\right)</math> = 6.99&middot;10<sup>5</sup> s mit <math>\tau=\frac{C}{G_W}</math>=5.05&middot;10<sup>5</sup> s und <math>G_W=\frac{I_{W_{therm}}}{\Delta T_0}</math> = 2.5 W/K.<br />
Details werden im '''[https://www.youtube.com/watch?v=a1c6DoPg3ko Lösungsvideo]''' erklärt.<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 4==<br />
#[[Datei:Aviatik_16_2_L4.PNG|thumb|''T-S''-Diagramm]]Zuerst muss viermal das [[ideales Gas|universelle Gasgesetz]] ausgewertet werden <math>T=\frac{pV}{nR}</math>= 271 K; 622 K; 1299K; 923 K.<br />
#Aus Frage 1 übernehmen wir die vier Temperaturen. Die Entropiezunahme ist bei Frage 3 zu berechnen.<br />
#Enetropiezunahme <math>\Delta S=n\hat c_p \ln \left(\frac{T_3}{T_2}\right)</math> =15.3 J/K; Energiezunahem <math>\Delta W=n\hat c_V(T_3-T_2)</math> = 8.45 kJ.<br />
#Die thermisch zugeführte Energie entspricht der Enthalpieänderung <math>W_{therm}=\Delta H=n\hat c_p(T_3-T_2)</math> = 14.1 kJ. Die mechanisch abgeführte Energie ist gleich der Differenz zwischen Energie- und Enthalpieänderung oder gleich der Fläche im ''p-V''-Diagramm <math>W_{mech}=-p_{23}(V_3-V_2)</math> = -5.63 kJ.<br />
Eine ausführliche Erklärung finden Sie im '''[https://www.youtube.com/watch?v=ws-0fmx50KI Lösungsvideo]'''.<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 5==<br />
Diese Aufgabe gliedert sich in zwei Teile. Die ersten beiden Fragen beschäftigen sich mit der Kinematik und der Dynamik des Jo-Jos. Bei den beiden letzten Fragen geht es um die Modellierung des Jo-Jos.<br />
#Aus der kinematischen Grundformel <math>\Delta v =\omega r</math> folgt <math>\omega =\frac{\Delta v}{r}</math> = 60 rad/s.<br />
#Ein [[Schnittbild]] ist hier hilfreich. Die beiden Bilanzgleichungen sind nicht gekoppelt, was die Lösung vereinfacht.<br />
##Aus der Impulsbilanz (Grundgesetz der Translation) folgt <math>a_{MMP}=\frac{F_G-F}{m}</math> = 5 m/s<sup>2</sup>.<br />
##Aus der Drehimpulsbilanz (Grundgesetz der Rotation) folgt <math>\alpha=\frac{Fr}{J}</math> = 100 rad/s<sup>2</sup>.<br />
#Das Modell besteht aus einer Impulsbilanz mit Gewichtskraft als Zu- und Fadenkraft als Abfluss, einer Drehimpulsbilanz mit Kraft mal Wickelradius als Zufluss. Die Kinematik besteht auf einem Topf für (negative) Höhe mit Geschwindigkeit als Zufluss und einem Topf für den Winkel mit Winkelgeschwindigkeit als Zufluss. Die Winkelberechnung kann auch eggelassen werden.<br />
#Impuls durch Masse gibt die Geschwindigkeit (des Massenmittelpunktes), Winkelgeschwindigkeit gleich Drehimpuls durch Massenträgheitsmoment und Drehmoment gleich Fadenkraft mal Wickelradius sowie Gewichtskraft gleich Masse mal Gravitationsfeldstärke bilden die konstitutiven Gleichungen.<br />
Hier finden Sie das '''[https://www.youtube.com/watch?v=cd8-ntT-o6w Video zum Jo-Jo]''' aus dem Plenum von Woche 4 FS 2017.<br />
<br />
'''[[Aviatik 2016/2|Aufgabe]]'''</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2016/2&diff=12179Lösung zu Aviatik 2016/22017-06-30T11:08:49Z<p>Systemdynamiker: /* Lösung zu Aufgabe 3 */</p>
<hr />
<div>==Lösung zu Aufgabe 1==<br />
Diese Aufgabe sollte mit Hilfe des [[Flüssigkeitsbild]]es gelöst werden.<br />
#Weil beide Schwungräder mit der gleichen Winkelbeschleunigung hochgefahren werden, muss sich der Drehimpuls im Verhältnis der Massenträgheitsmomente auf die beiden Schwungräder verteilen. Folglich muss von links her dreimal mehr Drehimpuls zufliessen, als durch die Rutschkupplung geht, nämlich 150 Nm. Am Ende der ersten Phase enthalten beide Schwungräder 1500 Nms Drehimpuls (Grundfläche mal Füllhöhe im [[Flüssigkeitsbild]]). Teilt man diese Menge durch die Stromstärke des Zuflusses, erhält man 10 s.<br />
#In der zweiten Phase fliessen 5 s * 50 Nm Drehimpuls ins rechte Schwungrad, was dessen Winkelgeschwindigkeit um weitere 10 rad/s auf 30 rad/s erhöht. Die restlichen 5 s * 200 Nm verbleiben im linken Schwungrad und erhöhen dessen Winkelgeschwindigkeit um 20 rad/s auf 40 rad/s.<br />
#[[Datei:Aviatik_16_2_L2.PNG|thumb|Schnittbild zu Aufgabe 2 (Anstossphase)]]In der dritten Phase gleichen sich die Winkelgeschwindigkeiten an auf den Endwert von <math>\frac{J_1\omega_1+J_2\omega_2}{J_1+J_2}</math> = 36.7 rad/s. Weil die Stromstärke zwischen den Schungrädern weiterhin 50 Nm beträgt, dauert der Prozess <math>t=\frac{J_2\Delta\omega_2}{I_{L_{12}}}</math>=3.33 s<br />
#Die maximal Differenz der beiden Winkelgeschwindigkeiten beträgt 10 rad/s, was bei einem Durchfluss von 50 Nm eine Leistung von 500 W ergibt. Die dissipierte Energie ist das Zeitintegral über die dissipierte Leistung. Weil der Drehimpulsstrom zwischen den beiden Schwungrädern in allen drei Phasen konstant ist, kann der zugehörige Wert vor das Integral genommen werden <math>W = \int{Pdt}=\int{M\Delta\omega dt} =M\int{\Delta\omega dt}=M\Delta\varphi</math>= 2.08 kJ. Den totalen Verdrehwinkel entmimmt man den Winkelgeschwindigkeits-Zeit-Diagramm.<br />
Eine ausführliche Darstellung der Lösung finden Sie im '''[https://www.youtube.com/watch?v=4_W--uUplPs Lösungsvideo]'''<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 2==<br />
Diese Aufgabe besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil geht es um das Anstossen der Kugel ohne Reibung, im zweiten Teil um den Rutschprozess mit Gleitreibung (siehe z.B. Aufgabe [[Bowling]]).<br />
::1. Durch den Stoss werden der Kugel 12 N * 0.15 s = 1.8 Ns [[Impuls]] zugeführt. Dieser Impulsinhalt führt zu einer Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt]]es von 1.8 Ns / 0.18 kg = 10 m/s. Weil die Kugel so angestossen wird, dass sie rollt, gilt die Rollbedingung (<math>v_{MMP}=\omega r</math>), was eine Winkelgeschwindigkeit von 333 rad/s zur Folge hat.<br />
::2. Hier braucht es unbeding ein [[Schnittbild]]. Die drei Bilanzgleichungen (Grundgesetze) plus die Rollbedingung liefern die Lösung von 12 mm. <br />
::{|<br />
| ''x'': <math>F=ma_{MMP}</math><br />
|-<br />
| ''y'': <math>F_G-F_N=0</math><br />
|-<br />
| ''R'': <math>Fs=J\alpha</math><br />
|-<br />
| ''RB'': <math>a_{MMP}=r\alpha</math><br />
|}<br />
::3. [[Datei:Aviatik_16_2_L22.PNG|thumb|Flüssigkeitsbilder für die Rutschphase]]Zwischen gleitender Kugel und Tisch wirkt eine Gleitreibungskraft, welche die Geschwindigkeit verkleinert, die Drehzahl dagegen vergrössert. Die entscheidende Beziehung kann direkt den beiden Flüssigkeitsbildern entnommen werden <math>\frac{F_Rr}{F_R}=\frac{\Delta L}{|\Delta p|}=\frac{J\omega_e}{m(v_a-v_e)}</math>. Ersetzt man die Endwinkelgeschwindigkeit mit Hilfe der Rollbedingung durch die Endgeschwindigkeit, folgt <math>v_e=v_a\frac{mr^2}{J+mr^2}</math>= 8.56 m/s.<br />
::4. Die dissipierte Energie plus die Änderung der Bewegungsenergie (kinetische und Rotationsenergie) zwischen Anfang und Ende der Rutschphase muss gleich null sein (Energieerhaltung)<br />
::<math>W_{diss}+\Delta W_{rot}+\Delta W_{rot}</math> = 0. <br />
::Daraus folgt <math>W_{diss}= -\Delta pv_{mittel}-\frac{J}{2}\omega^2</math> = 3.71 J.<br />
Vorzeichen, Mengen und Fallhöhen bzw. Pumphöhen sind mit Vorteil direkt den beiden Flüssigkeitsbildern zu entnehmen. Eine detailliertere Erklärung finden Sie in diesem '''[https://www.youtube.com/watch?v=q3CVu4hHU0c Lösungsvideo]'''<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 3==<br />
[[Datei:Aviatik_16_2_L3.PNG|thumb|Flüssigkeitsbild zu Aufgabe 3]]Auch diese Aufgabe gliedert sich in zwei Teile. Die ersten drei Fragen sind schon in einigen Übungsaufgaben gestellt worden (z.B. [[Badewanne]]). Bei der vierten Frage geht es um ein thermisches [[RC-Glied]].<br />
#<math>\Delta H=mc\Delta T</math>=56.7 MJ und <math>\Delta S=mc \ln\left(\frac{T_{heiss}}{T_{kalt}}\right)</math>=183 kJ/K<br />
#<math>W_{pump}=S_{pump}(T_{ein}-T_{aus})</math>=10.0MJ, wobei <math>S_{pump}=\frac{\Delta H}{T_{aus}}</math>=167 kJ/K. Es muss weniger Entropie hochgepumpt werden, als nachher im Wasser zusätzlich gespeichert wird, weil zwischen Wärmepumpe und Wasser zusätzlich Entropie erzeugt wird.<br />
#Im Idealfall wird nirgends Entropie erzeugt. Folglich gilt <math>W_{ideal}=\Delta H-\Delta ST_{Umgebung}</math>=3.10 MJ.<br />
#<math>t=\tau\ln\left(\frac{\Delta T_0}{\Delta_T}\right)</math> = 6.99&middot;10<sup>5</sup> s mit <math>\tau=\frac{C}{G_W}</math>=5.05&middot;10<sup>5</sup> s und <math>G_W=\frac{I_{W_{therm}}}{\Delta T_0}</math> = 2.5 W/K.<br />
Details werden im '''[https://www.youtube.com/watch?v=a1c6DoPg3ko Lösungsvideo]''' erklärt.<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 4==<br />
#[[Datei:Aviatik_16_2_L4.PNG|thumb|''T-S''-Diagramm]]Zuerst muss viermal das [[ideales Gas|universelle Gasgesetz]] ausgewertet werden <math>T=\frac{pV}{nR}</math>= 271 K; 622 K; 1299K; 923 K.<br />
#Aus Frage 1 übernehmen wir die vier Temperaturen. Die Entropiezunahme ist bie Frage 3 zu berechnen.<br />
#Enetropiezunahme <math>\Delta S=n\hat c_p \ln \left(\frac{T_3}{T_2}\right)</math> =15.3 J/K; Energiezunahem <math>\Delta W=n\hat c_V(T_3-T_2)</math> = 8.45 kJ.<br />
#Die thermisch zugeführte Energie entspricht der Enthalpieänderung <math>W_{therm}=\Delta H=n\hat c_p(T_3-T_2)</math> = 14.1 kJ. Die mechanisch abgeführte Energie ist gleich der Differenz zwischen Energie- und Enthalpieänderung oder gleich der Fläche im ''p-V''-Diagramm <math>W_mech=-p_{23}(V_3-V_2)</math> = -5.63 kJ.<br />
Eine ausführliche Erklärung finden Sie im '''[https://www.youtube.com/watch?v=ws-0fmx50KI Lösungsvideo]'''.<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 5==<br />
Diese Aufgabe gliedert sich in zwei Teile. Die ersten beiden Fragen beschäftigen sich mit der Kinematik und der Dynamik des Jo-Jos. Bei den beiden letzten Fragen geht es um die Modellierung des Jo-Jos.<br />
#Aus der kinematischen Grundformel <math>\Delta v =\omega r</math> folgt <math>\omega =\frac{\Delta v}{r}</math> = 60 rad/s.<br />
#Ein [[Schnittbild]] ist hier hilfreich. Die beiden Bilanzgleichungen sind nicht gekoppelt, was die Lösung vereinfacht.<br />
##Aus der Impulsbilanz (Grundgesetz der Translation) folgt <math>a_{MMP}=\frac{F_G-F}{m}</math> = 5 m/s<sup>2</sup>.<br />
##Aus der Drehimpulsbilanz (Grundgesetz der Rotation) folgt <math>\alpha=\frac{Fr}{J}</math> = 100 rad/s<sup>2</sup>.<br />
#Das Modell besteht aus einer Impulsbilanz mit Gewichtskraft als Zu- und Fadenkraft als Abfluss, einer Drehimpulsbilanz mit Kraft mal Wickelradius als Zufluss. Die Kinematik besteht auf einem Topf für (negative) Höhe mit Geschwindigkeit als Zufluss und einem Topf für den Winkel mit Winkelgeschwindigkeit als Zufluss. Die Winkelberechnung kann auch eggelassen werden.<br />
#Impuls durch Masse gibt die Geschwindigkeit (des Massenmittelpunktes), Winkelgeschwindigkeit gleich Drehimpuls durch Massenträgheitsmoment und Drehmoment gleich Fadenkraft mal Wickelradius sowie Gewichtskraft gleich Masse mal Gravitationsfeldstärke bilden die konstitutiven Gleichungen.<br />
Hier finden Sie das '''[https://www.youtube.com/watch?v=cd8-ntT-o6w Video zum Jo-Jo]''' aus dem Plenum von Woche 4 FS 2017.<br />
<br />
'''[[Aviatik 2016/2|Aufgabe]]'''</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2016/2&diff=12178Lösung zu Aviatik 2016/22017-06-30T11:06:29Z<p>Systemdynamiker: /* Lösung zu Aufgabe 2 */</p>
<hr />
<div>==Lösung zu Aufgabe 1==<br />
Diese Aufgabe sollte mit Hilfe des [[Flüssigkeitsbild]]es gelöst werden.<br />
#Weil beide Schwungräder mit der gleichen Winkelbeschleunigung hochgefahren werden, muss sich der Drehimpuls im Verhältnis der Massenträgheitsmomente auf die beiden Schwungräder verteilen. Folglich muss von links her dreimal mehr Drehimpuls zufliessen, als durch die Rutschkupplung geht, nämlich 150 Nm. Am Ende der ersten Phase enthalten beide Schwungräder 1500 Nms Drehimpuls (Grundfläche mal Füllhöhe im [[Flüssigkeitsbild]]). Teilt man diese Menge durch die Stromstärke des Zuflusses, erhält man 10 s.<br />
#In der zweiten Phase fliessen 5 s * 50 Nm Drehimpuls ins rechte Schwungrad, was dessen Winkelgeschwindigkeit um weitere 10 rad/s auf 30 rad/s erhöht. Die restlichen 5 s * 200 Nm verbleiben im linken Schwungrad und erhöhen dessen Winkelgeschwindigkeit um 20 rad/s auf 40 rad/s.<br />
#[[Datei:Aviatik_16_2_L2.PNG|thumb|Schnittbild zu Aufgabe 2 (Anstossphase)]]In der dritten Phase gleichen sich die Winkelgeschwindigkeiten an auf den Endwert von <math>\frac{J_1\omega_1+J_2\omega_2}{J_1+J_2}</math> = 36.7 rad/s. Weil die Stromstärke zwischen den Schungrädern weiterhin 50 Nm beträgt, dauert der Prozess <math>t=\frac{J_2\Delta\omega_2}{I_{L_{12}}}</math>=3.33 s<br />
#Die maximal Differenz der beiden Winkelgeschwindigkeiten beträgt 10 rad/s, was bei einem Durchfluss von 50 Nm eine Leistung von 500 W ergibt. Die dissipierte Energie ist das Zeitintegral über die dissipierte Leistung. Weil der Drehimpulsstrom zwischen den beiden Schwungrädern in allen drei Phasen konstant ist, kann der zugehörige Wert vor das Integral genommen werden <math>W = \int{Pdt}=\int{M\Delta\omega dt} =M\int{\Delta\omega dt}=M\Delta\varphi</math>= 2.08 kJ. Den totalen Verdrehwinkel entmimmt man den Winkelgeschwindigkeits-Zeit-Diagramm.<br />
Eine ausführliche Darstellung der Lösung finden Sie im '''[https://www.youtube.com/watch?v=4_W--uUplPs Lösungsvideo]'''<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 2==<br />
Diese Aufgabe besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil geht es um das Anstossen der Kugel ohne Reibung, im zweiten Teil um den Rutschprozess mit Gleitreibung (siehe z.B. Aufgabe [[Bowling]]).<br />
::1. Durch den Stoss werden der Kugel 12 N * 0.15 s = 1.8 Ns [[Impuls]] zugeführt. Dieser Impulsinhalt führt zu einer Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt]]es von 1.8 Ns / 0.18 kg = 10 m/s. Weil die Kugel so angestossen wird, dass sie rollt, gilt die Rollbedingung (<math>v_{MMP}=\omega r</math>), was eine Winkelgeschwindigkeit von 333 rad/s zur Folge hat.<br />
::2. Hier braucht es unbeding ein [[Schnittbild]]. Die drei Bilanzgleichungen (Grundgesetze) plus die Rollbedingung liefern die Lösung von 12 mm. <br />
::{|<br />
| ''x'': <math>F=ma_{MMP}</math><br />
|-<br />
| ''y'': <math>F_G-F_N=0</math><br />
|-<br />
| ''R'': <math>Fs=J\alpha</math><br />
|-<br />
| ''RB'': <math>a_{MMP}=r\alpha</math><br />
|}<br />
::3. [[Datei:Aviatik_16_2_L22.PNG|thumb|Flüssigkeitsbilder für die Rutschphase]]Zwischen gleitender Kugel und Tisch wirkt eine Gleitreibungskraft, welche die Geschwindigkeit verkleinert, die Drehzahl dagegen vergrössert. Die entscheidende Beziehung kann direkt den beiden Flüssigkeitsbildern entnommen werden <math>\frac{F_Rr}{F_R}=\frac{\Delta L}{|\Delta p|}=\frac{J\omega_e}{m(v_a-v_e)}</math>. Ersetzt man die Endwinkelgeschwindigkeit mit Hilfe der Rollbedingung durch die Endgeschwindigkeit, folgt <math>v_e=v_a\frac{mr^2}{J+mr^2}</math>= 8.56 m/s.<br />
::4. Die dissipierte Energie plus die Änderung der Bewegungsenergie (kinetische und Rotationsenergie) zwischen Anfang und Ende der Rutschphase muss gleich null sein (Energieerhaltung)<br />
::<math>W_{diss}+\Delta W_{rot}+\Delta W_{rot}</math> = 0. <br />
::Daraus folgt <math>W_{diss}= -\Delta pv_{mittel}-\frac{J}{2}\omega^2</math> = 3.71 J.<br />
Vorzeichen, Mengen und Fallhöhen bzw. Pumphöhen sind mit Vorteil direkt den beiden Flüssigkeitsbildern zu entnehmen. Eine detailliertere Erklärung finden Sie in diesem '''[https://www.youtube.com/watch?v=q3CVu4hHU0c Lösungsvideo]'''<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 3==<br />
[[Datei:Aviatik_16_2_L3.PNG|thumb|Flüssigkeitsbild zu Aufgabe 3]]Auch diese Aufgabe gliedert sich in zwei Teile. Die ersten drei Fragen sind schon in einigen Übungsaufgaben gestellt worden (z.B. [[Badewanne]]). Bei der vierten Frage geht es um ein thermisches [[RC-Glied]].<br />
#<math>\Delta H=mc\Delta T</math>=56.7 MJ und <math>\Delta S=mc \ln\left(\frac{T_{heiss}}{T_{kalt}}\right)</math>=183 kJ/K<br />
#<math>W_{pump}=S_{pump}(T_{ein}-T_{aus})</math>=10.0MJ, wobei <math>S_{pump}=\frac{\Delta H}{T_{aus}}</math>=167 kJ/K. Es muss weniger als die Entropiezunahme im Wasser hochgepumpt werden, weil zwischen Wärmepumpe und Wasser zusätzlich Entropie erzeugt wird.<br />
#Im Idealfall wird nirgends Entropie erzeugt. Folglich gilt <math>W_{ideal}=\Delta H-\Delta ST_{Umgebung}</math>=3.10 MJ.<br />
#<math>t=\tau\ln\left(\frac{\Delta T_0}{\Delta_T}\right)</math> = 6.99&middot;10<sup>5</sup> s mit <math>\tau=\frac{C}{G_W}</math>=5.05&middot;10<sup>5</sup> s und <math>G_W=\frac{I_{W_{therm}}}{\Delta T_0}</math> = 2.5 W/K.<br />
Details werden im '''[https://www.youtube.com/watch?v=a1c6DoPg3ko Lösungsvideo]''' erklärt.<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 4==<br />
#[[Datei:Aviatik_16_2_L4.PNG|thumb|''T-S''-Diagramm]]Zuerst muss viermal das [[ideales Gas|universelle Gasgesetz]] ausgewertet werden <math>T=\frac{pV}{nR}</math>= 271 K; 622 K; 1299K; 923 K.<br />
#Aus Frage 1 übernehmen wir die vier Temperaturen. Die Entropiezunahme ist bie Frage 3 zu berechnen.<br />
#Enetropiezunahme <math>\Delta S=n\hat c_p \ln \left(\frac{T_3}{T_2}\right)</math> =15.3 J/K; Energiezunahem <math>\Delta W=n\hat c_V(T_3-T_2)</math> = 8.45 kJ.<br />
#Die thermisch zugeführte Energie entspricht der Enthalpieänderung <math>W_{therm}=\Delta H=n\hat c_p(T_3-T_2)</math> = 14.1 kJ. Die mechanisch abgeführte Energie ist gleich der Differenz zwischen Energie- und Enthalpieänderung oder gleich der Fläche im ''p-V''-Diagramm <math>W_mech=-p_{23}(V_3-V_2)</math> = -5.63 kJ.<br />
Eine ausführliche Erklärung finden Sie im '''[https://www.youtube.com/watch?v=ws-0fmx50KI Lösungsvideo]'''.<br />
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==Lösung zu Aufgabe 5==<br />
Diese Aufgabe gliedert sich in zwei Teile. Die ersten beiden Fragen beschäftigen sich mit der Kinematik und der Dynamik des Jo-Jos. Bei den beiden letzten Fragen geht es um die Modellierung des Jo-Jos.<br />
#Aus der kinematischen Grundformel <math>\Delta v =\omega r</math> folgt <math>\omega =\frac{\Delta v}{r}</math> = 60 rad/s.<br />
#Ein [[Schnittbild]] ist hier hilfreich. Die beiden Bilanzgleichungen sind nicht gekoppelt, was die Lösung vereinfacht.<br />
##Aus der Impulsbilanz (Grundgesetz der Translation) folgt <math>a_{MMP}=\frac{F_G-F}{m}</math> = 5 m/s<sup>2</sup>.<br />
##Aus der Drehimpulsbilanz (Grundgesetz der Rotation) folgt <math>\alpha=\frac{Fr}{J}</math> = 100 rad/s<sup>2</sup>.<br />
#Das Modell besteht aus einer Impulsbilanz mit Gewichtskraft als Zu- und Fadenkraft als Abfluss, einer Drehimpulsbilanz mit Kraft mal Wickelradius als Zufluss. Die Kinematik besteht auf einem Topf für (negative) Höhe mit Geschwindigkeit als Zufluss und einem Topf für den Winkel mit Winkelgeschwindigkeit als Zufluss. Die Winkelberechnung kann auch eggelassen werden.<br />
#Impuls durch Masse gibt die Geschwindigkeit (des Massenmittelpunktes), Winkelgeschwindigkeit gleich Drehimpuls durch Massenträgheitsmoment und Drehmoment gleich Fadenkraft mal Wickelradius sowie Gewichtskraft gleich Masse mal Gravitationsfeldstärke bilden die konstitutiven Gleichungen.<br />
Hier finden Sie das '''[https://www.youtube.com/watch?v=cd8-ntT-o6w Video zum Jo-Jo]''' aus dem Plenum von Woche 4 FS 2017.<br />
<br />
'''[[Aviatik 2016/2|Aufgabe]]'''</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2016/2&diff=12177Lösung zu Aviatik 2016/22017-06-30T11:04:16Z<p>Systemdynamiker: /* Lösung zu Aufgabe 1 */</p>
<hr />
<div>==Lösung zu Aufgabe 1==<br />
Diese Aufgabe sollte mit Hilfe des [[Flüssigkeitsbild]]es gelöst werden.<br />
#Weil beide Schwungräder mit der gleichen Winkelbeschleunigung hochgefahren werden, muss sich der Drehimpuls im Verhältnis der Massenträgheitsmomente auf die beiden Schwungräder verteilen. Folglich muss von links her dreimal mehr Drehimpuls zufliessen, als durch die Rutschkupplung geht, nämlich 150 Nm. Am Ende der ersten Phase enthalten beide Schwungräder 1500 Nms Drehimpuls (Grundfläche mal Füllhöhe im [[Flüssigkeitsbild]]). Teilt man diese Menge durch die Stromstärke des Zuflusses, erhält man 10 s.<br />
#In der zweiten Phase fliessen 5 s * 50 Nm Drehimpuls ins rechte Schwungrad, was dessen Winkelgeschwindigkeit um weitere 10 rad/s auf 30 rad/s erhöht. Die restlichen 5 s * 200 Nm verbleiben im linken Schwungrad und erhöhen dessen Winkelgeschwindigkeit um 20 rad/s auf 40 rad/s.<br />
#[[Datei:Aviatik_16_2_L2.PNG|thumb|Schnittbild zu Aufgabe 2 (Anstossphase)]]In der dritten Phase gleichen sich die Winkelgeschwindigkeiten an auf den Endwert von <math>\frac{J_1\omega_1+J_2\omega_2}{J_1+J_2}</math> = 36.7 rad/s. Weil die Stromstärke zwischen den Schungrädern weiterhin 50 Nm beträgt, dauert der Prozess <math>t=\frac{J_2\Delta\omega_2}{I_{L_{12}}}</math>=3.33 s<br />
#Die maximal Differenz der beiden Winkelgeschwindigkeiten beträgt 10 rad/s, was bei einem Durchfluss von 50 Nm eine Leistung von 500 W ergibt. Die dissipierte Energie ist das Zeitintegral über die dissipierte Leistung. Weil der Drehimpulsstrom zwischen den beiden Schwungrädern in allen drei Phasen konstant ist, kann der zugehörige Wert vor das Integral genommen werden <math>W = \int{Pdt}=\int{M\Delta\omega dt} =M\int{\Delta\omega dt}=M\Delta\varphi</math>= 2.08 kJ. Den totalen Verdrehwinkel entmimmt man den Winkelgeschwindigkeits-Zeit-Diagramm.<br />
Eine ausführliche Darstellung der Lösung finden Sie im '''[https://www.youtube.com/watch?v=4_W--uUplPs Lösungsvideo]'''<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 2==<br />
Diese Aufgabe besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil geht es um das Anstossen der Kugel ohne Reibung, im zweiten Teil geht es um den Rutschprozess mit Gleitreibung (siehe z.B. Aufgabe [[Bowling]]).<br />
::1. Durch den Stoss werden 12 N * 0.15 s = 1.8 Ns [[Impuls]] zugeführt. Dieser Impulsinhalt führt zu einer Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt]]es von 1.8 Ns / 0.18 kg = 10 m/s. Weil die Kugel so angestossen wird, dass sie rollt, gilt die Rollbedingung (<math>v_{MMP}=\omega r</math>), was eine Winkelgeschwindigkeit von 333 rad/s zur Folge hat.<br />
::2. Hier braucht es unbeding ein [[Schnittbild]]. Die drei Bilanzgleichungen (Grundgesetze) plus die Rollbedingung liefern die Lösung von 12 mm. <br />
::{|<br />
| ''x'': <math>F=ma_{MMP}</math><br />
|-<br />
| ''y'': <math>F_G-F_N=0</math><br />
|-<br />
| ''R'': <math>Fs=J\alpha</math><br />
|-<br />
| ''RB'': <math>a_{MMP}=r\alpha</math><br />
|}<br />
::3. [[Datei:Aviatik_16_2_L22.PNG|thumb|Flüssigkeitsbilder für die Rutschphase]]Zwischen gleitender Kugel und Tisch wirkt eine Gleitreibungskraft, welche die Geschwindigkeit verkleinert, die Drehzahl dagegen vergrössert. Die entscheidende Beziehung kann direkt den beiden Flüssigkeitsbildern entnommen werden <math>\frac{F_Rr}{F_R}=\frac{\Delta L}{|\Delta p|}=\frac{J\omega_e}{m(v_a-v_e)}</math>. Ersetzt man die Endwinkelgeschwindigkeit mit Hilfe der Rollbedingung durch die Endgeschwindigkeit, folgt <math>v_e=v_a\frac{mr^2}{J+mr^2}</math>= 8.56 m/s.<br />
::4. Die dissipierte Energie plus die Änderung der Bewegungsenergie (kinetische und Rotationsenergie) zwischen Anfang und Ende der Rutschphase muss gleich null sein (Energieerhaltung)<br />
::<math>W_{diss}+\Delta W_{rot}+\Delta W_{rot}</math> = 0. <br />
::Daraus folgt <math>W_{diss}= -\Delta pv_{mittel}-\frac{J}{2}\omega^2</math> = 3.71 J.<br />
Vorzeichen, Mengen und Fallhöhen bzw. Pumphöhen sind mit Vorteil direkt den beiden Flüssigkeitsbildern zu entnehmen. Eine detailliertere Erklärung finden Sie in diesem '''[https://www.youtube.com/watch?v=q3CVu4hHU0c Lösungsvideo]'''<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 3==<br />
[[Datei:Aviatik_16_2_L3.PNG|thumb|Flüssigkeitsbild zu Aufgabe 3]]Auch diese Aufgabe gliedert sich in zwei Teile. Die ersten drei Fragen sind schon in einigen Übungsaufgaben gestellt worden (z.B. [[Badewanne]]). Bei der vierten Frage geht es um ein thermisches [[RC-Glied]].<br />
#<math>\Delta H=mc\Delta T</math>=56.7 MJ und <math>\Delta S=mc \ln\left(\frac{T_{heiss}}{T_{kalt}}\right)</math>=183 kJ/K<br />
#<math>W_{pump}=S_{pump}(T_{ein}-T_{aus})</math>=10.0MJ, wobei <math>S_{pump}=\frac{\Delta H}{T_{aus}}</math>=167 kJ/K. Es muss weniger als die Entropiezunahme im Wasser hochgepumpt werden, weil zwischen Wärmepumpe und Wasser zusätzlich Entropie erzeugt wird.<br />
#Im Idealfall wird nirgends Entropie erzeugt. Folglich gilt <math>W_{ideal}=\Delta H-\Delta ST_{Umgebung}</math>=3.10 MJ.<br />
#<math>t=\tau\ln\left(\frac{\Delta T_0}{\Delta_T}\right)</math> = 6.99&middot;10<sup>5</sup> s mit <math>\tau=\frac{C}{G_W}</math>=5.05&middot;10<sup>5</sup> s und <math>G_W=\frac{I_{W_{therm}}}{\Delta T_0}</math> = 2.5 W/K.<br />
Details werden im '''[https://www.youtube.com/watch?v=a1c6DoPg3ko Lösungsvideo]''' erklärt.<br />
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==Lösung zu Aufgabe 4==<br />
#[[Datei:Aviatik_16_2_L4.PNG|thumb|''T-S''-Diagramm]]Zuerst muss viermal das [[ideales Gas|universelle Gasgesetz]] ausgewertet werden <math>T=\frac{pV}{nR}</math>= 271 K; 622 K; 1299K; 923 K.<br />
#Aus Frage 1 übernehmen wir die vier Temperaturen. Die Entropiezunahme ist bie Frage 3 zu berechnen.<br />
#Enetropiezunahme <math>\Delta S=n\hat c_p \ln \left(\frac{T_3}{T_2}\right)</math> =15.3 J/K; Energiezunahem <math>\Delta W=n\hat c_V(T_3-T_2)</math> = 8.45 kJ.<br />
