Lösung zu Fallende Kugel - Versionsgeschichte

Thomas Rüegg am 12. Februar 2010 um 08:18 Uhr

2010-02-12T08:18:27Z

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	Kugelvolumen und -projektionsfläche: <math>V = \frac {4 \pi} {3} r^3, A = \pi r^2</math>.		Kugelvolumen und -projektionsfläche: <math>V = \frac {4 \pi} {3} r^3, A = \pi r^2</math>.
	#Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn der [[Impuls]] der Kugel nicht mehr zunimmt, d.h. <math>\dot p = 0</math>. Dann sind die Impulsströme gleich: Der gravitativ zufliessende Impuls wird vollständig an die Luft abgeleitet. Die Gewichtskraft und der [[Strömungswiderstand]] halten die Kugel im Gleichgewicht <math>F_G-F_W=0</math>. Man ersetzt die Gewichtskraft durch das Produkt aus Dichte des Materials, Volumen der Kugel und Gravitationsfeldstärke, also <math>F_G =\rho V g</math>, sowie den [[Strömungswiderstand\|Luftwiderstand]] durch die entsprechenden Einflussgrössen, nämlich <math>F_W = \frac {1} {2} \rho_L v^2 c_W A</math>. Nun löst man die erhaltene Gleichung nach v auf und gewinnt eine Formel für die Endgeschwindigkeit: <math>v = \sqrt {\frac {8 g}{3 c_W} \frac {\~~rho~~}{\rho_L}r}</math> = 175.8 m/s.		#Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn der [[Impuls]] der Kugel nicht mehr zunimmt, d.h. <math>\dot p = 0</math>. Dann sind die Impulsströme gleich: Der gravitativ zufliessende Impuls wird vollständig an die Luft abgeleitet. Die Gewichtskraft und der [[Strömungswiderstand]] halten die Kugel im Gleichgewicht <math>F_G-F_W=0</math>. Man ersetzt die Gewichtskraft durch das Produkt aus Dichte des Materials, Volumen der Kugel und Gravitationsfeldstärke, also <math>F_G =\rho V g</math>, sowie den [[Strömungswiderstand\|Luftwiderstand]] durch die entsprechenden Einflussgrössen, nämlich <math>F_W = \frac {1} {2} \rho_L v^2 c_W A</math>. Nun löst man die erhaltene Gleichung nach v auf und gewinnt eine Formel für die Endgeschwindigkeit: <math>v = \sqrt {\frac {8 g}{3 c_W} \frac {\rho_{Kugel}}{\rho_L}r}</math> = 175.8 m/s.
	#Weil der Luftwiderstand proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist, beträgt er bei der halben Endgeschwindigkeit erst ein Viertel seines Endwertes (Der Endwert des Widerstands ist so gross wie die Gewichtskraft). Die resultierende Kraft <math>F_{res} = F_G-F_W</math> beträgt folglich 75% der Gewichtskraft ~~und die~~ Beschleunigung ~~beträgt~~ 7.36 m/s<sup>2</sup>.		#Weil der Luftwiderstand proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist, beträgt er bei der halben Endgeschwindigkeit erst ein Viertel seines Endwertes (Der Endwert des Widerstands ist so gross wie die Gewichtskraft): <math> F_W = F_G/4</math>. Die resultierende Kraft <math>F_{res} = F_G-F_W = F_G-(F_G/4) = 0.75 F_G </math> beträgt folglich 75% der Gewichtskraft. Die Beschleunigung ist <math> a = F_{res}/m = 0.75 F_G / m = 0.75 * g = </math> 7.36 m/s<sup>2</sup>.
	#~~Weil~~ ~~das~~ ~~Verhältnis~~ ~~von~~ ~~Dichte~~ ~~des~~ ~~Materials~~ zu ~~Dichte~~ der ~~Luft~~ 15 ~~mal~~ ~~kleiner~~ ~~geworden~~ ~~ist~~, ~~muss~~ der ~~Durchmesser~~ 15 ~~mal~~ ~~grösser~~, also 1.5 m ~~gross, gewählt werden~~. Oder lösen Sie die Formel für die Endgeschwindigkeit nach dem Radius auf und setzen Sie die gegebenen Werte ein.		#In der Formel für die Endgeschwindigkeit bleibt der Wert der Wurzel derselbe, wenn wir den Radius um den gleichen Faktor vergrössern, wie die Kugeldichte verkleinert wurde. Der Radius der Holzkugel ist also: <math>r_{Holz} = \rho_{Blei} / \rho_{Holz} \cdot r_{Blei}</math>. Das Verhältnis der Materialdichten ist 15, der Durchmesser wird also 1.5 m. Oder lösen Sie die Formel für die Endgeschwindigkeit nach dem Radius auf und setzen Sie die gegebenen Werte ein.

