Quelltext der Seite Impulsbilanz bei offenen Systemen

Ein [[offenes System]] kann den [[Impuls]] über die Oberfläche ([[leitungsartig]]), über das Volumen ([[quellenartig]]) und zusammen mit der Materie ([[konvektiv]]] austauschen. Die Strom- und die Quellenstärken des Impulsaustausches nennt man [[Kraft|Kräfte]]. Bei Triebwerken ([[Raktentriebwerk|Raketen]]- und [[Strahltriebwerk]]en) spielt der konvektive [[Impulsstrom|Impulstransport]] eine dominierende Rolle. Auch beim [[Propeller]]antrieb und beim [[dynamischer Auftrieb|dynamischen Auftrieb]] wird ein beachtlicher Teil des Impulses konvektiv, also zusammen mit dem strömenden [[Fluid]] transportiert.

In der [[technische Mechanik|technischen Mechanik]] steht die [[Impulsbilanz]] mit den leitungsartigen Strömen (Oberflächenkräfte) und der Impulsquelle (Gewichtskraft) in Form des [[Grundgesetz der Mechanik|Grundgesetzes der Mechanik]] im Zentrum. Nimmt man die konvektiven Ströme dazu, erhält man eine umfassendere Formulierung der Impulsbilanz, mit der eine grosse Zahl von technischen Anwendungen erklärt werden kann.

==Lernziele==
In dieser Vorlesung lernen Sie
*wie man die Impulsbilanz bei [[offenes System|offenen Systemen]] formuliert
*wie das [[Strahltriebwerk]] der Luft [[Impuls]] entzieht
*wie die Bewegungsgleichung einer [[Rakete]] mit Hilfe der Impuls- und der Massenbilanz formuliert wird
*wie man die [[Kraft]] auf ein gekrümmtes, durchströmtes Rohr rechnet
*dass ein Teil des [[dynamischer Auftrieb|Auftriebs]] bei Flugzeugen mit Hilfe des Impulses erklärt werden kann

==Bilanzgleichungen==
[[Offenes System|Offene Systeme]] tauschen [[Materie]] mit der Umgebung aus. Dieser Austausch wird mit Hilfe einer [[Bilanz]] beschrieben. Entweder bilanziert man die [[Stoffmenge]], das [[Volumen]] oder die [[Masse]] der über die Systemgrenze fliessenden Stoffe. Wir beschränken uns hier neben der [[Impulsbilanz]] auf die [[Massenbilanz]]. Die konvektiven Impulsströme sind dann über die Geschwindigkeit mit den Massenströmen verknüpft. Bezüglich eines raumfesten Koordinatensystems können so vier skalare Bilanzgleichungen formuliert werden

:<math>\sum_i F_{x_i}+mg_x+\sum_j v_{x_j} I_{m_j}=\dot p_x</math>

:<math>\sum_i F_{y_i}+mg_y+\sum_j v_{y_j} I_{m_j}=\dot p_y</math>

:<math>\sum_i F_{z_i}+mg_z+\sum_j v_{z_j} I_{m_j}=\dot p_z</math>

:<math>\sum_i I_{m_i}=\dot m</math>

Wählt man die ''z''-Richtung nach unten, entfällt der mittlere Term in den ersten beiden Bilanzgleichungen. Oft werden nur zwei dieser vier Gleichungen benötigt.

