Kontinuitätsgleichung - Versionsgeschichte

Thomas Rüegg am 4. März 2008 um 08:28 Uhr

2008-03-04T08:28:17Z

Admin: /* Impuls */

2007-03-14T12:02:55Z

Impuls

← Nächstältere Version		Version vom 14. März 2007, 12:02 Uhr
Zeile 64:		Zeile 64:
	Differenziert man die einzelnen Terme aus und verwendet die Massenbilanz als Hilfsgleichung, erhält man		Differenziert man die einzelnen Terme aus und verwendet die Massenbilanz als Hilfsgleichung, erhält man

	:<math>\rho v_{i,t} + \rho ~~v_i~~ v_{j,i} = \rho g_i + \sigma_{ji,i}</math>		:<math>\rho v_{i,t} + \rho v_j v_{i,j} = \rho g_i + \sigma_{ji,i}</math>

	===Entropie===		===Entropie===

Admin: /* Entropie */

2007-03-14T12:00:08Z

Entropie

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Zeile 67:		Zeile 67:

	===Entropie===		===Entropie===
			Die [[Entropie]] ist ein produzierbare, skalare Grösse, die leitungsartig, strahlungsartig und quellenartig (feldartig) ausgetauscht werden kann. Deshalb nimmt die Kontinuitätsgleichung für die Entropie rein formal die folgende Gestalt an

			:<math>\rho_{S_{,t}} + j_{S_{i,i}} + (\rho_S v_i)_i = \sigma_S + \pi_S</math>

	[[Kategorie:Basis]] [[Kategorie:OffSys]]		[[Kategorie:Basis]] [[Kategorie:OffSys]]

Admin: /* Impuls */

2007-03-14T11:55:06Z

Impuls

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Zeile 56:		Zeile 56:
	Der [[Impuls]] ist eine vektorwertige Grösse, die leitungsartig, konvektiv und quellenartig ausgetauscht werden. Folglich ist die Stromdichte ein [[Tensor]] zweiter Stufe und die Kontinuitätsgleichung umfasst vier Terme		Der [[Impuls]] ist eine vektorwertige Grösse, die leitungsartig, konvektiv und quellenartig ausgetauscht werden. Folglich ist die Stromdichte ein [[Tensor]] zweiter Stufe und die Kontinuitätsgleichung umfasst vier Terme

	:<math>\rho_{p_{i,t}} + j_{p_{i,i}} + j_{~~pc_~~{i,i}} = \sigma_i</math>		:<math>\rho_{p_{i,t}} + j_{p_{i,i}} + j_{{conv p}_{i,i}} = \sigma_i</math>

			Nun kann die Impulsdichte als Massendichte mal Strömungsgeschwindigkeit und die konvektive Impulsstromdichte als Massendichte mal das Tensorprodukt aus der Strömungsgeschwindigkeit geschrieben werden. Die leitungsartige Impulsstromdichte ist gleich minus der transponierte Spannungstensor ''σ'' und (gravitative) Impulsquelle ist gleich Dichte mal Gravitationsfeldstärke
	Nun ist die Impulsdichte gleich Dichte mal Strömungsgeschwindigkeit,

			:<math>(\rho v_i)_t - \sigma_{ji,i} + (\rho v_i v_j)_{,i} = \rho g_i</math>

			Differenziert man die einzelnen Terme aus und verwendet die Massenbilanz als Hilfsgleichung, erhält man

			:<math>\rho v_{i,t} + \rho v_i v_{j,i} = \rho g_i + \sigma_{ji,i}</math>

	===Entropie===		===Entropie===

Admin am 14. März 2007 um 11:00 Uhr

2007-03-14T11:00:24Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. März 2007, 11:00 Uhr
Zeile 32:		Zeile 32:

	===elektrische Ladung===		===elektrische Ladung===
	Die elektrische Ladung ist eine skalare, erhaltene Grösse, die ~~weder~~ quellenartig ~~noch~~ feldartig ausgetauscht werden kann. Folglich reduziert sich die Kontinuitätsgleichung ~~für die Ladung~~ auf zwei Terme		Die [[elektrische Ladung]] ist eine skalare, erhaltene Grösse, die nicht quellenartig (feldartig) ausgetauscht werden kann. Folglich reduziert sich die Kontinuitätsgleichung auf zwei Terme

	:<math>~~\dot~~ \rho_{Q_t} + j_{i,i} = 0</math>		:<math>\rho_{Q_t} + j_{i,i} = 0</math>