	'''[[Fallende Kugel\|Aufgabe]]'''		'''[[Fallende Kugel\|Aufgabe]]'''

Thomas Rüegg: Fehler in Fläche A

2008-01-08T12:37:47Z

Fehler in Fläche A

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	Der [[statischer Auftrieb\|statische Auftrieb]] wird vernachlässigt, weil dieser kaum ins Gewicht fällt und in der Dichte eines Stoffes schon berücksichtigt ist.		Der [[statischer Auftrieb\|statische Auftrieb]] wird vernachlässigt, weil dieser kaum ins Gewicht fällt und in der Dichte eines Stoffes schon berücksichtigt ist.

	Kugelvolumen und -~~oberfläche~~: <math>V = \frac {4 \pi} {3} r^3, A = 4 \pi r^2</math>.		Kugelvolumen und -projektionsfläche: <math>V = \frac {4 \pi} {3} r^3, A = \pi r^2</math>.
	#Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn der [[Impuls]] der Kugel nicht mehr zunimmt, d.h. <math>\dot p = 0</math>. Dann sind die Impulsströme gleich: Der gravitativ zufliessende Impuls wird vollständig an die Luft abgeleitet. Die Gewichtskraft und der [[Strömungswiderstand]] halten die Kugel im Gleichgewicht <math>F_G-F_W=0</math>. Man ersetzt die Gewichtskraft durch das Produkt aus Dichte des Materials, Volumen der Kugel und Gravitationsfeldstärke, also <math>F_G =\rho V g</math>, sowie den [[Strömungswiderstand\|Luftwiderstand]] durch die entsprechenden Einflussgrössen, nämlich <math>F_W = \frac {1} {2} \rho_L v^2 c_W A</math>. Nun löst man die erhaltene Gleichung nach v auf und gewinnt eine Formel für die Endgeschwindigkeit: <math>v = \sqrt {\frac {8 g}{3 c_W} \frac {\rho}{\rho_L}r}</math> = 175.8 m/s.		#Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn der [[Impuls]] der Kugel nicht mehr zunimmt, d.h. <math>\dot p = 0</math>. Dann sind die Impulsströme gleich: Der gravitativ zufliessende Impuls wird vollständig an die Luft abgeleitet. Die Gewichtskraft und der [[Strömungswiderstand]] halten die Kugel im Gleichgewicht <math>F_G-F_W=0</math>. Man ersetzt die Gewichtskraft durch das Produkt aus Dichte des Materials, Volumen der Kugel und Gravitationsfeldstärke, also <math>F_G =\rho V g</math>, sowie den [[Strömungswiderstand\|Luftwiderstand]] durch die entsprechenden Einflussgrössen, nämlich <math>F_W = \frac {1} {2} \rho_L v^2 c_W A</math>. Nun löst man die erhaltene Gleichung nach v auf und gewinnt eine Formel für die Endgeschwindigkeit: <math>v = \sqrt {\frac {8 g}{3 c_W} \frac {\rho}{\rho_L}r}</math> = 175.8 m/s.
	#Weil der Luftwiderstand proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist, beträgt er bei der halben Endgeschwindigkeit erst ein Viertel seines Endwertes (Der Endwert des Widerstands ist so gross wie die Gewichtskraft). Die resultierende Kraft <math>F_{res} = F_G-F_W</math> beträgt folglich 75% der Gewichtskraft und die Beschleunigung beträgt 7.36 m/s<sup>2</sup>.		#Weil der Luftwiderstand proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist, beträgt er bei der halben Endgeschwindigkeit erst ein Viertel seines Endwertes (Der Endwert des Widerstands ist so gross wie die Gewichtskraft). Die resultierende Kraft <math>F_{res} = F_G-F_W</math> beträgt folglich 75% der Gewichtskraft und die Beschleunigung beträgt 7.36 m/s<sup>2</sup>.
	#Weil das Verhältnis von Dichte des Materials zu Dichte der Luft 15 mal kleiner geworden ist, muss der Durchmesser 15 mal grösser, also 1.5 m gross, gewählt werden. Oder lösen Sie die Formel für die Endgeschwindigkeit nach dem Radius auf und setzen die gegebenen Werte ein.		#Weil das Verhältnis von Dichte des Materials zu Dichte der Luft 15 mal kleiner geworden ist, muss der Durchmesser 15 mal grösser, also 1.5 m gross, gewählt werden. Oder lösen Sie die Formel für die Endgeschwindigkeit nach dem Radius auf und setzen Sie die gegebenen Werte ein.