#Die thermisch zugeführte Energie entspricht der Enthalpieänderung <math>W_{therm}=\Delta H=n\hat c_p(T_3-T_2)</math> = 14.1 kJ. Die mechanisch abgeführte Energie ist gleich der Differenz zwischen Energie- und Enthalpieänderung oder gleich der Fläche im ''p-V''-Diagramm <math>W_mech=-p_{23}(V_3-V_2)</math> = -5.63 kJ.<br />
Eine ausführliche Erklärung finden Sie im '''[https://www.youtube.com/watch?v=ws-0fmx50KI Lösungsvideo]'''.<br />
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==Lösung zu Aufgabe 5==<br />
Diese Aufgabe gliedert sich in zwei Teile. Die ersten beiden Fragen beschäftigen sich mit der Kinematik und der Dynamik des Jo-Jos. Bei den beiden letzten Fragen geht es um die Modellierung des Jo-Jos.<br />
#Aus der kinematischen Grundformel <math>\Delta v =\omega r</math> folgt <math>\omega =\frac{\Delta v}{r}</math> = 60 rad/s.<br />
#Ein [[Schnittbild]] ist hier hilfreich. Die beiden Bilanzgleichungen sind nicht gekoppelt, was die Lösung vereinfacht.<br />
##Aus der Impulsbilanz (Grundgesetz der Translation) folgt <math>a_{MMP}=\frac{F_G-F}{m}</math> = 5 m/s<sup>2</sup>.<br />
##Aus der Drehimpulsbilanz (Grundgesetz der Rotation) folgt <math>\alpha=\frac{Fr}{J}</math> = 100 rad/s<sup>2</sup>.<br />
#Das Modell besteht aus einer Impulsbilanz mit Gewichtskraft als Zu- und Fadenkraft als Abfluss, einer Drehimpulsbilanz mit Kraft mal Wickelradius als Zufluss. Die Kinematik besteht auf einem Topf für (negative) Höhe mit Geschwindigkeit als Zufluss und einem Topf für den Winkel mit Winkelgeschwindigkeit als Zufluss. Die Winkelberechnung kann auch eggelassen werden.<br />
#Impuls durch Masse gibt die Geschwindigkeit (des Massenmittelpunktes), Winkelgeschwindigkeit gleich Drehimpuls durch Massenträgheitsmoment und Drehmoment gleich Fadenkraft mal Wickelradius sowie Gewichtskraft gleich Masse mal Gravitationsfeldstärke bilden die konstitutiven Gleichungen.<br />
Hier finden Sie das '''[https://www.youtube.com/watch?v=cd8-ntT-o6w Video zum Jo-Jo]''' aus dem Plenum von Woche 4 FS 2017.<br />
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'''[[Aviatik 2016/2|Aufgabe]]'''</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2016/2&diff=12176Lösung zu Aviatik 2016/22017-06-30T10:42:59Z<p>Systemdynamiker: /* Lösung zu Aufgabe 5 */</p>
<hr />
<div>==Lösung zu Aufgabe 1==<br />
Diese Aufgabe sollte mit Hilfe des [[Flüssigkeitsbild]]es gelöst werden.<br />
#Weil beide Schwungräder mit der gleichen Winkelbeschleunigung hochgefahren werden, muss sich der Drehimpuls im Verhältnis der Massenträgheitsmomente auf die beiden Schwungräder verteilen. Folglich muss von links her dreimal mehr Drehimpuls zufliessen, als durch die Rutschkupplung geht, also 150 Nm. Nach der gesuchten Zeit enthalten beide Schwungräder 1500 Nms (Grundfläche mal Füllhöhe im Flüssigkeitsbild). Teilt man diese Menge durch die Stromstärke des Zuflusses, erhält man 10 s.<br />
#In der zweiten Phase fliessen 5 s * 50 Nm Drehimpuls ins rechte Schwungrad, was dessen Winkelgeschwindigkeit um weitere 10 rad/s auf 30 rad/s erhöht. Die restlichen 5 s * 200 Nm verbleiben im linken Schwungrad und erhöhen dessen Winkelgeschwindigkeit um 20 rad/s auf 40 rad/s.<br />
#[[Datei:Aviatik_16_2_L2.PNG|thumb|Schnittbild zu Aufgabe 2 (Anstossphase)]]In der dritten Phase gleichen sich die Winkelgeschwindigkeiten an <math>\frac{J_1\omega_1+J_2\omega_2}{J_1+J_2}</math> = 36.7 rad/s. Weil die Stromstärke zwischen den Schungrädern weiterhin 50 Nm beträgt, dauert der Prozess <math>t=\frac{J_2\Delta\omega_2}{I_{L_{12}}}</math>=3.33 s<br />
#Die maximal Differenz der beiden Winkelgeschwindigkeiten beträgt 10 rad/s, was bei einem Durchfluss von 50 Nm eine Leistung von 500 W ergibt. Die dissipierte Energie ist das Zeitintegral über die dissipierte Leistung. Weil der Drehimpulsstrom zwischen den beiden Schwungrädern in allen drei Phasen konstant ist, kann der zugehörige Wert vor das Integral genommen werden <math>W = \int{Pdt}=\int{M\Delta\omega dt} =M\int{\Delta\omega dt}=M\Delta\varphi</math>= 2.08 kJ<br />
Eine ausführliche Darstellung der Lösung finden Sie im '''[https://www.youtube.com/watch?v=4_W--uUplPs Lösungsvideo]'''<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 2==<br />
Diese Aufgabe besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil geht es um das Anstossen der Kugel ohne Reibung, im zweiten Teil geht es um den Rutschprozess mit Gleitreibung (siehe z.B. Aufgabe [[Bowling]]).<br />
::1. Durch den Stoss werden 12 N * 0.15 s = 1.8 Ns [[Impuls]] zugeführt. Dieser Impulsinhalt führt zu einer Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt]]es von 1.8 Ns / 0.18 kg = 10 m/s. Weil die Kugel so angestossen wird, dass sie rollt, gilt die Rollbedingung (<math>v_{MMP}=\omega r</math>), was eine Winkelgeschwindigkeit von 333 rad/s zur Folge hat.<br />
::2. Hier braucht es unbeding ein [[Schnittbild]]. Die drei Bilanzgleichungen (Grundgesetze) plus die Rollbedingung liefern die Lösung von 12 mm. <br />
::{|<br />
| ''x'': <math>F=ma_{MMP}</math><br />
|-<br />
| ''y'': <math>F_G-F_N=0</math><br />
|-<br />
| ''R'': <math>Fs=J\alpha</math><br />
|-<br />
| ''RB'': <math>a_{MMP}=r\alpha</math><br />
|}<br />
::3. [[Datei:Aviatik_16_2_L22.PNG|thumb|Flüssigkeitsbilder für die Rutschphase]]Zwischen gleitender Kugel und Tisch wirkt eine Gleitreibungskraft, welche die Geschwindigkeit verkleinert, die Drehzahl dagegen vergrössert. Die entscheidende Beziehung kann direkt den beiden Flüssigkeitsbildern entnommen werden <math>\frac{F_Rr}{F_R}=\frac{\Delta L}{|\Delta p|}=\frac{J\omega_e}{m(v_a-v_e)}</math>. Ersetzt man die Endwinkelgeschwindigkeit mit Hilfe der Rollbedingung durch die Endgeschwindigkeit, folgt <math>v_e=v_a\frac{mr^2}{J+mr^2}</math>= 8.56 m/s.<br />
::4. Die dissipierte Energie plus die Änderung der Bewegungsenergie (kinetische und Rotationsenergie) zwischen Anfang und Ende der Rutschphase muss gleich null sein (Energieerhaltung)<br />
::<math>W_{diss}+\Delta W_{rot}+\Delta W_{rot}</math> = 0. <br />
::Daraus folgt <math>W_{diss}= -\Delta pv_{mittel}-\frac{J}{2}\omega^2</math> = 3.71 J.<br />
Vorzeichen, Mengen und Fallhöhen bzw. Pumphöhen sind mit Vorteil direkt den beiden Flüssigkeitsbildern zu entnehmen. Eine detailliertere Erklärung finden Sie in diesem '''[https://www.youtube.com/watch?v=q3CVu4hHU0c Lösungsvideo]'''<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 3==<br />
[[Datei:Aviatik_16_2_L3.PNG|thumb|Flüssigkeitsbild zu Aufgabe 3]]Auch diese Aufgabe gliedert sich in zwei Teile. Die ersten drei Fragen sind schon in einigen Übungsaufgaben gestellt worden (z.B. [[Badewanne]]). Bei der vierten Frage geht es um ein thermisches [[RC-Glied]].<br />
#<math>\Delta H=mc\Delta T</math>=56.7 MJ und <math>\Delta S=mc \ln\left(\frac{T_{heiss}}{T_{kalt}}\right)</math>=183 kJ/K<br />
#<math>W_{pump}=S_{pump}(T_{ein}-T_{aus})</math>=10.0MJ, wobei <math>S_{pump}=\frac{\Delta H}{T_{aus}}</math>=167 kJ/K. Es muss weniger als die Entropiezunahme im Wasser hochgepumpt werden, weil zwischen Wärmepumpe und Wasser zusätzlich Entropie erzeugt wird.<br />
#Im Idealfall wird nirgends Entropie erzeugt. Folglich gilt <math>W_{ideal}=\Delta H-\Delta ST_{Umgebung}</math>=3.10 MJ.<br />
#<math>t=\tau\ln\left(\frac{\Delta T_0}{\Delta_T}\right)</math> = 6.99&middot;10<sup>5</sup> s mit <math>\tau=\frac{C}{G_W}</math>=5.05&middot;10<sup>5</sup> s und <math>G_W=\frac{I_{W_{therm}}}{\Delta T_0}</math> = 2.5 W/K.<br />
Details werden im '''[https://www.youtube.com/watch?v=a1c6DoPg3ko Lösungsvideo]''' erklärt.<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 4==<br />
#[[Datei:Aviatik_16_2_L4.PNG|thumb|''T-S''-Diagramm]]Zuerst muss viermal das [[ideales Gas|universelle Gasgesetz]] ausgewertet werden <math>T=\frac{pV}{nR}</math>= 271 K; 622 K; 1299K; 923 K.<br />
#Aus Frage 1 übernehmen wir die vier Temperaturen. Die Entropiezunahme ist bie Frage 3 zu berechnen.<br />
#Enetropiezunahme <math>\Delta S=n\hat c_p \ln \left(\frac{T_3}{T_2}\right)</math> =15.3 J/K; Energiezunahem <math>\Delta W=n\hat c_V(T_3-T_2)</math> = 8.45 kJ.<br />
#Die thermisch zugeführte Energie entspricht der Enthalpieänderung <math>W_{therm}=\Delta H=n\hat c_p(T_3-T_2)</math> = 14.1 kJ. Die mechanisch abgeführte Energie ist gleich der Differenz zwischen Energie- und Enthalpieänderung oder gleich der Fläche im ''p-V''-Diagramm <math>W_mech=-p_{23}(V_3-V_2)</math> = -5.63 kJ.<br />
Eine ausführliche Erklärung finden Sie im '''[https://www.youtube.com/watch?v=ws-0fmx50KI Lösungsvideo]'''.<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 5==<br />
Diese Aufgabe gliedert sich in zwei Teile. Die ersten beiden Fragen beschäftigen sich mit der Kinematik und der Dynamik des Jo-Jos. Bei den beiden letzten Fragen geht es um die Modellierung des Jo-Jos.<br />
#Aus der kinematischen Grundformel <math>\Delta v =\omega r</math> folgt <math>\omega =\frac{\Delta v}{r}</math> = 60 rad/s.<br />
#Ein [[Schnittbild]] ist hier hilfreich. Die beiden Bilanzgleichungen sind nicht gekoppelt, was die Lösung vereinfacht.<br />
##Aus der Impulsbilanz (Grundgesetz der Translation) folgt <math>a_{MMP}=\frac{F_G-F}{m}</math> = 5 m/s<sup>2</sup>.<br />
##Aus der Drehimpulsbilanz (Grundgesetz der Rotation) folgt <math>\alpha=\frac{Fr}{J}</math> = 100 rad/s<sup>2</sup>.<br />
#Das Modell besteht aus einer Impulsbilanz mit Gewichtskraft als Zu- und Fadenkraft als Abfluss, einer Drehimpulsbilanz mit Kraft mal Wickelradius als Zufluss. Die Kinematik besteht auf einem Topf für (negative) Höhe mit Geschwindigkeit als Zufluss und einem Topf für den Winkel mit Winkelgeschwindigkeit als Zufluss. Die Winkelberechnung kann auch eggelassen werden.<br />
#Impuls durch Masse gibt die Geschwindigkeit (des Massenmittelpunktes), Winkelgeschwindigkeit gleich Drehimpuls durch Massenträgheitsmoment und Drehmoment gleich Fadenkraft mal Wickelradius sowie Gewichtskraft gleich Masse mal Gravitationsfeldstärke bilden die konstitutiven Gleichungen.<br />
Hier finden Sie das '''[https://www.youtube.com/watch?v=cd8-ntT-o6w Video zum Jo-Jo]''' aus dem Plenum von Woche 4 FS 2017.<br />
<br />
'''[[Aviatik 2016/2|Aufgabe]]'''</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2016/2&diff=12175Lösung zu Aviatik 2016/22017-06-30T10:17:50Z<p>Systemdynamiker: /* Lösung zu Aufgabe 4 */</p>
<hr />
<div>==Lösung zu Aufgabe 1==<br />
Diese Aufgabe sollte mit Hilfe des [[Flüssigkeitsbild]]es gelöst werden.<br />
#Weil beide Schwungräder mit der gleichen Winkelbeschleunigung hochgefahren werden, muss sich der Drehimpuls im Verhältnis der Massenträgheitsmomente auf die beiden Schwungräder verteilen. Folglich muss von links her dreimal mehr Drehimpuls zufliessen, als durch die Rutschkupplung geht, also 150 Nm. Nach der gesuchten Zeit enthalten beide Schwungräder 1500 Nms (Grundfläche mal Füllhöhe im Flüssigkeitsbild). Teilt man diese Menge durch die Stromstärke des Zuflusses, erhält man 10 s.<br />
#In der zweiten Phase fliessen 5 s * 50 Nm Drehimpuls ins rechte Schwungrad, was dessen Winkelgeschwindigkeit um weitere 10 rad/s auf 30 rad/s erhöht. Die restlichen 5 s * 200 Nm verbleiben im linken Schwungrad und erhöhen dessen Winkelgeschwindigkeit um 20 rad/s auf 40 rad/s.<br />
#[[Datei:Aviatik_16_2_L2.PNG|thumb|Schnittbild zu Aufgabe 2 (Anstossphase)]]In der dritten Phase gleichen sich die Winkelgeschwindigkeiten an <math>\frac{J_1\omega_1+J_2\omega_2}{J_1+J_2}</math> = 36.7 rad/s. Weil die Stromstärke zwischen den Schungrädern weiterhin 50 Nm beträgt, dauert der Prozess <math>t=\frac{J_2\Delta\omega_2}{I_{L_{12}}}</math>=3.33 s<br />
#Die maximal Differenz der beiden Winkelgeschwindigkeiten beträgt 10 rad/s, was bei einem Durchfluss von 50 Nm eine Leistung von 500 W ergibt. Die dissipierte Energie ist das Zeitintegral über die dissipierte Leistung. Weil der Drehimpulsstrom zwischen den beiden Schwungrädern in allen drei Phasen konstant ist, kann der zugehörige Wert vor das Integral genommen werden <math>W = \int{Pdt}=\int{M\Delta\omega dt} =M\int{\Delta\omega dt}=M\Delta\varphi</math>= 2.08 kJ<br />
Eine ausführliche Darstellung der Lösung finden Sie im '''[https://www.youtube.com/watch?v=4_W--uUplPs Lösungsvideo]'''<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 2==<br />
Diese Aufgabe besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil geht es um das Anstossen der Kugel ohne Reibung, im zweiten Teil geht es um den Rutschprozess mit Gleitreibung (siehe z.B. Aufgabe [[Bowling]]).<br />
::1. Durch den Stoss werden 12 N * 0.15 s = 1.8 Ns [[Impuls]] zugeführt. Dieser Impulsinhalt führt zu einer Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt]]es von 1.8 Ns / 0.18 kg = 10 m/s. Weil die Kugel so angestossen wird, dass sie rollt, gilt die Rollbedingung (<math>v_{MMP}=\omega r</math>), was eine Winkelgeschwindigkeit von 333 rad/s zur Folge hat.<br />
::2. Hier braucht es unbeding ein [[Schnittbild]]. Die drei Bilanzgleichungen (Grundgesetze) plus die Rollbedingung liefern die Lösung von 12 mm. <br />
::{|<br />
| ''x'': <math>F=ma_{MMP}</math><br />
|-<br />
| ''y'': <math>F_G-F_N=0</math><br />
|-<br />
| ''R'': <math>Fs=J\alpha</math><br />
|-<br />
| ''RB'': <math>a_{MMP}=r\alpha</math><br />
|}<br />
::3. [[Datei:Aviatik_16_2_L22.PNG|thumb|Flüssigkeitsbilder für die Rutschphase]]Zwischen gleitender Kugel und Tisch wirkt eine Gleitreibungskraft, welche die Geschwindigkeit verkleinert, die Drehzahl dagegen vergrössert. Die entscheidende Beziehung kann direkt den beiden Flüssigkeitsbildern entnommen werden <math>\frac{F_Rr}{F_R}=\frac{\Delta L}{|\Delta p|}=\frac{J\omega_e}{m(v_a-v_e)}</math>. Ersetzt man die Endwinkelgeschwindigkeit mit Hilfe der Rollbedingung durch die Endgeschwindigkeit, folgt <math>v_e=v_a\frac{mr^2}{J+mr^2}</math>= 8.56 m/s.<br />
::4. Die dissipierte Energie plus die Änderung der Bewegungsenergie (kinetische und Rotationsenergie) zwischen Anfang und Ende der Rutschphase muss gleich null sein (Energieerhaltung)<br />
::<math>W_{diss}+\Delta W_{rot}+\Delta W_{rot}</math> = 0. <br />
::Daraus folgt <math>W_{diss}= -\Delta pv_{mittel}-\frac{J}{2}\omega^2</math> = 3.71 J.<br />
Vorzeichen, Mengen und Fallhöhen bzw. Pumphöhen sind mit Vorteil direkt den beiden Flüssigkeitsbildern zu entnehmen. Eine detailliertere Erklärung finden Sie in diesem '''[https://www.youtube.com/watch?v=q3CVu4hHU0c Lösungsvideo]'''<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 3==<br />
[[Datei:Aviatik_16_2_L3.PNG|thumb|Flüssigkeitsbild zu Aufgabe 3]]Auch diese Aufgabe gliedert sich in zwei Teile. Die ersten drei Fragen sind schon in einigen Übungsaufgaben gestellt worden (z.B. [[Badewanne]]). Bei der vierten Frage geht es um ein thermisches [[RC-Glied]].<br />
#<math>\Delta H=mc\Delta T</math>=56.7 MJ und <math>\Delta S=mc \ln\left(\frac{T_{heiss}}{T_{kalt}}\right)</math>=183 kJ/K<br />
#<math>W_{pump}=S_{pump}(T_{ein}-T_{aus})</math>=10.0MJ, wobei <math>S_{pump}=\frac{\Delta H}{T_{aus}}</math>=167 kJ/K. Es muss weniger als die Entropiezunahme im Wasser hochgepumpt werden, weil zwischen Wärmepumpe und Wasser zusätzlich Entropie erzeugt wird.<br />
#Im Idealfall wird nirgends Entropie erzeugt. Folglich gilt <math>W_{ideal}=\Delta H-\Delta ST_{Umgebung}</math>=3.10 MJ.<br />
#<math>t=\tau\ln\left(\frac{\Delta T_0}{\Delta_T}\right)</math> = 6.99&middot;10<sup>5</sup> s mit <math>\tau=\frac{C}{G_W}</math>=5.05&middot;10<sup>5</sup> s und <math>G_W=\frac{I_{W_{therm}}}{\Delta T_0}</math> = 2.5 W/K.<br />
Details werden im '''[https://www.youtube.com/watch?v=a1c6DoPg3ko Lösungsvideo]''' erklärt.<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 4==<br />
#[[Datei:Aviatik_16_2_L4.PNG|thumb|''T-S''-Diagramm]]Zuerst muss viermal das [[ideales Gas|universelle Gasgesetz]] ausgewertet werden <math>T=\frac{pV}{nR}</math>= 271 K; 622 K; 1299K; 923 K.<br />
#Aus Frage 1 übernehmen wir die vier Temperaturen. Die Entropiezunahme ist bie Frage 3 zu berechnen.<br />
#Enetropiezunahme <math>\Delta S=n\hat c_p \ln \left(\frac{T_3}{T_2}\right)</math> =15.3 J/K; Energiezunahem <math>\Delta W=n\hat c_V(T_3-T_2)</math> = 8.45 kJ.<br />
#Die thermisch zugeführte Energie entspricht der Enthalpieänderung <math>W_{therm}=\Delta H=n\hat c_p(T_3-T_2)</math> = 14.1 kJ. Die mechanisch abgeführte Energie ist gleich der Differenz zwischen Energie- und Enthalpieänderung oder gleich der Fläche im ''p-V''-Diagramm <math>W_mech=-p_{23}(V_3-V_2)</math> = -5.63 kJ.<br />
Eine ausführliche Erklärung finden Sie im '''[https://www.youtube.com/watch?v=ws-0fmx50KI Lösungsvideo]'''.<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 5==<br />
<br />
'''[[Aviatik 2016/2|Aufgabe]]'''</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Datei:Aviatik_16_2_L4.PNG&diff=12174Datei:Aviatik 16 2 L4.PNG2017-06-30T10:16:05Z<p>Systemdynamiker: Bild zu Aufgabe 2 Lösung zu Aviatik 2016/2</p>
<hr />
<div>Bild zu Aufgabe 2 [[Lösung zu Aviatik 2016/2]]</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2016/2&diff=12173Lösung zu Aviatik 2016/22017-06-30T09:58:29Z<p>Systemdynamiker: /* Lösung zu Aufgabe 3 */</p>
<hr />
<div>==Lösung zu Aufgabe 1==<br />
Diese Aufgabe sollte mit Hilfe des [[Flüssigkeitsbild]]es gelöst werden.<br />
#Weil beide Schwungräder mit der gleichen Winkelbeschleunigung hochgefahren werden, muss sich der Drehimpuls im Verhältnis der Massenträgheitsmomente auf die beiden Schwungräder verteilen. Folglich muss von links her dreimal mehr Drehimpuls zufliessen, als durch die Rutschkupplung geht, also 150 Nm. Nach der gesuchten Zeit enthalten beide Schwungräder 1500 Nms (Grundfläche mal Füllhöhe im Flüssigkeitsbild). Teilt man diese Menge durch die Stromstärke des Zuflusses, erhält man 10 s.<br />
#In der zweiten Phase fliessen 5 s * 50 Nm Drehimpuls ins rechte Schwungrad, was dessen Winkelgeschwindigkeit um weitere 10 rad/s auf 30 rad/s erhöht. Die restlichen 5 s * 200 Nm verbleiben im linken Schwungrad und erhöhen dessen Winkelgeschwindigkeit um 20 rad/s auf 40 rad/s.<br />
#[[Datei:Aviatik_16_2_L2.PNG|thumb|Schnittbild zu Aufgabe 2 (Anstossphase)]]In der dritten Phase gleichen sich die Winkelgeschwindigkeiten an <math>\frac{J_1\omega_1+J_2\omega_2}{J_1+J_2}</math> = 36.7 rad/s. Weil die Stromstärke zwischen den Schungrädern weiterhin 50 Nm beträgt, dauert der Prozess <math>t=\frac{J_2\Delta\omega_2}{I_{L_{12}}}</math>=3.33 s<br />
#Die maximal Differenz der beiden Winkelgeschwindigkeiten beträgt 10 rad/s, was bei einem Durchfluss von 50 Nm eine Leistung von 500 W ergibt. Die dissipierte Energie ist das Zeitintegral über die dissipierte Leistung. Weil der Drehimpulsstrom zwischen den beiden Schwungrädern in allen drei Phasen konstant ist, kann der zugehörige Wert vor das Integral genommen werden <math>W = \int{Pdt}=\int{M\Delta\omega dt} =M\int{\Delta\omega dt}=M\Delta\varphi</math>= 2.08 kJ<br />
Eine ausführliche Darstellung der Lösung finden Sie im '''[https://www.youtube.com/watch?v=4_W--uUplPs Lösungsvideo]'''<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 2==<br />
Diese Aufgabe besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil geht es um das Anstossen der Kugel ohne Reibung, im zweiten Teil geht es um den Rutschprozess mit Gleitreibung (siehe z.B. Aufgabe [[Bowling]]).<br />
::1. Durch den Stoss werden 12 N * 0.15 s = 1.8 Ns [[Impuls]] zugeführt. Dieser Impulsinhalt führt zu einer Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt]]es von 1.8 Ns / 0.18 kg = 10 m/s. Weil die Kugel so angestossen wird, dass sie rollt, gilt die Rollbedingung (<math>v_{MMP}=\omega r</math>), was eine Winkelgeschwindigkeit von 333 rad/s zur Folge hat.<br />
::2. Hier braucht es unbeding ein [[Schnittbild]]. Die drei Bilanzgleichungen (Grundgesetze) plus die Rollbedingung liefern die Lösung von 12 mm. <br />
::{|<br />
| ''x'': <math>F=ma_{MMP}</math><br />
|-<br />
| ''y'': <math>F_G-F_N=0</math><br />
|-<br />
| ''R'': <math>Fs=J\alpha</math><br />
|-<br />
| ''RB'': <math>a_{MMP}=r\alpha</math><br />
|}<br />
::3. [[Datei:Aviatik_16_2_L22.PNG|thumb|Flüssigkeitsbilder für die Rutschphase]]Zwischen gleitender Kugel und Tisch wirkt eine Gleitreibungskraft, welche die Geschwindigkeit verkleinert, die Drehzahl dagegen vergrössert. Die entscheidende Beziehung kann direkt den beiden Flüssigkeitsbildern entnommen werden <math>\frac{F_Rr}{F_R}=\frac{\Delta L}{|\Delta p|}=\frac{J\omega_e}{m(v_a-v_e)}</math>. Ersetzt man die Endwinkelgeschwindigkeit mit Hilfe der Rollbedingung durch die Endgeschwindigkeit, folgt <math>v_e=v_a\frac{mr^2}{J+mr^2}</math>= 8.56 m/s.<br />
::4. Die dissipierte Energie plus die Änderung der Bewegungsenergie (kinetische und Rotationsenergie) zwischen Anfang und Ende der Rutschphase muss gleich null sein (Energieerhaltung)<br />
::<math>W_{diss}+\Delta W_{rot}+\Delta W_{rot}</math> = 0. <br />
::Daraus folgt <math>W_{diss}= -\Delta pv_{mittel}-\frac{J}{2}\omega^2</math> = 3.71 J.<br />
Vorzeichen, Mengen und Fallhöhen bzw. Pumphöhen sind mit Vorteil direkt den beiden Flüssigkeitsbildern zu entnehmen. Eine detailliertere Erklärung finden Sie in diesem '''[https://www.youtube.com/watch?v=q3CVu4hHU0c Lösungsvideo]'''<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 3==<br />
[[Datei:Aviatik_16_2_L3.PNG|thumb|Flüssigkeitsbild zu Aufgabe 3]]Auch diese Aufgabe gliedert sich in zwei Teile. Die ersten drei Fragen sind schon in einigen Übungsaufgaben gestellt worden (z.B. [[Badewanne]]). Bei der vierten Frage geht es um ein thermisches [[RC-Glied]].<br />
#<math>\Delta H=mc\Delta T</math>=56.7 MJ und <math>\Delta S=mc \ln\left(\frac{T_{heiss}}{T_{kalt}}\right)</math>=183 kJ/K<br />
#<math>W_{pump}=S_{pump}(T_{ein}-T_{aus})</math>=10.0MJ, wobei <math>S_{pump}=\frac{\Delta H}{T_{aus}}</math>=167 kJ/K. Es muss weniger als die Entropiezunahme im Wasser hochgepumpt werden, weil zwischen Wärmepumpe und Wasser zusätzlich Entropie erzeugt wird.<br />
#Im Idealfall wird nirgends Entropie erzeugt. Folglich gilt <math>W_{ideal}=\Delta H-\Delta ST_{Umgebung}</math>=3.10 MJ.<br />
#<math>t=\tau\ln\left(\frac{\Delta T_0}{\Delta_T}\right)</math> = 6.99&middot;10<sup>5</sup> s mit <math>\tau=\frac{C}{G_W}</math>=5.05&middot;10<sup>5</sup> s und <math>G_W=\frac{I_{W_{therm}}}{\Delta T_0}</math> = 2.5 W/K.<br />
Details werden im '''[https://www.youtube.com/watch?v=a1c6DoPg3ko Lösungsvideo]''' erklärt.<br />
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==Lösung zu Aufgabe 4==<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 5==<br />
<br />
'''[[Aviatik 2016/2|Aufgabe]]'''</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Datei:Aviatik_16_2_L3.PNG&diff=12172Datei:Aviatik 16 2 L3.PNG2017-06-30T09:55:52Z<p>Systemdynamiker: Bild zu Aufgabe 2 Lösung zu Aviatik 2016/2</p>
<hr />
<div>Bild zu Aufgabe 2 [[Lösung zu Aviatik 2016/2]]</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2016/2&diff=12171Lösung zu Aviatik 2016/22017-06-30T09:19:04Z<p>Systemdynamiker: </p>
<hr />
<div>==Lösung zu Aufgabe 1==<br />
Diese Aufgabe sollte mit Hilfe des [[Flüssigkeitsbild]]es gelöst werden.<br />
#Weil beide Schwungräder mit der gleichen Winkelbeschleunigung hochgefahren werden, muss sich der Drehimpuls im Verhältnis der Massenträgheitsmomente auf die beiden Schwungräder verteilen. Folglich muss von links her dreimal mehr Drehimpuls zufliessen, als durch die Rutschkupplung geht, also 150 Nm. Nach der gesuchten Zeit enthalten beide Schwungräder 1500 Nms (Grundfläche mal Füllhöhe im Flüssigkeitsbild). Teilt man diese Menge durch die Stromstärke des Zuflusses, erhält man 10 s.<br />
#In der zweiten Phase fliessen 5 s * 50 Nm Drehimpuls ins rechte Schwungrad, was dessen Winkelgeschwindigkeit um weitere 10 rad/s auf 30 rad/s erhöht. Die restlichen 5 s * 200 Nm verbleiben im linken Schwungrad und erhöhen dessen Winkelgeschwindigkeit um 20 rad/s auf 40 rad/s.<br />
#[[Datei:Aviatik_16_2_L2.PNG|thumb|Schnittbild zu Aufgabe 2 (Anstossphase)]]In der dritten Phase gleichen sich die Winkelgeschwindigkeiten an <math>\frac{J_1\omega_1+J_2\omega_2}{J_1+J_2}</math> = 36.7 rad/s. Weil die Stromstärke zwischen den Schungrädern weiterhin 50 Nm beträgt, dauert der Prozess <math>t=\frac{J_2\Delta\omega_2}{I_{L_{12}}}</math>=3.33 s<br />
#Die maximal Differenz der beiden Winkelgeschwindigkeiten beträgt 10 rad/s, was bei einem Durchfluss von 50 Nm eine Leistung von 500 W ergibt. Die dissipierte Energie ist das Zeitintegral über die dissipierte Leistung. Weil der Drehimpulsstrom zwischen den beiden Schwungrädern in allen drei Phasen konstant ist, kann der zugehörige Wert vor das Integral genommen werden <math>W = \int{Pdt}=\int{M\Delta\omega dt} =M\int{\Delta\omega dt}=M\Delta\varphi</math>= 2.08 kJ<br />
Eine ausführliche Darstellung der Lösung finden Sie im '''[https://www.youtube.com/watch?v=4_W--uUplPs Lösungsvideo]'''<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 2==<br />
Diese Aufgabe besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil geht es um das Anstossen der Kugel ohne Reibung, im zweiten Teil geht es um den Rutschprozess mit Gleitreibung (siehe z.B. Aufgabe [[Bowling]]).<br />
::1. Durch den Stoss werden 12 N * 0.15 s = 1.8 Ns [[Impuls]] zugeführt. Dieser Impulsinhalt führt zu einer Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt]]es von 1.8 Ns / 0.18 kg = 10 m/s. Weil die Kugel so angestossen wird, dass sie rollt, gilt die Rollbedingung (<math>v_{MMP}=\omega r</math>), was eine Winkelgeschwindigkeit von 333 rad/s zur Folge hat.<br />