==Strahltriebwerk==
Ein [[Strahltriebwerk]] entzieht der Luft [[Impuls]], um damit eine Schubkraft auf das Flugzeug auszuüben. Wählt man die positive Bezugsrichtung nach vorn, lauten die beiden Bilanzgleichungen im stationären Betrieb (keine Änderungsraten)

:<math>F_{Druck}+F_{Schub}+v_1 I_{m_1}+v_2 I_{m_2}=0</math>

:<math>I_{m_1}+I_{m_2}+I_{m_{Treibstoff}}=0</math>

Vernachlässigt man die resultierende Druckkraft (keine Inhomogenität in der Druckverteilung an der Systemgrenze) und den Massenstrom des Treibstoffes, reduziert sich die Impulsbilanz auf

:<math>-F_{Schub}=(v_1-v_2)I_m</math>

[[Bild:Strahltriebwerk FB.png|thumb|Impuls- und Energieumsatz]]Die Schubkraft beschreibt den leitungsartigen Impulsabfluss ans Flugzeug. Nimmt man die Schubkraft auf das Flugzeug statt auf das Triebwerk und die Beträge der beiden Strömungsgeschwindigkeiten, lautet die Gleichung

:<math>F_{Schub}=(v_2-v_1)I_m</math>

Die Schubkraft nimmt proportional zur Massenstromstärke und proportional zur Geschwindigkeitsdifferenz der durch strömenden Luft zu. Ein starker Massenstrom oder eine grosse Geschwindigkeitsdifferenz ergeben eine grosse Schubkraft.

Ein Triebwerk muss der Luft nicht nur möglichst viel Impuls entziehen, es sollte dabei auch nicht zu viel Leistung abgeben müssen. Die Luft nimmt, damit sich ihre kinetische Energie erhöht, folgende [[Prozessleistung]] auf

:<math>P=\left(\frac{\varrho}{2}v_2^2-\frac{\varrho}{2}v_1^2\right)I_V=\left(\frac{v_2^2}{2}-\frac{v_1^2}{2}\right)I_m=\frac{v_1+v_2}{2}(v_2-v_1)I_m=\frac{v_1+v_2}{2}F_{Schub}</math>

Mit Schubkraft ist hier der Impulsstrom bezüglich des Flugzeuges gemeint. Im [[Flüssigkeitsbild]] kann man erkennen, dass umso mehr [[Energie]] benötigt wird, je höher der Impuls gepumpt werden muss 

Nun schreiben wir die Prozessleistung mit Hilfe der Geschwindigkeit des Flugzeuges ''v'' und der Geschwindigkeitsänderung der durch strömenden Luft ''&Delta; v'' (<math>v=v_1</math> und <math>v_2=v+\Delta v</math>)

:<math>P=\left(v+\frac{\Delta v}{2}\right)F_{Schub}</math>

Bei gegebenem Schub nimmt die benötigte Leistung mit der Geschwindigkeit des Flugzeuges und mit der Geschwindigkeitsdifferenz der durchströmenden Luft zu.  Die geschwindigkeitsbedingte Leistungszunahme lässt sich nicht vermeiden. Um die Leistung und damit den Treibstoffverbrauch möglichst klein zu halten, baut man heute Triebwerke, die möglichst viel Luft bei geringem Geschwindigkeitszuwachs fördern. Heutige [[Turbofan]]-Triebwerke leiten deshalb bis zu 90% der zuströmenden Luft um das eigentliche Triebwerk herum (Nebenstromverhältnis bis 9:1).

==Rakete==
Eine [[Rakete]] tauscht [[Impuls]] über das ausströmende Gas, das [[Gravitationsfeld]] und die Oberfläche ([[Luftwiderstand]]) aus. Wählt man die positive Richtung der ''z''-Achse nach oben, lautet die [[Impulsbilanz]] für eine senkrecht  hinauf fliegende Rakete

:<math>F_W+mg+I_{pz}=\dot p_z</math>

wobei sowohl der Luftwiderstand als auch die  Gravitationsfeldstärke negative Werte annehmen. Der Impulsinhalt der Rakete kann über das [[kapazitives Gesetz|Kapazitivgesetz]] umgeschrieben werden

:<math>\dot p_z=\dot{(m v_z)}=\dot m v_z+m\dot v_z</math>

[[Bild:Rakete FB.png|thumb|Start und Brennschluss]]Der konvektive [[Impulsstrom]] ist gleich der Geschwindigkeit des Gases mal die Massenstromstärke. Die Impulsbilanz lautet demnach wie folgt