	'''[[Fallende Kugel\|Aufgabe]]'''		'''[[Fallende Kugel\|Aufgabe]]'''

Thomas Rüegg am 20. Dezember 2007 um 15:47 Uhr

2007-12-20T15:47:58Z

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	Der [[statischer Auftrieb\|statische Auftrieb]] wird vernachlässigt, weil dieser kaum ins Gewicht fällt und in der Dichte eines Stoffes schon berücksichtigt ist. ~~Kugelvolumen und -oberfläche: <math>V = \frac {4 \pi} {3} r^3, A = 4 \pi r^2</math>.~~		Der [[statischer Auftrieb\|statische Auftrieb]] wird vernachlässigt, weil dieser kaum ins Gewicht fällt und in der Dichte eines Stoffes schon berücksichtigt ist.

			Kugelvolumen und -oberfläche: <math>V = \frac {4 \pi} {3} r^3, A = 4 \pi r^2</math>.
	#Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn der [[Impuls]] der Kugel nicht mehr zunimmt, d.h. <math>\dot p = 0</math>. Dann sind die Impulsströme gleich: Der gravitativ zufliessende Impuls wird vollständig an die Luft abgeleitet. Die Gewichtskraft und der [[Strömungswiderstand]] halten die Kugel im Gleichgewicht <math>F_G-F_W=0</math>. Man ersetzt die Gewichtskraft durch das Produkt aus Dichte des Materials, Volumen der Kugel und Gravitationsfeldstärke, also <math>F_G =\rho V g</math>, sowie den [[Strömungswiderstand\|Luftwiderstand]] durch die entsprechenden Einflussgrössen, nämlich <math>F_W = \frac {1} {2} \rho_L v^2 c_W A</math>. Nun löst man die erhaltene Gleichung nach v auf und gewinnt eine Formel für die Endgeschwindigkeit: <math>v = \sqrt {\frac {8 g}{3 c_W} \frac {\rho}{\rho_L}r}</math> = 175.8 m/s.		#Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn der [[Impuls]] der Kugel nicht mehr zunimmt, d.h. <math>\dot p = 0</math>. Dann sind die Impulsströme gleich: Der gravitativ zufliessende Impuls wird vollständig an die Luft abgeleitet. Die Gewichtskraft und der [[Strömungswiderstand]] halten die Kugel im Gleichgewicht <math>F_G-F_W=0</math>. Man ersetzt die Gewichtskraft durch das Produkt aus Dichte des Materials, Volumen der Kugel und Gravitationsfeldstärke, also <math>F_G =\rho V g</math>, sowie den [[Strömungswiderstand\|Luftwiderstand]] durch die entsprechenden Einflussgrössen, nämlich <math>F_W = \frac {1} {2} \rho_L v^2 c_W A</math>. Nun löst man die erhaltene Gleichung nach v auf und gewinnt eine Formel für die Endgeschwindigkeit: <math>v = \sqrt {\frac {8 g}{3 c_W} \frac {\rho}{\rho_L}r}</math> = 175.8 m/s.
	#Weil der Luftwiderstand proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist, beträgt er bei der halben Endgeschwindigkeit erst ein Viertel seines Endwertes (Der Endwert des Widerstands ist so gross wie die Gewichtskraft). Die resultierende Kraft <math>F_{res} = F_G-F_W</math> beträgt folglich 75% der Gewichtskraft und die Beschleunigung beträgt 7.36 m/s<sup>2</sup>.		#Weil der Luftwiderstand proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist, beträgt er bei der halben Endgeschwindigkeit erst ein Viertel seines Endwertes (Der Endwert des Widerstands ist so gross wie die Gewichtskraft). Die resultierende Kraft <math>F_{res} = F_G-F_W</math> beträgt folglich 75% der Gewichtskraft und die Beschleunigung beträgt 7.36 m/s<sup>2</sup>.