::2. Hier braucht es unbeding ein [[Schnittbild]]. Die drei Bilanzgleichungen (Grundgesetze) plus die Rollbedingung liefern die Lösung von 12 mm. <br />
::{|<br />
| ''x'': <math>F=ma_{MMP}</math><br />
|-<br />
| ''y'': <math>F_G-F_N=0</math><br />
|-<br />
| ''R'': <math>Fs=J\alpha</math><br />
|-<br />
| ''RB'': <math>a_{MMP}=r\alpha</math><br />
|}<br />
::3. [[Datei:Aviatik_16_2_L22.PNG|thumb|Flüssigkeitsbilder für die Rutschphase]]Zwischen gleitender Kugel und Tisch wirkt eine Gleitreibungskraft, welche die Geschwindigkeit verkleinert, die Drehzahl dagegen vergrössert. Die entscheidende Beziehung kann direkt den beiden Flüssigkeitsbildern entnommen werden <math>\frac{F_Rr}{F_R}=\frac{\Delta L}{|\Delta p|}=\frac{J\omega_e}{m(v_a-v_e)}</math>. Ersetzt man die Endwinkelgeschwindigkeit mit Hilfe der Rollbedingung durch die Endgeschwindigkeit, folgt <math>v_e=v_a\frac{mr^2}{J+mr^2}</math>= 8.56 m/s.<br />
::4. Die dissipierte Energie plus die Änderung der Bewegungsenergie (kinetische und Rotationsenergie) zwischen Anfang und Ende der Rutschphase muss gleich null sein (Energieerhaltung)<br />
::<math>W_{diss}+\Delta W_{rot}+\Delta W_{rot}</math> = 0. <br />
::Daraus folgt <math>W_{diss}= -\Delta pv_{mittel}-\frac{J}{2}\omega^2</math> = 3.71 J.<br />
Vorzeichen, Mengen und Fallhöhen bzw. Pumphöhen sind mit Vorteil direkt den beiden Flüssigkeitsbildern zu entnehmen. Eine detailliertere Erklärung finden Sie in diesem '''[https://www.youtube.com/watch?v=q3CVu4hHU0c Lösungsvideo]'''<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 3==<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 4==<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 5==<br />
<br />
'''[[Aviatik 2016/2|Aufgabe]]'''</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2016/2&diff=12170Lösung zu Aviatik 2016/22017-06-30T09:16:30Z<p>Systemdynamiker: /* Lösung zu Aufgabe 2 */</p>
<hr />
<div>==Lösung zu Aufgabe 1==<br />
Diese Aufgabe sollte mit Hilfe des [[Flüssigkeitsbild]]es gelöst werden.<br />
#Weil beide Schwungräder mit der gleichen Winkelbeschleunigung hochgefahren werden, muss sich der Drehimpuls im Verhältnis der Massenträgheitsmomente auf die beiden Schwungräder verteilen. Folglich muss von links her dreimal mehr Drehimpuls zufliessen, als durch die Rutschkupplung geht, also 150 Nm. Nach der gesuchten Zeit enthalten beide Schwungräder 1500 Nms (Grundfläche mal Füllhöhe im Flüssigkeitsbild). Teilt man diese Menge durch die Stromstärke des Zuflusses, erhält man 10 s.<br />
#In der zweiten Phase fliessen 5 s * 50 Nm Drehimpuls ins rechte Schwungrad, was dessen Winkelgeschwindigkeit um weitere 10 rad/s auf 30 rad/s erhöht. Die restlichen 5 s * 200 Nm verbleiben im linken Schwungrad und erhöhen dessen Winkelgeschwindigkeit um 20 rad/s auf 40 rad/s.<br />
#In der dritten Phase gleichen sich die Winkelgeschwindigkeiten an <math>\frac{J_1\omega_1+J_2\omega_2}{J_1+J_2}</math> = 36.7 rad/s. Weil die Stromstärke zwischen den Schungrädern weiterhin 50 Nm beträgt, dauert der Prozess <math>t=\frac{J_2\Delta\omega_2}{I_{L_{12}}}</math>=3.33 s<br />
#Die maximal Differenz der beiden Winkelgeschwindigkeiten beträgt 10 rad/s, was bei einem Durchfluss von 50 Nm eine Leistung von 500 W ergibt. Die dissipierte Energie ist das Zeitintegral über die dissipierte Leistung. Weil der Drehimpulsstrom zwischen den beiden Schwungrädern in allen drei Phasen konstant ist, kann der zugehörige Wert vor das Integral genommen werden <math>W = \int{Pdt}=\int{M\Delta\omega dt} =M\int{\Delta\omega dt}=M\Delta\varphi</math>= 2.08 kJ<br />
Eine ausführliche Darstellung der Lösung finden Sie im '''[https://www.youtube.com/watch?v=4_W--uUplPs Lösungsvideo]'''<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 2==<br />
[[Datei:Aviatik_16_2_L2.PNG|thumb|Schnittbild für den Anstoss]]Diese Aufgabe besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil geht es um das Anstossen der Kugel ohne Reibung, im zweiten Teil geht es um den Rutschprozess mit Gleitreibung (siehe z.B. Aufgabe [[Bowling]]).<br />
::1. Durch den Stoss werden 12 N * 0.15 s = 1.8 Ns [[Impuls]] zugeführt. Dieser Impulsinhalt führt zu einer Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt]]es von 1.8 Ns / 0.18 kg = 10 m/s. Weil die Kugel so angestossen wird, dass sie rollt, gilt die Rollbedingung (<math>v_{MMP}=\omega r</math>), was eine Winkelgeschwindigkeit von 333 rad/s zur Folge hat.<br />
::2. Hier braucht es unbeding ein [[Schnittbild]]. Die drei Bilanzgleichungen (Grundgesetze) plus die Rollbedingung liefern die Lösung von 12 mm. <br />
::{|<br />
| ''x'': <math>F=ma_{MMP}</math><br />
|-<br />
| ''y'': <math>F_G-F_N=0</math><br />
|-<br />
| ''R'': <math>Fs=J\alpha</math><br />
|-<br />
| ''RB'': <math>a_{MMP}=r\alpha</math><br />
|}<br />
::3. [[Datei:Aviatik_16_2_L22.PNG|thumb|Flüssigkeitsbilder für die Rutschphase]]Zwischen gleitender Kugel und Tisch wirkt eine Gleitreibungskraft, welche die Geschwindigkeit verkleinert, die Drehzahl dagegen vergrössert. Die entscheidende Beziehung kann direkt den beiden Flüssigkeitsbildern entnommen werden <math>\frac{F_Rr}{F_R}=\frac{\Delta L}{|\Delta p|}=\frac{J\omega_e}{m(v_a-v_e)}</math>. Ersetzt man die Endwinkelgeschwindigkeit mit Hilfe der Rollbedingung durch die Endgeschwindigkeit, folgt <math>v_e=v_a\frac{mr^2}{J+mr^2}</math>= 8.56 m/s.<br />
::4. Die dissipierte Energie plus die Änderung der Bewegungsenergie (kinetische und Rotationsenergie) zwischen Anfang und Ende der Rutschphase muss gleich null sein (Energieerhaltung)<br />
::<math>W_{diss}+\Delta W_{rot}+\Delta W_{rot}</math> = 0. <br />
::Daraus folgt <math>W_{diss}= -\Delta pv_{mittel}-\frac{J}{2}\omega^2</math> = 3.71 J.<br />
Vorzeichen, Mengen und Fallhöhen bzw. Pumphöhen sind mit Vorteil direkt den beiden Flüssigkeitsbildern zu entnehmen. Eine detailliertere Erklärung finden Sie in diesem '''[https://www.youtube.com/watch?v=q3CVu4hHU0c Lösungsvideo]'''<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 3==<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 4==<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 5==<br />
<br />
'''[[Aviatik 2016/2|Aufgabe]]'''</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Datei:Aviatik_16_2_L22.PNG&diff=12169Datei:Aviatik 16 2 L22.PNG2017-06-30T09:11:16Z<p>Systemdynamiker: Bild zu Aufgabe 2 Lösung zu Aviatik 2016/2</p>
<hr />
<div>Bild zu Aufgabe 2 [[Lösung zu Aviatik 2016/2]]</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Datei:Aviatik_16_2_L2.PNG&diff=12168Datei:Aviatik 16 2 L2.PNG2017-06-30T08:59:41Z<p>Systemdynamiker: Bild zu Lösung zu Aviatik 2016/2</p>
<hr />
<div>Bild zu [[Lösung zu Aviatik 2016/2]]</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2016/2&diff=12167Lösung zu Aviatik 2016/22017-06-30T08:24:19Z<p>Systemdynamiker: Die Seite wurde neu angelegt: „==Lösung zu Aufgabe 1== Diese Aufgabe sollte mit Hilfe des Flüssigkeitsbildes gelöst werden. #Weil beide Schwungräder mit der gleichen Winkelbeschleuni…“</p>
<hr />
<div>==Lösung zu Aufgabe 1==<br />
Diese Aufgabe sollte mit Hilfe des [[Flüssigkeitsbild]]es gelöst werden.<br />
#Weil beide Schwungräder mit der gleichen Winkelbeschleunigung hochgefahren werden, muss sich der Drehimpuls im Verhältnis der Massenträgheitsmomente auf die beiden Schwungräder verteilen. Folglich muss von links her dreimal mehr Drehimpuls zufliessen, als durch die Rutschkupplung geht, also 150 Nm. Nach der gesuchten Zeit enthalten beide Schwungräder 1500 Nms (Grundfläche mal Füllhöhe im Flüssigkeitsbild). Teilt man diese Menge durch die Stromstärke des Zuflusses, erhält man 10 s.<br />
#In der zweiten Phase fliessen 5 s * 50 Nm Drehimpuls ins rechte Schwungrad, was dessen Winkelgeschwindigkeit um weitere 10 rad/s auf 30 rad/s erhöht. Die restlichen 5 s * 200 Nm verbleiben im linken Schwungrad und erhöhen dessen Winkelgeschwindigkeit um 20 rad/s auf 40 rad/s.<br />
#In der dritten Phase gleichen sich die Winkelgeschwindigkeiten an <math>\frac{J_1\omega_1+J_2\omega_2}{J_1+J_2}</math> = 36.7 rad/s. Weil die Stromstärke zwischen den Schungrädern weiterhin 50 Nm beträgt, dauert der Prozess <math>t=\frac{J_2\Delta\omega_2}{I_{L_{12}}}</math>=3.33 s<br />
#Die maximal Differenz der beiden Winkelgeschwindigkeiten beträgt 10 rad/s, was bei einem Durchfluss von 50 Nm eine Leistung von 500 W ergibt. Die dissipierte Energie ist das Zeitintegral über die dissipierte Leistung. Weil der Drehimpulsstrom zwischen den beiden Schwungrädern in allen drei Phasen konstant ist, kann der zugehörige Wert vor das Integral genommen werden <math>W = \int{Pdt}=\int{M\Delta\omega dt} =M\int{\Delta\omega dt}=M\Delta\varphi</math>= 2.08 kJ<br />
Eine ausführliche Darstellung der Lösung finden Sie im '''[https://www.youtube.com/watch?v=4_W--uUplPs Lösungsvideo]'''<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 2==<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 3==<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 4==<br />
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==Lösung zu Aufgabe 5==<br />
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'''[[Aviatik 2016/2|Aufgabe]]'''</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Aviatik_2016/2&diff=12166Aviatik 2016/22017-06-30T07:54:50Z<p>Systemdynamiker: /* Aufgabe 3 */</p>
<hr />
<div>Erlaubte Hilfsmittel: Netzunabhängiger und nicht kommunikationsfähiger Taschenrechner, selbst verfasste Formel-, Modell- und Beispielsammlung mit maximal 14 Seiten (14 einseitig oder 7 zweiseitig beschriebene Blätter), Wörterbuch für fremdsprachige Studierende.<br />
<br />
==Aufgabe 1==<br />
[[Datei:ZweiSchwungraeder.png|200px|thumb|Zwei Schwungräder mit Rutschkupplung]]Zwei Schwungräder (Massenträgheitsmoment 50 kgm<sup>2</sup> und 25 kgm<sup>2</sup>) sind über eine Rutschkupplung, die einen maximalen Drehimpulsstrom der Stärke 50 Nm durchlässt, miteinander verbunden. Von links her wirkt auf das grössere Schwungrad ein Drehmoment ein, das nun stufenweise verändert wird.<br />
#Zuerst sollen die beiden Schwungräder gemeinsam und in kürzest möglicher Zeit auf eine Winkelgeschwindigkeit von 20 rad/s beschleunigt werden. Wie gross darf das von links einwirkende Drehmoment maximal sein? Wie lange dauert dieser Prozess?<br />
#In einer zweiten Zeitspanne von 5 s wird das von links einwirkende Drehmoment auf 250 Nm vergrössert. Wie schnell drehen sich die Schwungräder nach dieser Zeitspanne?<br />
#In einer dritten Zeitspanne wirkt von links her kein Drehmoment mehr ein und die Schwungräder gleichen ihre Drehzahl an. Mit welcher gemeinsamen Winkelgeschwindigkeit drehen die Schwungräder nach dieser Zeitspanne? Wie lange dauert diese dritte Zeitspanne?<br />
#Welchen Maximalwert erreicht die in der Rutschkupplung dissipierte Leistung? Wie viel Energie wird insgesamt in der Rutschkupplung dissipiert?<br />
<br />
==Aufgabe 2==<br />
Eine ruhende Billardkugel (Radius 30 mm, Masse 180 g, Massenträgheitsmoment 6.5.10<sup>-5</sup> kgm<sup>2</sup>) wird während 0.15 Sekunden mit einer horizontal wirkenden Kraft von 12 N angestossen.<br />
#Wie schnell bewegt sich die Kugelmitte nach dem Stoss, wenn die Reibung gegen den Billardtisch vernachlässigt werden kann? Mit welcher Winkelgeschwindigkeit dreht sie sich, wenn der Stoss so erfolgt, dass sie nachher ohne zu rutschen rollt?<br />
#In welchem vertikalen Abstand zum Schwerpunkt muss die Kugel horizontal angestossen werden, damit sie nachher ohne zu rutschen rollt?<br />
#Im zweiten Fall bewegt sich die Kugel ohne zu rotieren mit 12 m/s. Infolge der Gleitreibung geht die Kugel nach einer Rutschphase in eine Rollbewegung über. Wie schnell bewegt sich die Kugel in der Rollphase?<br />
#Wie viel Energie wird in der Rutschphase dissipiert?<br />
<br />
==Aufgabe 3==<br />
Ein Wärmepumpen-Boiler (Heisswasserspeicher) enthält 300 Liter Wasser. Die Wärmepumpe arbeite reversibel zwischen 7°C (Wärmeaufnahme von der Umwelt) und 67°C (Wärmeabgabe ans aufzuheizende Wasser). Bei einer Umgebungstemperatur von 20°C und einer Wassertemperatur von 60° C muss dem Wasser ein thermischer Energiestrom (Wärmeleistung) von 100 W zugeführt werden, damit es nicht abkühlt. Diese Wärmeabgabe ist bei 1. bis 3. nicht zu berücksichtigen.<br />
#Um wie viel nehmen die Enthalpie und die Entropie des Wassers zu, wenn es von 15°C auf 60°C aufgeheizt wird?<br />
#Wie viel elektrische Energie (Prozessenergie) nimmt die Wärmepumpe auf, um das Wasser von 15°C auf 60°C aufzuheizen?<br />
#Wie viel Energie müsste eine ideale Wärmepumpe aufnehmen, um das Wasser absolut reversibel von 15° auf 60°C aufzuheizen?<br />
#Wie lange würde es dauern, bis die Temperatur des Wassers bei ausgeschalteter Wärmepumpe von 60° auf 30° abgesunken ist? Die Aussentemperatur betrage immer noch 20°C.<br />
<br />
==Aufgabe 4==<br />
[[Datei:Aviatik_16_2_4.png|200px|thumb|idealer Kreisprozess]]Das Diagramm zeigt den Kreisprozess von einem Mol einatomiges Gas: 1 nach 2 isentrop, 2 nach 3 isobar, 3 nach 4 isentrop, 4 nach 1 isochor. Für die 4 Punkte gelten folgende Werte: 1 bar/22.5 Liter, 8 bar/6.46 Liter, 8 bar /13.5 Liter, 3.41 bar/22.5 Liter.<br />
#Bestimmen Sie die Temperaturen in den 4 Punkten.<br />
#Skizzieren Sie das Temperatur-Entropie-Diagramm für diesen Kreisprozess.<br />
#Prozess 2 nach 3: Um wie viel nimmt die Entropie zu? Um wie viel nimmt die innere Energie zu? <br />
#Prozess 2 nach 3: Wie viel Energie wird in Form von Wärme zugeführt? Wie viel Energie wird in Form von Expansionsarbeit abgeführt?<br />
<br />
==Aufgabe 5==<br />
Der Massenmittelpunkt eines Jo-Jos (Masse 0.2 kg, Wickelradius 0.05 m, Massenträgheitsmoment 5.10<sup>-4</sup> kgm<sup>2</sup>) bewegt sich im Moment mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s nach unten. Der vertikal ausgerichtete Faden bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 1m/s nach oben, die Fadenkraft beträgt 1 N.<br />
#Mit welcher Winkelgeschwindigkeit dreht sich das Jo-Jo in diesem Moment?<br />
#Wie gross sind Beschleunigung und Winkelbeschleunigung des Jo-Jos?<br />
#Skizzieren Sie das Systemdiagramm (Flowchart) für dieses System (das Jo-Jo kann sich nur vertikal bewegen). <br />
#Schreiben Sie die zugehörigen Gleichungen ins Systemdiagramm hinein. <br />
<br />
'''[[Lösung zu Aviatik 2016/2|Lösung]]'''<br />
<br />
[[Kategorie:Pruefungen]]</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Aviatik_2016/2&diff=12165Aviatik 2016/22017-06-30T07:53:51Z<p>Systemdynamiker: /* Aufgabe 4 */</p>
<hr />
<div>Erlaubte Hilfsmittel: Netzunabhängiger und nicht kommunikationsfähiger Taschenrechner, selbst verfasste Formel-, Modell- und Beispielsammlung mit maximal 14 Seiten (14 einseitig oder 7 zweiseitig beschriebene Blätter), Wörterbuch für fremdsprachige Studierende.<br />
<br />
==Aufgabe 1==<br />
[[Datei:ZweiSchwungraeder.png|200px|thumb|Zwei Schwungräder mit Rutschkupplung]]Zwei Schwungräder (Massenträgheitsmoment 50 kgm<sup>2</sup> und 25 kgm<sup>2</sup>) sind über eine Rutschkupplung, die einen maximalen Drehimpulsstrom der Stärke 50 Nm durchlässt, miteinander verbunden. Von links her wirkt auf das grössere Schwungrad ein Drehmoment ein, das nun stufenweise verändert wird.<br />
#Zuerst sollen die beiden Schwungräder gemeinsam und in kürzest möglicher Zeit auf eine Winkelgeschwindigkeit von 20 rad/s beschleunigt werden. Wie gross darf das von links einwirkende Drehmoment maximal sein? Wie lange dauert dieser Prozess?<br />
#In einer zweiten Zeitspanne von 5 s wird das von links einwirkende Drehmoment auf 250 Nm vergrössert. Wie schnell drehen sich die Schwungräder nach dieser Zeitspanne?<br />
#In einer dritten Zeitspanne wirkt von links her kein Drehmoment mehr ein und die Schwungräder gleichen ihre Drehzahl an. Mit welcher gemeinsamen Winkelgeschwindigkeit drehen die Schwungräder nach dieser Zeitspanne? Wie lange dauert diese dritte Zeitspanne?<br />
#Welchen Maximalwert erreicht die in der Rutschkupplung dissipierte Leistung? Wie viel Energie wird insgesamt in der Rutschkupplung dissipiert?<br />
<br />
==Aufgabe 2==<br />
Eine ruhende Billardkugel (Radius 30 mm, Masse 180 g, Massenträgheitsmoment 6.5.10<sup>-5</sup> kgm<sup>2</sup>) wird während 0.15 Sekunden mit einer horizontal wirkenden Kraft von 12 N angestossen.<br />
#Wie schnell bewegt sich die Kugelmitte nach dem Stoss, wenn die Reibung gegen den Billardtisch vernachlässigt werden kann? Mit welcher Winkelgeschwindigkeit dreht sie sich, wenn der Stoss so erfolgt, dass sie nachher ohne zu rutschen rollt?<br />
#In welchem vertikalen Abstand zum Schwerpunkt muss die Kugel horizontal angestossen werden, damit sie nachher ohne zu rutschen rollt?<br />
#Im zweiten Fall bewegt sich die Kugel ohne zu rotieren mit 12 m/s. Infolge der Gleitreibung geht die Kugel nach einer Rutschphase in eine Rollbewegung über. Wie schnell bewegt sich die Kugel in der Rollphase?<br />
#Wie viel Energie wird in der Rutschphase dissipiert?<br />
<br />
==Aufgabe 3==<br />
Ein Wärmepumpen-Boiler (Heisswasserspeicher) enthält 300 Liter Wasser. Die Wärmepumpe arbeite reversibel zwischen 7°C (Wärmeaufnahme von der Umwelt) und 67°C (Wärmeabgabe ans aufzuheizende Wasser). Bei einer Umgebungstemperatur von 20°C und einer Wassertemperatur von 60° C muss dem Wasser ein thermischer Energiestrom (Wärmeleistung) von 100 W zugeführt werden, damit es nicht abkühlt. Diese Wärmeabgabe ist bei a) bis c) nicht zu berücksichtigen.<br />
#Um wie viel nehmen die Enthalpie und die Entropie des Wassers zu, wenn es von 15°C auf 60°C aufgeheizt wird?<br />
#Wie viel elektrische Energie (Prozessenergie) nimmt die Wärmepumpe auf, um das Wasser von 15°C auf 60°C aufzuheizen?<br />
#Wie viel Energie müsste eine ideale Wärmepumpe aufnehmen, um das Wasser absolut reversibel von 15° auf 60°C aufzuheizen?<br />
#Wie lange würde es dauern, bis die Temperatur des Wassers bei ausgeschalteter Wärmepumpe von 60° auf 30° abgesunken ist? Die Aussentemperatur betrage immer noch 20°C.<br />
<br />
==Aufgabe 4==<br />
[[Datei:Aviatik_16_2_4.png|200px|thumb|idealer Kreisprozess]]Das Diagramm zeigt den Kreisprozess von einem Mol einatomiges Gas: 1 nach 2 isentrop, 2 nach 3 isobar, 3 nach 4 isentrop, 4 nach 1 isochor. Für die 4 Punkte gelten folgende Werte: 1 bar/22.5 Liter, 8 bar/6.46 Liter, 8 bar /13.5 Liter, 3.41 bar/22.5 Liter.<br />
#Bestimmen Sie die Temperaturen in den 4 Punkten.<br />
#Skizzieren Sie das Temperatur-Entropie-Diagramm für diesen Kreisprozess.<br />
#Prozess 2 nach 3: Um wie viel nimmt die Entropie zu? Um wie viel nimmt die innere Energie zu? <br />
#Prozess 2 nach 3: Wie viel Energie wird in Form von Wärme zugeführt? Wie viel Energie wird in Form von Expansionsarbeit abgeführt?<br />
<br />
==Aufgabe 5==<br />
Der Massenmittelpunkt eines Jo-Jos (Masse 0.2 kg, Wickelradius 0.05 m, Massenträgheitsmoment 5.10<sup>-4</sup> kgm<sup>2</sup>) bewegt sich im Moment mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s nach unten. Der vertikal ausgerichtete Faden bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 1m/s nach oben, die Fadenkraft beträgt 1 N.<br />
#Mit welcher Winkelgeschwindigkeit dreht sich das Jo-Jo in diesem Moment?<br />
#Wie gross sind Beschleunigung und Winkelbeschleunigung des Jo-Jos?<br />
#Skizzieren Sie das Systemdiagramm (Flowchart) für dieses System (das Jo-Jo kann sich nur vertikal bewegen). <br />
#Schreiben Sie die zugehörigen Gleichungen ins Systemdiagramm hinein. <br />
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'''[[Lösung zu Aviatik 2016/2|Lösung]]'''<br />
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[[Kategorie:Pruefungen]]</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Aviatik_2016/2&diff=12164Aviatik 2016/22017-06-30T07:11:56Z<p>Systemdynamiker: </p>
<hr />
<div>Erlaubte Hilfsmittel: Netzunabhängiger und nicht kommunikationsfähiger Taschenrechner, selbst verfasste Formel-, Modell- und Beispielsammlung mit maximal 14 Seiten (14 einseitig oder 7 zweiseitig beschriebene Blätter), Wörterbuch für fremdsprachige Studierende.<br />
<br />
==Aufgabe 1==<br />
[[Datei:ZweiSchwungraeder.png|200px|thumb|Zwei Schwungräder mit Rutschkupplung]]Zwei Schwungräder (Massenträgheitsmoment 50 kgm<sup>2</sup> und 25 kgm<sup>2</sup>) sind über eine Rutschkupplung, die einen maximalen Drehimpulsstrom der Stärke 50 Nm durchlässt, miteinander verbunden. Von links her wirkt auf das grössere Schwungrad ein Drehmoment ein, das nun stufenweise verändert wird.<br />
#Zuerst sollen die beiden Schwungräder gemeinsam und in kürzest möglicher Zeit auf eine Winkelgeschwindigkeit von 20 rad/s beschleunigt werden. Wie gross darf das von links einwirkende Drehmoment maximal sein? Wie lange dauert dieser Prozess?<br />
#In einer zweiten Zeitspanne von 5 s wird das von links einwirkende Drehmoment auf 250 Nm vergrössert. Wie schnell drehen sich die Schwungräder nach dieser Zeitspanne?<br />
#In einer dritten Zeitspanne wirkt von links her kein Drehmoment mehr ein und die Schwungräder gleichen ihre Drehzahl an. Mit welcher gemeinsamen Winkelgeschwindigkeit drehen die Schwungräder nach dieser Zeitspanne? Wie lange dauert diese dritte Zeitspanne?<br />
#Welchen Maximalwert erreicht die in der Rutschkupplung dissipierte Leistung? Wie viel Energie wird insgesamt in der Rutschkupplung dissipiert?<br />
<br />
==Aufgabe 2==<br />
Eine ruhende Billardkugel (Radius 30 mm, Masse 180 g, Massenträgheitsmoment 6.5.10<sup>-5</sup> kgm<sup>2</sup>) wird während 0.15 Sekunden mit einer horizontal wirkenden Kraft von 12 N angestossen.<br />
#Wie schnell bewegt sich die Kugelmitte nach dem Stoss, wenn die Reibung gegen den Billardtisch vernachlässigt werden kann? Mit welcher Winkelgeschwindigkeit dreht sie sich, wenn der Stoss so erfolgt, dass sie nachher ohne zu rutschen rollt?<br />
#In welchem vertikalen Abstand zum Schwerpunkt muss die Kugel horizontal angestossen werden, damit sie nachher ohne zu rutschen rollt?<br />
#Im zweiten Fall bewegt sich die Kugel ohne zu rotieren mit 12 m/s. Infolge der Gleitreibung geht die Kugel nach einer Rutschphase in eine Rollbewegung über. Wie schnell bewegt sich die Kugel in der Rollphase?<br />
#Wie viel Energie wird in der Rutschphase dissipiert?<br />
<br />
==Aufgabe 3==<br />
Ein Wärmepumpen-Boiler (Heisswasserspeicher) enthält 300 Liter Wasser. Die Wärmepumpe arbeite reversibel zwischen 7°C (Wärmeaufnahme von der Umwelt) und 67°C (Wärmeabgabe ans aufzuheizende Wasser). Bei einer Umgebungstemperatur von 20°C und einer Wassertemperatur von 60° C muss dem Wasser ein thermischer Energiestrom (Wärmeleistung) von 100 W zugeführt werden, damit es nicht abkühlt. Diese Wärmeabgabe ist bei a) bis c) nicht zu berücksichtigen.<br />
#Um wie viel nehmen die Enthalpie und die Entropie des Wassers zu, wenn es von 15°C auf 60°C aufgeheizt wird?<br />
#Wie viel elektrische Energie (Prozessenergie) nimmt die Wärmepumpe auf, um das Wasser von 15°C auf 60°C aufzuheizen?<br />
#Wie viel Energie müsste eine ideale Wärmepumpe aufnehmen, um das Wasser absolut reversibel von 15° auf 60°C aufzuheizen?<br />
#Wie lange würde es dauern, bis die Temperatur des Wassers bei ausgeschalteter Wärmepumpe von 60° auf 30° abgesunken ist? Die Aussentemperatur betrage immer noch 20°C.<br />
<br />
==Aufgabe 4==<br />
[[Datei:Aviatik_16_2_4.png|200px|thumb|idealer Kreisprozess]]Das Diagramm zeigt den Kreisprozess von einem Mol einatomiges Gas: 1 nach 2 isentrop, 2 nach 3 isobar, 3 nach 4 isentrop, 4 nach 1 isochor. Für die 4 Punkte gelten folgende Werte: 1 bar/22.5 Liter, 8 bar/6.46 Liter, 8 bar /13.5 Liter, 3.41 bar/22.5 Liter.<br />
#Bestimmen Sie die Temperaturen in den 4 Punkten.<br />
#Skizzieren Sie das Temperatur-Entropie-Diagramm für diesen Kreisprozess.<br />
#Prozess 2 nach 3: Um wie viel nimmt die Entropie zu? Um wie viel nimmt die innere Energie zu? <br />
#Prozess 2 nach 3: Wie viel Energie wird in Form von Wärme zugeführt? Wie viel Energiewird in Form von Expansionsarbeit abgeführt?<br />
<br />
==Aufgabe 5==<br />
Der Massenmittelpunkt eines Jo-Jos (Masse 0.2 kg, Wickelradius 0.05 m, Massenträgheitsmoment 5.10<sup>-4</sup> kgm<sup>2</sup>) bewegt sich im Moment mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s nach unten. Der vertikal ausgerichtete Faden bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 1m/s nach oben, die Fadenkraft beträgt 1 N.<br />
#Mit welcher Winkelgeschwindigkeit dreht sich das Jo-Jo in diesem Moment?<br />
#Wie gross sind Beschleunigung und Winkelbeschleunigung des Jo-Jos?<br />
#Skizzieren Sie das Systemdiagramm (Flowchart) für dieses System (das Jo-Jo kann sich nur vertikal bewegen). <br />
#Schreiben Sie die zugehörigen Gleichungen ins Systemdiagramm hinein. <br />
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'''[[Lösung zu Aviatik 2016/2|Lösung]]'''<br />
<br />
[[Kategorie:Pruefungen]]</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Datei:Aviatik_16_2_4.png&diff=12163Datei:Aviatik 16 2 4.png2017-06-30T07:11:23Z<p>Systemdynamiker: Kreisprozess zu Aviatik 2016/2</p>
<hr />
