Kapazitives Gesetz - Versionsgeschichte

Admin: /* Beispiele */

2007-09-04T20:11:50Z

Beispiele

← Nächstältere Version		Version vom 4. September 2007, 20:11 Uhr
Zeile 117:		Zeile 117:
	\|[[starrer Körper]]		\|[[starrer Körper]]
	\|Massenträgheit ''J''		\|Massenträgheit ''J''
	\|<math>\frac {1}{2}m\omega^2</math>		\|<math>\frac {1}{2}J\omega^2</math>
	\|nur für Rotation um Hauptachse		\|nur für Rotation um Hauptachse
	\|-		\|-

Admin: /* Energie */

2007-09-04T20:11:07Z

Energie

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Zeile 72:		Zeile 72:
	Die Energie eines homogenen Speichers berechnet sich über den [[zugeordneter Energiestrom\|zugeordneten Energiestrom]] und die Mengenbilanz. Die Änderungsrate der Energie kann durch das Potenzial und die Änderungsrate der Menge ausgedrückt werden		Die Energie eines homogenen Speichers berechnet sich über den [[zugeordneter Energiestrom\|zugeordneten Energiestrom]] und die Mengenbilanz. Die Änderungsrate der Energie kann durch das Potenzial und die Änderungsrate der Menge ausgedrückt werden

	<math>\dot W = \sum_i I_{W_i} = \sum_i {I_{M_i} \varphi_{M_i}= \left (\sum_i {I_{M_i} \right ) \varphi_M = \dot M \varphi_M</math>		:<math>\dot W=\sum_i I_{W_i}=\sum_i I_{M_i}\varphi_{M_i}=\left(\sum_i I_{M_i}\right)\varphi_M=\dot M\varphi_M</math>

	Multipliziert man die [[Änderungsrate]]n mit dem Zeitschritt ''dt'' und integriert (summiert) über alle Zwischenzustände, folgt:		Multipliziert man die [[Änderungsrate]]n mit dem Zeitschritt ''dt'' und integriert (summiert) über alle Zwischenzustände, folgt:

	<math>\Delta W = \int \dot M \varphi_M dt = \int \varphi_M \dot M dt = \int \varphi_M dM</math>		:<math>\Delta W = \int \dot M \varphi_M dt = \int \varphi_M \dot M dt = \int \varphi_M dM</math>

	Die Energie eines homogenen Speichers entspricht somit der '''Fläche unter der Potenzial-Mengen-Kurve'''. Ersetzt man den differenziellen Mengenzuwachs durch das Kapazitivgesetzt, kann über das Potenzial integriert werden		Die Energie eines homogenen Speichers entspricht somit der '''Fläche unter der Potenzial-Mengen-Kurve'''. Ersetzt man den differenziellen Mengenzuwachs durch das Kapazitivgesetzt, kann über das Potenzial integriert werden

	<math>\Delta W = \int \varphi_M dM = \int \varphi_M C_M(\varphi)d \varphi</math>		:<math>\Delta W = \int \varphi_M dM = \int \varphi_M C_M(\varphi)d \varphi</math>

	Bei anfänglich leerem Speicher und konstanter Kapazität wächst die Energie quadratisch mit der Menge		Bei anfänglich leerem Speicher und konstanter Kapazität wächst die Energie quadratisch mit der Menge

	<math>W_{Speicher} = \frac {1}{2} C_M \varphi_M^2</math>		:<math>W_{Speicher} = \frac {1}{2} C_M \varphi_M^2</math>

	==Beispiele==		==Beispiele==

Admin: /* Begriff */

2007-09-04T20:08:26Z

Begriff

← Nächstältere Version		Version vom 4. September 2007, 20:08 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:
	Im einfachsten Fall nimmt das Potenzial proportional mit der Menge zu (Füllstand wächst proportional mit dem Inhalt). Die zugehörige '''Kapazität''' ist dann eine Konstante. Die Kapazität kann entweder absolut oder relativ definiert werden		Im einfachsten Fall nimmt das Potenzial proportional mit der Menge zu (Füllstand wächst proportional mit dem Inhalt). Die zugehörige '''Kapazität''' ist dann eine Konstante. Die Kapazität kann entweder absolut oder relativ definiert werden