Thomas Rüegg am 20. Dezember 2007 um 15:31 Uhr

2007-12-20T15:31:16Z

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	#Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn der [[Impuls]] der Kugel nicht mehr zunimmt, d.h. <math>\dot p = 0</math>. Dann sind die Impulsströme gleich: Der gravitativ zufliessende Impuls wird vollständig an die Luft abgeleitet. Die Gewichtskraft und der [[Strömungswiderstand]] halten die Kugel im Gleichgewicht <math>F_G-F_W=0</math>. Man ersetzt die Gewichtskraft durch das Produkt aus Dichte des Materials, Volumen der Kugel und Gravitationsfeldstärke, also <math>F_G =\rho V g</math>, sowie den [[Strömungswiderstand\|Luftwiderstand]] durch die entsprechenden Einflussgrössen, nämlich <math>F_W = \frac {1} {2} \rho_L v^2 c_W A</math>. Nun löst man die erhaltene Gleichung nach v auf und gewinnt eine Formel für die Endgeschwindigkeit: <math>v = \sqrt {\frac {8 g}{3 c_W} \frac {\rho}{\rho_L}r}</math> = 175.8 m/s.		#Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn der [[Impuls]] der Kugel nicht mehr zunimmt, d.h. <math>\dot p = 0</math>. Dann sind die Impulsströme gleich: Der gravitativ zufliessende Impuls wird vollständig an die Luft abgeleitet. Die Gewichtskraft und der [[Strömungswiderstand]] halten die Kugel im Gleichgewicht <math>F_G-F_W=0</math>. Man ersetzt die Gewichtskraft durch das Produkt aus Dichte des Materials, Volumen der Kugel und Gravitationsfeldstärke, also <math>F_G =\rho V g</math>, sowie den [[Strömungswiderstand\|Luftwiderstand]] durch die entsprechenden Einflussgrössen, nämlich <math>F_W = \frac {1} {2} \rho_L v^2 c_W A</math>. Nun löst man die erhaltene Gleichung nach v auf und gewinnt eine Formel für die Endgeschwindigkeit: <math>v = \sqrt {\frac {8 g}{3 c_W} \frac {\rho}{\rho_L}r}</math> = 175.8 m/s.
	#Weil der Luftwiderstand proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist, beträgt er bei der halben Endgeschwindigkeit erst ein Viertel seines Endwertes (Der Endwert des Widerstands ist so gross wie die Gewichtskraft). Die resultierende Kraft <math>F_{res} = F_G-F_W</math> beträgt folglich 75% der Gewichtskraft und die Beschleunigung beträgt 7.36 m/s<sup>2</sup>.		#Weil der Luftwiderstand proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist, beträgt er bei der halben Endgeschwindigkeit erst ein Viertel seines Endwertes (Der Endwert des Widerstands ist so gross wie die Gewichtskraft). Die resultierende Kraft <math>F_{res} = F_G-F_W</math> beträgt folglich 75% der Gewichtskraft und die Beschleunigung beträgt 7.36 m/s<sup>2</sup>.
	#Weil das Verhältnis von Dichte des Materials zu Dichte der Luft 15 mal kleiner geworden ist, muss der Durchmesser 15 mal grösser, also 1.5 m gross, gewählt werden. Oder lösen Sie die Formel für die Endgeschwindigkeit nach dem Radius auf und setzen ~~Sie~~ die Werte ein.		#Weil das Verhältnis von Dichte des Materials zu Dichte der Luft 15 mal kleiner geworden ist, muss der Durchmesser 15 mal grösser, also 1.5 m gross, gewählt werden. Oder lösen Sie die Formel für die Endgeschwindigkeit nach dem Radius auf und setzen die gegebenen Werte ein.

	'''[[Fallende Kugel\|Aufgabe]]'''		'''[[Fallende Kugel\|Aufgabe]]'''