<div>Kreisprozess zu [[Aviatik 2016/2]]</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Aviatik_2016/2&diff=12162Aviatik 2016/22017-06-30T07:01:09Z<p>Systemdynamiker: Die Seite wurde neu angelegt: „Erlaubte Hilfsmittel: Netzunabhängiger und nicht kommunikationsfähiger Taschenrechner, selbst verfasste Formel-, Modell- und Beispielsammlung mit maximal 14…“</p>
<hr />
<div>Erlaubte Hilfsmittel: Netzunabhängiger und nicht kommunikationsfähiger Taschenrechner, selbst verfasste Formel-, Modell- und Beispielsammlung mit maximal 14 Seiten (14 einseitig oder 7 zweiseitig beschriebene Blätter), Wörterbuch für fremdsprachige Studierende.<br />
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==Aufgabe 1==<br />
[[Datei:ZweiSchwungraeder.png|200px|thumb|Zwei Schwungräder mit Rutschkupplung]]Zwei Schwungräder (Massenträgheitsmoment 50 kgm<sup>2</sup> und 25 kgm<sup>2</sup>) sind über eine Rutschkupplung, die einen maximalen Drehimpulsstrom der Stärke 50 Nm durchlässt, miteinander verbunden. Von links her wirkt auf das grössere Schwungrad ein Drehmoment ein, das nun stufenweise verändert wird.<br />
Zuerst sollen die beiden Schwungräder gemeinsam und in kürzest möglicher Zeit auf eine Winkelgeschwindigkeit von 20 rad/s beschleunigt werden. Wie gross darf das von links einwirkende Drehmoment maximal sein? Wie lange dauert dieser Prozess?<br />
In einer zweiten Zeitspanne von 5 s wird das von links einwirkende Drehmoment auf 250 Nm vergrössert. Wie schnell drehen sich die Schwungräder nach dieser Zeitspanne?<br />
In einer dritten Zeitspanne wirkt von links her kein Drehmoment mehr ein und die Schwungräder gleichen ihre Drehzahl an. Mit welcher gemeinsamen Winkelgeschwindigkeit drehen die Schwungräder nach dieser Zeitspanne? Wie lange dauert diese dritte Zeitspanne?<br />
Welchen Maximalwert erreicht die in der Rutschkupplung dissipierte Leistung? Wie viel Energie wird insgesamt in der Rutschkupplung dissipiert?<br />
<br />
==Aufgabe 2==<br />
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==Aufgabe 3==<br />
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==Aufgabe 4==<br />
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==Aufgabe 5==<br />
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'''[[Lösung zu Aviatik 2016/1|Lösung]]'''<br />
<br />
[[Kategorie:Pruefungen]]</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Datei:ZweiSchwungraeder.png&diff=12161Datei:ZweiSchwungraeder.png2017-06-30T06:59:33Z<p>Systemdynamiker: </p>
<hr />
<div>Bild zu [[Aviatik 2016/2]]</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Datei:ZweiSchwungraeder.png&diff=12160Datei:ZweiSchwungraeder.png2017-06-30T06:58:56Z<p>Systemdynamiker: Bild zu [[Aviatik 2016/2</p>
<hr />
<div>Bild zu [[Aviatik 2016/2</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2013/2&diff=12159Lösung zu Aviatik 2013/22017-06-18T07:14:38Z<p>Systemdynamiker: /* Lösung zu Aufgabe 5 */</p>
<hr />
<div>==Lösung zu Aufgabe 1==<br />
#<math>I_W=\varrho_{W_{kin}}I_V=\frac{\varrho}{2}v_1^2 I_V=\frac{\varrho}{2}Av_1^3</math> =1250 W<br />
#Torricelli <math>\sqrt{2gh}</math> = 4.2 m/s und <math>A_2=A_1\frac{v_1}{v_2}</math> = 2.38·10<sup>-4</sup> m<sup>2</sup><br />
#Impulsbilanz positive Richtung nach unten. Aus <math>-F_{festhalten}+mg+v_1I_{m1}+v_2I{m2}=\dot p=0</math> und Massebilanz <math>I_{m1}+I_{m1}=\dot m=0</math> folgt <math>F_{festhalten}</math> = 242 N<br />
#<math>I_W=\frac{\varrho}{2}v_2^2 I_V=\frac{v_2^2}{2}I_m=\sqrt{gh}I_m</math>=8.83 W. Die letzte Umformung zeigt den Ursprung der Energie des abfliessenden Wasser: diese Energie entstammt im stationären Zustand vollständig dem [[Gravitationsfeld]] ([[potentielle Energie]]), weil die von oben mit dem Wasser zufliessende Energie vollständig dissipiert wird.<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 2==<br />
Diese Aufgabe entspricht ziemlich genau der Übungsaufgabe [[Wärmepumpe mit zwei Wärmetauschern]]. Das zugehürige Strombild entnehme man der [[Lösung zu Wärmepumpe mit zwei Wärmetauschern]].<br />
#<math>\Delta T_{01}=\frac{I_{W_1}}{G_W}</math> = 7 K . Daraus folgt <math>T_1=T_0-\Delta T_{01}</math> = 270 K (-3°C).<br />
#Zu pumpende Entropiestrom <math>I_{S_{12}}=\frac{I_{W_1}}{T_1}</math> . Pumpleistung <math>P=I_{S_{12}}\Delta T_{12}</math> = 648 W.<br />
#Energiestrom 2 (abgehender thermischer Energiestrom) <math>I_{W_2}=I_{W_1}+P</math> = 4.15 kW. Daraus folgt für den thermischen Leitwert <math>G_W=\frac{I_{W_2}}{\Delta T_{23}}</math> = 830 W/K.<br />
#Die [[Entropieproduktionsrate]] über die ganze Maschine gerechnet, ist gleich Entropiestromstärke am Ausgang minus Entropiestromstärke am Eingang <math>\Pi_S=I_{S_3}-I_{S_0}=\frac{I_{W_2}}{T_3}-\frac{I_{W_1}}{T_0}</math> = 0.533 W.<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 3==<br />
#Diese Aufgabe fragt nach den ersten drei Teilprozessen des [[Joule-Zyklus]]. Deshalb entsprechen das ''S-T-''Diagramm und das ''p-V-''Diagramm bis auf den letzten Teilprozess den Diagrammen des JouleZykluses.<br />
#[[Isentrop]]er Prozess des [[ideales Gas|idealen Gases]] <math>p_2=p_1\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\frac{\kappa}{\kappa-1}}</math> = 59.8 bar.<br />
#Die zugeführte [[Wärme]] ist gleich Stärke des thermischen [[Zugeordneter Energiestrom|Energiestromes]] mal den Zeitabschnitt, in dem geheizt wird <math>W_{therm}=I_{W_{therm}}\Delta t</math> = 75 kJ. Dies führt zu einer Temperaturerhöhung von <math>\Delta T = \frac{\Delta H}{n\hat c_p}=\frac{W_{therm}}{n\hat c_p}</math> = 51.5 K und damit zu einer Endtemperatur für diesen Teilprozess von 552 K. Man beachte, dass beim [[isobar]]en Heizen die Wärme(energie) gleich der Änderung der [[Enthalpie]] ist.<br />
#Die Beschaltung des [[Carnotor]]s wird im folgenden Video erklärt<br />
::<videoflash>xQMf0P3eGko|649|360</videoflash><br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 4==<br />
Ohne gutes Verständnis des [[Flüssigkeitsbild]]es ist diese Aufgabe ziemlich schwierig!<br />
#Für das zweite [[Massenträgheitsmoment]] gilt <math>J_2=J_{20}+2mr^2</math>.<br />
##Phase: Es werden 12000 Nms von einem Teilsystem ins ander gepumpt. Das zweite Massenträgheitsmoment beträgt 510 kgm<sup>2</sup>. Für die [[Winkelgeschwindigkeit]] am Schluss dieser Phase gilt <math>\omega_1=\frac{-L}{J_1}=-48\frac{1}{s}</math> und <math>\omega_2=\frac{L}{J_{21}}=23.5\frac{1}{s}</math><br />
##Phase: Das Massenträgheitsmoment verkleinert sich von 510 kgm<sup>2</sup> auf 190 kgm<sup>2</sup>, also nimmt die Winkelgeschwindigkeit auf den folgenden Wert zu <math>\omega_2=\frac{L}{J_{22}}=63.2\frac{1}{s}</math><br />
##Phase: Der [[Drehimpuls]] fliesst zurück, womit beide Teile nicht mehr rotieren.<br />
#Die maximale Winkelgeschwindigkeitsdifferenz beträgt am Schluss der 1. Phase 71.5 1/s. Der gesamte Drehimpuls muss vom Motor aber nur um die Hälfte hochgepumpt werden <math>W_{Motor}=\Delta \omega_{mittel}L</math> = 429 kJ<br />
#Der Drehimpuls bleibt erhalten, wird aber "hochgequetscht". Die aufzuwendende Energie ist gleich Drehimpuls mal mittlere "Hubhöhe" <math>\Delta W_{rot}=\Delta \omega_{2_{mittel}}L</math> = 238 kJ.<br />
#In 15 s fliessen 4500 Nms Drehimpuls vom zweiten in den ersten Teil. Also verbleiben noch +/-7500 Nms in den beiden Teilen, womit die aktuellen Winkelgeschwindigkeiten 39.5 1/s und -30 1/s betragen. Daraus folgt <math>P=M\Delta \omega_{aktuell}</math> = 20.8kW.<br />
<br />
::<videoflash>MkVQnl3YJnU|649|360</videoflash><br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 5==<br />
#Auf den Zylinder wirken in der Rutschphase die Gewichtskraft (Volumenkraft), die Normalkraft und die Gleitreibungskraft (gegen die Rotation). Gewichtskraft und Normalkraft halten den Zylinder vertikal im Gleichgewicht.<br />
#Anfänglich bewegt sich die unterste Linie des Zylinders (Kontaklinie mit der Unterlage) mit <math>v_{unten}=\omega r</math> = 30 m/s. Damit erreicht die Gleitreibungskraft eine Leistung von <math>P(F_R)=v_{unten}F_R</math> = 1500 W.<br />
#Hier sind unbedingt zwei [[Flüssigkeitsbild]]er zu zeichnen. Dabei gilt bis zur Rollphase <math>\left(v_e=\omega_e r\right)</math> folgender Zusammenhang <math>\frac{F_Rr}{F_R}=\frac{|\Delta L|}{p}=\frac{J(\omega_a-\omega_e)}{mv_e}</math>. Löst man diese Gleichung mit Hilfe der Rollbedingung auf, folgt ''v<sub>e</sub>'' = 10 m/s und ''&omega;<sub>e</sub>'' = 100 1/s.<br />
#Für die Berechnung der zeitlichen Länge der Rutschphase und für die Energiebetrachtung sollte wieder das Flüssigkeitsbild beigezogen werden.<br />
##Die Gleitreibungskraft beschreibt den konstanten Zufluss von Impuls bis zum Erreichen der Rollphase, also folgt aus <math>F_R=\frac{p_e}{\Delta t}=\frac{mv_e}{\Delta t}</math> eine Zeitspanne von <math>\Delta t=\frac{mv_e}{F_R}</math> = 2.4 s.<br />
##Die [[Rotationsenergie]] nimmt ab, die [[kinetische Energie]] zu. Der Unterschied wird dissipiert <math>W_{diss}=\Delta W_{rot}-W_{kin}=\frac{J}{2}\left(\omega_a^2-\omega_e^2\right)-\frac{m}{2}v_e^2</math> = 1800 J.<br />
<br />
'''ähnliche Aufgabe''':<br />
*[http://www.systemdesign.ch/index.php?title=Bowling Bowling]<br />
<br />
<br />
'''[[Aviatik 2013/2|Aufgabe]]'''</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2013/2&diff=12158Lösung zu Aviatik 2013/22017-06-14T08:51:45Z<p>Systemdynamiker: /* Lösung zu Aufgabe 3 */</p>
<hr />
<div>==Lösung zu Aufgabe 1==<br />
#<math>I_W=\varrho_{W_{kin}}I_V=\frac{\varrho}{2}v_1^2 I_V=\frac{\varrho}{2}Av_1^3</math> =1250 W<br />
#Torricelli <math>\sqrt{2gh}</math> = 4.2 m/s und <math>A_2=A_1\frac{v_1}{v_2}</math> = 2.38·10<sup>-4</sup> m<sup>2</sup><br />
#Impulsbilanz positive Richtung nach unten. Aus <math>-F_{festhalten}+mg+v_1I_{m1}+v_2I{m2}=\dot p=0</math> und Massebilanz <math>I_{m1}+I_{m1}=\dot m=0</math> folgt <math>F_{festhalten}</math> = 242 N<br />
#<math>I_W=\frac{\varrho}{2}v_2^2 I_V=\frac{v_2^2}{2}I_m=\sqrt{gh}I_m</math>=8.83 W. Die letzte Umformung zeigt den Ursprung der Energie des abfliessenden Wasser: diese Energie entstammt im stationären Zustand vollständig dem [[Gravitationsfeld]] ([[potentielle Energie]]), weil die von oben mit dem Wasser zufliessende Energie vollständig dissipiert wird.<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 2==<br />
Diese Aufgabe entspricht ziemlich genau der Übungsaufgabe [[Wärmepumpe mit zwei Wärmetauschern]]. Das zugehürige Strombild entnehme man der [[Lösung zu Wärmepumpe mit zwei Wärmetauschern]].<br />
#<math>\Delta T_{01}=\frac{I_{W_1}}{G_W}</math> = 7 K . Daraus folgt <math>T_1=T_0-\Delta T_{01}</math> = 270 K (-3°C).<br />
#Zu pumpende Entropiestrom <math>I_{S_{12}}=\frac{I_{W_1}}{T_1}</math> . Pumpleistung <math>P=I_{S_{12}}\Delta T_{12}</math> = 648 W.<br />
#Energiestrom 2 (abgehender thermischer Energiestrom) <math>I_{W_2}=I_{W_1}+P</math> = 4.15 kW. Daraus folgt für den thermischen Leitwert <math>G_W=\frac{I_{W_2}}{\Delta T_{23}}</math> = 830 W/K.<br />
#Die [[Entropieproduktionsrate]] über die ganze Maschine gerechnet, ist gleich Entropiestromstärke am Ausgang minus Entropiestromstärke am Eingang <math>\Pi_S=I_{S_3}-I_{S_0}=\frac{I_{W_2}}{T_3}-\frac{I_{W_1}}{T_0}</math> = 0.533 W.<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 3==<br />
#Diese Aufgabe fragt nach den ersten drei Teilprozessen des [[Joule-Zyklus]]. Deshalb entsprechen das ''S-T-''Diagramm und das ''p-V-''Diagramm bis auf den letzten Teilprozess den Diagrammen des JouleZykluses.<br />
#[[Isentrop]]er Prozess des [[ideales Gas|idealen Gases]] <math>p_2=p_1\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\frac{\kappa}{\kappa-1}}</math> = 59.8 bar.<br />
#Die zugeführte [[Wärme]] ist gleich Stärke des thermischen [[Zugeordneter Energiestrom|Energiestromes]] mal den Zeitabschnitt, in dem geheizt wird <math>W_{therm}=I_{W_{therm}}\Delta t</math> = 75 kJ. Dies führt zu einer Temperaturerhöhung von <math>\Delta T = \frac{\Delta H}{n\hat c_p}=\frac{W_{therm}}{n\hat c_p}</math> = 51.5 K und damit zu einer Endtemperatur für diesen Teilprozess von 552 K. Man beachte, dass beim [[isobar]]en Heizen die Wärme(energie) gleich der Änderung der [[Enthalpie]] ist.<br />
#Die Beschaltung des [[Carnotor]]s wird im folgenden Video erklärt<br />
::<videoflash>xQMf0P3eGko|649|360</videoflash><br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 4==<br />
Ohne gutes Verständnis des [[Flüssigkeitsbild]]es ist diese Aufgabe ziemlich schwierig!<br />
#Für das zweite [[Massenträgheitsmoment]] gilt <math>J_2=J_{20}+2mr^2</math>.<br />
##Phase: Es werden 12000 Nms von einem Teilsystem ins ander gepumpt. Das zweite Massenträgheitsmoment beträgt 510 kgm<sup>2</sup>. Für die [[Winkelgeschwindigkeit]] am Schluss dieser Phase gilt <math>\omega_1=\frac{-L}{J_1}=-48\frac{1}{s}</math> und <math>\omega_2=\frac{L}{J_{21}}=23.5\frac{1}{s}</math><br />
##Phase: Das Massenträgheitsmoment verkleinert sich von 510 kgm<sup>2</sup> auf 190 kgm<sup>2</sup>, also nimmt die Winkelgeschwindigkeit auf den folgenden Wert zu <math>\omega_2=\frac{L}{J_{22}}=63.2\frac{1}{s}</math><br />
##Phase: Der [[Drehimpuls]] fliesst zurück, womit beide Teile nicht mehr rotieren.<br />
#Die maximale Winkelgeschwindigkeitsdifferenz beträgt am Schluss der 1. Phase 71.5 1/s. Der gesamte Drehimpuls muss vom Motor aber nur um die Hälfte hochgepumpt werden <math>W_{Motor}=\Delta \omega_{mittel}L</math> = 429 kJ<br />
#Der Drehimpuls bleibt erhalten, wird aber "hochgequetscht". Die aufzuwendende Energie ist gleich Drehimpuls mal mittlere "Hubhöhe" <math>\Delta W_{rot}=\Delta \omega_{2_{mittel}}L</math> = 238 kJ.<br />
#In 15 s fliessen 4500 Nms Drehimpuls vom zweiten in den ersten Teil. Also verbleiben noch +/-7500 Nms in den beiden Teilen, womit die aktuellen Winkelgeschwindigkeiten 39.5 1/s und -30 1/s betragen. Daraus folgt <math>P=M\Delta \omega_{aktuell}</math> = 20.8kW.<br />
<br />
::<videoflash>MkVQnl3YJnU|649|360</videoflash><br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 5==<br />
#Auf den Zylinder wirken in der Rutschphase die Gewichtskraft (Volumenkraft), die Normalkraft und die Gleitreibungskraft (gegen die Rotation). Gewichtskraft und Normalkraft halten den Zylinder vertikal im Gleichgewicht.<br />
#Anfänglich bewegt sich die unterste Linie des Zylinders (Kontaklinie mit der Unterlage) mit <math>v_{unten}=\omega r</math> = 30 m/s. Damit erreicht die Gleitreibungskraft eine Leistung von <math>P(F_R)=v_{unten}F_R</math> = 1500 W.<br />
#Hier sind unbedingt zwei [[Flüssigkeitsbild]]er zu zeichnen. Dabei gilt bis zur Rollphase <math>\left(v_e=\omega_e r\right)</math> folgender Zusammenhang <math>\frac{F_Rr}{r}=\frac{|\Delta L|}{p}=\frac{J(\omega_a-\omega_e)}{mv_e}</math>. Löst man diese Gleichung mit Hilfe der Rollbedingung auf, folgt ''v<sub>e</sub>'' = 10 m/s und ''&omega;<sub>e</sub>'' = 100 1/s.<br />
#Für die Berechnung der zeitlichen Länge der Rutschphase und für die Energiebetrachtung sollte wieder das Flüssigkeitsbild beigezogen werden.<br />
##Die Gleitreibungskraft beschreibt den konstanten Zufluss von Impuls bis zum Erreichen der Rollphase, also folgt aus <math>F_R=\frac{p_e}{\Delta t}=\frac{mv_e}{\Delta t}</math> eine Zeitspanne von <math>\Delta t=\frac{mv_e}{F_R}</math> = 2.4 s.<br />
##Die [[Rotationsenergie]] nimmt ab, die [[kinetische Energie]] zu. Der Unterschied wird dissipiert <math>W_{diss}=\Delta W_{rot}-W_{kin}=\frac{J}{2}\left(\omega_a^2-\omega_e^2\right)-\frac{m}{2}v_e^2</math> = 1800 J.<br />
<br />
'''ähnliche Aufgabe''':<br />
*[http://www.systemdesign.ch/index.php?title=Bowling Bowling]<br />
<br />
<br />
'''[[Aviatik 2013/2|Aufgabe]]'''</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Gyrobus&diff=12157Lösung zu Gyrobus2017-05-20T07:35:20Z<p>Systemdynamiker: </p>
<hr />
<div>Die nachfolgenden Lösungen dürften etwas von den wahren Werten abweichen, weil nicht alle Daten bekannt sind.<br />
#Der [[Drehimpuls]] kann aus [[Energie]] und [[Winkelgeschwindigkeit]] berechnet werden <math> L = \frac {2 W}{\omega}</math> = 2 * 5 kWh / 314 rad/s = 115 kNms, &omega; = 2 * &pi; * 3000 U/m = 314 rad/s.<br />
#Das [[Massenträgheitsmoment]], die Drehimpulskapazität (Grundfläche im [[Flüssigkeitsbild]]), ist gleich Drehimpuls durch Winkelgeschwindigkeit, also gleich 115 kNms / 314 rad/s = 365 kgm<sup>2</sup>. Dies entspricht bei einer Masse von 1500 kg einem Trägheitsradius von <math> \sqrt{J / m} = \sqrt{365 kgm^2 / 1500 kg} </math> = 0.24 m.<br />
#Der Drehimpuls soll in etwa 12 Stunden abgeflossen sein. Dies ergibt eine Stromstärke, also ein [[Drehmoment]] von 115 kNms / (12 * 3600 s) = 2.66 Nm. Weil für das Drehmoment dieser Reibung auch Turbulenzen im umgebenden Wasserstoff verantwortlich gewesen sein dürften, die einen nichtlinearen Widerstand hervorrufen, handelt es sich hier um einen Mittelwert.<br />
#Bei einer Kurvenfahrt ändert das Schwungrad seinen [[Impuls]], aber nicht seinen Drehimpuls. Damit das Schwungrad die Kurvenfahrt mitmacht, muss der Gyrobus mit einer Kraft von <math> F = m \frac {v^2}{r}</math> = 1500 kg * (15 m/s)<sup>2</sup> / 200 m = 1.69 kN auf das Rad einwirken.<br />
#Bei der Kuppenfahrt verändert sich auch die Achse des Schwungrad-Drehimpulses mit der Winkelgeschwindigkeit <math> \omega_S = v / r </math> = 15 m/s / 200 m = 0.075 rad/s. Das dazu notwendige Drehmoment beträgt <math> M = \omega_S L </math> = 0.075 rad/s * 115 kNms = 8.62 kNm (Die Vektoren &omega;<sub>S</sub> und L stehen senkrecht zueinander).<br />
<br />
Die gleichmässige Bewegung eines Körpers auf dem Kreis und die Schwenkbewegung des Kreisels unterliegen analogen Gesetzen. In beiden Fällen stehen Änderungsraten der Menge und die Menge ([[Impuls]] und [[Drehimpuls]]) normal zueinander<br />
<br />
:<math>\vec F_{Res} = \vec \omega_S \times \vec p</math><br />
<br />
:<math>\vec M_{Res} = \vec \omega_S \times \vec L</math><br />
<br />
'''[[Gyrobus|Aufgabe]]'''</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Dynamische_Systeme_h%C3%B6herer_Ordnung&diff=12156Dynamische Systeme höherer Ordnung2017-05-18T13:36:17Z<p>Systemdynamiker: /* Antworten zu den Kontrollfragen */</p>
<hr />
<div>==Lernziele==<br />
In dieser Vorlesung lernen Sie<br />
*wie man die Kreisfrequenz, Frequenz und Schwingungsdauer eines harmonischen Oszillators berechnet.<br />
*wie die Potential-Zeit-, die Stromstärke-Zeit- und die Leistungs-Zeit-Funktion bei einem harmonischen Oszillator formuliert werden.<br />
*wie man die Abklingzeit und die Kreisfrequenz bei einem gedämpften Oszillator berechnet.<br />
*unter welchen Bedingungen ein Serie-Schwingkreis bei harmonischer Anregung den stärksten Strom durchlässt<br />
*wie das Verhalten dynamischer Systeme modelliert und analysiert wird.<br />
<br />
==Problemstellung==<br />
Zwei zylinderförmige Gefässe sind über ein bodennahes Röhrchen miteinander verbunden. Solange das eine Gefäss höher als das andere mit Wasser gefüllt ist, fliesst ein Ausgleichsstrom. Nimmt man Öl statt Wasser, bleibt die Strömung laminar und wir können den Ausgleichsvorgang mit einer Exponentialfunktion beschreiben. Nun denken wir uns das Röhrchen immer dicker bis ein mit Wasser gefülltes U-Rohr vor uns steht. Dann erfolgt der Ausgleichsvorgang nicht mehr über einen einmal abklingenden Volumenstrom, sondern über einen abklingend-oszillierenden Volumenstrom. Wäre die Flüssigkeit suprafluid, würde die Oszillation oder Schwingung überhaupt nicht mehr abklingen. <br />
<br />
Das Verhalten des U-Rohrs kann durch zwei Speicher mit konstanter [[Kapazität]] und einem Leiter mit [[Widerstand]] und [[Induktivität]] modelliert werden. Analoge Systeme kennt man aus der Elektrodynamik (zwei über eine Spule verbunden Kondensatoren), aus der Translationsmechanik (zwei über eine Feder verbundene Luftkissenfahrzeuge) und aus der Rotationsmechanik (zwei über eine Drehfeder verbundene Schwungräder). Dominiert das Widerstandselement (Strömungswiderstand, elektrischer Widerstand der Spule, Dämpfer in Serie zur Feder), klingt der Potentialunterschied (Druck, Spannung, Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit) exponentiell ab, falls sich alle Elemente linear verhalten.<br />
<br />
Dynamischen Systemen, die aus zwei Speichern bestehen und die über einen Leiter miteinander verbunden sind, können mathematisch zu einem System mit nur einem Speicher und reduzierter Kapazität zusammenfasst werden. Systeme mit Mengenspeicher und Induktivität nennt man Systeme 2. Ordnung, weil man zur Berechnung des Verhaltens zweimal integrieren muss. Systeme 2. Ordnung besitzen zwei unabhängige Energiespeicher.<br />
<br />
==Speicher und Leiter==<br />
Speicher mit konstanter Kapazität und Leiter mit linearem Widerstand und linearer Induktivität findet man in der Hydrodynamik, der Elektrodynamik, der Translationsmechanik und der Rotationsmechanik.<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Gebiet<br />
!style ="width:15em"|Speicher<br />
!style ="width:15em"|Widerstand<br />
!style ="width:15em"|Induktivität<br />
!style ="width:15em"|Bemerkung<br />
|-<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|<math>\Delta p=\frac{\Delta V}{C_V}=\frac{\varrho g\Delta V}{A}</math><br />
|<math>\Delta p=R_VI_V</math><br />
|<math>\Delta p=L_V\dot I_V</math><br />
|[[gerades Rohrstück|laminare Strömung]]<br />
|-<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|<math>U=\frac{Q}{C}</math> oder <math>\dot U=\frac{I}{C}</math><br />
|<math>U=RI</math><br />
|<math>U=L\dot I</math><br />
|[[Kondensator]]<br />
|-<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|<math>v_x=\frac{p_x}{m}</math><br />
|<math>\Delta v_x=R_{px}F_x</math><br />
|<math>\Delta v_x=L_{px}\dot F_x</math><br />
|[[Feder|Federgesetz]]<br />
|-<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|<math>\omega_x=\frac{L_x}{J_{xx}}</math><br />
|<math>\Delta \omega_x=R_{Lx}M_x</math><br />
|<math>\Delta \omega_x=L_{Lx}\dot M_x</math><br />
|[[Feder|Drehfedergesetz]]<br />
|-<br />
|}<br />
<br />
Die mechanischen Systemparameter sind oft reziprok definiert: statt eines Impulswiderstandes führt man eine Dämpferkonstante ein; anstelle einer Impulsinduktivität definiert man eine Federkonstante<br />
<br />
:<math>F_x=k\Delta v_x</math> statt <math>\Delta v_x= R_{px}F_x</math><br />
:<math>F_x=D\Delta x</math> statt <math>\Delta v_x=L_{px}\dot F_x</math><br />
<br />
==Harmonischer Oszillator==<br />
Ein harmonischer [[Oszillator]] ist ein schwingungsfähiges System, das aus einem oder zwei Speicher mit konstanter Kapazität und einem Leiter mit stromunabhängiger Induktivität besteht. Lenkt man ein solches System aus und lässt es los, schwingt es sinusförmig (harmonisch) um seine Ruhelage, wobei die Schwingungsdauer unabhängig von der Grösse der Auslenkung ist. Beispiele für harmonische Oszillatoren sind Federpendel, elektrische Schwingkreise und U-Rohr mit sehr grossem Querschnitt.<br />
<br />
Der harmonische Oszillator ist ein wichtiges Modellsystem der Physik. Er ist durch nur zwei Parameter (Gesamtkapazität und die Induktivität) vollständig beschrieben. Viele komplexere Systeme verhalten sich bei kleinen Auslenkungen näherungsweise wie harmonische Oszillatoren. Der harmonische Oszillator der Quantenmechanik ist eines der wenigen quantenmechanischen Systeme, das sich ohne Näherungen berechnen lässt.<br />
<br />
In der [[Elektrodynamik]] bildet ein über eine ideale Spule ([[Induktivität]] ''L'') kurz geschlossener [[Kondensator]] ([[Kapazität]] ''C'') einen harmonischen Oszillator. Lädt man den Kondensator auf die Spannung ''U<sub>0</sub>'' auf und verbindet ihn dann mit der idealen Spule, ist die Spannung über beiden Elementen zu jedem Zeitpunkt gleich gross (die Umlaufspannung muss immer gleich null sein)<br />
<br />
:<math>U_C+U_L=0</math><br />
<br />
Setzt man für die beiden Spannungen die zugehörigen konstitutiven Gesetze ein, erhält man<br />
<br />
:<math>\frac{Q}{C}+L\dot I=0</math><br />
<br />
Nun ersetzt man noch die Stromstärke über die Bilanz durch die Änderungsrate der Ladung<br />
<br />
:<math>Q+LC\ddot Q=0</math><br />
<br />
Die allgemeine Lösung dieser linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist <br />
<br />
:<math>Q(t)=Q_0cos(\omega_0t+\delta)</math><br />
<br />
wobei für die Kreisfrequenz gilt (Lösung in Differenzialgleichung einsetzen und vergleichen!)<br />
<br />
:<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{CL}}</math><br />
<br />
Die Ladungsamplitude ''Q<sub>0</sub>'' und die Phasenverschiebung hängen von den Anfangsbedingungen ab. Mit Hilfe des [[Kapazität|kapazitiven Gesetzes]] kann auf die Spannungs-Zeit-Funktion umgerechnet werden<br />
<br />
:<math>U(t)=U_0cos(\omega_0t+\delta)</math> mit <math>U_0=\frac{Q_0}{C}</math><br />
<br />
Ersetzt man die Spannung mit Hilfe des [[Induktivität|induktiven Gesetzes]] erhält man eine Funktion für die Änderungsrate der Stromstärke<br />
<br />
:<math>\dot I(t)=\frac{U_0}{L}cos(\omega_0t+\delta)</math>. <br />
<br />
Eine Integration über die Zeit liefert<br />
<br />
:<math>I(t)=I_0sin(\omega_0t+\delta)</math> mit <math>I_0=\frac{U_0}{\omega_0L}=U_0\sqrt{\frac{C}{L}}=Q_0\sqrt{\frac{1}{CL}}=\omega_0 Q_0</math><br />
<br />
Für die Prozessleistung über dem Kondensator oder der Spule gilt<br />
<br />
:<math>P=UI=U_0I_0cos(\omega_0t+\delta)sin(\omega_0t+\delta)</math><br />
<br />
