Harmonischer Oszillator - Versionsgeschichte

Admin am 13. August 2010 um 13:06 Uhr

2010-08-13T13:06:16Z

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	Die Schwingungsdauer ist unabhängig von der Amplitude ''x<sub>0</sub>'' und beträgt		Die Schwingungsdauer ist unabhängig von der Amplitude ''x<sub>0</sub>'' und beträgt

	:<math>T = \frac {1}{f} = \frac {2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt {\frac {m }{D}}</math>		:<math>T =\frac {1}{f}=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi \sqrt{\frac{m}{D}}</math>

	Vervierfacht man die Masse, verdoppelt sich die Schwingungsdauer ''T''; vervierfacht man die Richtgrösse, verdoppelt sich die Frequenz ''f'' der Schwingung.		Vervierfacht man die Masse, verdoppelt sich die Schwingungsdauer ''T''; vervierfacht man die Richtgrösse, verdoppelt sich die Frequenz ''f'' der Schwingung.
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	Die [[Prozessleistung]] über der Feder entspricht der Änderungsrate der [[ideale Feder\|Federenergie]] und der [[zugeordneter Energiestrom\|zugeordnete Energiestrom]] an der Schnittfläche Feder-Klotz ist gleich der Änderungsrate der kinetischen Energie. Da beide Energiespeicher mit einer Formel beschrieben werden können und die Summe der Energien konstant bleibt, gilt		Die [[Prozessleistung]] über der Feder entspricht der Änderungsrate der [[ideale Feder\|Federenergie]] und der [[zugeordneter Energiestrom\|zugeordnete Energiestrom]] an der Schnittfläche Feder-Klotz ist gleich der Änderungsrate der kinetischen Energie. Da beide Energiespeicher mit einer Formel beschrieben werden können und die Summe der Energien konstant bleibt, gilt

	<math>W_{tot} = W_{Feder} + W_{kin} = \frac {1}{2} D x^2 + \frac {1}{2} m v_x^2</math>		:<math>W_{tot}= W_{Feder} + W_{kin} = \frac {1}{2} D x^2 + \frac {1}{2} m v_x^2</math>

	==Hamiltonmechanik==		==Hamiltonmechanik==
	Nichtdissipative Systeme lassen sich mit einer [[Hamiltonfunktion]] in den Variablen Ort und Impuls beschreiben. Bei einfachen Systemen kann die Hamiltonfunktion mit der totalen Energie gleichgesetzt werden		Nichtdissipative Systeme lassen sich mit einer [[Hamiltonfunktion]] in den Variablen Ort und Impuls beschreiben. Bei einfachen Systemen kann die Hamiltonfunktion mit der totalen Energie gleichgesetzt werden

	<math>H(x, p_x) = \frac {D}{2} x^2 + \frac {1}{~~2 m~~} p_x^2</math>		:<math>H(x, p_x)=\frac{D}{2}x^2+\frac{1}{2m}p_x^2</math>

	Das dynamische Verhalten des Systems lässt sich mit den folgenden Hamilton-Gleichungen beschreiben		Das dynamische Verhalten des Systems lässt sich mit den folgenden Hamilton-Gleichungen beschreiben

	<math>~~\begin{matrix}~~ H_{,x} \ = \ -\dot p_x ~~\\ H_{,p_x} \ = \ \dot x \end{matrix}~~</math>		:<math>H_{,x}=-\dot p_x</math>

			:<math>H_{,p_x}=\dot x</math>

	Die partiellen Ableitungen nach ''x'' und ''p<sub>x</sub>'' sind mit Hilfe der [[Einstein-Notation]] formuliert worden.		Die partiellen Ableitungen nach ''x'' und ''p<sub>x</sub>'' sind mit Hilfe der [[Einstein-Notation]] formuliert worden.