Thomas Rüegg am 20. Dezember 2007 um 12:48 Uhr

2007-12-20T12:48:05Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. Dezember 2007, 12:48 Uhr
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	#Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn der [[Impuls]] der Kugel nicht mehr zunimmt, d.h. <math>\dot p = 0</math>. Dann sind die Impulsströme gleich: Der gravitativ zufliessende Impuls wird vollständig an die Luft abgeleitet. Die Gewichtskraft und der [[Strömungswiderstand]] halten die Kugel im Gleichgewicht <math>F_G-F_W=0</math>. Man ersetzt die Gewichtskraft durch das Produkt aus Dichte des Materials, Volumen der Kugel und Gravitationsfeldstärke, also <math>F_G =\rho V g</math>, sowie den [[Strömungswiderstand\|Luftwiderstand]] durch die entsprechenden Einflussgrössen, nämlich <math>F_W = \frac {1} {2} \rho_L v^2 c_W A</math>. Nun löst man die erhaltene Gleichung nach v auf und gewinnt eine Formel für die Endgeschwindigkeit: <math>v = \sqrt {\frac {8 g}{3 c_W} \frac {\rho}{\rho_L}r}</math> = 175.8 m/s.		#Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn der [[Impuls]] der Kugel nicht mehr zunimmt, d.h. <math>\dot p = 0</math>. Dann sind die Impulsströme gleich: Der gravitativ zufliessende Impuls wird vollständig an die Luft abgeleitet. Die Gewichtskraft und der [[Strömungswiderstand]] halten die Kugel im Gleichgewicht <math>F_G-F_W=0</math>. Man ersetzt die Gewichtskraft durch das Produkt aus Dichte des Materials, Volumen der Kugel und Gravitationsfeldstärke, also <math>F_G =\rho V g</math>, sowie den [[Strömungswiderstand\|Luftwiderstand]] durch die entsprechenden Einflussgrössen, nämlich <math>F_W = \frac {1} {2} \rho_L v^2 c_W A</math>. Nun löst man die erhaltene Gleichung nach v auf und gewinnt eine Formel für die Endgeschwindigkeit: <math>v = \sqrt {\frac {8 g}{3 c_W} \frac {\rho}{\rho_L}r}</math> = 175.8 m/s.
	#Weil der Luftwiderstand proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist, beträgt er bei der halben Endgeschwindigkeit erst ein Viertel seines Endwertes (Der Endwert des Widerstands ist so gross wie die Gewichtskraft). Die resultierende Kraft <math>F_{res} = F_G-F_W</math> beträgt folglich 75% der Gewichtskraft und die Beschleunigung beträgt 7.36 m/s<sup>2</sup>.		#Weil der Luftwiderstand proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist, beträgt er bei der halben Endgeschwindigkeit erst ein Viertel seines Endwertes (Der Endwert des Widerstands ist so gross wie die Gewichtskraft). Die resultierende Kraft <math>F_{res} = F_G-F_W</math> beträgt folglich 75% der Gewichtskraft und die Beschleunigung beträgt 7.36 m/s<sup>2</sup>.
	#Weil das Verhältnis von Dichte des Materials zu Dichte der Luft 15 mal kleiner geworden ist, muss der Durchmesser 15 mal grösser, also 1.5 m gross, gewählt werden.		#Weil das Verhältnis von Dichte des Materials zu Dichte der Luft 15 mal kleiner geworden ist, muss der Durchmesser 15 mal grösser, also 1.5 m gross, gewählt werden. Oder lösen Sie die Formel für die Endgeschwindigkeit nach dem Radius auf und setzen Sie die Werte ein.

	'''[[Fallende Kugel\|Aufgabe]]'''		'''[[Fallende Kugel\|Aufgabe]]'''

Thomas Rüegg am 20. Dezember 2007 um 12:45 Uhr

2007-12-20T12:45:09Z

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	Der [[statischer Auftrieb\|statische Auftrieb]] wird vernachlässigt, weil dieser kaum ins Gewicht fällt und in der Dichte eines Stoffes schon berücksichtigt ist. Kugelvolumen und -oberfläche: <math>V = \frac {4 \pi} {3} r^3, A = 4 \pi r^2</math>.		Der [[statischer Auftrieb\|statische Auftrieb]] wird vernachlässigt, weil dieser kaum ins Gewicht fällt und in der Dichte eines Stoffes schon berücksichtigt ist. Kugelvolumen und -oberfläche: <math>V = \frac {4 \pi} {3} r^3, A = 4 \pi r^2</math>.
	#Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn der [[Impuls]] der Kugel nicht mehr zunimmt, d.h. <math>\dot p = 0</math>. Dann sind die Impulsströme gleich: Der gravitativ zufliessende Impuls wird vollständig an die Luft abgeleitet. Die Gewichtskraft und der [[Strömungswiderstand]] halten die Kugel im Gleichgewicht <math>F_G-F_W=0</math>. Man ersetzt die Gewichtskraft durch das Produkt aus Dichte des Materials, Volumen der Kugel und Gravitationsfeldstärke, also <math>F_G =\rho V g</math>, sowie den [[Strömungswiderstand\|Luftwiderstand]] durch die entsprechenden Einflussgrössen, nämlich <math>F_W = \frac {1} {2} \rho_L v^2 c_W A</math>. Nun löst man die erhaltene Gleichung nach v auf und gewinnt eine Formel für die Endgeschwindigkeit: <math>v = \sqrt {\frac {8 g}{3 c_W} \frac {\rho}{\rho_L}r}</math> = 175.8 m/s.		#Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn der [[Impuls]] der Kugel nicht mehr zunimmt, d.h. <math>\dot p = 0</math>. Dann sind die Impulsströme gleich: Der gravitativ zufliessende Impuls wird vollständig an die Luft abgeleitet. Die Gewichtskraft und der [[Strömungswiderstand]] halten die Kugel im Gleichgewicht <math>F_G-F_W=0</math>. Man ersetzt die Gewichtskraft durch das Produkt aus Dichte des Materials, Volumen der Kugel und Gravitationsfeldstärke, also <math>F_G =\rho V g</math>, sowie den [[Strömungswiderstand\|Luftwiderstand]] durch die entsprechenden Einflussgrössen, nämlich <math>F_W = \frac {1} {2} \rho_L v^2 c_W A</math>. Nun löst man die erhaltene Gleichung nach v auf und gewinnt eine Formel für die Endgeschwindigkeit: <math>v = \sqrt {\frac {8 g}{3 c_W} \frac {\rho}{\rho_L}r}</math> = 175.8 m/s.
	#~~Die~~ ~~Beschleunigung~~ ~~ist:~~ ~~<math>a~~ = ~~\dot~~ p / m = ~~(F_G-F_W)~~ / m = g - ~~\frac~~ ~~{1}~~ ~~{2}~~ ~~\rho_L~~ ~~v^2~~ ~~c_W~~ A / m ~~</math>~~ ~~<math>a~~ = g - ~~\frac~~ ~~{\rho_L~~ A} {~~2 \rho V~~} ~~v^2 c_W~~ = g - ~~\frac {3 \rho_L} {2 \rho r} c_W v^2~~</math>~~. Bei der halben Endgeschwindigkeit beträgt der Luftwiderstand erst ein Viertel der Endgeschwindigkeit. Die resultierende Kraft~~ beträgt folglich 75% der Gewichtskraft und die Beschleunigung beträgt 7.36 m/s<sup>2</sup>.		#Weil der Luftwiderstand proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist, beträgt er bei der halben Endgeschwindigkeit erst ein Viertel seines Endwertes (Der Endwert des Widerstands ist so gross wie die Gewichtskraft). Die resultierende Kraft <math>F_{res} = F_G-F_W</math> beträgt folglich 75% der Gewichtskraft und die Beschleunigung beträgt 7.36 m/s<sup>2</sup>.
	#Weil das Verhältnis von Dichte des Materials zu Dichte der Luft 15 mal kleiner geworden ist, muss der Durchmesser 15 mal grösser, also 1.5 m gross, gewählt werden.		#Weil das Verhältnis von Dichte des Materials zu Dichte der Luft 15 mal kleiner geworden ist, muss der Durchmesser 15 mal grösser, also 1.5 m gross, gewählt werden.

