Kettenlinie - Versionsgeschichte

Admin: /* Seillänge */

2015-08-14T12:18:54Z

Seillänge

← Nächstältere Version		Version vom 14. August 2015, 12:18 Uhr
Zeile 102:		Zeile 102:
	Die Länge einer Linie in der ''x''-''y''-Ebene berechnet sich aus der Summe über alle Teile		Die Länge einer Linie in der ''x''-''y''-Ebene berechnet sich aus der Summe über alle Teile

	:<math>L = \int_{s_1}^{s_2} ds = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1+(y^')^2}dx </math>		:<math>L = \int_{s_1}^{s_2} ds = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1+(y')^2}dx </math>

	Setzt man für ''y'' die Funktion der Kettenlinie ein, ergibt sich eine Länge von		Setzt man für ''y'' die Funktion der Kettenlinie ein, ergibt sich eine Länge von

Admin: /* Impulsströme */

2015-08-14T12:18:08Z

Impulsströme

← Nächstältere Version		Version vom 14. August 2015, 12:18 Uhr
Zeile 70:		Zeile 70:
	dividieren sie durch die Stärke des ''x''-Impulsstromes ''F<sub>h</sub>'' und vereinfachen mittels der Substitution ''u = F<sub>v</sub> / F<sub>h</sub> = dy / dx''		dividieren sie durch die Stärke des ''x''-Impulsstromes ''F<sub>h</sub>'' und vereinfachen mittels der Substitution ''u = F<sub>v</sub> / F<sub>h</sub> = dy / dx''

	:<math>du=\frac {m^*g}{F_h}dx\sqrt{1+(u^')^2}=\frac{1}{k}dx\sqrt{1+(u^')^2}</math>		:<math>du=\frac {m^*g}{F_h}dx\sqrt{1+(u')^2}=\frac{1}{k}dx\sqrt{1+(u')^2}</math>

	Separiert und integriert liefert diese Gleichung die Lösung		Separiert und integriert liefert diese Gleichung die Lösung

Admin: /* systemdynamische Herleitung */

2015-08-14T12:17:10Z

systemdynamische Herleitung

← Nächstältere Version		Version vom 14. August 2015, 12:17 Uhr
Zeile 42:		Zeile 42:
	oder nach der gleichen Umformung wie oben		oder nach der gleichen Umformung wie oben

	:<math>I_{py}^'=-m^*g \sqrt{1+(y^')^2}</math>		:<math>I_{py}'=-m^*g \sqrt{1+(y')^2}</math>

	Weil das Seil ideal weich bezüglich [[Biegung]] ist, kann es keinen [[Drehimpuls]] transportieren. Folglich dürfen keine [[Drehimpulsquelle]]n auftreten. Die Forderung nach [[Quelle]]nfreiheit führt zu einer zusätzlichen Forderung		Weil das Seil ideal weich bezüglich [[Biegung]] ist, kann es keinen [[Drehimpuls]] transportieren. Folglich dürfen keine [[Drehimpulsquelle]]n auftreten. Die Forderung nach [[Quelle]]nfreiheit führt zu einer zusätzlichen Forderung
Zeile 50:		Zeile 50:
	oder		oder

	:<math>\frac {I_{py}}{I_{px}}=\frac {dy}{dx}=y^'</math>		:<math>\frac {I_{py}}{I_{px}}=\frac {dy}{dx}=y'</math>

	Löst man nach der ''y''-Komponente auf und leitet nochmals nach ''x'' ab, erhält man nach dem Einsetzen ebenfalls die Gleichung für die Kettenlinie		Löst man nach der ''y''-Komponente auf und leitet nochmals nach ''x'' ab, erhält man nach dem Einsetzen ebenfalls die Gleichung für die Kettenlinie

	:<math>y^{''}= -\frac{ m^*g}{I_{px}}\sqrt{1+(y^')^2}</math>		:<math>y''= -\frac{ m^*g}{I_{px}}\sqrt{1+(y')^2}</math>

	Das Minuszeichen hat keine Bedeutung, da die Stromstärke des ''x''-Impulses auch negativ ist.		Das Minuszeichen hat keine Bedeutung, da die Stromstärke des ''x''-Impulses auch negativ ist.