Setzt man die Phasenverschiebung ''&delta;'' gleich null (freie Wahl des Zeitnullpunktes), erhält man eine Leistung, die mit doppelter [[Frequenz]] (Kreisfrequenz durch 2''&pi;'') schwingt<br />
<br />
:<math>P=UI=\frac{U_0I_0}{2}sin(2\omega_0t)</math><br />
<br />
Während einer [[Periode]] oder Schwingungsdauer (2''&pi;'' durch Kreisfrequenz) ist der Kondensator zweimal geladen und der Strom erreicht zweimal seine maximale Stärke. Weil beide Bauteile zusammen mit der Ladung (Kondensator) oder mit dem Strom (Spule) Energie speichern, wird die Energie mit doppelter Oszillatorfrequenz hin und her verschoben.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=VkXZL-VAKxs harmonischer Oszillator]<br />
<br />
==gedämpfter Oszillator==<br />
Nun fügen wir beim elektrischen Schwingkreis noch einen Widerstand ein. Widerstand und Induktivität können als einfache Ersatzschaltung für eine reale Spule gesehen werden. Wieder gilt der Maschensatz, wonach Umlaufspannung gleich null sein muss<br />
<br />
:<math>U_C+U_R+U_L=0</math><br />
<br />
Setzt man wie beim harmonischen Oszillator die konstitutiven Gesetze für die [[Kapazität]], den [[Widerstand]] und die [[Induktivität]] ein und ersetzt die Stromstärke über die [[Bilanz]]gleichung durch die Änderungsrate der Kondensatorladung, erhält man eine '''lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten'''<br />
<br />
:<math>\frac{Q}{C}+R\dot Q+L\ddot Q=0</math> oder <math>\frac{1}{LC}Q+\frac{R}{L}\dot Q+\ddot Q=0</math><br />
<br />
Diese Gleichung wird durch folgende allgemeine Funktion erfüllt<br />
<br />
:<math>Q(t)=Q_0e^{-t/\tau}cos(\omega t+\delta)</math><br />
<br />
Setzt man diese Funktion in die Differentialgleichung ein, erhält man folgende Beziehung<br />
<br />
:<math>\left(\left(\frac{1}{LC}-\frac{R}{L\tau}+\frac{1}{\tau^2}-\omega^2\right)cos(\omega t+\delta)+\left(-\frac{R\omega}{L}+\frac{2\omega}{\tau}\right)sin(\omega t+\delta)\right)Q_0e^{-t/\tau}=0</math><br />
<br />
Die linke Seite dieser Gleichung kann nur zu allen Zeitpunkten gleich null sein, wenn beide Klammerausdrücke den Wert null annehmen. Damit gilt für die Abklingzeit<br />
<br />
:<math>\tau =2\frac{L}{R}</math><br />
<br />
und für die Kreisfrequenz<br />
<br />
:<math>\omega=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}</math><br />
<br />
Ohne Dämpfung ist die Abklingzeit unendlich gross und die Kreisfrequenz entspricht dem Wert des harmonischen Oszillators. Unterschreitet die Abklingzeit einen gewissen Wert, wird der Ausdruck unter der Wurzel negativ und das System schwingt gar nicht mehr, sondern kriecht - wie wenn die Induktivität nicht da wäre - gegen die Gleichgewichtslage. Man unterscheidet drei Dämpfungsarten<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}>0</math>: '''unterkritische''' Dämpfung: System schwingt bezüglich der Gleichgewichtslage hin und her<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=0</math>: '''kritische''' Dämpfung: System bewegt sich gegen die Gleichgewichtslage ohne zu überschwingen<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}<0</math>: '''überkritische''' Dämpfung: System kriecht gegen Gleichgewichtslage<br />
<br />
Die nachfolgende Tabelle zeigt noch die Analogie zwischen elektrischen und mechanischen Schwingkreisen<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Thema<br />
!style ="width:15em"|Elektrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Hydrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Translation<br />
!style ="width:15em"|Rotation<br />
|-<br />
|Serie-Schwingkreis<br />
|Kondensator, reale Spule<br />
|U-Rohr<br />
|Körper, Feder, Dämpfer, Körper<br />
|Schwungrad, Feder, Dämpfer, Schwungrad<br />
|-<br />
|rowspan="3" |Systemparameter<br />
|Kapazität ''C''<br />
|<math>C_V=\frac{A}{\varrho g}</math><br />
|<math>C_{px}=m</math><br />
|<math>C_{Lx}=J_{xx}</math><br />
|-<br />
|Widerstand ''R''<br />
|<math>R_V=\frac{8\pi\cdot Länge\cdot\eta}{A^2}</math><br />
|<math>R_{px}=\frac{1}{k}</math><br />
|<math>R_{Lx}=\frac{1}{k^*}</math><br />
|-<br />
|Induktivität ''L''<br />
|<math>L_V=\frac{\varrho A}{Länge}</math><br />
|<math>L_{px}=\frac{1}{D}</math><br />
|<math>L_{Lx}=\frac{1}{D^*}</math><br />
|-<br />
|Kreisfrequenz <math>\omega_0</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{L_VC_V}}=\sqrt{\frac{g}{2\cdot Länge}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{D(m_1+m_2)}{m_1m_2}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{D^*(J_1+J_2)}{J_1J_2}}</math><br />
|-<br />
|Abklingzeit<br />
|<math>\tau=\frac{2L}{R}</math><br />
|<math>\tau=\frac{2L_V}{R_V}</math><br />
|<math>\tau=\frac{2k}{D}</math><br />
|<math>\tau=\frac{2k^*}{D^*}</math><br />
|-<br />
|}<br />
''k'' ist die Dämpferkonstante, ''D'' die Federkonstante oder Richtgrösse. Bei der entsprechenden Drehgrösse ist noch ein Stern zugefügt. In der Mechanik sind Feder und Dämpfer oft parallel statt in Reihe geschaltet. Der Strom verzweigt sich und man spricht man von einem Parallel-Schwingkreis. Das U-Rohr verhält sich nur bedingt analog zu den andern Systemen, weil die Strömung eher turbulent als laminar ist und das System sich damit nichtlinear verhält.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=q1MuIE-TQDk Schwingkreis: Analogie und Dualität]<br />
<br />
==Resonanz==<br />
Ein elektrischer Schwingkreis kann mit einer Wechselspannungsquelle, die man in den Kreis einfügt, angeregt werden. Alle vier Elemente (Spannungsquelle, Kapazität, Widerstand und Induktivität) sind miteinander zu einem nicht verzweigten Kreis verbunden. Die beschreibende Gleichung lautet<br />
<br />
:<math>U_C+U_R+U_L=\hat Ucos(\hat{\omega}t)</math><br />
<br />
Das System durchläuft zuerst einen Einschwingvorgang und geht dann in ein stationäres Verhalten über. Der Einschwingvorgang hängt von den Anfangsbedingungen ab. Oft interessiert man sich nur für das stationäre Verhalten nach dem Einschwingvorgang. Dann übernimmt die Spannungsquelle das Zepter und das ganze System schwingt mit <math>\hat{\omega}=2\pi\hat f=\frac{2\pi}{\hat T}</math>.<br />
<br />
Weil sich alle Elemente im selben Kreis befinden, ist der elektrische Strom überall gleich stark. Im stationären Zustand schwingt der Strom mit der gleichen Frequenz wie die Spannung. Einzig eine Phasenverschiebung ist noch möglich. Diese Überlegung bringt uns zu folgendem Ansatz<br />
<br />
:<math>I(t)=\hat Icos(\hat\omega t+\delta)</math><br />
<br />
Nun können wir in der Differentialgleichung die Spannungen mit Hilfe der konstitutiven Gesetze durch die Stromstärken ersetzen<br />
<br />
:<math>\dot U_C=\frac{I}{C}</math> also <math>U_C=\frac{\hat I}{\hat\omega C}sin(\hat{\omega}t+\delta)</math><br />
<br />
:<math>U_R=RI</math> also <math>U_R=R\hat Icos(\hat{\omega}t+\delta))</math><br />
<br />
:<math>U_L=L\dot I</math> also <math>U_L=-\hat\omega Lsin(\hat{\omega}t+\delta))</math><br />
<br />
Würde man jedes der drei Elemente einzeln mit der Spannungsquelle verbinden, wäre die Lösung der Gleichung einfach zu finden: beim Widerstand schwingt der Strom in Phase mit der angelegten Spannung, bei der Kapazität läuft der Strom der Spannung eine Viertelperiode voraus (der Strom baut die Spannung auf) und bei der Induktivität eine Viertelperiode nach (Spannung ändert Stromstärke). <br />
<br />
Strom- und Spannungsamplituden unterscheiden sich bei allen drei Elementen um einen Faktor, der entweder konstant ist, sich proportional oder reziprok-proportional mit der angelegten Kreisfrequenz ändert. Dieser Faktor, eigentlich eine Verallgemeinerung des Widerstandes, heisst [[Impedanz]] ''Z''. Die Verallgemeinerung des Leitwerts, des Kehrwerts der Impedanz, nennt man [[Admittanz]]. Betrag und Phase dieser Grössen lassen sich entweder als Zeiger oder als komplexe Zahl darstellen, was das Berechnen von Strom und Spannung stark erleichtert. Der Betrag der Impedanz, also das Verhältnis zwischen den Amplituden der Spannung und der Stromstärke, Scheinwiderstand genannt, kann bei Serie- oder Reihenschaltung mit Hilfe des Pythagoras gerechnet werden<br />
<br />
:<math>Z=\sqrt{R^2+\left(\frac{1}{\hat\omega C}\right)^2-\left(\hat\omega L\right)^2}</math><br />
<br />
Der stärkste Strom tritt dann auf, wenn sich die Blindwiderstände der Kapazität und der Induktivität genau kompensieren. Dann begrenzt nur noch der Wirkwiderstand die Stromstärke.<br />
<br />
All diese Aussagen lassen sich auf mechanische Systeme übertragen, falls die zugehörigen Bauteile analog angeordnet sind. Oft sind Feder und Dämpfer aber parallel geschaltet (Impuls- bzw. Drehimpulsstrom verzweigen sich) und die Anregung erfolgt nicht mit konstanter Geschwindigkeits- oder Winkelgeschwindigkeitsamplitude. Dann muss man halt den dazu analogen elektrischen Kreis zur Untersuchung beiziehen. Die mechanisch-elektrische Analogie hat mehrere Vorteile. Erstens sind elektrische Systeme schneller aufgebaut, reagieren schneller und sind billiger als mechanische. Zweitens stehen für elektrische Netzwerke leistungsstarke Simulatoren zur Verfügung. Drittens interessiert man sich in der Regelungstechnik nur für das Verhalten eines Systems und nicht für dessen physikalische Eigenheiten.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=BF1Wn40WlJk Resonanz]<br />
<br />
==Modellbildung==<br />
Die [[System Dynamics|Systemdynamik]] ermöglicht eine intuitive Modellbildung. Ausgehend von der Mengenbilanz fügt man die konstitutiven Gesetze ein und verbindet das Ganze zu einem Wirkkreis, was dann mathematisch zu einer Differentialgleichung führt. Konkret berechnet man aus den Speichern die Potentiale und daraus dann wiederum die Stromstärken. Diese Methode, die auch oft Analogien benutz, hat auch ihre Grenzen. So muss die [[Kausalität]] immer festgelegt sein und es dürfen keine zirkuläre Abhängigkeiten(circular reference, algebraic loop) formuliert werden. Auch sind die Analogien nicht immer offensichtlich. Dementsprechend kann man nicht unbesehen Resultate von einem Gebiet ins andere übertragen. Nehmen wir als Beispiel den elektrischen Schwingkreis mit Kondensator, Widerstand und Induktivität in Reihe. Die entsprechende mechanische Anordnung sind Körper mit Feder und Dämpfer in Reihe. Damit das System geschlossen ist (keine Impulsaustausch mit der Erde), nehmen wir zwei frei bewegliche Gleiter einer Luftkissenbahn mit Feder und Dämpfer im selben Impulsfluss (siehe Video Schwingkreis: Analogie und Dualität).<br />
<br />
===Modell===<br />
Zuerst zur Modellanalogie<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:10em"|Element<br />
!style ="width:10em"|elektrisch<br />
!style ="width:10em"|mechanisch<br />
!style ="width:20em"|Bemerkung<br />
|-<br />
|Kapazität<br />
|<math>Q=CU</math><br />
|<math>p=mv</math><br />
|Gesamtladung des Kondensators ist null<br />
|-<br />
|Widerstand<br />
|<math>U=RI</math><br />
|<math>F=k\Delta v</math><br />
|Dämpferkonstante ''k'' entspricht einem Leitwert<br />
|-<br />
|Induktivität<br />
|<math>U=L\dot I</math><br />
|<math>F=D\Delta x</math><br />
|Federkonstante ''D'' entspricht einer reziproken Induktivität<br />
|}<br />
<br />
Die Serieschaltung von zwei Stromgliedern ist mit einem systemdynamischen Tool nicht ganz einfach zu modellieren (deshalb sind die Simulatoren für elektrische Netzwerke anders programmiert). Dazu muss die Kausalität des Widerstandselementes umgedreht werden, d.h. der Strom (Impulsstrom) bestimmt die Spannung (Geschwindigkeitsdifferenz) und diese muss vom kapazitiv berechneten Wert abgezogen werden.<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=q1MuIE-TQDkSchwingkreis: Analogie und Dualität].<br />
<br />
===Verhalten im Zeitbereich===<br />
Nun übersetzen wir die Berechnungsformel für die Kreisfrequenz des nicht gedämpften Oszillators und die Abklingzeit von der Elektrizitätslehre in die Mechanik<br />
<br />
:<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}=\sqrt{\frac{D}{m}}</math><br />
<br />
:<math>\tau=2\frac{L}{R}=2\frac{k}{D}</math><br />
<br />
Dann gilt für die Kreisfrequenz des gedämpften Oszillators<br />
<br />
:<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=\sqrt{\frac{D}{m}-\frac{D^2}{4k^2}}</math><br />
<br />
Die Kreisfrequenz ist gleich null, wenn die Dämpferkonstante gleich der Hälfte der Wurzel aus Masse mal Federkonstante ist (bitte nachrechnen; die ganze Analyse wäre mit komplexen Zahlen etwas übersichtlicher).<br />
<br />
Zur Analyse der Resultate sollte man zuerst die Strom- und Potentialgrössen darstellen, also Kraft und Geschwindigkeit. Zur Kontrolle kann man dann noch das Zeitverhalten der gespeicherten Energie beiziehen. Bei mechanischen Schwingkreisen sind Dämpfer und Feder meist parallel statt wie hier in Reihe geschaltet, es liegt dann eine duale Analogie vor.<br />
<br />
===Phasenraum===<br />
Statt alle Grössen als Funktion der Zeit darzustellen, kann man auch zwei Zustandgrössen (Topfgrössen in der Systemdynamik) gegeneinander auftragen. Man erhält dann eine [[Phasenraum]]darstellung. In der Translationsmechanik spannen [[Impuls]] und Ort den Phasenraum auf.<br />
<br />
Die untenstehenden Bilder zeigen das Grundmodell des mechanischen Serie-Schwingkreises, die zugehörige Energieebene, das Geschwindigkeits- und das Impulsstromstärke-Zeit-Diagramm bei kritischer Dämpfung sowie die Phasenraumdarstellung für einen Körper bei drei verschiedenen Dämpfungen (unterkritisch bis kritisch).<br />
<br />
<gallery><br />
MechSchwingkreisSerieBM.jpg|[[Systemdiagramm]] Grundmodell<br />
MechSchwingkreisSerieEnergie.jpg|[[Systemdiagramm]] Energieebene<br />
MechSchwingkreisSerie v F t.png|''v-t-'' und ''F-t-''Diagramm<br />
MechSchwingkreisSerie p x.png|Phasenraum <br />
</gallery><br />
<br />
==Systeme höherer Ordnung==<br />
Die Ordnung eines Systems ist durch die Zahl der unabhängigen Integrationen gegeben (zwei in Reihe geschaltete Kapazitäten oder Induktivitäten ergeben nur eine Ordnung). Weil sowohl Kapazität als auch Induktivität Energie speichern, darf die Ordnung auch durch die Zahl der unabhängigen Energiespeicher ausgedrückt werden. Das Verhalten nichtlinearer Systeme (Blasenspeicher, Teller- oder Elastomerfedern, nichtlineare Dämpfer) kann in der Nähe eines Arbeitspunktes linearisiert werden. Dieses Verfahren wird oft in der Regelungstechnik angewendet, weil man dem System nicht erlaubt, sich allzu weit von gewissen Zuständen zu entfernen. Federn sollte man aber nur dann als Induktivitäten behandeln, wenn deren Verhalten näherungsweise linear ist und die Analogie mit elektrischen oder hydraulischen Systemen gesucht wird. Ansonsten beschreibt man diese Elemente mit der Kraft-Verformungs-Funktion bzw. der Drehmoment-Verdrehungs-Funktion. Die folgende Tabelle führt nochmals analoge Grössen auf<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Grösse<br />
!style ="width:15em"|Elektrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Hydrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Translation<br />
!style ="width:15em"|Rotation<br />
|-<br />
|Menge<br />
|elektrische Ladung<br />
|Volumen<br />
|Impuls<br />
|Drehimpuls<br />
|-<br />
|Stromstärke<br />
|elektrischer Strom<br />
|Volumenstrom<br />
|Kraft<br />
|Drehmoment<br />
|-<br />
|Potential<br />
|Spannung<br />
|Druck<br />
|Geschwindigkeit<br />
|Winkelgeschwindigkeit<br />
|-<br />
|Extensum<br />
|Spannungsstoss<br />
|Druckstoss<br />
|Ort<br />
|Winkel<br />
|-<br />
|Prozessleistung<br />
|<math>P=UI</math><br />
|<math>P=\Delta pI_V</math><br />
|<math>P=\Delta v_xF_x</math><br />
|<math>P=\Delta\omega_xM_x</math><br />
|-<br />
|}<br />
<br />
Ein Spannungsstoss (Integral der Spannung über die Zeit oder Fläche unter der Spannungs-Zeit-Kurve) ist oft die Folge einer magnetischen Flussänderung. Kraft oder Drehmoment sind Impuls- bzw. Drehimpulsstromstärken bezüglich eines Körpers. Wird eine Feder von einem Impulsstrom durchflossen, kann man die zugehörige Stromstärke am Ein- oder Ausgang messen. So erhält man die beiden Kräfte, welche die Feder im Gleichgewicht halten.<br />
<br />
Systeme n-ter Ordnung werden mit einer Differentialgleichung der entsprechenden Ordnung beschrieben. Bei linearen, zeitinvarianten Systemen führt dies zu einer Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Solche Systeme lassen sich auch und in gewissem Sinne anschaulicher mit n Differentialgleichungen erster Ordnung beschreiben. Die [[Systemphysik]] erlaubt eine direkte Modellierung mechanischer Systeme mittels Gleichungen erster Ordnung. Die Impulsbilanz bzw. die Drehimpulsbilanz liefert so für jedes System und jede Komponente eine Gleichung, die zugehörige Kinematik steuert dann die zweite Gleichung bei. Die meisten Modelle, die Sie mit BerkeleyMadonna aufgebaut haben, erzeugen solche Gleichungen. So gesehen haben Sie ab erster Woche in der Zustandsraumdarstellung modelliert.<br />
<br />
==Kontrollfragen==<br />
#Ein Körper schwingt an einer Feder auf und ab. Wie gross ist die Schwingungsdauer, wenn Masse und Federkonstante bekannt sind?<br />
#Zwei Schwungräder, die über eine elastische Welle miteinander verbunden und reibungsfrei gelagert sind, schwingen gegeneinander. Wie berechnet man die Winkelrichtgrösse (Drehfederkonstante der Welle) aus Schwingungsdauer und den beiden Massenträgheitsmomenten?<br />
#Wie gross muss der Widerstand in einem elektrischen Schwingkreis (Kapazität ''C'', Induktivität ''L'') gewählt werden, damit der Strom kritisch gedämpft abklingt?<br />
#Ein gefedertes Fahrzeug belastet die vier Räder gleichmässig. Wie berechnet man die Dämpferkonstante für die kritische Dämpfung aus der Masse des Fahrzeugs und der Konstante für die Federung eines Rades (lineares Verhalten vorausgesetzt)?<br />
#Um einen geraden Stahldraht um eine halbe Umdrehung zu verdrehen, muss man einen Drehimpulsstrom der Stärke 5 Nm durchfliessen lassen. Nun hängt man den Draht an der Decke auf und befestigt am unteren Ende einen Körper. Wie gross ist dessen Massenträgheitsmoment, wenn er für eine volle Drehschwingung 0.8 s benötigt?<br />
#Zwei Schwungräder sind über eine elastische Welle miteinander verbunden. Zeichnen Sie ein elektrisch analoges Schaltbild unter der Annahme, dass die Reibung in beiden Lagern proportional zu Winkelgeschwindigkeit ist.<br />
#Ein Körper liegt auf einem Feder-Dämpfer-System (parallel geschaltet) auf. Skizzieren Sie die elektrisch analoge Schaltung. Nun fügen sie in diesem Schaltbild eine Wechselspannungsquelle ein und überliegen sich, wie das mechanische Analogon aussehen müsste.<br />
<br />
==Antworten zu den Kontrollfragen==<br />
#Schwingungsdauer <math>T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}</math><br />
#Schwingungsdauer <math>T=2\pi\sqrt{\frac{J}{D^*}}</math> also gilt <math>D^*=J\frac{4\pi^2}{T^2}</math><br />
#Kritische Dämpfung tritt ein, wenn die Kreisfrequenz null ist, wenn gilt <math>\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=0</math>. Somit gilt für den Widerstand bei kritischer Dämpfung <math>R=2\sqrt\frac{L}{C}</math><br />
#Übersetzen wir die Formel für die kritische Dämpfung vom elektrischen auf den mechanischen Schwingkreis <math>k=\frac{1}{2}\sqrt{mD}</math> (die Dämpferkonstante entspricht einem reziproken Widerstand, also einem Leitwert, die Federkonstante der reziproken Induktivität und die Masse der Kapazität). Nun verteilt sich der Impulsstrom zwischen Fahrzeug und Erde auf vier identische Stromglieder. Also ist nur ein Viertel der Masse zu nehmen <math>k=\frac{1}{4}\sqrt{m_{Fahrzeug}D}</math><br />
#<math>J=D^*\frac{T^2}{4\pi^2}=\frac{5 Nm}{\pi}\frac{(0.8 s)^2}{4\pi^2}=2.58 10^{-2} kgm^2</math><br />
#Zwei Kondensatoren einseitig geerdet mit Induktivität in erster Verbindung und zwei Widerständen in der zweiten Verbindung. Ein Punkt zwischen den beiden Widerständen ist geerdet.<br />
#Kondensator und Wechselspannungsquelle einseitig geerdet. Induktivität und Widerstand parallel mit den andern beiden Enden von Kondensator und Wechselspannungsquelle verbunden. Mechanische Anregung erfolgt vom Boden her. Das ist ein einfaches Modell für ein Auto, das über Bodenwellen fährt. Die Gewichtskraft wäre als Konstantstromquelle zu modellieren, was aber keinen Einfluss auf die Dynamik hat.<br />
<br />
'''[[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014]]'''</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=W%C3%A4rmetransport&diff=12155Wärmetransport2017-05-03T15:02:16Z<p>Systemdynamiker: /* thermisches RC-Glied */</p>
<hr />
<div>[[Wärme]] kann wie der [[Impuls]] auf drei Arten transportiert werden<br />
*leitungsartig durch die [[Materie]] hindurch<br />
*konvektiv zusammen mit der Materie<br />
*strahlungsartig durch das [[elektromagnetisches Feld|elektromagnetische Feld]]<br />
Die Energiezuordnung (absolute Temperatur mal Stärke des [[Entropiestrom]]es gleich Stärke des [[zugeordneter Energiestrom|zugeordneten Energiestroms]]) gilt nur für den leitungsartigen Wärmestrom. Weil zudem bei allen drei Transporten Entropie produziert wird, beschäftigen wir uns in dieser Vorlesung nur mit der Energiebilanz. <br />
<br />
==Lernziele==<br />
Sie lernen in dieser Vorlesung<br />
*dass für die Wärme(energie)leitung ein zur elektrischen Leitung analoges Gesetz gilt<br />
*wie der totale Energiestrom bezüglich einer Referenzfläche bei einem konvektiven Transport berechnet wird<br />
*wie das Abstrahlungsgesetz für einen grauen, kugelförmigen Körper in homogener Umgebung formuliert wird<br />
*dass ein sich abkühlender Körper in erster Näherung durch ein lineares RC-Glied modelliert werden kann<br />
<br />
==Wärmeleitung==<br />
Geht man bei der Wärmeleitung von der Energie als Bilanzgrösse aus, darf der Zusammenhang zwischen Temperaturdifferenz und Wärmestrom durch einen zum Ohmschen Gesetz analogen Zusammenhang beschrieben werden. Aus ''U = R I'' wird so<br />
<br />
:<math>\Delta T=R_W I_W</math><br />
<br />
Das Verhalten eines Wärmeleiters kann statt mit einem thermischen Widerstand ''R<sub>W</sub>'' auch mit Hilfe des reziproken Leitwerts ''G<sub>W</sub>'' beschrieben werden.<br />
<br />
:<math>I_W=G_W\Delta T</math><br />
<br />
Der thermische Widerstand wird in K/W und der thermische Leitwert wie die [[Entropie]] in W/K gemessen. Den thermischen Leitwert könnte man auch in W/°C angeben, die Entropie aber natürlich nicht.<br />
<br />
Analog zum Leitwert eines Drahts lässt sich der thermische Leitwert eines prismatischen Körpers (Querschnitt ''A'', Dicke ''d'') mit einer einfachen Formel beschreiben<br />
<br />
:<math>G_W=\lambda\frac{A}{d}</math> <br />
<br />
Die materialspezifische Grösse ''&lambda;'' heisst Wärmeleitfähigkeit. Die Wärmeleitfähigkeit hängt wie die elektrische Leitfähigkeit von der Temperatur ab. Bei komplexeren Geometrien wie etwa einem Fensterrahmen muss der Leitwert mit Hilfe eines FE-Programms (Programm, das mit der Methode der finiten Elemente arbeitet) berechnet werden.<br />
<br />
In einem wärmeleitenden Bauteil fällt der Entropiestrom thermisch hinunter und setzt dabei eine [[Prozessleistung]] frei. Die mit dieser Prozessleistung produzierte [[Entropie]] vergrössert den ursprünglichen Entropiestrom. Nun gehen wir von der [[Entropiebilanz]] bezüglich eines Bauteils aus, das die Wärme stationär leitet, und setzen die Energiezuordnung ein<br />
<br />
:<math>\Pi_S=I_{S2}-I_{S1}=I_W\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)=I_W\frac{T_1-T_2}{T_1 T_2}=G_W\frac{(\Delta T)^2}{T_1 T_2}</math><br />
<br />
Zum gleichen Ergebnis gelangt man auch über die im thermischen Prozess dissipierte Leistung<br />
<br />
:<math>\Pi_S=\frac{P_{diss}}{T_2}=\frac{I_{S1}(T_1-T_2)}{T_2}=I_W\frac{T_1-T_2}{T_1 T_2}</math><br />
<br />
In der letzten Umformung sind Zähler und Nenner mit der Eingangstemperatur ''T<sub>1</sub>'' erweitert worden. Diese Temperatur mal die Stärke des dort zuströmenden Entropiestromes ergibt den zugeordneten Energiestrom, der bei stationärer Prozessführung längs der Wärmeleitung erhalten bleibt.<br />
<br />
==Konvektion==<br />
Die Konvektion in unserer Atmosphäre bestimmt das Wetter und die Konvektion in den Weltmeeren dominiert das Klima. Technische Geräte wie das [[Venturirohr]] oder das [[Staurohr]] messen die durch Konvektion verursachten Druckveränderungen. Weil jeder konvektive Transport ein äusserst komplexes Phänomen ist, bei dem die bewegte Materie [[Energie]], [[Entropie]] sowie [[Impuls]] speichert und längs des Transportweges austauscht, beschränken wir uns hier auf die Beschreibung des Energietransports bezüglich eines Querschnitts.<br />
<br />
Ein [[Fluid]] kann die Energie auf vier Arten transportieren: als hydraulisch zugeordnete Energie, als kinetische, als Gravitations- oder als innere Energie. Folglich dürfen jedem Volumenstrom vier Energieterme zugeordnet werden<br />
<br />
:<math>I_W=\left(p+\frac{\rho}{2}v^2+\varrho g z+\rho_W\right)I_V</math><br />
<br />
Entsprechend gilt für den Massenstrom<br />
<br />
:<math>I_W=\left(\frac{p}{\varrho}+\frac{v^2}{2}+ g z+w\right)I_m</math><br />
<br />
Die Dichte der inneren Energie wird mit ''&rho;<sub>W</sub>'' und die spezifische innere Energie mit ''w'' bezeichnet (einer spezifischen Grösse weist man meist einen kleinen Buchstaben als Formelzeichen zu). Für die Höhe wird hier ''z'' geschrieben, damit keine Verwechslung mit der spezifischen Enthalpie ''h'' möglich ist.<br />