	<math>C_M = \frac {M}{\varphi}</math> oder <math>C_M = \frac {\Delta M}{\Delta \varphi}</math>		:<math>C_M = \frac {M}{\varphi}</math> oder <math>C_M = \frac {\Delta M}{\Delta \varphi}</math>

	*'''Beispiel:''' Der Druck am Boden eines zylinderförmigen Gefässes ist proportional zur Füllhöhe. Setzt man das hydrostatische Gesetzt in die Definition für die Kapazität ein, erhält man <math>C_V = \frac {A \Delta h}{\rho g \Delta h} = \frac {A}{\rho g}</math>		*'''Beispiel:''' Der Druck am Boden eines zylinderförmigen Gefässes ist proportional zur Füllhöhe. Setzt man das hydrostatische Gesetzt in die Definition für die Kapazität ein, erhält man <math>C_V = \frac {A \Delta h}{\rho g \Delta h} = \frac {A}{\rho g}</math>
Zeile 12:		Zeile 12:
	Der Begriff Kapazität ist auch anwendbar, wenn das Potenzial nicht proportional mit der gespeicherten Menge wächst, wenn die Kapazität nicht konstant ist. In diesem Fall ist die Kapazität eine Funktion des Potenzials		Der Begriff Kapazität ist auch anwendbar, wenn das Potenzial nicht proportional mit der gespeicherten Menge wächst, wenn die Kapazität nicht konstant ist. In diesem Fall ist die Kapazität eine Funktion des Potenzials

	<math>C(\varphi) = \frac {dM(\varphi)}{d\varphi}</math>		:<math>C(\varphi) = \frac {dM(\varphi)}{d\varphi}</math>

	Die Menge berechnet sich dann durch eine Integration über alle Zwischenzustände (Füllzustände):		Die Menge berechnet sich dann durch eine Integration über alle Zwischenzustände (Füllzustände):

	<math>M_{Speicher} = \int dM = \int C(\varphi)d\varphi</math>		:<math>M_{Speicher} = \int dM = \int C(\varphi)d\varphi</math>

	*'''Beispiel:''' Der Inhalt eines Gefässes kann berechnet werden, sobald der Querschnitt in Funktion der Höhe bekannt ist <math>V_{Speicher} = \int C_V(p)dp = \int \frac{A(h)}{\rho g} \rho g dh = \int A(h) dh</math>		*'''Beispiel:''' Der Inhalt eines Gefässes kann berechnet werden, sobald der Querschnitt in Funktion der Höhe bekannt ist :<math>V_{Speicher} = \int C_V(p)dp = \int \frac{A(h)}{\rho g} \rho g dh = \int A(h) dh</math>

	In diesem einfachen Beispiel kürzen sich die Konstanten [[Gravitationsfeld\|Graviationsfeldstärke]] ''g'' und Dichte ''ρ'' weg.		In diesem einfachen Beispiel kürzen sich die Konstanten [[Gravitationsfeld\|Graviationsfeldstärke]] ''g'' und Dichte ''ρ'' weg.

Admin: /* Energie */

2007-07-29T15:03:15Z

Energie

← Nächstältere Version		Version vom 29. Juli 2007, 15:03 Uhr
Zeile 74:		Zeile 74:
	<math>\dot W = \sum_i I_{W_i} = \sum_i {I_{M_i} \varphi_{M_i}= \left (\sum_i {I_{M_i} \right ) \varphi_M = \dot M \varphi_M</math>		<math>\dot W = \sum_i I_{W_i} = \sum_i {I_{M_i} \varphi_{M_i}= \left (\sum_i {I_{M_i} \right ) \varphi_M = \dot M \varphi_M</math>

	Multipliziert man die [[~~Änderungsraten~~]] mit dem Zeitschritt ''dt'' und integriert (summiert) über alle Zwischenzustände, folgt:		Multipliziert man die [[Änderungsrate]]n mit dem Zeitschritt ''dt'' und integriert (summiert) über alle Zwischenzustände, folgt:

	<math>\Delta W = \int \dot M \varphi_M dt = \int \varphi_M \dot M dt = \int \varphi_M dM</math>		<math>\Delta W = \int \dot M \varphi_M dt = \int \varphi_M \dot M dt = \int \varphi_M dM</math>