	In einem elektrischen Leiter die ~~(negative)~~ Divergenz der Stromdichte zu ~~einer~~ Änderungsrate der Ladungsdichte. Weil ein Leiter kaum Ladung zu speichern vermag, lautet die Kontinuitätsgleichung oft nur		In einem elektrischen Leiter ist die Divergenz der Stromdichte gleich der (negativen) Änderungsrate der Ladungsdichte. Weil ein Leiter kaum Ladung zu speichern vermag, lautet die Kontinuitätsgleichung oft nur

	:<math>j_{i,i} = 0</math>		:<math>j_{i,i} = 0</math>
Zeile 43:		Zeile 43:

	===Masse===		===Masse===
	Die [[Masse]] ist in der nichtrelativistischen Physik eine skalare, erhaltene Grösse, die ~~weder~~ quellenartig ~~oder~~ feldartig ausgetauscht werden kann. Folglich reduziert sich die Kontinuitätsgleichung ~~für die Ladung~~ auf zwei Terme		Die [[Masse]] ist in der nichtrelativistischen Physik eine skalare, erhaltene Grösse, die nicht quellenartig (feldartig) ausgetauscht werden kann. Folglich reduziert sich die Kontinuitätsgleichung auf zwei Terme

	:<math>~~\dot~~ \rho_t} + j_{M_{i,i}} = 0</math>		:<math>\rho_t + j_{M_{i,i}} = 0</math>

	~~Zudem kann die~~ Masse nur konvektiv, also zusammen mit dem Volumen ausgetauscht werden. Die Massenstromdichte lässt sich deshalb mit Hilfe der Strömungsgeschwindigkeit, der Volumenstromdichte, formulieren		Die Masse kann nur konvektiv, also nur zusammen mit dem Volumen und andern Mengen ausgetauscht werden. Die Massenstromdichte lässt sich deshalb mit Hilfe der Strömungsgeschwindigkeit, der Volumenstromdichte, formulieren

	:<math>~~\dot~~ \rho_t} + (\rho v_i)_{,i}} = ~~\dot~~ \rho_t} + \~~rho~~,i v_i + \rho v_{i,i}= 0</math>		:<math>\rho_t + (\rho v_i)_{,i} = \rho_t + \rho_{,i} v_i + \rho v_{i,i}= 0</math>

			Die Änderungsrate der Dichte, der Gradient der Dichte mal die Strömungsgeschwindigkeit und die Dichte mal die Divergenz der Strömungsgeschwindigkeit addieren sich zu Null.

	===Impuls===		===Impuls===
			Der [[Impuls]] ist eine vektorwertige Grösse, die leitungsartig, konvektiv und quellenartig ausgetauscht werden. Folglich ist die Stromdichte ein [[Tensor]] zweiter Stufe und die Kontinuitätsgleichung umfasst vier Terme

			:<math>\rho_{p_{i,t}} + j_{p_{i,i}} + j_{pc_{i,i}} = \sigma_i</math>

			Nun ist die Impulsdichte gleich Dichte mal Strömungsgeschwindigkeit,

	===Entropie===		===Entropie===

Admin: /* Masse */

2007-03-14T10:04:09Z

Masse

← Nächstältere Version		Version vom 14. März 2007, 10:04 Uhr
Zeile 44:		Zeile 44:
	===Masse===		===Masse===
	Die [[Masse]] ist in der nichtrelativistischen Physik eine skalare, erhaltene Grösse, die weder quellenartig oder feldartig ausgetauscht werden kann. Folglich reduziert sich die Kontinuitätsgleichung für die Ladung auf zwei Terme		Die [[Masse]] ist in der nichtrelativistischen Physik eine skalare, erhaltene Grösse, die weder quellenartig oder feldartig ausgetauscht werden kann. Folglich reduziert sich die Kontinuitätsgleichung für die Ladung auf zwei Terme

			:<math>\dot \rho_t} + j_{M_{i,i}} = 0</math>

			Zudem kann die Masse nur konvektiv, also zusammen mit dem Volumen ausgetauscht werden. Die Massenstromdichte lässt sich deshalb mit Hilfe der Strömungsgeschwindigkeit, der Volumenstromdichte, formulieren

			:<math>\dot \rho_t} + (\rho v_i)_{,i}} = \dot \rho_t} + \rho,i v_i + \rho v_{i,i}= 0</math>

	===Impuls===		===Impuls===

Admin: /* elektrische Ladung */

2007-03-14T09:58:42Z

elektrische Ladung

← Nächstältere Version		Version vom 14. März 2007, 09:58 Uhr
Zeile 32:		Zeile 32:

	===elektrische Ladung===		===elektrische Ladung===
	Die elektrische Ladung ist eine skalare, erhaltene Grösse, die ~~nicht~~ quellenartig ~~oder~~ feldartig ausgetauscht werden kann. Folglich reduziert sich die Kontinuitätsgleichung für die Ladung auf zwei Terme		Die elektrische Ladung ist eine skalare, erhaltene Grösse, die weder quellenartig noch feldartig ausgetauscht werden kann. Folglich reduziert sich die Kontinuitätsgleichung für die Ladung auf zwei Terme

	:<math>\dot \rho_{Q_t} + j_{i,i} = 0</math>		:<math>\dot \rho_{Q_t} + j_{i,i} = 0</math>

Admin: /* Masse */

2007-03-14T09:58:08Z

Masse

← Nächstältere Version		Version vom 14. März 2007, 09:58 Uhr
Zeile 43:		Zeile 43:

	===Masse===		===Masse===
			Die [[Masse]] ist in der nichtrelativistischen Physik eine skalare, erhaltene Grösse, die weder quellenartig oder feldartig ausgetauscht werden kann. Folglich reduziert sich die Kontinuitätsgleichung für die Ladung auf zwei Terme

	===Impuls===		===Impuls===

Admin: /* elektrische Ladung */

2007-03-14T09:56:36Z

elektrische Ladung

← Nächstältere Version		Version vom 14. März 2007, 09:56 Uhr
Zeile 32:		Zeile 32:

	===elektrische Ladung===		===elektrische Ladung===
			Die elektrische Ladung ist eine skalare, erhaltene Grösse, die nicht quellenartig oder feldartig ausgetauscht werden kann. Folglich reduziert sich die Kontinuitätsgleichung für die Ladung auf zwei Terme

			:<math>\dot \rho_{Q_t} + j_{i,i} = 0</math>

			In einem elektrischen Leiter die (negative) Divergenz der Stromdichte zu einer Änderungsrate der Ladungsdichte. Weil ein Leiter kaum Ladung zu speichern vermag, lautet die Kontinuitätsgleichung oft nur

			:<math>j_{i,i} = 0</math>

			Das Strömungsfeld der elektrischen Ladung ist dann quellenfrei.

	===Masse===		===Masse===

Admin: /* lokale Bilanzgleichung */

2007-03-14T09:49:49Z

lokale Bilanzgleichung

← Nächstältere Version		Version vom 14. März 2007, 09:49 Uhr
Zeile 17:		Zeile 17:

	==lokale Bilanzgleichung==		==lokale Bilanzgleichung==
			Die [[Bilanz]] einer [[Primärgrösse\|mengenartigen Grösse]] lässt sich statt bezüglich eines Systems auch lokal, also bezüglich eines ausgewählten Punktes innerhalb eines Kontinuums, formulieren:

			*Die Änderungsrate der Dichte und die Divergenz über die Stromdichte sind gleich der Summe aus Quellendichte und Dichte der Erzeugungsrate

			Diese Bilanzgleichung für die Menge ''M'' wird in der Literatur auf drei Arten formalisiert:

			*Schreibweise aus der Vektoranalysis: <math>\dot \rho_M + div(\vec j_M) = \sigma_M + \pi_M</math>

			*Schreibweise aus der Physik: <math>\dot \rho_M + \vec{\nabla} \cdot \vec j_M) = \sigma_M + \pi_M</math>

			*[[Einstein-Notation]]: <math>\rho_{M_{,t}} + j_{M_{i,i}} = \sigma_M + \pi_M</math> mit ''i'' = ''x'', ''y'' oder ''z''

			In der Einstein-Notation, die in der Tensoranalysis weit verbreitet ist, bedeutet ein Komma vor dem Index, dass die Grösse nach der indizierten Variablen abzuleiten ist. Zudem gilt die Konvention, wonach über gleiche Indices zu summieren ist. Nachfolgend wird nur noch von der Einstein-Notation gebrauch gemacht.

	===elektrische Ladung===		===elektrische Ladung===

← Nächstältere Version		Version vom 4. März 2008, 08:28 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:
	Die Volumenstromstärke in einem Rohr mit veränderlichem Durchmesser ist bei Durchströmung mit einem inkompressiblen Fluid konstant. Verringert sich der Durchmesser, so muss sich die Fliessgeschwindigkeit erhöhen, ebenso im umgekehrten Fall:		Die Volumenstromstärke in einem Rohr mit veränderlichem Durchmesser ist bei Durchströmung mit einem inkompressiblen Fluid konstant. Verringert sich der Durchmesser, so muss sich die Fliessgeschwindigkeit erhöhen, ebenso im umgekehrten Fall:

	:<math> I_{V1} = I_{V2} \Rightarrow A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2</math>		:<math>I_{V1} = I_{V2} \Rightarrow A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2</math>

	Im Falle eines Gases nimmt man die Masse statt des Volumens als Bilanzgrösse. Weil das Rohr infolge der Kompression des Gass nun eine [[kapazitives Gesetz\|Kapaziät]] bezüglich der Grösse [[Masse]] besitzt, gilt die Kontinuiätsgleichung nun nur noch für stationäre Strömungen		Im Falle eines Gases nimmt man die Masse statt des Volumens als Bilanzgrösse. Weil das Rohr infolge der Kompression des Gass nun eine [[kapazitives Gesetz\|Kapaziät]] bezüglich der Grösse [[Masse]] besitzt, gilt die Kontinuiätsgleichung nun nur noch für stationäre Strömungen

	:<math>I_{m1} = I_{m2} \Rightarrow \rho_1 \cdot A_1 \cdot v_1 = \rho_2 \cdot A_2 \cdot v_2</math>		:<math> I_{m1} = I_{m2} \Rightarrow \rho_1 \cdot A_1 \cdot v_1 = \rho_2 \cdot A_2 \cdot v_2</math>

	Längs eines stromdurchflossenen Drahtes gilt die analoge Überlegung für die [[elektrische Ladung]]		Längs eines stromdurchflossenen Drahtes gilt die analoge Überlegung für die [[elektrische Ladung]]

	:<math>I_1 = I_2 \Rightarrow A_1 \cdot j_1 = A_2 \cdot j_2</math>		:<math> I_1 = I_2 \Rightarrow A_1 \cdot j_1 = A_2 \cdot j_2</math>

	''j'' steht für die '''Stromdichte''' der elektrischen Ladung. Analog dazu kann man die Strömungsgeschwindigkeit als '''Volumenstromdichte''' und das Produkt aus Dichte und Strömungsgeschwindigkeit als '''Massenstromdichte''' bezeichnen.		''j'' steht für die '''Stromdichte''' der elektrischen Ladung. Analog dazu kann man die Strömungsgeschwindigkeit als '''Volumenstromdichte''' und das Produkt aus Dichte und Strömungsgeschwindigkeit als '''Massenstromdichte''' bezeichnen.
Zeile 34:		Zeile 34:
	Die [[elektrische Ladung]] ist eine skalare, erhaltene Grösse, die nicht quellenartig (feldartig) ausgetauscht werden kann. Folglich reduziert sich die Kontinuitätsgleichung auf zwei Terme		Die [[elektrische Ladung]] ist eine skalare, erhaltene Grösse, die nicht quellenartig (feldartig) ausgetauscht werden kann. Folglich reduziert sich die Kontinuitätsgleichung auf zwei Terme

	:<math>\rho_{Q_t} + j_{i,i} = 0</math>		:<math> \rho_{Q_t} + j_{i,i} = 0</math>

	In einem elektrischen Leiter ist die Divergenz der Stromdichte gleich der (negativen) Änderungsrate der Ladungsdichte. Weil ein Leiter kaum Ladung zu speichern vermag, lautet die Kontinuitätsgleichung oft nur		In einem elektrischen Leiter ist die Divergenz der Stromdichte gleich der (negativen) Änderungsrate der Ladungsdichte. Weil ein Leiter kaum Ladung zu speichern vermag, lautet die Kontinuitätsgleichung oft nur

	:<math>j_{i,i} = 0</math>		:<math> j_{i,i} = 0</math>

	Das Strömungsfeld der elektrischen Ladung ist dann quellenfrei.		Das Strömungsfeld der elektrischen Ladung ist dann quellenfrei.
Zeile 45:		Zeile 45:
	Die [[Masse]] ist in der nichtrelativistischen Physik eine skalare, erhaltene Grösse, die nicht quellenartig (feldartig) ausgetauscht werden kann. Folglich reduziert sich die Kontinuitätsgleichung auf zwei Terme		Die [[Masse]] ist in der nichtrelativistischen Physik eine skalare, erhaltene Grösse, die nicht quellenartig (feldartig) ausgetauscht werden kann. Folglich reduziert sich die Kontinuitätsgleichung auf zwei Terme

	:<math>\rho_t + j_{M_{i,i}} = 0</math>		:<math> \rho_t + j_{M_{i,i}} = 0</math>

	Die Masse kann nur konvektiv, also nur zusammen mit dem Volumen und andern Mengen ausgetauscht werden. Die Massenstromdichte lässt sich deshalb mit Hilfe der Strömungsgeschwindigkeit, der Volumenstromdichte, formulieren		Die Masse kann nur konvektiv, also nur zusammen mit dem Volumen und andern Mengen ausgetauscht werden. Die Massenstromdichte lässt sich deshalb mit Hilfe der Strömungsgeschwindigkeit, der Volumenstromdichte, formulieren