Admin: /* klassische Herleitung */

2015-08-14T12:15:29Z

klassische Herleitung

← Nächstältere Version		Version vom 14. August 2015, 12:15 Uhr
Zeile 25:		Zeile 25:
	oder nach einer Division mit ''dx'' und der üblichen Bezeichnung für die Ableitung nach einer Ortsvariablen		oder nach einer Division mit ''dx'' und der üblichen Bezeichnung für die Ableitung nach einer Ortsvariablen

	:<math>\frac {dF_v}{dx} = F_v^' = m^* g \sqrt{1 + (y^')^2}</math>		:<math>\frac {dF_v}{dx} = F_v' = m* g \sqrt{1 + (y')^2}</math>

	Weil das [[Seil]] oder die Kette ideal biegsam ist, muss die Kraft auf einen beliebigen Querschnitt immer normal zur Schnittebene stehen. Dies führt zu folgender Zusatzbedingung		Weil das [[Seil]] oder die Kette ideal biegsam ist, muss die Kraft auf einen beliebigen Querschnitt immer normal zur Schnittebene stehen. Dies führt zu folgender Zusatzbedingung

	:<math>\frac {F_v}{F_h} = \frac {dy}{dx} = y^'</math>		:<math>\frac {F_v}{F_h} = \frac {dy}{dx} = y'</math>

	Leitet man diese Bedingung noch einmal nach der Ortsvariable ''x'' ab, folgt daraus nach dem Einsetzen in die ''y''-Gleichgewichtsbedingung die Differentialgleichung für die Kettenlinie		Leitet man diese Bedingung noch einmal nach der Ortsvariable ''x'' ab, folgt daraus nach dem Einsetzen in die ''y''-Gleichgewichtsbedingung die Differentialgleichung für die Kettenlinie

	:<math>y^{''} = \frac { m^* g }{F_h}\sqrt{1 + (y^')^2} </math>		:<math>y'' = \frac { m^* g }{F_h}\sqrt{1 + (y')^2} </math>

	==systemdynamische Herleitung==		==systemdynamische Herleitung==

Admin: /* Impulsströme */

2010-09-28T07:37:34Z

Impulsströme

← Nächstältere Version		Version vom 28. September 2010, 07:37 Uhr
Zeile 66:		Zeile 66:
	Wir setzen nun auf die klassische Schreibweise, übernehmen aber die Idee, dass jede Kraftkomponente die Stärke eines Impulsstromes bezüglich einer Referenzfläche beschreibt, aus der [[Physik der dynamischen Systeme]]. Wir beginnen mit der Gleichung, welche die Änderung der Impulsstromstärke längs der ''x''-Achse beschreibt,		Wir setzen nun auf die klassische Schreibweise, übernehmen aber die Idee, dass jede Kraftkomponente die Stärke eines Impulsstromes bezüglich einer Referenzfläche beschreibt, aus der [[Physik der dynamischen Systeme]]. Wir beginnen mit der Gleichung, welche die Änderung der Impulsstromstärke längs der ''x''-Achse beschreibt,

	:<math>dF_v = m* ~~g dx~~ \sqrt{1 + \frac {dy^2} {dx^2}}</math>		:<math>dF_v=m^*gdx\sqrt{1+\frac {dy^2}{dx^2}}</math>

	dividieren sie durch die Stärke des ''x''-Impulsstromes ''F<sub>h</sub>'' und vereinfachen mittels der Substitution ''u = F<sub>v</sub> / F<sub>h</sub> = dy / dx''		dividieren sie durch die Stärke des ''x''-Impulsstromes ''F<sub>h</sub>'' und vereinfachen mittels der Substitution ''u = F<sub>v</sub> / F<sub>h</sub> = dy / dx''

