Drehung - Versionsgeschichte

Admin: /* Euler-Winkel */

2007-01-07T18:27:21Z

Euler-Winkel

← Nächstältere Version		Version vom 7. Januar 2007, 18:27 Uhr
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	===Euler-Winkel===		===Euler-Winkel===
	[[Bild:Eulerwinkel.jpg\|thumb\|die drei Eulerwinkel]]		[[Bild:Eulerwinkel.jpg\|thumb\|die drei Eulerwinkel]]
	Die Drehungen im Raum bilden eine kontinuierliche Gruppe (''SO<sub>3</sub>'') mit drei freien Parametern. Folglich kann jede beliebige Drehung durch drei hintereinander ~~geschalteten~~ "Elementardrehungen" erzeugt werden. Häufig dreht man zuerst um einen Winkel ''φ'' um die ''z''-Achse des Koordinatensystems, dann um den Winkel ''θ'' um die gedrehte ''x''-Achse und zuletzt um den Winkel ''ψ'' um die neu ausgerichtete ''z''-Achse		Die Drehungen im Raum bilden eine kontinuierliche Gruppe (''SO<sub>3</sub>'') mit drei freien Parametern. Folglich kann jede beliebige Drehung durch drei hintereinander geschaltete "Elementardrehungen" erzeugt werden. Häufig dreht man zuerst um einen Winkel ''φ'' um die ''z''-Achse des Koordinatensystems, dann um den Winkel ''θ'' um die gedrehte ''x''-Achse und zuletzt um den Winkel ''ψ'' um die neu ausgerichtete ''z''-Achse

	<math>		<math>

Admin: /* Euler-Winkel */

2007-01-07T18:26:27Z

Euler-Winkel

← Nächstältere Version		Version vom 7. Januar 2007, 18:26 Uhr
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	===Euler-Winkel===		===Euler-Winkel===
	[[Bild:Eulerwinkel.~~gif~~\|thumb\|die drei Eulerwinkel]]		[[Bild:Eulerwinkel.jpg\|thumb\|die drei Eulerwinkel]]
	Die Drehungen im Raum bilden eine kontinuierliche Gruppe (''SO<sub>3</sub>'') mit drei freien Parametern. Folglich kann jede beliebige Drehung durch drei hintereinander geschalteten "Elementardrehungen" erzeugt werden. Häufig dreht man zuerst um einen Winkel ''φ'' um die ''z''-Achse des Koordinatensystems, dann um den Winkel ''θ'' um die gedrehte ''x''-Achse und zuletzt um den Winkel ''ψ'' um die neu ausgerichtete ''z''-Achse		Die Drehungen im Raum bilden eine kontinuierliche Gruppe (''SO<sub>3</sub>'') mit drei freien Parametern. Folglich kann jede beliebige Drehung durch drei hintereinander geschalteten "Elementardrehungen" erzeugt werden. Häufig dreht man zuerst um einen Winkel ''φ'' um die ''z''-Achse des Koordinatensystems, dann um den Winkel ''θ'' um die gedrehte ''x''-Achse und zuletzt um den Winkel ''ψ'' um die neu ausgerichtete ''z''-Achse

Zeile 99:		Zeile 99:
	\end{pmatrix}		\end{pmatrix}
	</math>		</math>

			Ist eine beliebige Drehung in Form der Transformationsmatrix ''R<sub>ij</sub>'' gegeben, können die Eulerwinkel in drei Schritten berechnet werden

			#Berechnung des Winkels ''θ'': <math>\theta = \arccos (r_{zz})</math>
			#Berechnung des Winkels ''ψ'': <math>\psi = \arctan \begin{pmatrix} \frac {r_{zx}}{r_{zy}} \end{pmatrix}</math>
			#Berechnung des Winkels ''φ'': <math>\varphi = \arctan \begin{pmatrix} - \frac {r_{xz}}{r_{yz}} \end{pmatrix}</math>