Thomas Rüegg: Lösung ausführlicher

2007-12-20T12:25:09Z

Lösung ausführlicher

← Nächstältere Version		Version vom 20. Dezember 2007, 12:25 Uhr
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	Der [[statischer Auftrieb\|statische Auftrieb]] wird vernachlässigt, weil dieser kaum ins Gewicht fällt und in der Dichte eines Stoffes schon berücksichtigt ist.		Der [[statischer Auftrieb\|statische Auftrieb]] wird vernachlässigt, weil dieser kaum ins Gewicht fällt und in der Dichte eines Stoffes schon berücksichtigt ist. Kugelvolumen und -oberfläche: <math>V = \frac {4 \pi} {3} r^3, A = 4 \pi r^2</math>.
	#Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn der [[Impuls]] der Kugel nicht mehr zunimmt, d.h. <math>\dot p = 0</math>. Dann sind die Impulsströme gleich: Der gravitativ zufliessende Impuls wird vollständig an die Luft abgeleitet. Die Gewichtskraft und der [[Strömungswiderstand]] halten die Kugel im Gleichgewicht <math>F_G-F_W=0</math>. Man ersetzt die Gewichtskraft durch das Produkt aus Dichte des Materials, Volumen der Kugel und Gravitationsfeldstärke, also <math>F_G =\rho V g</math>, sowie den [[Strömungswiderstand\|Luftwiderstand]] durch die entsprechenden Einflussgrössen, nämlich <math>F_W = \frac {1} {2} \rho_L v^2 c_W A</math>. Nun löst man die erhaltene Gleichung nach v auf und gewinnt eine Formel für die Endgeschwindigkeit: <math>v = \sqrt {\frac {8 g}{3 c_W} \frac {\rho}{\rho_L}r}</math> = 175.8 m/s.		#Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn der [[Impuls]] der Kugel nicht mehr zunimmt, d.h. <math>\dot p = 0</math>. Dann sind die Impulsströme gleich: Der gravitativ zufliessende Impuls wird vollständig an die Luft abgeleitet. Die Gewichtskraft und der [[Strömungswiderstand]] halten die Kugel im Gleichgewicht <math>F_G-F_W=0</math>. Man ersetzt die Gewichtskraft durch das Produkt aus Dichte des Materials, Volumen der Kugel und Gravitationsfeldstärke, also <math>F_G =\rho V g</math>, sowie den [[Strömungswiderstand\|Luftwiderstand]] durch die entsprechenden Einflussgrössen, nämlich <math>F_W = \frac {1} {2} \rho_L v^2 c_W A</math>. Nun löst man die erhaltene Gleichung nach v auf und gewinnt eine Formel für die Endgeschwindigkeit: <math>v = \sqrt {\frac {8 g}{3 c_W} \frac {\rho}{\rho_L}r}</math> = 175.8 m/s.
	#Bei der halben Endgeschwindigkeit beträgt der Luftwiderstand erst ein Viertel der Endgeschwindigkeit. Die resultierende Kraft beträgt folglich 75% der Gewichtskraft und die Beschleunigung beträgt 7.36 m/s<sup>2</sup>.		#Die Beschleunigung ist: <math>a = \dot p / m = (F_G-F_W) / m = g - \frac {1} {2} \rho_L v^2 c_W A / m </math> <math>a = g - \frac {\rho_L A} {2 \rho V} v^2 c_W = g - \frac {3 \rho_L} {2 \rho r} c_W v^2</math>. Bei der halben Endgeschwindigkeit beträgt der Luftwiderstand erst ein Viertel der Endgeschwindigkeit. Die resultierende Kraft beträgt folglich 75% der Gewichtskraft und die Beschleunigung beträgt 7.36 m/s<sup>2</sup>.
	#Weil das Verhältnis von Dichte des Materials zu Dichte der Luft 15 mal kleiner geworden ist, muss der Durchmesser 15 mal grösser, also 1.5 m gross, gewählt werden.		#Weil das Verhältnis von Dichte des Materials zu Dichte der Luft 15 mal kleiner geworden ist, muss der Durchmesser 15 mal grösser, also 1.5 m gross, gewählt werden.