Admin: /* Beispiele */

2006-11-29T05:56:08Z

Beispiele

← Nächstältere Version		Version vom 29. November 2006, 05:56 Uhr
Zeile 103:		Zeile 103:
	\|-		\|-
	\|Elektrodynamik		\|Elektrodynamik
	\|Kondensator		\|[[Kondensator]]
	\|Kapazität ''C''		\|Kapazität ''C''
	\|<math>\frac {1}{2}CU^2</math>		\|<math>\frac {1}{2}CU^2</math>

Admin: /* Beispiele */

2006-11-28T20:10:37Z

Beispiele

← Nächstältere Version		Version vom 28. November 2006, 20:10 Uhr
Zeile 41:		Zeile 41:
	\|''A<sup>2</sup>/D''		\|''A<sup>2</sup>/D''
	\|m<sup>3</sup>/Pa = m<sup>4</sup>s<sup>2</sup>/kg		\|m<sup>3</sup>/Pa = m<sup>4</sup>s<sup>2</sup>/kg
	\|''D'' Richtgrösse oder Gesamtfederkonstante		\|''D'': Richtgrösse oder Gesamtfederkonstante
	\|-		\|-
	\|Elektrodynamik		\|Elektrodynamik
	\|[[Plattenkondensator]]		\|[[Kondensator\|Plattenkondensator]]
	\|''ε<sub>0</sub>A/d''		\|''ε<sub>0</sub>A/d''
	\|Farad (F)		\|Farad (F)
	\|''d'' Plattenabstand		\|''d'': Plattenabstand
	\|-		\|-
	\|Translationsmechanik		\|Translationsmechanik

Admin: /* Begriff */

2006-11-19T11:13:32Z

Begriff

← Nächstältere Version		Version vom 19. November 2006, 11:13 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:
	Das kapazitive Gesetz verknüpft die gespeicherte Menge oder [[Primärgrösse]] mit dem zugehörigen [[Potenzial]]. Bei jedem Speicher ist das Potenzial eine Funktion der Menge: sobald man zu einem bestimmten Zeitpunkt den Inhalt eines Systems kennt, kann das zugehörige Potenzial berechnet werden.		Das kapazitive Gesetz verknüpft die gespeicherte Menge oder [[Primärgrösse]] mit dem zugehörigen [[Potenzial]]. Bei jedem Speicher ist das Potenzial eine Funktion der Menge: sobald man zu einem bestimmten Zeitpunkt den Inhalt eines Systems kennt, kann das zugehörige Potenzial berechnet werden.

	*'''Beispiel:''' Der [[Druck]] in der Zuleitung zu einem Hydraulikspeicher([[Blasenspeicher]], [[Federspeicher]] oder Gefäss) hängt direkt vom Füllzustand des Speichers ab.		*'''Beispiel:''' Der [[Druck]] in der Zuleitung zu einem Hydraulikspeicher ([[Blasenspeicher]], [[Federspeicher]] oder Gefäss) hängt direkt vom Füllzustand des Speichers ab.

	Im einfachsten Fall nimmt das Potenzial proportional mit der Menge zu (Füllstand wächst proportional mit dem Inhalt). Die zugehörige '''Kapazität''' ist dann eine Konstante. Die Kapazität kann entweder absolut oder relativ definiert werden		Im einfachsten Fall nimmt das Potenzial proportional mit der Menge zu (Füllstand wächst proportional mit dem Inhalt). Die zugehörige '''Kapazität''' ist dann eine Konstante. Die Kapazität kann entweder absolut oder relativ definiert werden
Zeile 10:		Zeile 10:
	*'''Beispiel:''' Der Druck am Boden eines zylinderförmigen Gefässes ist proportional zur Füllhöhe. Setzt man das hydrostatische Gesetzt in die Definition für die Kapazität ein, erhält man <math>C_V = \frac {A \Delta h}{\rho g \Delta h} = \frac {A}{\rho g}</math>		*'''Beispiel:''' Der Druck am Boden eines zylinderförmigen Gefässes ist proportional zur Füllhöhe. Setzt man das hydrostatische Gesetzt in die Definition für die Kapazität ein, erhält man <math>C_V = \frac {A \Delta h}{\rho g \Delta h} = \frac {A}{\rho g}</math>