	===Quaternionen===		===Quaternionen===

Admin: /* Euler-Winkel */

2007-01-07T17:30:58Z

Euler-Winkel

← Nächstältere Version		Version vom 7. Januar 2007, 17:30 Uhr
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	===Euler-Winkel===		===Euler-Winkel===
			[[Bild:Eulerwinkel.gif\|thumb\|die drei Eulerwinkel]]
			Die Drehungen im Raum bilden eine kontinuierliche Gruppe (''SO<sub>3</sub>'') mit drei freien Parametern. Folglich kann jede beliebige Drehung durch drei hintereinander geschalteten "Elementardrehungen" erzeugt werden. Häufig dreht man zuerst um einen Winkel ''φ'' um die ''z''-Achse des Koordinatensystems, dann um den Winkel ''θ'' um die gedrehte ''x''-Achse und zuletzt um den Winkel ''ψ'' um die neu ausgerichtete ''z''-Achse

			<math>
			\begin{pmatrix}
			\cos \psi \cos \varphi - \cos \theta \sin \varphi \sin \psi
			& - \sin \psi \cos \varphi - \cos \theta \sin \varphi \cos \psi
			& \sin \theta \sin \varphi \\
			\cos \psi \sin \varphi + \cos \theta \cos \varphi \sin \psi
			& - \sin \psi \sin \varphi + \cos \theta \cos \varphi \cos \psi
			& - \sin \theta \cos \varphi \\
			\sin \psi \sin \theta
			& \cos \psi \sin \theta
			& \cos \theta
			\end{pmatrix}
			</math>

	===Quaternionen===		===Quaternionen===

Admin: /* Drehung um eine gegebene Achse */

2007-01-07T17:13:26Z

Drehung um eine gegebene Achse

← Nächstältere Version		Version vom 7. Januar 2007, 17:13 Uhr
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	===Drehung um eine gegebene Achse===		===Drehung um eine gegebene Achse===
	Drehung um die ''x''-Achse des ~~KS als Drehachse~~		Drehung um die ''x''-Achse des Koordinatensystems

	<math>		<math>
Zeile 44:		Zeile 44:
	</math>		</math>

	Drehung um die ''y''-Achse des ~~KS als Drehachse~~		Drehung um die ''y''-Achse des Koordinatensystems

	<math>		<math>
Zeile 54:		Zeile 54:
	</math>,		</math>,

	Drehung um die ''z''-Achse des ~~KS als Drehachse~~		Drehung um die ''z''-Achse des Koordinatensystems

	<math>		<math>

Admin: /* Drehung um eine gegebene Achse */

2007-01-07T17:12:20Z

Drehung um eine gegebene Achse

← Nächstältere Version		Version vom 7. Januar 2007, 17:12 Uhr
Zeile 73:		Zeile 73:
	\end{pmatrix}		\end{pmatrix}
	</math>.		</math>.

			Diese Transformationsmatix kann in eine etwas übersichtlichere Darstellung gebracht werden

			<math>
			\begin{pmatrix} v_x^2 \ & v_x v_y \ & v_x v_z \\ v_y v_x \ & v_y^2 \ & v_y v_z \\ v_z v_x \ & v_z v_y \ & v_z^2 \end{pmatrix} +
			\begin{pmatrix} 1 - v_x^2 \ & -v_x v_y \ & -v_x v_z \\ -v_y v_x \ & 1 - v_y^2 \ & -v_y v_z \\ -v_z v_x \ & -v_z v_y \ & 1 - v_z^2 \end{pmatrix}\cos \varphi +
			\begin{pmatrix} 0 \ & -v_z \ & v_y \\ v_z \ & 0 \ & -v_x \\ -v_y \ & v_x \ & 0 \end{pmatrix} \sin \varphi
			</math>