<br />
Nun ist der Kehrwert der Dichte das spezifische Volumen. Folglich lassen sich der erste und der letzte Term zur spezifischen [[Enthalpie]] (<math>h=w+\frac p\varrho</math>) zusammenfassen<br />
<br />
:<math>I_W=\left(\frac{v^2}{2}+ g z+h\right)I_m=\left(\frac{v^2}{2}+ g z+c_p(T-T_0)\right)I_m</math><br />
<br />
In der letzten Umformung ist die spezifische Enthalpie mit Hilfe des [[kapazitives Gesetz|kapazitiven Gesetzes]] ersetzt worden. Dazu ist die Enthalpie bei der Temperatur ''T<sub>0</sub>'' gleich Null gesetzt worden.<br />
<br />
==Wärmestrahlung==<br />
Die Strahlung, die sich im Innern eines evakuierten Hohlraumes bei konstanter Temperatur der Wände aufbaut, ist schon im 19. Jahrhundert untersucht und theoretisch erklärt worden. Diese [[Hohlraumstrahlung]] bildet das Basismodell für viele Strahlungsphänomene. Bohrt man ein kleines Loch in den Hohlraum, entweicht eine Wärmestrahlung, deren [[Intensität]] nur von der Temperatur im Hohlraum und dem Winkel gegen die Mittelachse der Bohrung bestimmt wird. Nimmt man statt des Lochs eine materielle Oberfläche, ist die Intensität bei sonst gleichen Bedingungen kleiner als beim Loch, d.h. das Loch ist der beste aller Strahler.<br />
<br />
Um die Strahlung zwischen zwei beliebig geformten Körpern verschiedener Temperaturen zu rechnen, müsste man beide Oberflächen in kleine Stücke zerlegen und für jedes Stück die Intensität in Funktion des Winkels gegen die Flächennormale sowie die Absorptionsfähigkeit bestimmen. Danach ist die Intensität über die Oberfläche beider Körper und die zugehörigen Raumwinkel zu summieren. Wir beschränken uns hier auf eine Summenformel für graue, kugelförmige Körper der Temperatur ''T'' in einer homogenen Umgebung der Temperatur ''T<sub>0</sub>''. Der Nettoenergiestrom ist dann gleich<br />
<br />
:<math>I_W=\sigma\varepsilon A(T^4-T_0^4)</math><br />
<br />
''&sigma;'' ist die universelle '''Stefan-Boltzmann-Konstante''' und hat den Wert 5.67 10<sup>-8</sup> W/(m<sup>2</sup>K<sup>4</sup>). ''A'' ist die Oberfläche der Kugel. ''&epsilon;'' heisst '''Emissionszahl''' und beschreibt die Abweichung gegenüber einem idealen Strahler (einem Loch in der Wand eines Hohlraumes mit ''&epsilon;'' = 1). Ein ideal verspiegelter Körper, der überhaupt nicht strahlt, würde mit ''&epsilon;'' = 0 beschrieben. Die oft gebrauchten Wörte '''schwarz''' (''&epsilon;'' = 1), '''grau''' (0 < ''&epsilon;'' < 1) und '''weiss''' (''&epsilon;'' = 0) sind in diesem Zusammenhang etwas irreführend, weil sich schwarz, grau und weiss eigentlich auf das sichtbare Licht beziehen, mit der Emissionszahl aber das ganze Spektrum von infrarot bis ultraviolett erfasst wird.<br />
<br />
Ist der Körper nicht viel heisser als die Umgebung, kann ein lineares Näherungsgesetz formuliert werden<br />
<br />
:<math>I_W=\sigma\varepsilon A(T-T_0)(T^3+T^2T_0+TT_0^2+T_0^3)\approx 4T_0^3\sigma\varepsilon A(T-T_0)=G_W(T-T_0)</math><br />
<br />
Somit verhält sich die Strahlung bei kleiner Temperaturdifferenz wie ein Wärmeleiter.<br />
<br />
'''Beispiel:''' Die Solarkonstante, welche die Strahlungsenergie beschreibt, die pro Zeit und pro Fläche im Abstand der Erde von der Sonne weggeht, beträgt ''j<sub>W</sub>'' = 1367 W/m<sup>2</sup>. Welche Temperatur würde sich auf der Erde einstellen, wenn sich diese wie ein grauer Körper verhalten würde?<br />
<br />
Diese Frage lässt sich mit einer einfachen Energiebilanz bezüglich des Systems Erde beantworten. Weil sich die Erde bezüglich Ein- und Abstrahlung im Fliessgleichgewicht befindet, gilt<br />
<br />
<math>I_{W_{ein}}=\varepsilon j_W\pi r^2=I_{W_{ab}}=\varepsilon 4\pi r^2\sigma T^4</math><br />
<br />
Diese Energiebilanz liefert eine Temperatur von<br />
<br />
:<math>T=\sqrt[4]{\frac{j_W}{4\sigma}}</math> = 278.6 K<br />
<br />
Der so ermittelte Wert liegt nur 10°C unter dem effektiven Mittelwert der Atmosphäre in Bodennähe (15°C).<br />
<br />
==Wärmedurchgang==<br />
Ein Tasse besitzt einen Henkel, damit man sich nicht die Finger verbrennt. Füllt man die Tasse mit heissem Tee, fliesst die Wärme vom Tee durch das Porzellan an die Oberfläche, um von dort an die Luft übertragen oder abgestrahlt zu werden. Die sich erwärmende Luft steigt auf und erzeugt längs der Tassenwand eine natürliche Konvektion. Um dieses komplexe Phänomen mit Konvektion und Strahlung einfach zu beschreiben, führt man eine empirische Grösse ein, die '''Wärmeübergangskoeffizient''' ''&alpha;'' genannt wird. Der Wärmeübergangskoeffizient beschreibt die Stärke der Energiestromdichte (Energiestrom pro Fläche), die pro Kelvin oder Grad Celsius Temperaturdifferenz zwischen Oberfläche und umgebender Luft fliesst. Einen Wärmeübergangskoeffizienten führt man immer dann ein, wenn die Wärme auf eine Grenzschicht zwischen Festkörper und Gas oder Festkörper und Flüssigkeit trifft.<br />
<br />
Der Wärmeleitwert einer Grenzschicht ist gleich Wärmeübergangskoeffizient mal Fläche<br />
<br />
:<math>G_W=A\alpha</math><br />
<br />
Auf ihrem Weg vom Tee an die Luft muss die Wärme zwei Grenzschichten und die Tassenwand selber passieren. Weil Leitwerte bei Reihenschaltung reziprok addiert werden, gilt für den Gesamtleitwert zwischen Tee und Luft<br />
<br />
:<math>\frac{1}{G_W}=\frac{1}{G_{W_{innen}}}+\frac{1}{G_{W_{Wand}}}+\frac{1}{G_{W_{aussen}}}=\frac{1}{A_{innen}\alpha_{innen}}+\frac{d}{A_{mittel} \lambda}+\frac{1}{A_{aussen}\alpha_{aussen}}</math><br />
<br />
Die drei Flächen dürfen gleich gesetzt werden, weil sie sich nicht sehr stark voneinander unterscheiden. Multipliziert man die ganze Gleichung mit dieser Fläche, erhält man auf der linken Seite den Kehrwert des '''Wärmedurchgangskoeffizienten''', auch ''U''-Wert genannt<br />
<br />
:<math>\frac 1U=\frac 1\alpha_i+\frac d\lambda+\frac 1\alpha_a</math><br />
<br />
Der kleinste Teil-Leitwert legt die ungefähre Grösse des Gesamtleitwerts fest, d.h. der kleinste Leitwert ist oft nicht viel grösser als der Gesamtleitwert. So auch bei der Tasse. Weil der Wärmeübergangskoeffizient Tasse-Luft klein ist, was einer schlechten Wärmeleitung entspricht, staut sich dort die Wärme. Entsprechend hoch liegt die Temperatur an der Oberfläche der Teetasse. <br />
<br />
Der Wärmedurchgangskoeffizient ist in der Bauphysik eine wichtige Grösse. Für Fenster, Türen, Wände und Dach wird der ''U''-Wert (früher ''k''-Wert genannt) meist direkt angegeben. Um den Gesamtleitwert der Hülle eines Hauses zu ermitteln, muss man dann nur noch die ''U''-Werte mit den entsprechenden Flächen multiplizieren und zusammen zählen.<br />
<br />
==thermisches RC-Glied==<br />
"Der Tod ist vor etwa 12 Stunden eingetreten". Diese oder eine ähnliche Antwort gibt der Gerichtsmediziner in jedem zweiten Fernsehkrimi auf die entsprechende Frage des Kommissars. Die Todeszeit wird, falls diese nur wenige Stunden zurück liegt, meist aufgrund der Rektaltemperatur bestimmt. Nun kühlt der Rumpf des menschlichen Körpers etwa wie ein thermisches RC-Glied aus, dessen Verhalten sich mit einer Exponentialfunktion beschreiben lässt<br />
<br />
:<math>\Delta T=\Delta T_0e^{-t/\tau}</math> mit <math>\tau=R_WC=C/G_W</math><br />
<br />
Machen wir dazu ein einfaches Modell. Vögel und Säugetiere setzen im Ruhezustand pro Kilogramm Körpergewicht und pro Stunde etwa eine Kilokalorie Wärme frei. Eine Kilokalorie entspricht dem Zahlenwert der spezifischen Wärmekapazität von Wasser (4.2 kJ/(°C kg)). Nimmt man einen Menschen von 80 kg, ergibt dies einen abfliessenden Energiestrom von<br />
<br />
:<math>I_W=\frac{80 kg \cdot 4.2 kJ/kg}{3600s}</math> = 93 W<br />
<br />
Rechnet man die geringen körperlichen Aktivitäten eines modernen Menschen dazu (sitzen, reden, schreiben), kommt man auf etwa 100 W. Die Heizleistung einer Gemeindeversammlung mit 150 Stimmbürgerinnen und Stimmbürger beträgt demnach etwa 15 kW. Nun sind die Leute so bekleidet, dass sie bei 20°C nicht frieren. Folglich beträgt der Leitwert (Kleidung und äussere Fettschicht) etwa<br />
<br />
:<math>G_W=\frac{I_W}{\Delta T}=\frac{100 W}{17 K}</math> = 5.9 W/K<br />
<br />
Geht man davon aus, dass die Wärmekapazität des 80 kg schweren Menschen etwa der Kapazität von 70 Litern Wasser entspricht, ergibt sich ein Wert von 294 kJ/°C. Die Zeitkonstante ''&tau;'' beträgt folglich etwa 4.9 10<sup>4</sup> s oder 13.8 h. Im Gegensatz zu diesem einfachen Modell zeigt die empirisch gemessen Kurve einen sigmoidalen Verlauf (Plateau, dann steil abfallend und zuletzt asymptotisch gegen die Umgebungstemperatur), weshalb sie oft mit zwei überlagerten Exponentialfunktionen approximiert wird. Das anfängliche Plateau, die über etwa zwei Stunden nach Eintritt des Todes beinahe konstant gehaltene Temperatur, dürfte von den chemischen Reaktionen herrühren, die über eine bestimmte Zeit weiter laufen und zusätzlich Wärme produzieren. Als Faustregel gilt bei normal bekleideten Leichen bei einer Aussentemperatur von 20°C bis zu einer Temperatur von 25°C: Abkühlung pro Stunde um 1°C ab zwei Stunden nach dem Zeitpunkt des Todes.<br />
<br />
==Kontrollfragen==<br />
#Wie ist der thermische Leitwert definiert?<br />
#Wie verändert sich der Leitwert, wenn man die Dicke einer Wärmedämmschicht verdoppelt?<br />
#Wie beschreibt man die von einem Fluid durch eine Referenzfläche transportierte Energie?<br />
#Wie viel [[Energie]] strahlt die Sonne pro Sekunde ab? Wie viel [[Masse]] verliert sie dadurch? Die Abstand Erde-Sonne beträgt 150 Millionen Kilometer.<br />
#Ein Fenster hat einen ''U''-Wert von 1.2 W/(m<sup>2</sup>)°C. Wie viel Energie fliesst in 24 Stunden durch das 4 m<sup>2</sup> grosse Fenster bei einer Innentemperatur von 20°C und einer mittleren Aussentemperatur von 0°C?<br />
#Ein Metallklotz kühlt in einer 20°C warmen Umgebung in 8 Stunden von 150°C auf 70°C ab. Wie lange dauert es insgesamt, bis der Klotz nur noch 30°C warm ist?<br />
<br />
==Antworten zu den Kontrollfragen==<br />
#Der thermische Leitwert eines Bauteils entspricht dem Quotienten aus der Stärke des durchfliessenden Wärmeenergiestromes und der zugehörigen Temperaturdifferenz.<br />
#Der Leitwert halbiert sich bei Verdoppelung der Schichtdicke.<br />
#Die von einem Fluid transportierte Energie ist gleich Druck plus Dichte der kinetischen, der potenziellen und der inneren Energie mal die Stärke des Volumenstromes.<br />
#Multipliziert man die Solarkonstante mit der Oberfläche einer Kugel (Radius von 150 Millionen Kilometer), erhält man einen Energiestrom von 3.87 10<sup>26</sup> W. Eine Division durch das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit liefert einen Verlustrate an Sonnenmasse im Umfang von 4.3 10<sup>9</sup> kg/s.<br />
#Durch das Fenster fliesst ein Energiestrom von 96 W, was pro Tag einen Energieverlust von 8.29 MJ (2.3 kWh) ergibt.<br />
#Aus der Gleichung <math>\Delta T=\Delta T_0 e^{-t_1/\tau}</math> folgt eine Zeitkonstante von <math>\tau=\frac{t_1}{\ln\left(\frac{\Delta T_0}{\Delta T_1}\right)}</math> = 8.37 h. Mit Hilfe dieser Grösse kann die gesuchte Zeit berechnet werden <math>t_2=\tau\ln\left(\frac{\Delta T_0}{\Delta T_2}\right)</math> = 21.5 h.<br />
<br />
==Materialien==<br />
*[https://home.zhaw.ch/~mau/Lehre/Skript/ThermoT.pdf Skript] Seiten 10 - 12<br />
*[https://cast.switch.ch/vod/clips/2ixbrl57ww/link_box Videoaufzeichnung]<br />
*[http://www.youtube.com/watch?v=MQG48OkW4fM Kurzfassung auf Youtube]<br />
<br />
'''[[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014]]'''<br />
<br />
'''[[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik]]'''<br />
<br />
[[Kategorie:VorAV]]</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Drehimpuls_und_Energie&diff=12154Drehimpuls und Energie2017-02-21T19:54:54Z<p>Systemdynamiker: /* Drehimpuls */</p>
<hr />
<div>[[Bild:KS Flugzeug.gif|thumb|sechs Bewegungsmöglichkeiten des starren Körpöers]]Ein [[starrer Körper]] kann sich in drei Richtungen bewegen und um drei normal zueinander stehende Achsen drehen. Nun besagt ein mathematischer Satz von Emmy Noether, dass zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems eine Erhaltungsgrösse gehört und umgekehrt. Die sechs Erhaltungsgrössen, die den kontinuierlichen Symmetrien Translation und Rotation entsprechen, sind die drei Komponenten des [[Impuls]]es und des [[Drehimpuls]]es.<br />
<br />
[[Impuls]] und [[Drehimpuls]] sind nicht einfach nur Erhaltungsgrössen. Der Impuls, den man in der Umgangssprache Schwung oder [[Wucht]] nennt, ist die bilanzierfähige [[Primärgrösse|Basisgrösse]] der [[Translationsmechanik]]. Analog verhält es sich mit dem [[Drehimpuls]]. Der Drehimpuls ist genauso eine Primärmenge der Physik wie die [[Energie]], die [[Masse]], der [[Impuls]], die [[elektrische Ladung]] oder die [[Entropie]]. Bezüglich eines raumfesten Koordinatensystems wird der Drehimpuls analog zum Impuls in drei getrennt zu bilanzierende Grössen aufgeteilt. In dieser Vorlesung wird die [[Rotationsmechanik]] anhand einer der drei Komponenten erklärt.<br />
<br />
==Lernziele==<br />
In dieser Vorlesung lernen Sie<br />
*dass der Drehimpuls die [[Primärgrösse]] der [[Rotationsmechanik]] ist<br />
*dass der Drehimpulsinhalt als Trägheitsmoment mal Winkelgeschwindigkeit geschrieben werden kann<br />
*dass ein in einer Antriebswelle vorwärts fliessender Drehimpuls diese zu einer Linksschraube verdreht<br />
*dass das Trägheitsmoment proportional mit der Masse zunimmt und von der Verteilung der Masse abhängt<br />
*dass die Winkelgeschwindigkeit als Energiebeladungsmass des Drehimpulses angesehen werden kann<br />
*dass die Rotationsenergie gleich Drehimpulsinhalt mal halbe Winkelgeschwindigkeit ist<br />
*dass sich viele Zusammenhänge der eindimensionalen Rotationsmechanik im [[Flüssigkeitsbild]] darstellen lassen<br />
*die Analogie zwischen Translations- und Rotationsmechanik kennen<br />
<br />
==Impuls==<br />
Der Impuls (Schwung oder [[Wucht]]) ist die Basismenge der [[Translationsmechanik]]. Der Impulsinhalt eines Körpers erzwingt die Geschwindigkeit von dessen [[Massenmittelpunkt]]. Der Zusammenhang zwischen [[Masse]] (Kapazität), [[Geschwindigkeit]] (Potenzial) und [[Impuls]] kann im [[Flüssigkeitsbild]] visualisiert werden.<br />
<br />
Kombiniert man die [[Impulsbilanz]] (die Summe über alle Impulsstromstärken ist gleich Änderungsrate des Impulsinhaltes) mit dem [[kapazitives Gesetz|kapazitiven Gesetz]] (Impulsinhalt gleich Masse mal Geschwindigkeit), erhält man das Grundgesetz der Mechanik<br />
<br />
:<math>\sum_i\vec F_i=\dot{\vec p}=m\dot{\vec v}</math><br />
<br />
Eine [[Kraft]] ist demnach eine Impulsstromstärke bezüglich eines ausgewählten Körpers.<br />
<br />
==Drehimpuls==<br />
[[Bild:Drehimpuls trennen.jpg|thumb|Basisexperiment]][[Impuls]] und [[Drehimpuls]] sind so alltägliche Grössen, dass wir uns ihrer gar nicht bewusst sind. Wir tauschen Impuls und Drehimpuls mit der Umgebung aus, sobald wir marschieren, Treppen steigen, Velo fahren oder schwimmen. Um den Drehimpuls kontrolliert zu untersuchen, lassen wir zwei Scheiben, die um eine vertikale Achse frei drehbar gelagert sind, gegeneinander rotieren. Zwischen den Scheiben befindet sich eine Spiralfeder, die mehr oder weniger stark gespannt werden kann. <br />
<br />
*Entsperrt man die Arretierung bei gespannter Feder, beginnen die beiden Scheiben gegenläufig zu rotieren. Die Erklärung dieses Vorgangs ist denkbar einfach. Sobald die Arretierung gelöst wird, pumpt die Feder Drehimpuls aus der einen Scheibe in die andere. Die Scheibe, die Drehimpuls abgibt, beginnt sich in negative Richtung zu drehen. Die Drehimpuls aufnehmende Scheibe dreht sich dann vorwärts. Wie beim Impuls muss das Vorzeichen geometrisch festgelegt werden. Dabei geht man nach der [[Rechte-Hand-Regel|Regel der rechten Hand]] vor: falls der Daumen der rechten Hand in Richtung der Drehachse zeigt, geben die Finger die positive Drehrichtung an. Weist der Daumen nach oben und blickt man von oben auf das Gerät, ist der Gegenuhrzeigersinn positiv.<br />
*Setzt man danach die ober Scheibe auf die untere ab, stehen beide Körper nach kurzer Zeit wieder still. Die Reibung leitet Drehimpuls aus der einen Scheibe in die andere, bis sich die [[Winkelgeschwindigkeit]]en angeglichen haben.<br />
<br />
Der gespeicherte Drehimpuls hängt wie der Impuls von zwei Faktoren ab, der Trägheit (Kapazität) und der "Füllhöhe" (Potenzial). Die '''[[Winkelgeschwindigkeit]]''' spielt hier die Rolle der Füllhöhe. Die Winkelgeschwindigkeit besagt, wie schnell sich ein Körper dreht. Zeichnet man eine beliebige Strecke auf die Oberfläche eines [[starrer Körper|starren Körpers]] und misst den Winkel ''&Delta; &phi;'', um den sich diese Linie in einem bestimmten Zeitabschnitt ''&Delta; t'' gedreht hat, ist die Winkelgeschwindigkeit ''&omega;'' gleich der Änderungsrate dieses Winkels<br />
<br />
:<math>\omega=\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}</math><br />
<br />
Die Winkelgeschwindigkeit wird in rad/s gemessen. Der Momentanwert der Winkelgeschwindigkeit wird aus der Winkel-Zeit-Funktion mittels einer Ableitung nach der Zeit gebildet. Die Winkelgeschwindigkeit ist die Änderungsrate des Drehwinkels<br />
<br />
:<math>\omega=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}=\dot\varphi</math><br />
<br />
Die '''Drehträgheit''' heisst offiziell Massenträgheitsmoment oder auch nur Trägheitsmoment ''J''. Die Grösse des Trägheitsmoments hängt von der Masse und deren Verteilung ab. <br />
*Ersetzt man die eine Scheibe durch eine halb so dicke, rotiert sie nach der Einwirkung der Spiralfeder (minus) doppelt so schnell wie die andere. Dies ist zu erwarten, weil mit der Dicke auch die Masse halbiert wird. <br />
*Nimmt man eine Scheibe mit gleicher Masse, aber einem Radius, der Wurzel aus zwei mal kleiner ist, verdoppelt sich die Drehzahl ebenfalls. Das Massenträgheitsmoment einer Scheibe ist demnach proportional zur Masse und proportional zur Scheibenfläche. <br />
<br />
Je weiter aussen sich die Masse befindet, desto träger wird ein Körper. Diese Eigenschaft lässt sich bei der [[Pirouette]] bestens studieren. Die auf der Spitze ihrer Schlittschuhe stehende Eiskunstläuferin ist bezüglich des Drehimpulses gegen Erde isoliert. Indem die Läuferin ihr Trägheitsmoment mit Hilfe der Arme und Beine verändert, vergrössert oder verkleinert sie ihre Winkelgeschwindigkeit.<br />
<br />
Die Einheiten sind in der Rotationsmechanik ein leidiges Thema. Statt die Grundgrösse Drehimpuls mit einer eigenen Einheit zu versehen, werden alle Einheiten der Rotationsmechanik aus den Einheiten der Translationsmechanik ''abgeleitet''. Deshalb wird das Massenträgheitsmoment in kgm<sup>2</sup> gemessen. Wenigstens sind die Einheiten so gewählt, dass der Drehimpulsinhalt ''L'' eines rotierenden Körpers direkt als Produkt aus Trägheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit geschrieben werden kann<br />
<br />
:<math>L=J\omega</math><br />
<br />
Der Drehimpuls wird folglich in kgm<sup>2</sup>/s gemessen. Im [[Karlsruher Physikkurs]] wird der Drehimpuls zu Ehren des Baslers ''Leonhard Euler'' in Euler (E) angegeben (1 E = 1kgm<sup>2</sup>/s).<br />
<br />
==Ströme und Bilanz==<br />
[[Bild:Drehimpulsstrom_Torsion.jpg|thumb|Messung der Drehimpulsstromstärke]]Impuls, der in seine eigene Bezugsrichtung durch einen Festkörper fliesst, erzeugt [[Druck]]. Fliesst der Impuls gegen seine Bezugsrichtung, steht das durchflossene Material unter Zug. Diesen Zusammenhang lässt sich bei der Eisenbahn sehr schön studieren. Strömt doch der Impuls bei einem Zug durch die Puffer vorwärts und durch die Zughaken rückwärts.<br />
<br />
Flugzeuge tauschen dauernd über die [[Propeller]] Drehimpuls mit der umgebenden Luft aus. Dreht sich ein [[Propeller]] in positive Richtung, fliesst vom Motor her ein kontinuierlicher Drehimpulsstrom an die Luft weg. Diese speichert den aufgenommenen Drehimpuls, indem sie Wirbel bildet. Unter der Last des durchfliessenden Drehimpulses verdreht sich die Antriebswelle zu einer Linksschraube. Diese Regel gilt allgemein<br />
*Drehimpuls fliesst '''vorwärts''' - '''links'''schraubige Verdrehung <br />
*Drehimpuls fliesst '''rückwärts''' - '''rechts'''schraubige Verdrehung <br />
Später werden wir diese Regel noch ausbauen müssen. Drehimpuls, der quer zu seiner Bezugsrichtung transportiert wird, belastet das durchflossene Bauteil auf Biegung.<br />
<br />
Eine Kraft ist eine Impulsstromstärke bezüglich eines vorher ausgewählten Systems. In Analogie dazu wird Stärke eines Drehimpulsstromes bezüglich eines ausgewählten Systems als '''Drehmoment''' bezeichnet. Da ein Drehmoment in Newtonmeter (Nm) gemessen wird, darf der Drehimpuls auch in Newtonmetersekunde (Nms) angegeben werden.<br />
<br />
Rotiert ein Körper um eine feste Achse, nimmt die Drehimpulsbilanz eine zur Impulsbilanz analoge Gestalt an<br />
<br />
:<math>\sum_i M_i=\dot L=J\dot \omega</math><br />
<br />
Die Änderungsrate der Winkelgeschwindigkeit nennt man auch Winkelbeschleunigung.<br />
<br />
==Energie==<br />
[[Bild:M w D Audi.jpg|thumb|M-&omega;- und P(M)-&omega;-Diagramm]]Die [[Winkelgeschwindigkeit]] legt fest, wie stark ein rotierender Körper mit Drehimpuls "gefüllt" ist. Die Winkelgeschwindigkeit ist zudem das Energiebeladungsmass des Drehimpulsstromes, d.h. die Winkelgeschwindigkeit ordnet jedem Drehimpulsstrom einen Energiestrom zu. Der [[zugeordneter Energiestrom|zugeordnete Energiestrom]] ist folglich gleich Winkelgeschwindigkeit mal Stärke des Drehimpulsstromes<br />
<br />
:<math>I_W=\omega I_L</math><br />
<br />
Die Energie fliesst gegen den Drehimpuls, sobald sich eine Antriebswelle in negative Richtung dreht. Wendet man die Formel auf einen ausgewählten Körper an, nennt man die Stärke des Drehimpulsstromes [[Drehmoment]] und der zugeordnete Energiestrom wird zur [[Leistung eines Drehmoments|Leistung dieses Drehmoments]]. Die Leistung eines Drehmoments ist demnach gleich Drehmoment mal Winkelgeschwindigkeit der Angriffsfläche<br />
<br />
:<math>P(M)=M\omega</math><br />
<br />
Um die Leistung eines Motors zu messen, wird die Antriebswelle gebremst. Aus Drehmoment und Drehzahl (Umdrehung pro Minute) lässt sich dann die Leistung berechnen. Im Drehmoment-Drehzahl-Diagramm ist die Leistung als Rechteckfläche (ein Punkt im Ursprung, der gegenüberliegende Punkt auf der Kurve) erkennbar.<br />
<br />
Durchfliesst ein Drehimpulsstrom eine Rutschkupplung, wird eine [[Prozessleistung]] freigesetzt. Diese Leistung ist gleich der Differenz der beiden zugeordneten Energieströme, also gleich<br />
<br />
:<math>P=\Delta \omega I_L</math><br />
<br />
[[Bild:Osprey.jpg|thumb| Bell-Boeing V-22 "Osprey"]]Der Senkrechtstarter ''Osprey'' liefert ein schönes Beispiel für diese Prozessleistung. Weil die beiden Rotoren gegeneinander drehen, pumpt der eine Drehimpuls aus der Luft und der andere gibt den entsprechenden Drehimpulsstrom an die Luft zurück. Dabei muss der eine Motor den Drehimpuls vom sich in negative Richtung drehenden Rotor auf das Niveau des Senkrechtstarters (Winkelgeschwindigkeit gleich Null) pumpen. Der andere Motor fördert dann den gleichen Strom von Null auf die Winkelgeschwindigkeit des andern Rotors. Dank der Symmetrie der ganzen Anordnung sind sowohl die Drehimpulsströme als auch die "Pumphöhen" gleich gross. Würde einer der beiden Motoren ausfallen, wäre die Bilanz nicht mehr ausgeglichen und der Osprey würde zu rotieren anfangen.<br />
<br />
Die [[Energie]], die zusammen mit dem [[Drehimpuls]] gespeichert ist, heisst Rotationsenergie. Analog zur [[kinetische Energie|kinetischen Energie]] ist die [[Rotationsenergie]] gleich Drehimpuls mal halbe Winkelgeschwindigkeit<br />
<br />
:<math>W_{rot}=\frac{\omega}{2}L=\frac {J}{2}\omega^2=\frac {L^2}{2 J}</math><br />
<br />
Die Rotationsenergie wird freigesetzt, falls der Körper bei festem Trägheitsmoment zum Stillstand kommt. Je nach anfänglicher Drehrichtung setzt dann der gegen das [[Bezugssystem]] abfliessende (positive Drehrichtung) oder der von dort zufliessende Drehimpuls (negative Drehrichtung) diese Energie frei.<br />
<br />
==Flüssigkeitsbild==<br />
[[Bild:Pirouette FB.jpg|thumb|Flüssigkeitsbild der Pirouette]]Alle möglichen Zusammenhänge der Rotationsmechanik können im [[Flüssigkeitsbild]] dargestellt werden. Dabei gilt folgende Zuordnung<br />
*Drehimpuls = "schwere" Flüssigkeit<br />
*Winkelgeschwindigkeit = Füllhöhe<br />
*Trägheitsmoment = Grundfläche der Töpfe<br />
*zugeordneter Energiestrom = potentielle Energie des Flüssigkeitsstromes<br />
*Prozessleistung = Prozessleistung des Flüssigkeitsstromes<br />
*Rotationsenergie = Inhalt mal halbe Füllhöhe<br />
*freigesetzte Energie = geflossene Menge mal mittlere Fallhöhe<br />
Die Drehimpulsbilanz wird so zu einer Volumenbilanz und die Rotationsenergie ist als potentielle Energie der Flüssigkeit zu erkennen.<br />
<br />
Sogar die Dynamik der [[Pirouette]] lässt sich im Flüssigkeitsbild leicht analysieren. Verkleinert die Eiskunstläuferin ihr Trägheitsmoment, erscheint dieser Vorgang im Flüssigkeitsbild als ein Hochquetschen des gespeicherten Drehimpulses. Die von der Läuferin aufzuwendende Energie ist damit gleich der gespeicherten Flüssigkeit mal Höhenänderung des zugehörigen "Schwerpunktes", also gleich Drehimpuls mal halbe Änderung der [[Winkelgeschwindigkeit]].<br />