Admin: /* formale Beschreibung */

2010-08-13T12:52:52Z

formale Beschreibung

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	Diese vier Gesetze können zur Zustandsgleichung für die Variablen [[Impuls]] und [[Ort]]		Diese vier Gesetze können zur Zustandsgleichung für die Variablen [[Impuls]] ''p'' und [[Ort]] ''x''

	:<math>\begin{matrix} \dot x \ = \ \frac {1}{m} p_x \\ \dot p_x \ = \ - D x \end{matrix}</math>		:<math>\begin{matrix} \dot x \ = \ \frac {1}{m} p_x \\ \dot p_x \ = \ - D x \end{matrix}</math>

Admin am 13. August 2010 um 12:51 Uhr

2010-08-13T12:51:49Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. August 2010, 12:51 Uhr
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	==formale Beschreibung==		==formale Beschreibung==
	Wir wählen die ''x''-Achse des Koordinatensystems in Richtung der Feder. Der Referenzpunkt auf dem Körper falle bei der ungespannten Feder mit dem Ursprung des Koordinatensystems zusammen. Das System wird durch folgende Gleichungen beschrieben		Wir wählen die ''x''-Achse des Koordinatensystems in Richtung der Feder. Der Referenzpunkt auf dem Körper falle bei der ungespannten Feder mit dem Ursprung des Koordinatensystems zusammen. Das System wird durch folgende Gleichungen beschrieben
			{\|
			\|width="200"\|Bilanzgleichung:
		⚫	\|width="200"\|<math>I_{px} = \dot p_x</math>
			\|-
		⚫	\|[[kapazitives Gesetz]]:
		⚫	\|<math>p_x = m v_x</math>
			\|-
			\|Federgesetz:
		⚫	\|<math>I_{px} = -Dx</math>
			\|-
			\|Kinematik:
			\|<math>v_x = \dot x</math>
			\|}

		⚫	Diese vier Gesetze können zur Zustandsgleichung für die Variablen [[Impuls]] und [[Ort]]
⚫	~~Bilanzgleichung:~~ <math>I_{px} = \dot p_x</math>

		⚫	:<math>\begin{matrix} \dot x \ = \ \frac {1}{m} p_x \\ \dot p_x \ = \ - D x \end{matrix}</math>
⚫	[[kapazitives Gesetz]]: ~~<math>p_x = m v_x</math>~~

⚫	~~Federgesetz:~~ <math>I_{px} = -Dx</math>

⚫	~~Kinematik:~~ <math>~~v_x~~ = ~~\dot~~ x</math>

⚫	Diese vier Gesetze können zur Zustandsgleichung für die Variablen [[Impuls]] und Ort

⚫	<math>\begin{matrix} \dot x \ = \ \frac {1}{m} p_x \\ \dot p_x \ = \ - D x \end{matrix}</math>

	oder zu einer Differenzialgleichung zweiter Ordnung für die Grösse ''x''		oder zu einer Differenzialgleichung zweiter Ordnung für die Grösse ''x''

	<math>\dot \dot x + \frac {D}{m} x = 0</math>		:<math>\dot \dot x + \frac {D}{m} x = 0</math>

	zusammengefasst werden.		zusammengefasst werden.
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	Die allgemeine Lösung dieser Gleichung lautet		Die allgemeine Lösung dieser Gleichung lautet

	<math>x = x_0 \cos(\omega t + \varphi)</math> mit der Kreisfrequenz <math>\omega = \sqrt {\frac{D}{m}}</math>		:<math>x = x_0 \cos(\omega t + \varphi)</math> mit der Kreisfrequenz <math>\omega = \sqrt {\frac{D}{m}}</math>

	Die Schwingungsdauer ist unabhängig von der Amplitude ''x<sub>0</sub>'' und beträgt		Die Schwingungsdauer ist unabhängig von der Amplitude ''x<sub>0</sub>'' und beträgt

	<math>T = \frac {1}{f} = \frac {2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt {\frac {m }{D}}</math>		:<math>T = \frac {1}{f} = \frac {2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt {\frac {m }{D}}</math>

	Vervierfacht man die Masse, verdoppelt sich die Schwingungsdauer ''T''; vervierfacht man die Richtgrösse, verdoppelt sich die Frequenz ''f'' der Schwingung.		Vervierfacht man die Masse, verdoppelt sich die Schwingungsdauer ''T''; vervierfacht man die Richtgrösse, verdoppelt sich die Frequenz ''f'' der Schwingung.