	===Euler-Winkel===		===Euler-Winkel===

User: /* Drehung um eine gegebene Achse */

2007-01-07T13:04:45Z

Drehung um eine gegebene Achse

← Nächstältere Version		Version vom 7. Januar 2007, 13:04 Uhr
Zeile 34:		Zeile 34:

	===Drehung um eine gegebene Achse===		===Drehung um eine gegebene Achse===
	Drehung um die ''x''-Achse des KS als Drehachse:		Drehung um die ''x''-Achse des KS als Drehachse

	<math>		<math>
	\begin{pmatrix}		\begin{pmatrix}
	1 & 0 & 0 \\		1 & 0 & 0 \\
	0 & \cos \~~alpha~~ & -\sin \~~alpha~~ \\		0 & \cos \varphi & -\sin \varphi \\
	0 & \sin \~~alpha~~ & \cos \~~alpha~~		0 & \sin \varphi & \cos \varphi
	\end{pmatrix}		\end{pmatrix}
	</math>		</math>
Zeile 48:		Zeile 48:
	<math>		<math>
	\begin{pmatrix}		\begin{pmatrix}
	\cos \~~alpha~~ & 0 & \sin \~~alpha~~ \\		\cos \varphi & 0 & \sin \varphi \\
	0 & 1 & 0 \\		0 & 1 & 0 \\
	-\sin \~~alpha~~ & 0 & \cos \~~alpha~~		-\sin \varphi & 0 & \cos \varphi
	\end{pmatrix}		\end{pmatrix}
	</math>,		</math>,
Zeile 58:		Zeile 58:
	<math>		<math>
	\begin{pmatrix}		\begin{pmatrix}
	\cos \~~alpha~~ & -\sin \~~alpha~~ & 0 \\		\cos \varphi & -\sin \varphi & 0 \\
	\sin \~~alpha~~ & \cos \~~alpha~~ & 0 \\		\sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\
	0 & 0 & 1		0 & 0 & 1
	\end{pmatrix}		\end{pmatrix}
	</math>		</math>

	Drehung um eine Achse, die parallel zum [[Einheitsvektor]] ''v'' =(''v<sub>1</sub>,v<sub>2</sub>,v<sub>3</sub>'')<sup>T</sup> ausgerichtet ist		Drehung um eine Achse, die parallel zum [[Einheitsvektor]] '''''v''''' =(''v<sub>x</sub>,v<sub>y</sub>,v<sub>z</sub>'')<sup>T</sup> ausgerichtet ist

	<math>		<math>
	\begin{pmatrix}		\begin{pmatrix}
	\cos \~~alpha~~ +~~v_1~~^2 \left(1-\cos \~~alpha~~\right) & ~~v_1~~ ~~v_2~~ \left(1-\cos \~~alpha~~\right) - ~~v_3~~ \sin \~~alpha~~ & ~~v_1~~ ~~v_3~~ \left(1-\cos \~~alpha~~\right) + ~~v_2~~ \sin \~~alpha~~ \\		\cos \varphi +v_x^2 \left(1-\cos \varphi\right) & v_x v_y \left(1-\cos \varphi\right) - v_z \sin \varphi & v_x v_z \left(1-\cos \varphi\right) + v_y \sin \varphi \\
	~~v_2~~ ~~v_1~~ \left(1-\cos \~~alpha~~\right) + ~~v_3~~ \sin \~~alpha~~ & \cos \~~alpha~~ + ~~v_2~~^2\left(1-\cos \~~alpha~~\right) & ~~v_2~~ ~~v_3~~ \left(1-\cos \~~alpha~~\right) - ~~v_1~~ \sin \~~alpha~~ \\		v_y v_x \left(1-\cos \varphi\right) + v_z \sin \varphi & \cos \varphi + v_y^2\left(1-\cos \varphi\right) & v_y v_z \left(1-\cos \varphi\right) - v_x \sin \varphi \\
	~~v_3~~ ~~v_1~~ \left(1-\cos \~~alpha~~\right) - ~~v_2~~ \sin \~~alpha~~ & ~~v_3~~ ~~v_2~~ \left(1-\cos \~~alpha~~\right) + ~~v_1~~ \sin \~~alpha~~ & \cos \~~alpha~~ + ~~v_3~~^2\left(1-\cos \~~alpha~~\right)		v_z v_x \left(1-\cos \varphi\right) - v_y \sin \varphi & v_z v_y \left(1-\cos \varphi\right) + v_x \sin \varphi & \cos \varphi + v_z^2\left(1-\cos \varphi\right)
	\end{pmatrix}		\end{pmatrix}
	</math>.		</math>.