	:<math>du = \frac {m* g}{F_h} dx \sqrt{1 + (u^')^2} = \frac {1}{k} dx \sqrt{1 + (u^')^2}</math>		:<math>du=\frac {m^*g}{F_h}dx\sqrt{1+(u^')^2}=\frac{1}{k}dx\sqrt{1+(u^')^2}</math>

	Separiert und integriert liefert diese Gleichung die Lösung		Separiert und integriert liefert diese Gleichung die Lösung

	:<math>~~arsinh~~(u) = \frac {x}{k} + C = \frac {x - x_0}{k}</math>		:<math>arcsinh(u)=\frac{x}{k}+C=\frac{x-x_0}{k}</math>

	oder nach ''u'' aufgelöst		oder nach ''u'' aufgelöst

	:<math>u = \sinh (\frac {x - x_0}{k})</math>		:<math>u=\sinh(\frac{x-x_0}{k})</math>

	Setzt man die ''x''-Werte bei der tiefsten Stelle des Seils gleich Null, gilt		Setzt man die ''x''-Werte bei der tiefsten Stelle des Seils gleich Null, gilt

	:<math>u = \sinh (\frac {x}{k})</math>		:<math>u=\sinh(\frac {x}{k})</math>

	Aufgelöst nach den Impulsstromstärken erhält man die Stärke des ''y''-Impulsstromes in Funktion von ''x''		Aufgelöst nach den Impulsstromstärken erhält man die Stärke des ''y''-Impulsstromes in Funktion von ''x''

Admin: /* systemdynamische Herleitung */

2010-09-28T07:33:26Z

systemdynamische Herleitung

← Nächstältere Version		Version vom 28. September 2010, 07:33 Uhr
Zeile 38:		Zeile 38:
	Durch das ideale Seil fliesst ein konstanter ''x''-Impulsstrom gegen die ''x''-Achse (''I<sub>px</sub>'' < 0). Zusätzlich fliesst der ''y''-Impuls von beiden Befestungsstellen ins Seil hinein und geht entsprechend der Massenbelegung ans [[Gravitationsfeld]] weg. Für die Änderung der Stromstärke des ''y''-Impulsstroms längs des Seils gilt		Durch das ideale Seil fliesst ein konstanter ''x''-Impulsstrom gegen die ''x''-Achse (''I<sub>px</sub>'' < 0). Zusätzlich fliesst der ''y''-Impuls von beiden Befestungsstellen ins Seil hinein und geht entsprechend der Massenbelegung ans [[Gravitationsfeld]] weg. Für die Änderung der Stromstärke des ''y''-Impulsstroms längs des Seils gilt

	:<math>dI_{py} = -m* g ds = -\mu g \sqrt{dx^2 + dy^2}</math>		:<math>dI_{py}=-m^*g ds = -\mu g \sqrt{dx^2 + dy^2}</math>

	oder nach der gleichen Umformung wie oben		oder nach der gleichen Umformung wie oben

	:<math>I_{py}^' = -m* g \sqrt{1 + (y^')^2}</math>		:<math>I_{py}^'=-m^*g \sqrt{1+(y^')^2}</math>

	Weil das Seil ideal weich bezüglich [[Biegung]] ist, kann es keinen [[Drehimpuls]] transportieren. Folglich dürfen keine [[Drehimpulsquelle]]n auftreten. Die Forderung nach [[Quelle]]nfreiheit führt zu einer zusätzlichen Forderung		Weil das Seil ideal weich bezüglich [[Biegung]] ist, kann es keinen [[Drehimpuls]] transportieren. Folglich dürfen keine [[Drehimpulsquelle]]n auftreten. Die Forderung nach [[Quelle]]nfreiheit führt zu einer zusätzlichen Forderung

	:<math>dy I_{px} - dx I_{py} = 0</math>		:<math>dy I_{px}-dx I_{py}=0</math>

	oder		oder

	:<math>\frac {I_{py}}{I_{px}} = \frac {dy}{dx} = y^'</math>		:<math>\frac {I_{py}}{I_{px}}=\frac {dy}{dx}=y^'</math>