Thomas Rüegg am 20. Dezember 2007 um 10:51 Uhr

2007-12-20T10:51:22Z

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Zeile 1:		Zeile 1:
	Der [[statischer Auftrieb\|statische Auftrieb]] wird vernachlässigt, weil dieser kaum ins Gewicht fällt und in der Dichte eines Stoffes schon berücksichtigt ist.		Der [[statischer Auftrieb\|statische Auftrieb]] wird vernachlässigt, weil dieser kaum ins Gewicht fällt und in der Dichte eines Stoffes schon berücksichtigt ist.
	#Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn der [[Impuls]] der Kugel nicht mehr zunimmt, d.h. <math>\dot p = 0</math>. Dann sind die Impulsströme gleich: Der gravitativ zufliessende Impuls wird vollständig an die Luft abgeleitet. Die Gewichtskraft und der [[Strömungswiderstand]] halten die Kugel im Gleichgewicht <math>F_G-F_W=0</math>. Man ersetzt die Gewichtskraft durch das Produkt aus Dichte des Materials, Volumen der Kugel und Gravitationsfeldstärke, also <math>F_G =\rho V g</math>, sowie den [[Strömungswiderstand\|Luftwiderstand]] durch die entsprechenden Einflussgrössen, nämlich <math>F_W = \frac {1} {2} \rho_L v^2 c_W A</math>. Nun löst man die erhaltene Gleichung nach v auf und gewinnt eine Formel für die Endgeschwindigkeit v: <math>v = \sqrt {\frac {8 g}{3 c_W} \frac {\rho}{\rho_L}r}</math> = 175.8 m/s.		#Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn der [[Impuls]] der Kugel nicht mehr zunimmt, d.h. <math>\dot p = 0</math>. Dann sind die Impulsströme gleich: Der gravitativ zufliessende Impuls wird vollständig an die Luft abgeleitet. Die Gewichtskraft und der [[Strömungswiderstand]] halten die Kugel im Gleichgewicht <math>F_G-F_W=0</math>. Man ersetzt die Gewichtskraft durch das Produkt aus Dichte des Materials, Volumen der Kugel und Gravitationsfeldstärke, also <math>F_G =\rho V g</math>, sowie den [[Strömungswiderstand\|Luftwiderstand]] durch die entsprechenden Einflussgrössen, nämlich <math>F_W = \frac {1} {2} \rho_L v^2 c_W A</math>. Nun löst man die erhaltene Gleichung nach v auf und gewinnt eine Formel für die Endgeschwindigkeit: <math>v = \sqrt {\frac {8 g}{3 c_W} \frac {\rho}{\rho_L}r}</math> = 175.8 m/s.
	#Bei der halben Endgeschwindigkeit beträgt der Luftwiderstand erst ein Viertel der Endgeschwindigkeit. Die resultierende Kraft beträgt folglich 75% der Gewichtskraft und die Beschleunigung beträgt 7.36 m/s<sup>2</sup>.		#Bei der halben Endgeschwindigkeit beträgt der Luftwiderstand erst ein Viertel der Endgeschwindigkeit. Die resultierende Kraft beträgt folglich 75% der Gewichtskraft und die Beschleunigung beträgt 7.36 m/s<sup>2</sup>.
	#Weil das Verhältnis von Dichte des Materials zu Dichte der Luft 15 mal kleiner geworden ist, muss der Durchmesser 15 mal grösser, also 1.5 m gross, gewählt werden.		#Weil das Verhältnis von Dichte des Materials zu Dichte der Luft 15 mal kleiner geworden ist, muss der Durchmesser 15 mal grösser, also 1.5 m gross, gewählt werden.