Admin: /* Hamiltonmechanik */

2007-01-05T09:19:21Z

Hamiltonmechanik

← Nächstältere Version		Version vom 5. Januar 2007, 09:19 Uhr
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	==Hamiltonmechanik==		==Hamiltonmechanik==
	Nichtdissipative Systeme lassen sich mit einer Hamiltonfunktion in den Variablen Ort und Impuls beschreiben. Bei einfachen Systemen kann die Hamiltonfunktion mit der totalen Energie gleichgesetzt werden		Nichtdissipative Systeme lassen sich mit einer [[Hamiltonfunktion]] in den Variablen Ort und Impuls beschreiben. Bei einfachen Systemen kann die Hamiltonfunktion mit der totalen Energie gleichgesetzt werden

	<math>H(x, p_x) = \frac {D}{2} x^2 + \frac {1}{2 m} p_x^2</math>		<math>H(x, p_x) = \frac {D}{2} x^2 + \frac {1}{2 m} p_x^2</math>
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	[[Bild:Oszillator_xp.png\|thumb\|Phasendiagramm des Oszillators]]		[[Bild:Oszillator_xp.png\|thumb\|Phasendiagramm des Oszillators]]
	~~Eine~~ bildhafte Darstellung der [[Hamilton-Mechanik]] ~~liefert das Phasendiagramm~~. Jede geschlossene Linie (Bahn im ~~Phasendiagramm~~) repräsentiert eine Schwingung mit einer bestimmten Energie. Wählt man die Energien als arithmetische Folge, verkörpert jede Bahn eine Art Höhenlinie für die Energiefunktion, die über dem ~~Phasendiagramm (''x - p<sub>x</sub>-''Ebene)~~ ein elliptisches Tal mit dem tiefsten Punkt im Ursprung ~~von Ort und~~ ~~Impuls~~ bildet. Die Hamilton-Gleichungen besagen nun, dass das negative Gefälle der Hamiltonfunktion in ''x''-Richtung gleich der Änderungsrate des zugehörigen Impulses und dass das Gefälle in ''p<sub>x</sub>''-Richtung gleich der Änderungsrate des Ortes ist.		Der [[Phasenraum]] (''x - p<sub>x</sub>-''Ebene) liefert eine bildhafte Darstellung der [[Hamilton-Mechanik]]. Jede geschlossene Linie (Bahn im Phasenraum) repräsentiert eine Schwingung mit einer bestimmten Energie. Wählt man die Energien als arithmetische Folge, verkörpert jede Bahn eine Art Höhenlinie für die Energiefunktion, die über dem Phasenraum ein elliptisches Tal mit dem tiefsten Punkt im Ursprung des Phasenraums bildet. Die Hamilton-Gleichungen besagen nun, dass das negative Gefälle der Hamiltonfunktion in ''x''-Richtung gleich der Änderungsrate des zugehörigen Impulses und dass das Gefälle in ''p<sub>x</sub>''-Richtung gleich der Änderungsrate des Ortes ist.

	[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:TransMod]] [[Kategorie:Modelle]]		[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:TransMod]] [[Kategorie:Modelle]]

Admin: /* Hamiltonmechanik */

2007-01-05T09:13:17Z

Hamiltonmechanik

← Nächstältere Version		Version vom 5. Januar 2007, 09:13 Uhr
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	Nichtdissipative Systeme lassen sich mit einer Hamiltonfunktion in den Variablen Ort und Impuls beschreiben. Bei einfachen Systemen kann die Hamiltonfunktion mit der totalen Energie gleichgesetzt werden		Nichtdissipative Systeme lassen sich mit einer Hamiltonfunktion in den Variablen Ort und Impuls beschreiben. Bei einfachen Systemen kann die Hamiltonfunktion mit der totalen Energie gleichgesetzt werden

	<math>H(x, p_x) = \frac {D}{2} x^2 + \frac {1}{2} p_x^2</math>		<math>H(x, p_x) = \frac {D}{2} x^2 + \frac {1}{2 m} p_x^2</math>

	Das dynamische Verhalten des Systems lässt sich mit den folgenden Hamilton-Gleichungen beschreiben		Das dynamische Verhalten des Systems lässt sich mit den folgenden Hamilton-Gleichungen beschreiben