:<math>F_W+mg+v_{Gas}I_m=\dot m v_z+m\dot v_z</math>

Ersetzt man die Geschwindigkeit des Gases durch die Geschwindigkeit der Rakete und die Ausströmgeschwindigkeit des Gases (''v<sub>Gas</sub> = v<sub>z</sub> - c'') und nimmt noch die [[Massenbilanz]] (''I<sub>m</sub> = dm/dt'') dazu, vereinfacht sich die Gleichung zu

:<math>F_W+mg-cI_m=m\dot v_z</math>

Der Ausdruck ''-c I<sub>m</sub>'' heisst oft Schubkraft. Mit dieser Bezeichnung nimmt die Impulsbilanz die Form des Aktionsprinzips von [[Newtonsche Axiome|Newton]] an. Diese Lesart ist natürlich unsinnig, da die Newtonmechanik nicht direkt auf [[offene Systeme]] angewendet werden kann. Zudem nimmt der Impulsinhalt der Rakete anfänglich zu, um gegen Schluss des Brennvorgangs, dann wenn die Rakentengeschwindigkeit grösser als die Ausströmgeschwindigkeit wird, wieder abzunehmen. Die Beschleunigung der Rakete ist dagegen immer positiv, also nach oben gerichtet ist.

Lässt man die Wirkung der Luft weg, ist die Beschleunigung gleich der Summe aus [[Gravitationsfeld]]stärke und Ausströmgeschwindigkeit mal Änderungsrate der spezifischen [[Masse]]

:<math>\dot v_z=g-c\frac{\dot m}{m}</math>

Unter Vernachlässigung der höhenbedingten Änderung der Gravitationsfeldstärke (''g'' = -''g<sub>0</sub>'') lässt sich diese Gleichung integrieren

:<math>v_e=v_a+c\ln\left(\frac{m_e}{m_a}\right)-g_0 t=v_a+c\ln\left(\frac{m_R}{m_R+m_T}\right)-g_0 t</math>

Der Index ''e'' steht für Ende, ''a'' für Anfang, ''T'' für Treibstoff und ''R'' für Rakete ohne Treibstoff. Die Rakete fliegt umso schneller, je grösser die Relativgeschwindigkeit des ausströmenden Gases ist und je mehr Brennstoffe die Rakete im Verhältnis zur Restmasse geladen hat. Weil die Gravitation eine überlagerte Fallbewegung erzeugt, sollte die Brennzeit der Rakete möglichst kurz gehalten werden.

==gebogenes Rohr==
[[Bild:GekruemmtesRohr SB.png|thumb|Kräfte auf Rohrstück]][[Oberflächenkraft|Oberflächenkräfte]] sind Impulsströme bezüglich eines Systems. Umgekehrt darf die Stärke eines [[konvektiv]]en Impulsstromes bezüglich eines abgegrenzten Systems auch als [[Kraft]] eingezeichnet werden

:<math>\begin{pmatrix}I_{px}\\I_{py}\\I_{pz}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v_x\\v_y\\v_z\end{pmatrix}I_m=\begin{pmatrix}F_x\\F_y\\F_z\end{pmatrix}</math>

Weil beim Eintritt die Stärke des Massenstromes positiv ist, zeigt der Kraftpfeil in Richtung der Strömungsgeschwindigkeit. Beim Austritt ist der Kraftpfeil infolge negativen Massenstromes gegen die Strömungsgeschwindigkeit gerichtet. Folglich zeigen sowohl die Ersatzkräfte des [[konvektiv]]en [[Impulsstrom]]es als auch die Druckkräfte immer ins [[freischneiden|frei geschnittene]] Rohrstück hinein.