	Der Begriff Kapazität ist auch ~~verwendbar~~, wenn das Potenzial nicht proportional mit der gespeicherten Menge wächst, wenn die Kapazität nicht konstant ist. In diesem Fall ist die Kapazität eine Funktion des Potenzials		Der Begriff Kapazität ist auch anwendbar, wenn das Potenzial nicht proportional mit der gespeicherten Menge wächst, wenn die Kapazität nicht konstant ist. In diesem Fall ist die Kapazität eine Funktion des Potenzials

	<math>C(\varphi) = \frac {dM(\varphi)}{d\varphi}</math>		<math>C(\varphi) = \frac {dM(\varphi)}{d\varphi}</math>

Admin: /* Begriff */

2006-11-19T11:11:46Z

Begriff

Admin: /* Energie */

2006-11-19T11:10:13Z

Energie

← Nächstältere Version		Version vom 19. November 2006, 11:10 Uhr
Zeile 82:		Zeile 82:
	<math>\Delta W = \int \dot M \varphi_M dt = \int \varphi_M \dot M dt = \int \varphi_M dM</math>		<math>\Delta W = \int \dot M \varphi_M dt = \int \varphi_M \dot M dt = \int \varphi_M dM</math>

	Die Energie eines homogenen Speichers entspricht somit der Fläche unter der Potenzial-Mengen-Kurve. Ersetzt man den differenziellen Mengenzuwachs durch das Kapazitivgesetzt, kann über das Potenzial integriert werden		Die Energie eines homogenen Speichers entspricht somit der '''Fläche unter der Potenzial-Mengen-Kurve'''. Ersetzt man den differenziellen Mengenzuwachs durch das Kapazitivgesetzt, kann über das Potenzial integriert werden

	<math>\Delta W = \int \varphi_M dM = \int \varphi_M C_M(\varphi)d \varphi</math>		<math>\Delta W = \int \varphi_M dM = \int \varphi_M C_M(\varphi)d \varphi</math>

Admin: /* Energie */

2006-11-19T11:08:39Z

Energie

← Nächstältere Version		Version vom 19. November 2006, 11:08 Uhr
Zeile 89:		Zeile 89:

	<math>W_{Speicher} = \frac {1}{2} C_M \varphi_M^2</math>		<math>W_{Speicher} = \frac {1}{2} C_M \varphi_M^2</math>

			==Beispiele==

			{\|
			!width = "150"\|Gebiet
			!width = "150"\|Element
			!width = "150"\|Kapazität
			!width = "200"\|Energie
			!width = "200"\|Bemerkung
			\|-

			\|Hydrodynamik
			\|[[Federspeicher]]
			\|''C<sub>V</sub> = A<sup>2</sup>/D''
			\|<math>\frac {1}{2}C_V(p^2 - p_0^2)</math>
			\|''p<sub>0</sub>'': Druck bei leerem Speicher
			\|-
			\|Elektrodynamik
			\|Kondensator
			\|Kapazität ''C''
			\|<math>\frac {1}{2}CU^2</math>
			\|falls ''C'' unabhängig von ''U''
			\|-
			\|Translationsmechanik
			\|[[starrer Körper]]
			\|träge Masse ''m''
			\|<math>\frac {1}{2}m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)</math>
			\|falls ''v'' << Lichtgeschwindigkeit
			\|-
			\|Rotationsmechanik
			\|[[starrer Körper]]
			\|Massenträgheit ''J''
			\|<math>\frac {1}{2}m\omega^2</math>
			\|nur für Rotation um Hauptachse
			\|-
			\|Thermodynamik
			\|homogener Stoff
			\|''mc<sub>S</sub>''
			\|<math>\Delta S = \int m c_S(T) dT</math>
			\|''c<sub>S</sub>'' hängt von ''T'' ab
			\|-
			\|}


	[[Kategorie:Basis]]		[[Kategorie:Basis]]

← Nächstältere Version		Version vom 19. November 2006, 11:11 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:
	Das kapazitive Gesetz verknüpft die gespeicherte Menge oder [[Primärgrösse]] mit dem zugehörigen [[Potenzial]]. Bei jedem Speicher ist das Potenzial eine Funktion der Menge: sobald man zu einem bestimmten Zeitpunkt den Inhalt eines Systems kennt, kann das zugehörige Potenzial berechnet werden.		Das kapazitive Gesetz verknüpft die gespeicherte Menge oder [[Primärgrösse]] mit dem zugehörigen [[Potenzial]]. Bei jedem Speicher ist das Potenzial eine Funktion der Menge: sobald man zu einem bestimmten Zeitpunkt den Inhalt eines Systems kennt, kann das zugehörige Potenzial berechnet werden.