	:<math>\rho_t + (\rho v_i)_{,i} = \rho_t + \rho_{,i} v_i + \rho v_{i,i}= 0</math>		:<math> \rho_t + (\rho v_i)_{,i} = \rho_t + \rho_{,i} v_i + \rho v_{i,i}= 0</math>

	Die Änderungsrate der Dichte, der Gradient der Dichte mal die Strömungsgeschwindigkeit und die Dichte mal die Divergenz der Strömungsgeschwindigkeit addieren sich zu Null.		Die Änderungsrate der Dichte, der Gradient der Dichte mal die Strömungsgeschwindigkeit und die Dichte mal die Divergenz der Strömungsgeschwindigkeit addieren sich zu Null.
Zeile 56:		Zeile 56:
	Der [[Impuls]] ist eine vektorwertige Grösse, die leitungsartig, konvektiv und quellenartig ausgetauscht werden. Folglich ist die Stromdichte ein [[Tensor]] zweiter Stufe und die Kontinuitätsgleichung umfasst vier Terme		Der [[Impuls]] ist eine vektorwertige Grösse, die leitungsartig, konvektiv und quellenartig ausgetauscht werden. Folglich ist die Stromdichte ein [[Tensor]] zweiter Stufe und die Kontinuitätsgleichung umfasst vier Terme

	:<math>\rho_{p_{i,t}} + j_{p_{i,i}} + j_{{conv p}_{i,i}} = \sigma_i</math>		:<math> \rho_{p_{i,t}} + j_{p_{i,i}} + j_{{conv p}_{i,i}} = \sigma_i</math>

	Nun kann die Impulsdichte als Massendichte mal Strömungsgeschwindigkeit und die konvektive Impulsstromdichte als Massendichte mal das Tensorprodukt aus der Strömungsgeschwindigkeit geschrieben werden. Die leitungsartige Impulsstromdichte ist gleich minus der transponierte Spannungstensor ''σ'' und (gravitative) Impulsquelle ist gleich Dichte mal Gravitationsfeldstärke		Nun kann die Impulsdichte als Massendichte mal Strömungsgeschwindigkeit und die konvektive Impulsstromdichte als Massendichte mal das Tensorprodukt aus der Strömungsgeschwindigkeit geschrieben werden. Die leitungsartige Impulsstromdichte ist gleich minus der transponierte Spannungstensor ''σ'' und (gravitative) Impulsquelle ist gleich Dichte mal Gravitationsfeldstärke

	:<math>(\rho v_i)_t - \sigma_{ji,i} + (\rho v_i v_j)_{,i} = \rho g_i</math>		:<math> (\rho v_i)_t - \sigma_{ji,i} + (\rho v_i v_j)_{,i} = \rho g_i</math>

	Differenziert man die einzelnen Terme aus und verwendet die Massenbilanz als Hilfsgleichung, erhält man		Differenziert man die einzelnen Terme aus und verwendet die Massenbilanz als Hilfsgleichung, erhält man

	:<math>\rho v_{i,t} + \rho v_j v_{i,j} = \rho g_i + \sigma_{ji,i}</math>		:<math> \rho v_{i,t} + \rho v_j v_{i,j} = \rho g_i + \sigma_{ji,i}</math>

	===Entropie===		===Entropie===
	Die [[Entropie]] ist ein produzierbare, skalare Grösse, die leitungsartig, strahlungsartig und quellenartig (feldartig) ausgetauscht werden kann. Deshalb nimmt die Kontinuitätsgleichung für die Entropie rein formal die folgende Gestalt an		Die [[Entropie]] ist ein produzierbare, skalare Grösse, die leitungsartig, strahlungsartig und quellenartig (feldartig) ausgetauscht werden kann. Deshalb nimmt die Kontinuitätsgleichung für die Entropie rein formal die folgende Gestalt an

	:<math>\rho_{S_{,t}} + j_{S_{i,i}} + (\rho_S v_i)_i = \sigma_S + \pi_S</math>		:<math> \rho_{S_{,t}} + j_{S_{i,i}} + (\rho_S v_i)_i = \sigma_S + \pi_S</math>

	[[Kategorie:Basis]] [[Kategorie:OffSys]]		[[Kategorie:Basis]] [[Kategorie:OffSys]]