<br />
==Analogie==<br />
Die [[Translationsmechanik]] längs einer Geraden und die [[Rotationsmechanik]] um eine Achse weisen viele Analogien auf. Zur Optimierung des Lernprozesses sollten Sie diese Symmetrie ausnutzen.<br />
<br />
{|<br />
!width="150"|Element<br />
!width="250"|Translation<br />
!width="100"|Einheit<br />
!width="250"|Rotation<br />
!width="100"|Einheit<br />
|-<br />
|[[Primärgrösse|Menge]]<br />
|[[Impuls]]<br />
|Ns<br />
|[[Drehimpuls]]<br />
|Nms<br />
|-<br />
|Potenzial<br />
|[[Geschwindigkeit]]<br />
|m/s<br />
|[[Winkelgeschwindigkeit]]<br />
|1/s<br />
|-<br />
|Stromstärke<br />
|[[Kraft]]<br />
|N<br />
|[[Drehmoment]]<br />
|Nm<br />
|-<br />
|[[zugeordneter Energiestrom|Energiestrom]]<br />
|<math>P(F)=F_xv_x</math><br />
|W<br />
|<math>P(M)=M_x\omega_x</math><br />
|W<br />
|-<br />
|[[kapazitives Gesetz|Kapazität]]<br />
|[[Masse]]<br />
|[''m''] = kg<br />
|Trägheitsmoment<br />
|[''J''] = kgm<sup>2</sup><br />
|-<br />
|[[resistives Gesetz|Widerstand]]<br />
|<math>F=k\Delta v</math><br />
|[''k'']=Ns/m<br />
|<math>M=k\Delta \omega</math><br />
|[''k'']=Nms<br />
|-<br />
|[[induktives Gesetz|Induktivität]]<br />
|<math>F=D\Delta s</math><br />
|[''D''] = N/m<br />
|<math>M=D\Delta \varphi</math><br />
|[''D''] = Nm<br />
|-<br />
|kapazitive Energie<br />
|[[kinetische Energie]]: <math>W=\frac{m}{2}v^2</math><br />
|[''W<sub>kin</sub>''] = J<br />
|[[Rotationsenergie]]: <math>W=\frac{J}{2}\omega^2</math><br />
|[''W<sub>rot</sub>''] = J<br />
|}<br />
<br />
==Kontrollfragen==<br />
#In welchen Einheiten misst man den [[Drehimpuls]] und das [[Massenträgheitsmoment|Trägheitsmoment]]?<br />
#Wie fliesst der Drehimpuls durch den Osprey hindurch?<br />
#Wo fliesst die [[Energie]] im Osprey mit und wo gegen den [[Drehimpulsstrom]]?<br />
#Eine Antriebswelle dreht sich 5000 Mal in der Sekunde. Wie stark ist der durchfliessende Drehimpulsstrom ([[Drehmoment]] auf eine Schnittfläche), falls 25 kW Leistung ([[zugeordneter Energiestrom]]) übertragen wird?<br />
#Eine Eiskunstläuferin dreht sich nach dem Einziehen von Arme und Beine drei Mal schneller als vorher. Um wie viel Prozent hat die [[Rotationsenergie]] zugenommen?<br />
#Welche Grössen der [[Rotationsmechanik]] sind analog zu [[Impuls]], [[Geschwindigkeit]], [[Masse]], [[Kraft]] und [[kinetische Energie]]?<br />
<br />
==Antworten zu den Kontrollfragen==<br />
#Das Trägheitsmoment wird in Kilogramm mal Quadratmeter gemessen. Dem Drehimpuls ist somit die Einheit Kilogramm mal Quadratmeter durch Sekunde zuzuordnen. Dies entspricht der Einheit Newton mal Meter mal Sekunde.<br />
#Der Osprey entzieht der Luft mit einem [[Propeller]] dauernd Drehimpuls und leitet ihn unverzüglich an den andern [[Propeller]] weiter, der ihn an die Luft weg pumpt.<br />
#Im einen Antriebssystem fliesst die Energie vom Motor gegen den [[Drehimpulsstrom]] an den [[Propeller]] und von dort an die Luft weg. Im zweiten Antriebssystem fliesst die Energie zusammen mit dem Drehimpuls vom Motor zum [[Propeller]] und von dort an die Luft weg.<br />
#In der Antriebswelle fliesst ein [[Drehimpulsstrom]] der Stärke ''I<sub>L</sub>'' = 25'000 W : (2*&pi;*5000) = 0.8 Nm. Die Stärke eines Drehimpulsstromes bezüglich einer Schnittfläche nennt man auch [[Drehmoment]].<br />
#Vernachlässigt man den Drehimpulsaustausch zwischen der Läuferin und dem Eis, nimmt die Rotationsenergie beim Verdreifachen der Drehzahl ebenfalls um Faktor drei zu. Dies entspricht einem Zuwachs von 200%.<br />
#Folgende Grössen sind paarweise analog: Impuls / [[Drehimpuls]]; Geschwindigkeit / [[Winkelgeschwindigkeit]]; Masse / [[Massenträgheitsmoment|Trägheitsmoment]]; Kraft / [[Drehmoment]]; kinetische Energie / [[Rotationsenergie]].<br />
<br />
==Materialien==<br />
*[https://cast.switch.ch/vod/clips/1mko4ngt8d/link_box Videoaufzeichnung 2009]<br />
*[https://cast.switch.ch/vod/clips/28sj39rv4e/link_box Videoaufzeichnung 2010]<br />
*[http://www.youtube.com/watch?v=hAnJ3eaLkj0 Kurzfassung auf Youtube]<br />
<br />
'''[[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014]]'''<br />
<br />
'''[[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik]]'''<br />
<br />
[[Kategorie:VorAV]]</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2016/1&diff=12153Lösung zu Aviatik 2016/12017-02-05T20:34:05Z<p>Systemdynamiker: /* Aufgabe 2 */</p>
<hr />
<div>==Aufgabe 1==<br />
::'''[http://www.youtube.com/watch?v=rYT1FYh7g04 Lösungsvideo]'''<br />
<br />
==Aufgabe 2==<br />
#Unmittelbar nach dem Einschalten fliesst ein Strom der Stärke 9.09 mA. Multiplieziert mit dem Widerstand von 2500 &Omega; ergibt eine Spannung von 22.7 V. Zu Berechnung der Leistung mulipliziert man Strom und Spannung, was 207 mW ergibt.<br />
#Die elektrische Ladung des Kondensators entspricht der durch den Widerstand 3 geflossenen Ladung. Demnach muss man die Fläche unter der zugehörigen Stromstärke-Zeit-Kurve bilden, was 1.12 mC entspricht.<br />
#Zum Zeitpunkt eine Sekunde ist die Kondensatorladung praktisch maximal. Folglich fliesst der Strom nur noch durch die Widerstände 1 und 2. Diese beiden Widerstände bilden dann einen Spannungsteiler, d.h. sie teilen die angelegte Spannung von 50 V im Verhältnis ihrer Grösse. Weil nur noch ein Strom der Stärke 5 mA durch die beiden Widerstände fliesst, ist der Gesamtwidestand 10'000 &Omega;. Da der erste Widestand 2500 &Omega; beträgt, muss der zweite einen Wert von 7500 &Omega; haben. Die zugehörige Leistung ist dann gleich Widerstand mal Stromstärke im Quadrat, also gleich 186 mW.<br />
#Die Kapazität ist gleich Ladung durch Spannung. Die Ladung ist in 2. berechnet worden, die Spannung von 37.5 V ergibt sich aus dem Spannungsteiler. In Simulationsprogramm (Dymola) ist für diese Kapazität 30 &mu; eingesetzt worden.<br />
<br />
==Aufgabe 3==<br />
[[Datei:Aviatik 16 L1 3.png|thumb|Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm zu Aufgabe3]]<br />
#Die Geschwindigkeit entspricht der Fläche unter der Beschleunigungs-Zeit-Kurve, was hier bis zum Zeitpunkt 50s 32.5 m/s ergibt.<br />
#Das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm besteht aus einem Parabelstück, einer Geraden und einem zweiten Parabelstück. Die Übergänge müssen glatt sein, weil die Ableitung nach der Zeit (Beschleunigung) stetig ist. Die Fläche unter dieser Kurve entspricht der Strecke (ein paar Stützpunkte berechnen und Fläche bilden). Mathematisch erhält man mittels Integralrechnung den Wert 979 m.<br />
#Der von den Antriebsräder in den Zug gepumpte Impulsstrom bleibt zum Teil im Zug und bewirkt die Beschleunigung, der Rest (gemäss gegebener Formel 5000 N) geht an die Umgebung weg oder mathematisch ausgedrückt <math>F_H = ma +F_W</math> = 125 kN (120 kN für die Beschleunigung, 5 kN für den Widerstand nach Formel).<br />
#Die Leistung des Antriebssystems ist gleich Impulsstromstärke mal Pumphöhe, als gleich 2.19 MW.<br />
<br />
==Aufgabe 4==<br />
#Man kann diesen Vorgang in zwei Phasen zerlegen: in der ersten Phase findet ein inelastischer Stoss zwischen Hammer und Nagel statt, in der zweiten wird das System Hammer-Nagel gleichförmig abgebremst. Der inelastische Stoss führt zu einer gemeinsamen Geschwindigkeit von 9.93 m/s und einer dissipierten Energie von 0.148 J, was verglichen mit der kinetischen Energie des Hammers von 20 J wenig ist. Deshalb steht in der Aufgabenstellung, dass dieser Energie"verlust" vernachlässigt werden kann, was die Lösung wesentlich vereinfacht: die kinetische Energie des Hammers ist gleich der Arbeit der Kraft vom Nagel auf die Wand. Somit erhält man für diese Kraft <math>F_W = \frac{mv^2}{2s}</math> = 1000 N.<br />
#Das Flüssigkeitsbild zeigt zwei Töpfe und zwei Impulsströme, einen vom Hammer auf den Nagel und einen vom Nagel gegen die Umgebung. Diese Aufgabe dient nur der Vorbereitung für die Lösung der Modellierungsaufgabe (Video)<br />
<br />
::'''[http://www.youtube.com/watch?v=85J07VviIOY Lösungsvideo]'''<br />
<br />
==Aufgabe 5==<br />
#Auf das Flugzeug wirken in der Ebene normal zur Geschwindigkeit nur zwei Kräfte, die Gewichtskraft und die Auftriebskraft (unbedingt Kraftskizze zeichnen)<br />
##Für die Beschleunigung bei Kreisbewegung gilt: <math>a_n = \frac{v^2}{R}</math> = 4.5 m/s<sup>2</sup><br />
##Die Flügelachse sollte normal zum Auftrieb stehen, womit der Tangens des Winkel gegen die Horizontale gleich dem Verhältnis der Vertikal- zur Horizontalkomponente der Auftriebskraft ist. Diese beiden Komponenten sind aber gleich der Gewichtskraft (Gleichgewicht vertikal) zu reslutierenden Kraft (Grundgesetz horizontal): <math>\alpha = \arctan\left(\frac{F_{Res}}{F_G}\right)=\arctan\left(\frac{a}{g}\right)</math> = 24.6°<br />
##Der Betrag der Auftriebskraft enspricht der vektoriellen Summe aus Gewichtskraft und resultierenden Kraft: <math>F_A = \sqrt{F_G^2+F_{Res}^2}=m\sqrt{g^2+a^2}</math> = 1.295 MN<br />
#Die lokale Gravitationsfeldstärke ist gleich der vektoriellen Summe aus statischen Gravitationsfeldstärke und Trägheitsfeldstärke. Weil die beiden Feldstärken normal zueinander stehen, kann man die lokale Feldstärke mit dem Satz von Pythagoras berechnen <math>g'=\sqrt{g^2+a_n^2}</math> = 10.79 N/kg. Die Anzeige der Wage ist deshalb gleich 75 kg * 10.79 / 9.81 = 82.5 kg<br />
#Die Schubkraft ist gleich der Änderung des konvektiven Impulsstromes. Folglich gilt <math>I_m = \frac{F_S}{v_2-v_1}</math> = 233 kg/s<br />
#Das Verhältnis der Leistung der Schubkraft am Flugzeug zu Leistung am Luftstrom nennt man äusseren Wirkungsgrad des Triebwerkes.<br />
##<math>P=\frac{v_2^2-v_1^2}{2}I_m=\frac{v_2+v_1}{2}F_S</math> = 7.88 MW<br />
##<math>P=v_1F_S</math> = 5.25 MW<br />
<br />
'''[[Aviatik 2016/1|Aufgabe]]'''</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2016/1&diff=12152Lösung zu Aviatik 2016/12017-02-02T11:06:13Z<p>Systemdynamiker: /* Aufgabe 3 */</p>
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<div>==Aufgabe 1==<br />
::'''[http://www.youtube.com/watch?v=rYT1FYh7g04 Lösungsvideo]'''<br />
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==Aufgabe 2==<br />
#Unmittelbar nach dem Einschalten fliesst ein Strom der Stärke 9.09 mA. Multiplieziert mit dem Widerstand von 2500 &Omega; ergibt eine Spannung von 22.7 V. Zu Berechnung der Leistung mulipliziert man Strom und Spannung, was 207 mW ergibt.<br />
#Die elektrische Ladung des Kondensators entspricht der durch den Widerstand 3 geflossenen Ladung. Demnach muss man die Fläche unter der zugehörigen Stromstärke-Zeit-Kurve bilden, was 1.11 mC entspricht.<br />
#Zum Zeitpunkt eine Sekunde ist die Kondensatorladung praktisch maximal. Folglich fliesst der Strom nur noch durch die Widerstände 1 und 2. Diese beiden Widerstände bilden dann einen Spannungsteiler, d.h. sie teilen die angelegte Spannung von 50 V im Verhältnis ihrer Grösse. Weil nur noch ein Strom der Stärke 5 mA durch die beiden Widerstände fliesst, ist der Gesamtwidestand 10'000 &Omega;. Da der erste Widestand 2500 &Omega; beträgt, muss der zweite einen Wert von 2500 &Omega; haben. Die zugehörige Leistung ist dann gleich Widerstand mal Stromstärke im Quadrat, also gleich 186 mW.<br />
#Die Kapazität ist gleich Ladung durch Spannung. Die Ladung ist in 2. berechnet worden, die Spannung von 37.5 V ergibt sich aus dem Spannungsteiler. In Simulationsprogramm (Dymola) ist für diese Kapazität 50 &mu; eingesetzt worden.<br />
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==Aufgabe 3==<br />
[[Datei:Aviatik 16 L1 3.png|thumb|Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm zu Aufgabe3]]<br />
#Die Geschwindigkeit entspricht der Fläche unter der Beschleunigungs-Zeit-Kurve, was hier bis zum Zeitpunkt 50s 32.5 m/s ergibt.<br />
#Das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm besteht aus einem Parabelstück, einer Geraden und einem zweiten Parabelstück. Die Übergänge müssen glatt sein, weil die Ableitung nach der Zeit (Beschleunigung) stetig ist. Die Fläche unter dieser Kurve entspricht der Strecke (ein paar Stützpunkte berechnen und Fläche bilden). Mathematisch erhält man mittels Integralrechnung den Wert 979 m.<br />
#Der von den Antriebsräder in den Zug gepumpte Impulsstrom bleibt zum Teil im Zug und bewirkt die Beschleunigung, der Rest (gemäss gegebener Formel 5000 N) geht an die Umgebung weg oder mathematisch ausgedrückt <math>F_H = ma +F_W</math> = 125 kN (120 kN für die Beschleunigung, 5 kN für den Widerstand nach Formel).<br />
#Die Leistung des Antriebssystems ist gleich Impulsstromstärke mal Pumphöhe, als gleich 2.19 MW.<br />
<br />
==Aufgabe 4==<br />
#Man kann diesen Vorgang in zwei Phasen zerlegen: in der ersten Phase findet ein inelastischer Stoss zwischen Hammer und Nagel statt, in der zweiten wird das System Hammer-Nagel gleichförmig abgebremst. Der inelastische Stoss führt zu einer gemeinsamen Geschwindigkeit von 9.93 m/s und einer dissipierten Energie von 0.148 J, was verglichen mit der kinetischen Energie des Hammers von 20 J wenig ist. Deshalb steht in der Aufgabenstellung, dass dieser Energie"verlust" vernachlässigt werden kann, was die Lösung wesentlich vereinfacht: die kinetische Energie des Hammers ist gleich der Arbeit der Kraft vom Nagel auf die Wand. Somit erhält man für diese Kraft <math>F_W = \frac{mv^2}{2s}</math> = 1000 N.<br />
#Das Flüssigkeitsbild zeigt zwei Töpfe und zwei Impulsströme, einen vom Hammer auf den Nagel und einen vom Nagel gegen die Umgebung. Diese Aufgabe dient nur der Vorbereitung für die Lösung der Modellierungsaufgabe (Video)<br />
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::'''[http://www.youtube.com/watch?v=85J07VviIOY Lösungsvideo]'''<br />
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==Aufgabe 5==<br />
#Auf das Flugzeug wirken in der Ebene normal zur Geschwindigkeit nur zwei Kräfte, die Gewichtskraft und die Auftriebskraft (unbedingt Kraftskizze zeichnen)<br />
##Für die Beschleunigung bei Kreisbewegung gilt: <math>a_n = \frac{v^2}{R}</math> = 4.5 m/s<sup>2</sup><br />
##Die Flügelachse sollte normal zum Auftrieb stehen, womit der Tangens des Winkel gegen die Horizontale gleich dem Verhältnis der Vertikal- zur Horizontalkomponente der Auftriebskraft ist. Diese beiden Komponenten sind aber gleich der Gewichtskraft (Gleichgewicht vertikal) zu reslutierenden Kraft (Grundgesetz horizontal): <math>\alpha = \arctan\left(\frac{F_{Res}}{F_G}\right)=\arctan\left(\frac{a}{g}\right)</math> = 24.6°<br />
##Der Betrag der Auftriebskraft enspricht der vektoriellen Summe aus Gewichtskraft und resultierenden Kraft: <math>F_A = \sqrt{F_G^2+F_{Res}^2}=m\sqrt{g^2+a^2}</math> = 1.295 MN<br />
#Die lokale Gravitationsfeldstärke ist gleich der vektoriellen Summe aus statischen Gravitationsfeldstärke und Trägheitsfeldstärke. Weil die beiden Feldstärken normal zueinander stehen, kann man die lokale Feldstärke mit dem Satz von Pythagoras berechnen <math>g'=\sqrt{g^2+a_n^2}</math> = 10.79 N/kg. Die Anzeige der Wage ist deshalb gleich 75 kg * 10.79 / 9.81 = 82.5 kg<br />
#Die Schubkraft ist gleich der Änderung des konvektiven Impulsstromes. Folglich gilt <math>I_m = \frac{F_S}{v_2-v_1}</math> = 233 kg/s<br />
#Das Verhältnis der Leistung der Schubkraft am Flugzeug zu Leistung am Luftstrom nennt man äusseren Wirkungsgrad des Triebwerkes.<br />
##<math>P=\frac{v_2^2-v_1^2}{2}I_m=\frac{v_2+v_1}{2}F_S</math> = 7.88 MW<br />
##<math>P=v_1F_S</math> = 5.25 MW<br />
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'''[[Aviatik 2016/1|Aufgabe]]'''</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Datei:Aviatik_16_L1_3.png&diff=12151Datei:Aviatik 16 L1 3.png2017-02-02T11:04:59Z<p>Systemdynamiker: Grafik zu Lösung zu Aviatik 2016/1</p>
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<div>Grafik zu [[Lösung zu Aviatik 2016/1]]</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2016/1&diff=12150Lösung zu Aviatik 2016/12017-02-02T10:58:37Z<p>Systemdynamiker: /* Aufgabe 5 */</p>
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<div>==Aufgabe 1==<br />
::'''[http://www.youtube.com/watch?v=rYT1FYh7g04 Lösungsvideo]'''<br />
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==Aufgabe 2==<br />
#Unmittelbar nach dem Einschalten fliesst ein Strom der Stärke 9.09 mA. Multiplieziert mit dem Widerstand von 2500 &Omega; ergibt eine Spannung von 22.7 V. Zu Berechnung der Leistung mulipliziert man Strom und Spannung, was 207 mW ergibt.<br />
#Die elektrische Ladung des Kondensators entspricht der durch den Widerstand 3 geflossenen Ladung. Demnach muss man die Fläche unter der zugehörigen Stromstärke-Zeit-Kurve bilden, was 1.11 mC entspricht.<br />
#Zum Zeitpunkt eine Sekunde ist die Kondensatorladung praktisch maximal. Folglich fliesst der Strom nur noch durch die Widerstände 1 und 2. Diese beiden Widerstände bilden dann einen Spannungsteiler, d.h. sie teilen die angelegte Spannung von 50 V im Verhältnis ihrer Grösse. Weil nur noch ein Strom der Stärke 5 mA durch die beiden Widerstände fliesst, ist der Gesamtwidestand 10'000 &Omega;. Da der erste Widestand 2500 &Omega; beträgt, muss der zweite einen Wert von 2500 &Omega; haben. Die zugehörige Leistung ist dann gleich Widerstand mal Stromstärke im Quadrat, also gleich 186 mW.<br />
#Die Kapazität ist gleich Ladung durch Spannung. Die Ladung ist in 2. berechnet worden, die Spannung von 37.5 V ergibt sich aus dem Spannungsteiler. In Simulationsprogramm (Dymola) ist für diese Kapazität 50 &mu; eingesetzt worden.<br />
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==Aufgabe 3==<br />
#Die Geschwindigkeit entspricht der Fläche unter der Beschleunigungs-Zeit-Kurve, was hier bis zum Zeitpunkt 50s 32.5 m/s ergibt.<br />
#Das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm besteht aus einem Parabelstück, einer Geraden und einem zweiten Parabelstück. Die Übergänge müssen glatt sein, weil die Ableitung nach der Zeit (Beschleunigung) stetig ist. Die Fläche unter dieser Kurve entspricht der Strecke (ein paar Stützpunkte berechnen und Fläche bilden). Mathematisch erhält man mittels Integralrechnung den Wert 979 m.<br />
#Der von den Antriebsräder in den Zug gepumpte Impulsstrom bleibt zum Teil im Zug und bewirkt die Beschleunigung, der Rest (gemäss gegebener Formel 5000 N) geht an die Umgebung weg oder mathematisch ausgedrückt <math>F_H = ma +F_W</math> = 125 kN (120 kN für die Beschleunigung, 5 kN für den Widerstand nach Formel).<br />
#Die Leistung des Antriebssystems ist gleich Impulsstromstärke mal Pumphöhe, als gleich 2.19 MW.<br />
<br />
==Aufgabe 4==<br />
#Man kann diesen Vorgang in zwei Phasen zerlegen: in der ersten Phase findet ein inelastischer Stoss zwischen Hammer und Nagel statt, in der zweiten wird das System Hammer-Nagel gleichförmig abgebremst. Der inelastische Stoss führt zu einer gemeinsamen Geschwindigkeit von 9.93 m/s und einer dissipierten Energie von 0.148 J, was verglichen mit der kinetischen Energie des Hammers von 20 J wenig ist. Deshalb steht in der Aufgabenstellung, dass dieser Energie"verlust" vernachlässigt werden kann, was die Lösung wesentlich vereinfacht: die kinetische Energie des Hammers ist gleich der Arbeit der Kraft vom Nagel auf die Wand. Somit erhält man für diese Kraft <math>F_W = \frac{mv^2}{2s}</math> = 1000 N.<br />
#Das Flüssigkeitsbild zeigt zwei Töpfe und zwei Impulsströme, einen vom Hammer auf den Nagel und einen vom Nagel gegen die Umgebung. Diese Aufgabe dient nur der Vorbereitung für die Lösung der Modellierungsaufgabe (Video)<br />
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::'''[http://www.youtube.com/watch?v=85J07VviIOY Lösungsvideo]'''<br />
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==Aufgabe 5==<br />
#Auf das Flugzeug wirken in der Ebene normal zur Geschwindigkeit nur zwei Kräfte, die Gewichtskraft und die Auftriebskraft (unbedingt Kraftskizze zeichnen)<br />
##Für die Beschleunigung bei Kreisbewegung gilt: <math>a_n = \frac{v^2}{R}</math> = 4.5 m/s<sup>2</sup><br />
##Die Flügelachse sollte normal zum Auftrieb stehen, womit der Tangens des Winkel gegen die Horizontale gleich dem Verhältnis der Vertikal- zur Horizontalkomponente der Auftriebskraft ist. Diese beiden Komponenten sind aber gleich der Gewichtskraft (Gleichgewicht vertikal) zu reslutierenden Kraft (Grundgesetz horizontal): <math>\alpha = \arctan\left(\frac{F_{Res}}{F_G}\right)=\arctan\left(\frac{a}{g}\right)</math> = 24.6°<br />
##Der Betrag der Auftriebskraft enspricht der vektoriellen Summe aus Gewichtskraft und resultierenden Kraft: <math>F_A = \sqrt{F_G^2+F_{Res}^2}=m\sqrt{g^2+a^2}</math> = 1.295 MN<br />
#Die lokale Gravitationsfeldstärke ist gleich der vektoriellen Summe aus statischen Gravitationsfeldstärke und Trägheitsfeldstärke. Weil die beiden Feldstärken normal zueinander stehen, kann man die lokale Feldstärke mit dem Satz von Pythagoras berechnen <math>g'=\sqrt{g^2+a_n^2}</math> = 10.79 N/kg. Die Anzeige der Wage ist deshalb gleich 75 kg * 10.79 / 9.81 = 82.5 kg<br />
#Die Schubkraft ist gleich der Änderung des konvektiven Impulsstromes. Folglich gilt <math>I_m = \frac{F_S}{v_2-v_1}</math> = 233 kg/s<br />
#Das Verhältnis der Leistung der Schubkraft am Flugzeug zu Leistung am Luftstrom nennt man äusseren Wirkungsgrad des Triebwerkes.<br />
##<math>P=\frac{v_2^2-v_1^2}{2}I_m=\frac{v_2+v_1}{2}F_S</math> = 7.88 MW<br />
##<math>P=v_1F_S</math> = 5.25 MW<br />
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'''[[Aviatik 2016/1|Aufgabe]]'''</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2016/1&diff=12149Lösung zu Aviatik 2016/12017-02-02T10:06:02Z<p>Systemdynamiker: /* Aufgabe 4 */</p>
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<div>==Aufgabe 1==<br />
::'''[http://www.youtube.com/watch?v=rYT1FYh7g04 Lösungsvideo]'''<br />
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==Aufgabe 2==<br />
#Unmittelbar nach dem Einschalten fliesst ein Strom der Stärke 9.09 mA. Multiplieziert mit dem Widerstand von 2500 &Omega; ergibt eine Spannung von 22.7 V. Zu Berechnung der Leistung mulipliziert man Strom und Spannung, was 207 mW ergibt.<br />
#Die elektrische Ladung des Kondensators entspricht der durch den Widerstand 3 geflossenen Ladung. Demnach muss man die Fläche unter der zugehörigen Stromstärke-Zeit-Kurve bilden, was 1.11 mC entspricht.<br />
#Zum Zeitpunkt eine Sekunde ist die Kondensatorladung praktisch maximal. Folglich fliesst der Strom nur noch durch die Widerstände 1 und 2. Diese beiden Widerstände bilden dann einen Spannungsteiler, d.h. sie teilen die angelegte Spannung von 50 V im Verhältnis ihrer Grösse. Weil nur noch ein Strom der Stärke 5 mA durch die beiden Widerstände fliesst, ist der Gesamtwidestand 10'000 &Omega;. Da der erste Widestand 2500 &Omega; beträgt, muss der zweite einen Wert von 2500 &Omega; haben. Die zugehörige Leistung ist dann gleich Widerstand mal Stromstärke im Quadrat, also gleich 186 mW.<br />
#Die Kapazität ist gleich Ladung durch Spannung. Die Ladung ist in 2. berechnet worden, die Spannung von 37.5 V ergibt sich aus dem Spannungsteiler. In Simulationsprogramm (Dymola) ist für diese Kapazität 50 &mu; eingesetzt worden.<br />
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==Aufgabe 3==<br />
#Die Geschwindigkeit entspricht der Fläche unter der Beschleunigungs-Zeit-Kurve, was hier bis zum Zeitpunkt 50s 32.5 m/s ergibt.<br />
#Das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm besteht aus einem Parabelstück, einer Geraden und einem zweiten Parabelstück. Die Übergänge müssen glatt sein, weil die Ableitung nach der Zeit (Beschleunigung) stetig ist. Die Fläche unter dieser Kurve entspricht der Strecke (ein paar Stützpunkte berechnen und Fläche bilden). Mathematisch erhält man mittels Integralrechnung den Wert 979 m.<br />
#Der von den Antriebsräder in den Zug gepumpte Impulsstrom bleibt zum Teil im Zug und bewirkt die Beschleunigung, der Rest (gemäss gegebener Formel 5000 N) geht an die Umgebung weg oder mathematisch ausgedrückt <math>F_H = ma +F_W</math> = 125 kN (120 kN für die Beschleunigung, 5 kN für den Widerstand nach Formel).<br />
#Die Leistung des Antriebssystems ist gleich Impulsstromstärke mal Pumphöhe, als gleich 2.19 MW.<br />
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==Aufgabe 4==<br />
#Man kann diesen Vorgang in zwei Phasen zerlegen: in der ersten Phase findet ein inelastischer Stoss zwischen Hammer und Nagel statt, in der zweiten wird das System Hammer-Nagel gleichförmig abgebremst. Der inelastische Stoss führt zu einer gemeinsamen Geschwindigkeit von 9.93 m/s und einer dissipierten Energie von 0.148 J, was verglichen mit der kinetischen Energie des Hammers von 20 J wenig ist. Deshalb steht in der Aufgabenstellung, dass dieser Energie"verlust" vernachlässigt werden kann, was die Lösung wesentlich vereinfacht: die kinetische Energie des Hammers ist gleich der Arbeit der Kraft vom Nagel auf die Wand. Somit erhält man für diese Kraft <math>F_W = \frac{mv^2}{2s}</math> = 1000 N.<br />
#Das Flüssigkeitsbild zeigt zwei Töpfe und zwei Impulsströme, einen vom Hammer auf den Nagel und einen vom Nagel gegen die Umgebung. Diese Aufgabe dient nur der Vorbereitung für die Lösung der Modellierungsaufgabe (Video)<br />
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::'''[http://www.youtube.com/watch?v=85J07VviIOY Lösungsvideo]'''<br />