Gilt es, die Kraft zu bestimmen, mit der ein gekrümmtes Stück einer Rohrleitung festgehalten werden muss, schneidet man das Rohrstück - wie in der [[Statik]] üblich - frei. Dabei werden in beiden Schnittebenen je eine Druckkraft ('''Überdruck''' mal Fläche) und eine Ersatzkraft für die Stärke des konvektiven Impulstransportes eingezeichnet. Bei einer stationären Strömung muss dann die Festhaltekraft die Summe aus diesen vier Kräften kompensieren.

==Hubschrauber==
Gemässe einer Überlegung von ''William Froude'' darf die durch einen Propeller erzeugte Strömung in erster Näherung analog zum Strahltriebwerk modelliert werden. Der Propeller wird dabei als dünne Scheibe gesehen, die den Luftstrom über eine Druckdifferenz mit [[Energie]] belädt. Die Strömungsgeschwindigkeit in der Propellerebene ''v<sub>0</sub>'' ist gleich dem Mittelwert aus Anströmung ''v<sub>1</sub>'' und Abströmung ''v<sub>2</sub>''. Geht man von einem ruhenden Hubschrauber (''v<sub>1</sub>'' = 0) aus, ist die Kraft des Propellers gleich 

:<math>F=(v_2-v_1)I_m=\Delta v \varrho A v_0=2\varrho A v_0^2=\frac {1}{2} \varrho A v_2^2</math>

und die minimale Leistung

:<math>P=\frac{v_2+v_1}{2}F=2\varrho A v_0^3=\frac {1}{2} \varrho A v_2^3</math>

Bei einem Hubschrauber sind grössere Rotoren, welcher mehr Luft weniger stark beschleunigen, effizienter. Befindet sich der Hubschrauber nur wenig über Boden, wird der Abstrom behindert (Bodeneffekt). Der gravitativ in den Hubschrauber hinein fliessende [[Impuls]] geht dann zum Teil leitungsartig über die Luft an den Boden weg, was energetisch günstiger ist.

==dynamischer Auftrieb==
Starrflügelflugzeuge geben den gravitativ zufliessenden Impuls über die Flügel an den die umgebende Luft ab. Die dabei auftretenden Effekte sind recht komplex und die zugehörigen Gleichungen ([[Impulsbilanz|Impuls]]- und [[Energiebilanz]]) können nur mit Hilfe aufwändiger Berechnungsmethoden gelöst werden. Eine Modellierung, die viele Aspekte erklärt, stammt von ''Martin Wilhelm Kutta'' und ''Nikolai Jegorowitsch Schukowski'' (auch ''Joukowski'', ''Zhoukovski'' oder englisch ''Zhukovsky'' genannt). In diesem Modell wird angenommen, dass die Umströmung des Flügels in eine [[Potenzialströmung]] und eine [[Zirkulation|Zirkulationsströmung]] zerlegt werden darf. Ursache der Zirkulation ist die sich im hinteren Teil des Flügels bildende Wirbelstrasse. Weil die Zirkulation anders als beim [[Flettner-Rotor]] nicht durch eine Rotation der Flügel, sondern durch die Wirkung der Wirbelstrasse, welche die Umströmung der Hinterkante verhindert, erzeugt wird, nennt man die Zirkulation '''induziert'''. Die Überlagerung von Anströmung und Zirkulation erzeugt an der Oberfläche des Flügels eine ungleiche Druckverteilung, was zu einer resultierenden Kraft auf den Flügel, [[dynamischer Auftrieb]] genannt, führt.

Nimmt man als Bilanzgrenze die Flügeloberfläche, geht der Impuls [[leitungsartig]] (Druckkraft) an die Luft weg. Zieht man die Bilanzgrenze weiter aussen, hat die vorbeiströmende Luft eine gewisse Ähnlichkeit mit einer Rohrströmung. Die vorbeiziehende Luft wird etwas nach unten abgelenkt und gibt dabei Impuls an den Flügel ab. Diese Modellvorstellung kann man zur Erklärung einiger Phänomene beiziehen. Man muss sich aber bewusst sein, dass es kein Bilanzgebiet gibt, bezüglich dessen das einfach Modell der Rohrströmung in guter Näherung zutrifft.