	Löst man nach der ''y''-Komponente auf und leitet nochmals nach ''x'' ab, erhält man nach dem Einsetzen ebenfalls die Gleichung für die Kettenlinie		Löst man nach der ''y''-Komponente auf und leitet nochmals nach ''x'' ab, erhält man nach dem Einsetzen ebenfalls die Gleichung für die Kettenlinie

	:<math>y^{''} = -\frac { m* g }{I_{px}}\sqrt{1 + (y^')^2} </math>		:<math>y^{''}= -\frac{ m^*g}{I_{px}}\sqrt{1+(y^')^2}</math>

	Das Minuszeichen hat keine Bedeutung, da die Stromstärke des ''x''-Impulses auch negativ ist.		Das Minuszeichen hat keine Bedeutung, da die Stromstärke des ''x''-Impulses auch negativ ist.

Admin: /* klassische Herleitung */

2010-09-28T07:28:28Z

klassische Herleitung

← Nächstältere Version		Version vom 28. September 2010, 07:28 Uhr
Zeile 17:		Zeile 17:
	Die Gewichtskraft ist gleich Masse pro Länge ''m*'' mal Länge des Seilabschnittes ''ds'' mal [[Gravitationsfeld\|Gravitationsfeldstärke]] ''g''		Die Gewichtskraft ist gleich Masse pro Länge ''m*'' mal Länge des Seilabschnittes ''ds'' mal [[Gravitationsfeld\|Gravitationsfeldstärke]] ''g''

	:<math>F_G = m* ds g </math>		:<math>F_G = m^* ds g </math>

	Nun führen wird für die Vertikalkomponente der Kräfte eine laufende Kraftvariable ''F<sub>v</sub>''(''x'') ein und verwenden für die konstant bleibende Horizontalkomponente den Parameter ''F<sub>h</sub>''. Damit wird die Gleichgewichtsbedingung in ''y''-Richtung zu		Nun führen wird für die Vertikalkomponente der Kräfte eine laufende Kraftvariable ''F<sub>v</sub>''(''x'') ein und verwenden für die konstant bleibende Horizontalkomponente den Parameter ''F<sub>h</sub>''. Damit wird die Gleichgewichtsbedingung in ''y''-Richtung zu

	:<math>dF_v = m* g ds = m* g \sqrt{dx^2 + dy^2} = m* g dx \sqrt{1 + \frac {dy^2} {dx^2}}</math>		:<math>dF_v = m^* g ds = m^* g \sqrt{dx^2 + dy^2} = m^* g dx \sqrt{1 + \frac {dy^2} {dx^2}}</math>

	oder nach einer Division mit ''dx'' und der üblichen Bezeichnung für die Ableitung nach einer Ortsvariablen		oder nach einer Division mit ''dx'' und der üblichen Bezeichnung für die Ableitung nach einer Ortsvariablen

	:<math>\frac {dF_v}{dx} = F_v^' = m* g \sqrt{1 + (y^')^2}</math>		:<math>\frac {dF_v}{dx} = F_v^' = m^* g \sqrt{1 + (y^')^2}</math>

	Weil das [[Seil]] oder die Kette ideal biegsam ist, muss die Kraft auf einen beliebigen Querschnitt immer normal zur Schnittebene stehen. Dies führt zu folgender Zusatzbedingung		Weil das [[Seil]] oder die Kette ideal biegsam ist, muss die Kraft auf einen beliebigen Querschnitt immer normal zur Schnittebene stehen. Dies führt zu folgender Zusatzbedingung
Zeile 33:		Zeile 33:
	Leitet man diese Bedingung noch einmal nach der Ortsvariable ''x'' ab, folgt daraus nach dem Einsetzen in die ''y''-Gleichgewichtsbedingung die Differentialgleichung für die Kettenlinie		Leitet man diese Bedingung noch einmal nach der Ortsvariable ''x'' ab, folgt daraus nach dem Einsetzen in die ''y''-Gleichgewichtsbedingung die Differentialgleichung für die Kettenlinie