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==Aufgabe 5==<br />
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'''[[Aviatik 2016/1|Aufgabe]]'''</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2016/1&diff=12148Lösung zu Aviatik 2016/12017-02-02T09:33:02Z<p>Systemdynamiker: /* Aufgabe 3 */</p>
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<div>==Aufgabe 1==<br />
::'''[http://www.youtube.com/watch?v=rYT1FYh7g04 Lösungsvideo]'''<br />
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==Aufgabe 2==<br />
#Unmittelbar nach dem Einschalten fliesst ein Strom der Stärke 9.09 mA. Multiplieziert mit dem Widerstand von 2500 &Omega; ergibt eine Spannung von 22.7 V. Zu Berechnung der Leistung mulipliziert man Strom und Spannung, was 207 mW ergibt.<br />
#Die elektrische Ladung des Kondensators entspricht der durch den Widerstand 3 geflossenen Ladung. Demnach muss man die Fläche unter der zugehörigen Stromstärke-Zeit-Kurve bilden, was 1.11 mC entspricht.<br />
#Zum Zeitpunkt eine Sekunde ist die Kondensatorladung praktisch maximal. Folglich fliesst der Strom nur noch durch die Widerstände 1 und 2. Diese beiden Widerstände bilden dann einen Spannungsteiler, d.h. sie teilen die angelegte Spannung von 50 V im Verhältnis ihrer Grösse. Weil nur noch ein Strom der Stärke 5 mA durch die beiden Widerstände fliesst, ist der Gesamtwidestand 10'000 &Omega;. Da der erste Widestand 2500 &Omega; beträgt, muss der zweite einen Wert von 2500 &Omega; haben. Die zugehörige Leistung ist dann gleich Widerstand mal Stromstärke im Quadrat, also gleich 186 mW.<br />
#Die Kapazität ist gleich Ladung durch Spannung. Die Ladung ist in 2. berechnet worden, die Spannung von 37.5 V ergibt sich aus dem Spannungsteiler. In Simulationsprogramm (Dymola) ist für diese Kapazität 50 &mu; eingesetzt worden.<br />
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==Aufgabe 3==<br />
#Die Geschwindigkeit entspricht der Fläche unter der Beschleunigungs-Zeit-Kurve, was hier bis zum Zeitpunkt 50s 32.5 m/s ergibt.<br />
#Das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm besteht aus einem Parabelstück, einer Geraden und einem zweiten Parabelstück. Die Übergänge müssen glatt sein, weil die Ableitung nach der Zeit (Beschleunigung) stetig ist. Die Fläche unter dieser Kurve entspricht der Strecke (ein paar Stützpunkte berechnen und Fläche bilden). Mathematisch erhält man mittels Integralrechnung den Wert 979 m.<br />
#Der von den Antriebsräder in den Zug gepumpte Impulsstrom bleibt zum Teil im Zug und bewirkt die Beschleunigung, der Rest (gemäss gegebener Formel 5000 N) geht an die Umgebung weg oder mathematisch ausgedrückt <math>F_H = ma +F_W</math> = 125 kN (120 kN für die Beschleunigung, 5 kN für den Widerstand nach Formel).<br />
#Die Leistung des Antriebssystems ist gleich Impulsstromstärke mal Pumphöhe, als gleich 2.19 MW.<br />
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==Aufgabe 4==<br />
'''[http://www.youtube.com/watch?v=85J07VviIOY Lösungsvideo]'''<br />
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==Aufgabe 5==<br />
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'''[[Aviatik 2016/1|Aufgabe]]'''</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2016/1&diff=12147Lösung zu Aviatik 2016/12017-02-02T08:44:27Z<p>Systemdynamiker: /* Aufgabe 1 */</p>
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<div>==Aufgabe 1==<br />
::'''[http://www.youtube.com/watch?v=rYT1FYh7g04 Lösungsvideo]'''<br />
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==Aufgabe 2==<br />
#Unmittelbar nach dem Einschalten fliesst ein Strom der Stärke 9.09 mA. Multiplieziert mit dem Widerstand von 2500 &Omega; ergibt eine Spannung von 22.7 V. Zu Berechnung der Leistung mulipliziert man Strom und Spannung, was 207 mW ergibt.<br />
#Die elektrische Ladung des Kondensators entspricht der durch den Widerstand 3 geflossenen Ladung. Demnach muss man die Fläche unter der zugehörigen Stromstärke-Zeit-Kurve bilden, was 1.11 mC entspricht.<br />
#Zum Zeitpunkt eine Sekunde ist die Kondensatorladung praktisch maximal. Folglich fliesst der Strom nur noch durch die Widerstände 1 und 2. Diese beiden Widerstände bilden dann einen Spannungsteiler, d.h. sie teilen die angelegte Spannung von 50 V im Verhältnis ihrer Grösse. Weil nur noch ein Strom der Stärke 5 mA durch die beiden Widerstände fliesst, ist der Gesamtwidestand 10'000 &Omega;. Da der erste Widestand 2500 &Omega; beträgt, muss der zweite einen Wert von 2500 &Omega; haben. Die zugehörige Leistung ist dann gleich Widerstand mal Stromstärke im Quadrat, also gleich 186 mW.<br />
#Die Kapazität ist gleich Ladung durch Spannung. Die Ladung ist in 2. berechnet worden, die Spannung von 37.5 V ergibt sich aus dem Spannungsteiler. In Simulationsprogramm (Dymola) ist für diese Kapazität 50 &mu; eingesetzt worden.<br />
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==Aufgabe 3==<br />
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==Aufgabe 4==<br />
'''[http://www.youtube.com/watch?v=85J07VviIOY Lösungsvideo]'''<br />
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==Aufgabe 5==<br />
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'''[[Aviatik 2016/1|Aufgabe]]'''</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2016/1&diff=12146Lösung zu Aviatik 2016/12017-02-02T08:44:11Z<p>Systemdynamiker: /* Aufgabe 2 */</p>
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<div>==Aufgabe 1==<br />
'''[http://www.youtube.com/watch?v=rYT1FYh7g04 Lösungsvideo]'''<br />
==Aufgabe 2==<br />
#Unmittelbar nach dem Einschalten fliesst ein Strom der Stärke 9.09 mA. Multiplieziert mit dem Widerstand von 2500 &Omega; ergibt eine Spannung von 22.7 V. Zu Berechnung der Leistung mulipliziert man Strom und Spannung, was 207 mW ergibt.<br />
#Die elektrische Ladung des Kondensators entspricht der durch den Widerstand 3 geflossenen Ladung. Demnach muss man die Fläche unter der zugehörigen Stromstärke-Zeit-Kurve bilden, was 1.11 mC entspricht.<br />
#Zum Zeitpunkt eine Sekunde ist die Kondensatorladung praktisch maximal. Folglich fliesst der Strom nur noch durch die Widerstände 1 und 2. Diese beiden Widerstände bilden dann einen Spannungsteiler, d.h. sie teilen die angelegte Spannung von 50 V im Verhältnis ihrer Grösse. Weil nur noch ein Strom der Stärke 5 mA durch die beiden Widerstände fliesst, ist der Gesamtwidestand 10'000 &Omega;. Da der erste Widestand 2500 &Omega; beträgt, muss der zweite einen Wert von 2500 &Omega; haben. Die zugehörige Leistung ist dann gleich Widerstand mal Stromstärke im Quadrat, also gleich 186 mW.<br />
#Die Kapazität ist gleich Ladung durch Spannung. Die Ladung ist in 2. berechnet worden, die Spannung von 37.5 V ergibt sich aus dem Spannungsteiler. In Simulationsprogramm (Dymola) ist für diese Kapazität 50 &mu; eingesetzt worden.<br />
<br />
==Aufgabe 3==<br />
<br />
==Aufgabe 4==<br />
'''[http://www.youtube.com/watch?v=85J07VviIOY Lösungsvideo]'''<br />
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==Aufgabe 5==<br />
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'''[[Aviatik 2016/1|Aufgabe]]'''</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2016/1&diff=12145Lösung zu Aviatik 2016/12017-02-01T14:05:24Z<p>Systemdynamiker: Die Seite wurde neu angelegt: „==Aufgabe 1== '''[http://www.youtube.com/watch?v=rYT1FYh7g04 Lösungsvideo]''' ==Aufgabe 2== ==Aufgabe 3== ==Aufgabe 4== '''[http://www.youtube.com/watch?v=8…“</p>
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<div>==Aufgabe 1==<br />
'''[http://www.youtube.com/watch?v=rYT1FYh7g04 Lösungsvideo]'''<br />
==Aufgabe 2==<br />
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==Aufgabe 3==<br />
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==Aufgabe 4==<br />
'''[http://www.youtube.com/watch?v=85J07VviIOY Lösungsvideo]'''<br />
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==Aufgabe 5==<br />
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'''[[Aviatik 2016/1|Aufgabe]]'''</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Aviatik_2016/1&diff=12144Aviatik 2016/12017-02-01T13:45:14Z<p>Systemdynamiker: </p>
<hr />
<div>'''Erlaubte Hilfsmittel:''' Netzunabhängiger und nicht kommunikationsfähiger Taschenrechner, selbst verfasste Formel-, Modell- und Beispielsammlung mit maximal 7 Seiten (7 einseitig oder 3.5 zweiseitig beschriebene Blätter), Wörterbuch für fremdsprachige Studierende.<br />
<br />
==Aufgabe 1==<br />
[[Datei:Aviatik 16 1 1.png|thumb|Aufgabe 1: zwei Gefässe]] Ein zylinderförmiges Gefäss (Querschnitt 5 dm<sup>2</sup>) ist 28 cm hoch mit Wasser gefüllt. Dieses Gefäss ist über einen Schlauch mit einem zweiten Gefäss (Querschnitt 3 dm<sup>2</sup>) verbunden, das anfänglich leer ist. Der Boden des zweiten Gefässes liegt 20 cm unterhalb des Bodens des ersten Gefässes. Nach 150 Sekunden sind die Spiegel in den beiden Gefässen angeglichen.<br />
#Wie hoch ist das zweite Gefäss nach 150 Sekunden mit Wasser gefüllt und wieviel Energie wird in diesen 150 insgesamt dissipiert?<br />
#Man beobachtet, dass die Volumenstromstärke linear mit der Zeit abnimmt. Wie gross ist die Volumenstromstärke zum Zeitpunkt 100 Sekunden?<br />
#Skizzieren Sie ein [[Systemdiagramm]] (Flowchart) für dieses System (ohne Energieebene).<br />
#Schreiben Sie alle notwendigen Gleichungen ins Systemdiagramm hinein (nur turbulente Reibung). Wie gross ist der turbulente Widerstand ''k<sub>V</sub>'', den Sie ins Modell einsetzen?<br />
<br />
==Aufgabe 2==<br />
[[Datei:Aviatik 16 1 2.png|thumb|Aufgabe 2: Schaltung]] In der nebenstehend skizzierten Schaltung wird die Spannungsquelle (50 V) nach 0.1 Sekunden zugeschaltet Das Diagramm (unten) zeigt den zeitlichen Verlauf der Stromstärken in den drei Widerstandselementen. Das erste Element (''R<sub>1</sub>'') hat einen Widerstand von 2500 &Omega;.<br />
#Berechnen Sie Spannung über dem Widerstand 1 und die darin umgesetzte Leistung unmittelbar nach dem Zuschalten der Spannungsquelle.<br />
#Wie viel Ladung speichert der Kondensator mit der Kapazität ''C'' zum Zeitpunkt 1.00 Sekunde?<br />
#Wie gross ist der Widerstand 2 und welche Leistung setzt er zum Zei'tpunkt 1.00 Sekunden um?<br />
#Wie gross ist die Kapazität des Kondensators?<br />
[[Datei:Aviatik 16 1 22.png|Stromstärke-Zeit-Diagramm]]<br />
<br />
==Aufgabe 3==<br />
[[Datei:Aviatik 16 1 3.png|thumb|Aufgabe 3: Beschleunigungs-Zeit-Diagramm]]Das nebenstehend skizziert Diagramm zeigt die Beschleunigung eines Zuges (Masse 120 t) in Funktion der Zeit. Die Widerstandskraft auf den Zug berechnet sich nach der Formel<br />
::''F<sub>W</sub>'' = 2 kN + 9.8 Ns<sup>2</sup>/m2*''v''<sup>2</sup><br />
#Wie schnell fährt dieser Zug nach 50 s?<br />
#Skizzieren sie das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm und ermitteln Sie die in diesen 50 s zurückgelegte Strecke.<br />
#Wie stark ist der Impulsstrom, der zum Zeitpunkt 20 s von der Erde in den Zug fliesst (Haftreibungskraft)?<br />
#Wie gross ist die Leistung, die das Antriebssystem zum Zeitpunkt 20 s mindestens abgeben muss?<br />
<br />
==Aufgabe 4==<br />
Ein Hammer (Masse 400 g) schlägt mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s gegen einen horizontal ausgerichteten Nagel (Masse 3 g). Durch diesen Schlag dringt der Nagel 2 cm in die Wand ein. <br />
#Wie gross ist die mittlere Kraft, mit der die Wand auf den Nagel einwirkt? Nehmen Sie bei der Antwort zu dieser Frage an, dass zwischen Hammer und Nagel keine Energie dissipiert wird.<br />
#Skizzieren Sie für diesen Prozess ein Flüssigkeitsbild. Wählen Sie den Zeitpunkt so, dass der Hammer auf den Nagel aufschlägt, aber immer noch schneller als der Nagel ist.<br />
#Skizzieren Sie das Systemdiagramm (Flowchart) für diesen Prozess. Modellieren Sie die Wechselwirkung zwischen Hammer und Nagel als lineares Feder-Dämpfer-System.<br />
#Schreiben Sie die notwendigen Gleichungen ins Systemdiagramm hinein. <br />
<br />
==Aufgabe 5==<br />
Ein zweistrahliges Flugzeug (Masse 120 t) fliegt mit einer konstanter Schnelligkeit von 540 km/h in ruhender Luft eine Kurve mit einem Radius von 5 km. Die beiden Triebwerke wirken mit einer Schubkraft von total 70 kN auf das Flugzeug ein (35 kN pro Triebwerk). Auf dieser Flughöhe hat die Luft eine Dichte von 0.8 kg/m<sup>3</sup>.<br />
#Wie stark ist das Flugzeug beschleunigt, um welchen Winkel ist die Flügelebene gegen die Horizontale geneigt und wie gross ist die Auftriebskraft auf das Flugzeug?<br />
#Was zeigt eine Personenwaage im Flugzeug an, wenn eine Person (Masse 75 kg) während des Kurvenflugs darauf steht? Die Waage zeigt den Wert in Kilogramm und auf 100 g genau an.<br />
#Wie stark ist der mittlere Massenstrom durch eines der beiden Triebwerke, wenn die Austrittgeschwindigkeit relativ zum Flugzeug 300 m/s beträgt?<br />
#Wie gross ist die minimale Prozessleistung eines Triebwerkes, um den Luftstrom von der Eintritts- auf die Austrittsgeschwindigkeit zu beschleunigen? Wie gross ist die Leistung der Schubkraft eines Triebwerks auf das Flugzeug?<br />
<br />
<br />
'''[[Lösung zu Aviatik 2016/1|Lösung]]'''<br />
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[[Kategorie:Pruefungen]]</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Datei:Aviatik_16_1_3.png&diff=12143Datei:Aviatik 16 1 3.png2017-02-01T13:43:46Z<p>Systemdynamiker: </p>
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<div>Bild zu [[Aviatik 2016/1]]</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Datei:Aviatik_16_1_3.png&diff=12142Datei:Aviatik 16 1 3.png2017-02-01T13:43:30Z<p>Systemdynamiker: </p>
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<div>Bild zu [[Aviatik 2916/1]]</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Datei:Aviatik_16_1_3.png&diff=12141Datei:Aviatik 16 1 3.png2017-02-01T13:42:56Z<p>Systemdynamiker: Bild zu Aviatik 16/1</p>
<hr />
<div>Bild zu [[Aviatik 16/1]]</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Datei:Aviatik_16_1_22.png&diff=12140Datei:Aviatik 16 1 22.png2017-02-01T13:37:35Z<p>Systemdynamiker: Grafik zu Aviatik 2016/1</p>
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<div>Grafik zu [[Aviatik 2016/1]]</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Datei:Aviatik_16_1_2.png&diff=12139Datei:Aviatik 16 1 2.png2017-02-01T13:33:42Z<p>Systemdynamiker: Bild zu Aviatik 2016/1</p>
<hr />
<div>Bild zu [[Aviatik 2016/1]]</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Aviatik_2016/1&diff=12138Aviatik 2016/12017-02-01T13:31:24Z<p>Systemdynamiker: /* Aufgabe 1 */</p>
<hr />
<div>'''Erlaubte Hilfsmittel:''' Netzunabhängiger und nicht kommunikationsfähiger Taschenrechner, selbst verfasste Formel-, Modell- und Beispielsammlung mit maximal 7 Seiten (7 einseitig oder 3.5 zweiseitig beschriebene Blätter), Wörterbuch für fremdsprachige Studierende.<br />
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==Aufgabe 1==<br />
[[Datei:Aviatik 16 1 1.png|thumb|Aufgabe 1: zwei Gefässe]] Ein zylinderförmiges Gefäss (Querschnitt 5 dm<sup>2</sup>) ist 28 cm hoch mit Wasser gefüllt. Dieses Gefäss ist über einen Schlauch mit einem zweiten Gefäss (Querschnitt 3 dm<sup>2</sup>) verbunden, das anfänglich leer ist. Der Boden des zweiten Gefässes liegt 20 cm unterhalb des Bodens des ersten Gefässes. Nach 150 Sekunden sind die Spiegel in den beiden Gefässen angeglichen.<br />
#Wie hoch ist das zweite Gefäss nach 150 Sekunden mit Wasser gefüllt und wieviel Energie wird in diesen 150 insgesamt dissipiert?<br />
#Man beobachtet, dass die Volumenstromstärke linear mit der Zeit abnimmt. Wie gross ist die Volumenstromstärke zum Zeitpunkt 100 Sekunden?<br />
#Skizzieren Sie ein [[Systemdiagramm]] (Flowchart) für dieses System (ohne Energieebene).<br />
#Schreiben Sie alle notwendigen Gleichungen ins Systemdiagramm hinein (nur turbulente Reibung). Wie gross ist der turbulente Widerstand ''k<sub>V</sub>'', den Sie ins Modell einsetzen?<br />
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==Aufgabe 2==<br />
In der nebenstehend skizzierten Schaltung wird die Spannungsquelle (50 V) nach 0.1 Sekunden zugeschaltet Das Diagramm (unten) zeigt den zeitlichen Verlauf der Stromstärken in den drei Widerstandselementen. Das erste Element (''R<sub>1</sub>'') hat einen Widerstand von 2500 &Omega;.<br />
#Berechnen Sie Spannung über dem Widerstand 1 und die darin umgesetzte Leistung unmittelbar nach dem Zuschalten der Spannungsquelle.<br />
#Wie viel Ladung speichert der Kondensator mit der Kapazität ''C'' zum Zeitpunkt 1.00 Sekunde?<br />
#Wie gross ist der Widerstand 2 und welche Leistung setzt er zum Zei'tpunkt 1.00 Sekunden um?<br />
#Wie gross ist die Kapazität des Kondensators?<br />
<br />
==Aufgabe 3==<br />
Das nebenstehend skizziert Diagramm zeigt die Beschleunigung eines Zuges (Masse 120 t) in Funktion der Zeit. Die Widerstandskraft auf den Zug berechnet sich nach der Formel<br />
::''F<sub>W</sub>'' = 2 kN + 9.8 Ns<sup>2</sup>/m2*''v''<sup>2</sup><br />
#Wie schnell fährt dieser Zug nach 50 s?<br />
#Skizzieren sie das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm und ermitteln Sie die in diesen 50 s zurückgelegte Strecke.<br />
#Wie stark ist der Impulsstrom, der zum Zeitpunkt 20 s von der Erde in den Zug fliesst (Haftreibungskraft)?<br />
#Wie gross ist die Leistung, die das Antriebssystem zum Zeitpunkt 20 s mindestens abgeben muss?<br />
<br />
==Aufgabe 4==<br />
Ein Hammer (Masse 400 g) schlägt mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s gegen einen horizontal ausgerichteten Nagel (Masse 3 g). Durch diesen Schlag dringt der Nagel 2 cm in die Wand ein. <br />
#Wie gross ist die mittlere Kraft, mit der die Wand auf den Nagel einwirkt? Nehmen Sie bei der Antwort zu dieser Frage an, dass zwischen Hammer und Nagel keine Energie dissipiert wird.<br />
#Skizzieren Sie für diesen Prozess ein Flüssigkeitsbild. Wählen Sie den Zeitpunkt so, dass der Hammer auf den Nagel aufschlägt, aber immer noch schneller als der Nagel ist.<br />
#Skizzieren Sie das Systemdiagramm (Flowchart) für diesen Prozess. Modellieren Sie die Wechselwirkung zwischen Hammer und Nagel als lineares Feder-Dämpfer-System.<br />
#Schreiben Sie die notwendigen Gleichungen ins Systemdiagramm hinein. <br />
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==Aufgabe 5==<br />
Ein zweistrahliges Flugzeug (Masse 120 t) fliegt mit einer konstanter Schnelligkeit von 540 km/h in ruhender Luft eine Kurve mit einem Radius von 5 km. Die beiden Triebwerke wirken mit einer Schubkraft von total 70 kN auf das Flugzeug ein (35 kN pro Triebwerk). Auf dieser Flughöhe hat die Luft eine Dichte von 0.8 kg/m<sup>3</sup>.<br />
#Wie stark ist das Flugzeug beschleunigt, um welchen Winkel ist die Flügelebene gegen die Horizontale geneigt und wie gross ist die Auftriebskraft auf das Flugzeug?<br />
#Was zeigt eine Personenwaage im Flugzeug an, wenn eine Person (Masse 75 kg) während des Kurvenflugs darauf steht? Die Waage zeigt den Wert in Kilogramm und auf 100 g genau an.<br />
#Wie stark ist der mittlere Massenstrom durch eines der beiden Triebwerke, wenn die Austrittgeschwindigkeit relativ zum Flugzeug 300 m/s beträgt?<br />
#Wie gross ist die minimale Prozessleistung eines Triebwerkes, um den Luftstrom von der Eintritts- auf die Austrittsgeschwindigkeit zu beschleunigen? Wie gross ist die Leistung der Schubkraft eines Triebwerks auf das Flugzeug?<br />
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'''[[Lösung zu Aviatik 2016/1|Lösung]]'''<br />
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[[Kategorie:Pruefungen]]</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Datei:Aviatik_16_1_1.png&diff=12137Datei:Aviatik 16 1 1.png2017-02-01T13:30:12Z<p>Systemdynamiker: </p>
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<div>Bild zu [[Aviatik 2016/1]]</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Datei:Aviatik_16_1_1.png&diff=12136Datei:Aviatik 16 1 1.png2017-02-01T13:29:28Z<p>Systemdynamiker: Bild zu [Aviatik 2016/1</p>
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<div>Bild zu [Aviatik 2016/1</div>Systemdynamikerhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Aviatik_2016/1&diff=12135Aviatik 2016/12017-02-01T13:24:32Z<p>Systemdynamiker: Die Seite wurde neu angelegt: „'''Erlaubte Hilfsmittel:''' Netzunabhängiger und nicht kommunikationsfähiger Taschenrechner, selbst verfasste Formel-, Modell- und Beispielsammlung mit maxim…“</p>
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==Aufgabe 1==<br />
Ein zylinderförmiges Gefäss (Querschnitt 5 dm<sup>2</sup>) ist 28 cm hoch mit Wasser gefüllt. Dieses Gefäss ist über einen Schlauch mit einem zweiten Gefäss (Querschnitt 3 dm<sup>2</sup>) verbunden, das anfänglich leer ist. Der Boden des zweiten Gefässes liegt 20 cm unterhalb des Bodens des ersten Gefässes. Nach 150 Sekunden sind die Spiegel in den beiden Gefässen angeglichen.<br />
#Wie hoch ist das zweite Gefäss nach 150 Sekunden mit Wasser gefüllt und wieviel Energie wird in diesen 150 insgesamt dissipiert?<br />
#Man beobachtet, dass die Volumenstromstärke linear mit der Zeit abnimmt. Wie gross ist die Volumenstromstärke zum Zeitpunkt 100 Sekunden?<br />
#Skizzieren Sie ein [[Systemdiagramm]] (Flowchart) für dieses System (ohne Energieebene).<br />
#Schreiben Sie alle notwendigen Gleichungen ins Systemdiagramm hinein (nur turbulente Reibung). Wie gross ist der turbulente Widerstand ''k<sub>V</sub>'', den Sie ins Modell einsetzen?<br />
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==Aufgabe 2==<br />
In der nebenstehend skizzierten Schaltung wird die Spannungsquelle (50 V) nach 0.1 Sekunden zugeschaltet Das Diagramm (unten) zeigt den zeitlichen Verlauf der Stromstärken in den drei Widerstandselementen. Das erste Element (''R<sub>1</sub>'') hat einen Widerstand von 2500 &Omega;.<br />
#Berechnen Sie Spannung über dem Widerstand 1 und die darin umgesetzte Leistung unmittelbar nach dem Zuschalten der Spannungsquelle.<br />
#Wie viel Ladung speichert der Kondensator mit der Kapazität ''C'' zum Zeitpunkt 1.00 Sekunde?<br />
#Wie gross ist der Widerstand 2 und welche Leistung setzt er zum Zei'tpunkt 1.00 Sekunden um?<br />
#Wie gross ist die Kapazität des Kondensators?<br />
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==Aufgabe 3==<br />
Das nebenstehend skizziert Diagramm zeigt die Beschleunigung eines Zuges (Masse 120 t) in Funktion der Zeit. Die Widerstandskraft auf den Zug berechnet sich nach der Formel<br />
::''F<sub>W</sub>'' = 2 kN + 9.8 Ns<sup>2</sup>/m2*''v''<sup>2</sup><br />
#Wie schnell fährt dieser Zug nach 50 s?<br />
#Skizzieren sie das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm und ermitteln Sie die in diesen 50 s zurückgelegte Strecke.<br />
#Wie stark ist der Impulsstrom, der zum Zeitpunkt 20 s von der Erde in den Zug fliesst (Haftreibungskraft)?<br />
#Wie gross ist die Leistung, die das Antriebssystem zum Zeitpunkt 20 s mindestens abgeben muss?<br />
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==Aufgabe 4==<br />
Ein Hammer (Masse 400 g) schlägt mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s gegen einen horizontal ausgerichteten Nagel (Masse 3 g). Durch diesen Schlag dringt der Nagel 2 cm in die Wand ein. <br />
#Wie gross ist die mittlere Kraft, mit der die Wand auf den Nagel einwirkt? Nehmen Sie bei der Antwort zu dieser Frage an, dass zwischen Hammer und Nagel keine Energie dissipiert wird.<br />
#Skizzieren Sie für diesen Prozess ein Flüssigkeitsbild. Wählen Sie den Zeitpunkt so, dass der Hammer auf den Nagel aufschlägt, aber immer noch schneller als der Nagel ist.<br />
#Skizzieren Sie das Systemdiagramm (Flowchart) für diesen Prozess. Modellieren Sie die Wechselwirkung zwischen Hammer und Nagel als lineares Feder-Dämpfer-System.<br />
#Schreiben Sie die notwendigen Gleichungen ins Systemdiagramm hinein. <br />
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==Aufgabe 5==<br />
Ein zweistrahliges Flugzeug (Masse 120 t) fliegt mit einer konstanter Schnelligkeit von 540 km/h in ruhender Luft eine Kurve mit einem Radius von 5 km. Die beiden Triebwerke wirken mit einer Schubkraft von total 70 kN auf das Flugzeug ein (35 kN pro Triebwerk). Auf dieser Flughöhe hat die Luft eine Dichte von 0.8 kg/m<sup>3</sup>.<br />
#Wie stark ist das Flugzeug beschleunigt, um welchen Winkel ist die Flügelebene gegen die Horizontale geneigt und wie gross ist die Auftriebskraft auf das Flugzeug?<br />
#Was zeigt eine Personenwaage im Flugzeug an, wenn eine Person (Masse 75 kg) während des Kurvenflugs darauf steht? Die Waage zeigt den Wert in Kilogramm und auf 100 g genau an.<br />
#Wie stark ist der mittlere Massenstrom durch eines der beiden Triebwerke, wenn die Austrittgeschwindigkeit relativ zum Flugzeug 300 m/s beträgt?<br />
#Wie gross ist die minimale Prozessleistung eines Triebwerkes, um den Luftstrom von der Eintritts- auf die Austrittsgeschwindigkeit zu beschleunigen? Wie gross ist die Leistung der Schubkraft eines Triebwerks auf das Flugzeug?<br />
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'''[[Lösung zu Aviatik 2016/1|Lösung]]'''<br />
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[[Kategorie:Pruefungen]]</div>Systemdynamiker