Admin: /* Energie */

2007-01-03T19:59:04Z

Energie

← Nächstältere Version		Version vom 3. Januar 2007, 19:59 Uhr
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	==Energie==		==Energie==
	Die [[Prozessleistung]] über der Feder entspricht der Änderungsrate der [[ideale Feder\|Federenergie]] und der [[zugeordnete Energiestrom]] an der Schnittfläche Feder-Klotz ist gleich der Änderungsrate der kinetischen Energie. Da beide Energiespeicher mit einer Formel beschrieben werden können und die Summe der Energien konstant bleibt, gilt		Die [[Prozessleistung]] über der Feder entspricht der Änderungsrate der [[ideale Feder\|Federenergie]] und der [[zugeordneter Energiestrom\|zugeordnete Energiestrom]] an der Schnittfläche Feder-Klotz ist gleich der Änderungsrate der kinetischen Energie. Da beide Energiespeicher mit einer Formel beschrieben werden können und die Summe der Energien konstant bleibt, gilt

	<math>W_{tot} = W_{Feder} + W_{kin} = \frac {1}{2} D x^2 + \frac {1}{2} m v_x^2</math>		<math>W_{tot} = W_{Feder} + W_{kin} = \frac {1}{2} D x^2 + \frac {1}{2} m v_x^2</math>

Admin: /* Hamiltonmechanik */

2007-01-03T18:36:29Z

Hamiltonmechanik

← Nächstältere Version		Version vom 3. Januar 2007, 18:36 Uhr
Zeile 45:		Zeile 45:
	Nichtdissipative Systeme lassen sich mit einer Hamiltonfunktion in den Variablen Ort und Impuls beschreiben. Bei einfachen Systemen kann die Hamiltonfunktion mit der totalen Energie gleichgesetzt werden		Nichtdissipative Systeme lassen sich mit einer Hamiltonfunktion in den Variablen Ort und Impuls beschreiben. Bei einfachen Systemen kann die Hamiltonfunktion mit der totalen Energie gleichgesetzt werden

	<math>H(x, px) = \frac {D}{2} x^2 + \frac {1}{2} p_x^2</math>		<math>H(x, p_x) = \frac {D}{2} x^2 + \frac {1}{2} p_x^2</math>

	Das dynamische Verhalten des Systems lässt sich mit den folgenden Hamilton-Gleichungen beschreiben		Das dynamische Verhalten des Systems lässt sich mit den folgenden Hamilton-Gleichungen beschreiben

	<math>\begin{matrix} ~~H_x~~ \ = \ -\dot p_x \\ H_{p_x} \ = \ \dot x \end{matrix}</math>		<math>\begin{matrix} H_{,x} \ = \ -\dot p_x \\ H_{,p_x} \ = \ \dot x \end{matrix}</math>

	Die partiellen Ableitungen nach ''x'' und ''p<sub>x</sub>'' sind mit Hilfe der [[Einstein-Notation]] formuliert worden.		Die partiellen Ableitungen nach ''x'' und ''p<sub>x</sub>'' sind mit Hilfe der [[Einstein-Notation]] formuliert worden.

Admin am 3. Januar 2007 um 18:34 Uhr

2007-01-03T18:34:29Z

Neue Seite

==Objekt==
Der harmonische Oszillator besteht aus einer [[ideale Feder|idealen Feder]] mit der Richtgrösse ''D'' und einem reibungsfrei gleitenden Körper mit der [[Masse]] ''m''. Wird der Körper in Richtung der Feder ausgelenkt und dann losgelassen, schwingt er beliebig lange hin und her. Dabei tauscht er über die Feder [[Impuls]] mit der Erde aus. Die Gesamtenergie (Federenergie und [[kinetische Energie]] des Körpers) bleibt konstant.