User: /* Quaternionen */

2007-01-07T12:56:52Z

Quaternionen

← Nächstältere Version		Version vom 7. Januar 2007, 12:56 Uhr
Zeile 74:		Zeile 74:
	</math>.		</math>.

	==~~Quaternionen~~==		===Euler-Winkel===

			===Quaternionen===

	[[Kategorie:Rot]]		[[Kategorie:Rot]]

User: /* Drehung im Raum */

2007-01-07T12:55:14Z

Drehung im Raum

← Nächstältere Version		Version vom 7. Januar 2007, 12:55 Uhr
Zeile 28:		Zeile 28:
	<math>\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r_{xx} \ r_{xy} \ r_{xz} \\ r_{yx} \ r_{yy} \ r_{yz} \\ r_{zx} \ r_{zy} \ r_{zz}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} </math>		<math>\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r_{xx} \ r_{xy} \ r_{xz} \\ r_{yx} \ r_{yy} \ r_{yz} \\ r_{zx} \ r_{zy} \ r_{zz}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} </math>

	Die Matrizen der Drehgruppe ''SO<sub>3</sub>''		Die Matrizen der Drehgruppe ''SO<sub>3</sub>'' haben folgende Eigenschaften
	*Die [[Determinante]] ist gleich eins		*Die [[Determinante]] ist gleich eins
	*Zeilen und Spalten stehen orthogonal aufeinander, das Skalarprodukt von zwei verschiedenen Zeilen oder Spalten ist gleich Null		*Zeilen und Spalten stehen orthogonal aufeinander, das Skalarprodukt von zwei verschiedenen Zeilen oder Spalten ist gleich Null
Zeile 34:		Zeile 34:

	===Drehung um eine gegebene Achse===		===Drehung um eine gegebene Achse===
	Drehung um die ''x''-Drehachse:		Drehung um die ''x''-Achse des KS als Drehachse:

	<math>		<math>
Zeile 44:		Zeile 44:
	</math>		</math>

	Drehung um die ''y''-Drehachse		Drehung um die ''y''-Achse des KS als Drehachse

	<math>		<math>
Zeile 54:		Zeile 54:
	</math>,		</math>,

	Drehung um die ''z''-Achse		Drehung um die ''z''-Achse des KS als Drehachse

	<math>		<math>

User: /* Euler-Winkel */

2007-01-07T12:52:28Z

Euler-Winkel

@@ Zeile 23: / Zeile 23: @@
 beschreibt eine Drehung des "Vektors" z um den Winkel ''&phi;''.
-==Euler-Winkel==
+==Drehung im Raum==
 ==Quaternionen==

User am 7. Januar 2007 um 12:25 Uhr

2007-01-07T12:25:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Januar 2007, 12:25 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	Ein [[starrer Körper]] kann um eine beliebige Achse gedreht werden. Dabei drehen sich alle Verbindungslinien auf dem Körper um den gleichen Drehwinkel. Wird der Körper mehrmals um die gleiche Achse gedreht, lassen sich alle Eigenschaften der Drehbewegung in einer Ebene, die normal zur Achse steht, untersuchen. ~~Wird~~ ~~der~~ ~~Körper mehrmals um diese Achse gedreht,~~ hängt ~~die totale Drehung~~ nicht von der Reihenfolge der einzelnen Operationen ab.		Ein [[starrer Körper]] kann um eine beliebige Achse gedreht werden. Dabei drehen sich alle Verbindungslinien auf dem Körper um den gleichen Drehwinkel. Wird der Körper mehrmals um die gleiche Achse gedreht, lassen sich alle Eigenschaften der Drehbewegung in einer Ebene, die normal zur Achse steht, untersuchen. Die totale Drehung hängt dann nicht von der Reihenfolge der einzelnen Operationen ab.