	'''Beispiel:''' Der [[Druck]] in der Zuleitung zu einem Hydraulikspeicher([[Blasenspeicher]], [[Federspeicher]] oder Gefäss) hängt direkt vom Füllzustand des Speichers ab.		*'''Beispiel:''' Der [[Druck]] in der Zuleitung zu einem Hydraulikspeicher([[Blasenspeicher]], [[Federspeicher]] oder Gefäss) hängt direkt vom Füllzustand des Speichers ab.

	Im einfachsten Fall nimmt das Potenzial proportional mit der Menge zu (Füllstand wächst proportional mit dem Inhalt). Die zugehörige '''Kapazität''' ist dann eine Konstante. Die Kapazität kann entweder absolut oder relativ definiert werden		Im einfachsten Fall nimmt das Potenzial proportional mit der Menge zu (Füllstand wächst proportional mit dem Inhalt). Die zugehörige '''Kapazität''' ist dann eine Konstante. Die Kapazität kann entweder absolut oder relativ definiert werden
Zeile 8:		Zeile 8:
	<math>C_M = \frac {M}{\varphi}</math> oder <math>C_M = \frac {\Delta M}{\Delta \varphi}</math>		<math>C_M = \frac {M}{\varphi}</math> oder <math>C_M = \frac {\Delta M}{\Delta \varphi}</math>

	'''Beispiel:''' Der Druck am Boden eines zylinderförmigen Gefässes ist proportional zur Füllhöhe. Setzt man das hydrostatische Gesetzt in die Definition für die Kapazität ein, erhält man		*'''Beispiel:''' Der Druck am Boden eines zylinderförmigen Gefässes ist proportional zur Füllhöhe. Setzt man das hydrostatische Gesetzt in die Definition für die Kapazität ein, erhält man <math>C_V = \frac {A \Delta h}{\rho g \Delta h} = \frac {A}{\rho g}</math>

	<math>C_V = \frac {A \Delta h}{\rho g \Delta h} = \frac {A}{\rho g}</math>

	Der Begriff Kapazität ist auch verwendbar, wenn das Potenzial nicht proportional mit der gespeicherten Menge wächst, wenn die Kapazität nicht konstant ist. In diesem Fall ist die Kapazität eine Funktion des Potenzials		Der Begriff Kapazität ist auch verwendbar, wenn das Potenzial nicht proportional mit der gespeicherten Menge wächst, wenn die Kapazität nicht konstant ist. In diesem Fall ist die Kapazität eine Funktion des Potenzials
Zeile 20:		Zeile 18:
	<math>M_{Speicher} = \int dM = \int C(\varphi)d\varphi</math>		<math>M_{Speicher} = \int dM = \int C(\varphi)d\varphi</math>

	'''Beispiel:''' Der Inhalt eines Gefässes kann berechnet werden, sobald der Querschnitt in Funktion der Höhe bekannt ist		*'''Beispiel:''' Der Inhalt eines Gefässes kann berechnet werden, sobald der Querschnitt in Funktion der Höhe bekannt ist <math>V_{Speicher} = \int C_V(p)dp = \int \frac{A(h)}{\rho g} \rho g dh = \int A(h) dh</math>

	<math>V_{Speicher} = \int C_V(p)dp = \int \frac{A(h)}{\rho g} \rho g dh = \int A(h) dh</math>

	In diesem einfachen Beispiel kürzen sich die Konstanten [[Gravitationsfeld\|Graviationsfeldstärke]] ''g'' und Dichte ''ρ'' weg.		In diesem einfachen Beispiel kürzen sich die Konstanten [[Gravitationsfeld\|Graviationsfeldstärke]] ''g'' und Dichte ''ρ'' weg.