==formale Beschreibung==
Wir wählen die ''x''-Achse des Koordinatensystems in Richtung der Feder. Der Referenzpunkt auf dem Körper falle bei der ungespannten Feder mit dem Ursprung des Koordinatensystems zusammen. Das System wird durch folgende Gleichungen beschrieben

Bilanzgleichung: <math>I_{px} = \dot p_x</math>

[[kapazitives Gesetz]]: <math>p_x = m v_x</math>

Federgesetz: <math>I_{px} = -Dx</math>

Kinematik: <math>v_x = \dot x</math>

Diese vier Gesetze können zur Zustandsgleichung für die Variablen [[Impuls]] und Ort

<math>\begin{matrix} \dot x \ = \ \frac {1}{m} p_x \\ \dot p_x \ = \ - D x \end{matrix}</math>

oder zu einer Differenzialgleichung zweiter Ordnung für die Grösse ''x''

<math>\dot \dot x + \frac {D}{m} x = 0</math>

zusammengefasst werden.

Die allgemeine Lösung dieser Gleichung lautet

<math>x = x_0 \cos(\omega t + \varphi)</math> mit der Kreisfrequenz <math>\omega = \sqrt {\frac{D}{m}}</math>

Die Schwingungsdauer ist unabhängig von der Amplitude ''x0'' und beträgt

<math>T = \frac {1}{f} = \frac {2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt {\frac {m }{D}}</math>

Vervierfacht man die Masse, verdoppelt sich die Schwingungsdauer ''T''; vervierfacht man die Richtgrösse, verdoppelt sich die Frequenz ''f'' der Schwingung.

==Systemdynamik==
[[Bild:Oszillator_SD.jpg|thumb|Systemdiagramm des harmonischen Oszillators]]
Das nebenstehend skizzierte Systemdiagramm für den harmonischen Oszillator zeigt die Impulsbilanz sowie die Integration der Geschwindigkeit zum Ort als je ein Rohr-Topf- (flow-stock)-Element. Das [[kapazitives Gesetz|kapazitive Gesetz]] liefert den Zusammenhang zwischen dem Impulsinhalt und der momentanen Geschwindigkeit. Das Federgesetz ermöglicht die Rückführung der Information über den momentanen Ort des Klotzes zur Stärke des in der Feder fliessenden Impulsstromes.

==Energie==
Die [[Prozessleistung]] über der Feder entspricht der Änderungsrate der [[ideale Feder|Federenergie]] und der [[zugeordnete Energiestrom]] an der Schnittfläche Feder-Klotz ist gleich der Änderungsrate der kinetischen Energie. Da beide Energiespeicher mit einer Formel beschrieben werden können und die Summe der Energien konstant bleibt, gilt

<math>W_{tot} = W_{Feder} + W_{kin} = \frac {1}{2} D x^2 + \frac {1}{2} m v_x^2</math>

==Hamiltonmechanik==
Nichtdissipative Systeme lassen sich mit einer Hamiltonfunktion in den Variablen Ort und Impuls beschreiben. Bei einfachen Systemen kann die Hamiltonfunktion mit der totalen Energie gleichgesetzt werden

<math>H(x, px) = \frac {D}{2} x^2 + \frac {1}{2} p_x^2</math>

Das dynamische Verhalten des Systems lässt sich mit den folgenden Hamilton-Gleichungen beschreiben

<math>\begin{matrix} H_x \ = \ -\dot p_x \\ H_{p_x} \ = \ \dot x \end{matrix}</math>

Die partiellen Ableitungen nach ''x'' und ''px'' sind mit Hilfe der [[Einstein-Notation]] formuliert worden.

[[Bild:Oszillator_xp.png|thumb|Phasendiagramm des Oszillators]]
Eine bildhafte Darstellung der [[Hamilton-Mechanik]] liefert das Phasendiagramm. Jede geschlossene Linie (Bahn im Phasendiagramm) repräsentiert eine Schwingung mit einer bestimmten Energie. Wählt man die Energien als arithmetische Folge, verkörpert jede Bahn eine Art Höhenlinie für die Energiefunktion, die über dem Phasendiagramm (''x - px-''Ebene) ein elliptisches Tal mit dem tiefsten Punkt im Ursprung von Ort und Impuls bildet. Die Hamilton-Gleichungen besagen nun, dass das negative Gefälle der Hamiltonfunktion in ''x''-Richtung gleich der Änderungsrate des zugehörigen Impulses und dass das Gefälle in ''px''-Richtung gleich der Änderungsrate des Ortes ist.

[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:TransMod]] [[Kategorie:Modelle]]