	Die allgemeine Drehung eines Körpers wird durch die Richtung der Achse und den Drehwinkel beschrieben. Dreht man einen Körper mehrmals um verschiedene Achsen, hat die Reihenfolge der einzelnen Operationen einen wesentlichen Einfluss auf die Gesamtdrehung.		Die allgemeine Drehung eines Körpers wird durch die Richtung der Achse und den Drehwinkel beschrieben. Dreht man einen Körper mehrmals um verschiedene Achsen, hat die Reihenfolge der einzelnen Operationen einen wesentlichen Einfluss auf die Gesamtdrehung.
Zeile 7:		Zeile 7:
	==Drehung in der Ebene==		==Drehung in der Ebene==
	[[Bild: Drehung.png\|thumb\|Drehung um ''φ'']]		[[Bild: Drehung.png\|thumb\|Drehung um ''φ'']]
	Bei einer ebenen Drehung gehe ein Punkt ''P'' in den Punkt ''P' '' und der zugehörige Orstvektor '''''r''''' in den Vektor '''''r' ''''' über. Zerlegt man ~~die~~ ~~mitgedrehten~~ ~~Komponenten~~ ~~des~~ ~~Ortsvektors~~ ''x°'' und ''y°'' ~~bezüglich~~ ~~des~~ ~~Koordinatensystems~~ ~~in je zwei eigene Komponenten~~, können die Komponenten des gedrehten Vektors (''x' '' und ''y' '') aus den ~~alten~~ berechnet werden		Bei einer ebenen Drehung gehe ein Punkt ''P'' in den Punkt ''P' '' und der zugehörige Orstvektor '''''r''''' in den Vektor '''''r' ''''' über. Zerlegt man den Ortsvektor '''''r''''' bezüglich eines Koordinatensystems in die Komponenten ''x'' und ''y'' (mitgedreht: ''x°'' und ''y°''), können die Komponenten des gedrehten Vektors (''x' '' und ''y' '') aus den Komponenten des ursprünglichne Vektors berechnet werden

	<math>x' = x \cos \varphi - y \sin \varphi </math>		<math>x' = x \cos \varphi - y \sin \varphi </math>
Zeile 13:		Zeile 13:
	<math>y' = x \sin \varphi + y \cos \varphi </math>		<math>y' = x \sin \varphi + y \cos \varphi </math>

	Diese Drehung lässt sich mit Hilfe der Matrizenrechnung ~~kompakt~~ formulieren		Diese Drehung lässt sich mit Hilfe der Matrizenrechnung kompakter formulieren

	<math>\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \varphi \ -\sin \varphi \\ \sin \varphi \ \cos \varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math>		<math>\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \varphi \ -\sin \varphi \\ \sin \varphi \ \cos \varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math>

			Ordnet man den zu drehenden Punkten je eine [[komplexe Zahl]] ''z'' zu, wobei die ''x''-Komponente des Ortsvektors '''''r''''' dem Realteil und die ''y''-Komponente dem Imaginärteil der komplexen Zahl entspricht, kann die Drehung in der komplexen Ebene mittels einer Multiplikation mit der Zahl ''e<sup>i φ</sup>'' beschrieben werden. Die Operation

			<math>z' = e^{i \varphi} z</math>

			beschreibt eine Drehung des "Vektors" z um den Winkel ''φ''.

	==Euler-Winkel==		==Euler-Winkel==