	:<math>y^{''} = \frac { m* g }{F_h}\sqrt{1 + (y^')^2} </math>		:<math>y^{''} = \frac { m^* g }{F_h}\sqrt{1 + (y^')^2} </math>

	==systemdynamische Herleitung==		==systemdynamische Herleitung==

Admin: /* klassische Herleitung */

2007-08-02T10:59:27Z

klassische Herleitung

← Nächstältere Version		Version vom 2. August 2007, 10:59 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	==klassische Herleitung==		==klassische Herleitung==
	[[Bild:Kettenlinie_SB.png\|thumb\|Schnittbild eines Kettengliedes]] In der [[technischen Mechanik]] geht man Probleme dieser Art nach einem standardisierten Verfahren an		[[Bild:Kettenlinie_SB.png\|thumb\|Schnittbild eines Kettengliedes]] In der [[technische Mechanik\|technischen Mechanik]] geht man Probleme dieser Art nach einem standardisierten Verfahren an
	*[[Freischneiden]]		*[[Freischneiden]]
	*Gleichgewichtsbedingungen formulieren		*Gleichgewichtsbedingungen formulieren

Admin: /* Anwendungen */

2007-06-03T19:49:25Z

Anwendungen

← Nächstältere Version		Version vom 3. Juni 2007, 19:49 Uhr
Zeile 109:		Zeile 109:

	==Anwendungen==		==Anwendungen==
			===Drähte===
			An Masten aufgehängte Drähte nehmen die Form einer Kettenlinie an. Technisch wichtige Beispiele sind
			*Hochspannungsleitungen
			*unbelastetes Trag- oder Zugseil einer Luftseilbahn
			*Tragseil bei der Oberleitung der Eisenbahnen. Weil dieser Draht den Fahrdraht hält, bildet er keine exakte Kettenlinie

			===Bogen===
			Die an der Horizontalen gespiegelte Kettenlinie entspricht dem Verlauf eines selbsttragenden Bogens. In einem solchen Bogen wird kein [[Drehimpuls]] transportiert. Folglich steht er nicht unter [[Biegung]]. Sowohl der ''x''- als auch der ''y''-Impuls strömen so durch den Bogen, dass dieser unter reiner Druckbelastung steht. Der tiefere Grund dafür, dass die in der Kette vorhandene Zugspannung (Impulsstöme fliessen rückwärts) im Bogen in Druckspannung (Impulsströme fliessen vorwärts) übergeht, ist bei der Spiegelung selber zu suchen. Bildet man ein Objekt im Spiegel ab, ändert sich dessen [[Chiralität]].
	[[Kategorie:Trans]]		[[Kategorie:Trans]]

Admin: /* Seillänge */

2007-06-03T19:13:38Z

Seillänge

← Nächstältere Version		Version vom 3. Juni 2007, 19:13 Uhr
Zeile 100:		Zeile 100:

	===Seillänge===		===Seillänge===
	Die Länge der ~~Kette~~ berechnet sich aus der Summe über alle Teile		Die Länge einer Linie in der ''x''-''y''-Ebene berechnet sich aus der Summe über alle Teile

	:<math>L = \int_{s_1}^{s_2} ds = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1+(y^')^2}dx </math>		:<math>L = \int_{s_1}^{s_2} ds = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1+(y^')^2}dx </math>

			Setzt man für ''y'' die Funktion der Kettenlinie ein, ergibt sich eine Länge von

			:<math>L = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1+\sinh\left(\frac {x}{k}\right)^2}dx = \int_{x_1}^{x_2} \cosh\left(\frac {x}{k}\right)dx = k\left( \sinh \left(\frac {x_2}{k}\right) - \sinh\left(\frac {x_1}{k}\right)\right)</math>

	==Anwendungen==		==Anwendungen==