==Kontrollfragen==
#Formulieren Sie die Impulsbilanz für ein offenes System?
#Woher bezieht das [[Strahltriebwerk]] den Impuls, den es in Form einer Schubkraft an das Flugzeug abgibt?
#Wieso sollte ein Strahtriebwerk die Geschwindigkeit der durch strömenden Luft möglichst wenig erhöhen?
#Wieso sollte eine Rakete das Gas mit möglichst hoher Geschwindigkeit nach hinten wegschicken?
#Wie berechnet man die Kraft, mit welcher ein Feuerwehrmann das Strahlrohr festhalten muss?
#Wie berechnet man die Kraft des Wasserstrahls auf einen Demonstranten?
#Ein Hubschrauber überfliegt ein Gebiet. Wie fliesst der Impuls, der vom Gravitationsfeld in den Hubschrauber gedrückt wird (Gewichtskraft) an den Boden weg?

==Antworten zu den Kontrollfragen==
#Die Summe über alle Oberflächenkräfte, die Gravitationskraft (Masse mal Gravitationsfeldstärke) und die Stärken der [[konvektiv]]en Impulsströme ist gleich der Änderungsrate des Impulsinhalts.
#Das Strahltriebwerk entzieht den Impuls der durch strömenden Luft. Die Impulsänderungsrate des Luftstroms (Schubkraft) ist gleich Stärke des Massenstromes mal Geschwindigkeitsdifferenz.
#Die Leistung, welche das Triebwerk an den Luftstrom abgibt, ist proportional zur Schubkraft und proportional zur mittleren Relativgeschwindigkeit. Wird die Schubkraft mit einem grossen Massenstrom und einer kleinen Geschwindigkeitsänderung im Luftstrom erzeugt, ist die vom Triebwerk abgegebene Leistung entsprechend gering.
#Je schneller die Gase ausströmen, desto mehr [[spezifisch]]en Impuls nehmen sie mit (die "Schubkraft" der Rakete ist gleich Ausströmgeschwindigkeit mal Massenstrom). Weil die Rakete nur eine bestimmte Menge an Treibstoff mitführen kann, muss sie diesen mit möglichst grosser Geschwindigkeit nach hinten weg stossen. Diese Ausströmgeschwindigkeit hängt hauptsächlich von der Reaktionsenthalpie in der Brennkammer ab.
#Die Kraft, mit welcher der Feuerwehrmann einen Schlauch festhalten muss, hängt von der geometrischen Anordnung ab. Wird das Wasser im Schlauch von unten zugeführt und vor dem Strahlrohr in horizontale Richtung abgelenkt, ist die Kraft des Feuerwehrmanns gleich der Stärke des vom Wasser abgeführten Impulsstromes (Geschwindigkeit mal Stärke des Massenstromes).
#Das auftreffende Wasser gibt praktische seinen ganzen Impuls an den Demonstranten ab. Folglich ist die Kraft auf den Demonstranten gleich Stärke des Massenstromes mal Auftreffgeschwindigkeit. Der Teil des Wassers, der zurück geworfen wird, erhöht die Kraft auf den Demonstranten.
#Der vom Gravitationsfeld in den Hubschrauber hinein fliessende Impuls verlässt diesen leitungsartig über die Oberfläche der Rotorblätter (Druckdifferenz). Im Nahbereich des Rotors strömt ein Teil dieses Impulses zusammen mit der Luft nach unten. Weit unterhalb des Hubschraubers fliesst dieser Impuls leitungsartig durch die ruhende Luft und erzeugt eine leichte Druckerhöhung.

== Materialien ==
*[https://home.zhaw.ch/~mau/Lehre/Skript/offenesysteme.pdf Skript] Seite 4

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