Thomas Rüegg: Lösungsschritte mehr detailliert

2007-12-20T08:29:06Z

Lösungsschritte mehr detailliert

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	Der [[statischer Auftrieb\|statische Auftrieb]] wird vernachlässigt, weil dieser kaum ins Gewicht fällt und in der Dichte eines Stoffes schon berücksichtigt ist.		Der [[statischer Auftrieb\|statische Auftrieb]] wird vernachlässigt, weil dieser kaum ins Gewicht fällt und in der Dichte eines Stoffes schon berücksichtigt ist.
	#Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn der [[Impuls]] der Kugel nicht mehr zunimmt, d.h. <math>\dot p = 0</math>. Dann sind die Impulsströme gleich: Der gravitativ zufliessende Impuls wird vollständig an die Luft abgeleitet. Die Gewichtskraft und der [[Strömungswiderstand]] halten die Kugel im Gleichgewicht <math>F_G - F_W = 0</math>. ~~Ersetzt~~ ~~man~~ die Gewichtskraft durch das Produkt aus Dichte des Materials, Volumen der Kugel und Gravitationsfeldstärke sowie den [[Strömungswiderstand\|Luftwiderstand]] durch die entsprechenden Einflussgrössen, ~~gewinnt~~ man eine Formel für die Endgeschwindigkeit: <math>v = \sqrt {\frac {8 g}{3 c_W} \frac {\rho}{\rho_L}r}</math> = 175.8 m/s.		#Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn der [[Impuls]] der Kugel nicht mehr zunimmt, d.h. <math>\dot p = 0</math>. Dann sind die Impulsströme gleich: Der gravitativ zufliessende Impuls wird vollständig an die Luft abgeleitet. Die Gewichtskraft und der [[Strömungswiderstand]] halten die Kugel im Gleichgewicht <math>F_G-F_W=0</math>. Man ersetzt die Gewichtskraft durch das Produkt aus Dichte des Materials, Volumen der Kugel und Gravitationsfeldstärke, also <math>F_G =\rho V g</math>, sowie den [[Strömungswiderstand\|Luftwiderstand]] durch die entsprechenden Einflussgrössen, nämlich <math>F_W = \frac {1} {2} \rho_L v^2 c_W A</math>. Nun löst man die erhaltene Gleichung nach v auf und gewinnt eine Formel für die Endgeschwindigkeit v: <math>v = \sqrt {\frac {8 g}{3 c_W} \frac {\rho}{\rho_L}r}</math> = 175.8 m/s.
	#Bei der halben Endgeschwindigkeit beträgt der Luftwiderstand erst ein Viertel der Endgeschwindigkeit. Die resultierende Kraft beträgt folglich 75% der Gewichtskraft und die Beschleunigung beträgt 7.36 m/s<sup>2</sup>.		#Bei der halben Endgeschwindigkeit beträgt der Luftwiderstand erst ein Viertel der Endgeschwindigkeit. Die resultierende Kraft beträgt folglich 75% der Gewichtskraft und die Beschleunigung beträgt 7.36 m/s<sup>2</sup>.
	#Weil das Verhältnis von Dichte des Materials zu Dichte der Luft 15 mal kleiner geworden ist, muss der Durchmesser 15 mal grösser, also 1.5 m gross, gewählt werden.		#Weil das Verhältnis von Dichte des Materials zu Dichte der Luft 15 mal kleiner geworden ist, muss der Durchmesser 15 mal grösser, also 1.5 m gross, gewählt werden.

Thomas Rüegg am 20. Dezember 2007 um 08:17 Uhr

2007-12-20T08:17:57Z

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	Der [[statischer Auftrieb\|statische Auftrieb]] wird vernachlässigt, weil dieser kaum ins Gewicht fällt und in der Dichte eines Stoffes schon berücksichtigt ist.		Der [[statischer Auftrieb\|statische Auftrieb]] wird vernachlässigt, weil dieser kaum ins Gewicht fällt und in der Dichte eines Stoffes schon berücksichtigt ist.
	#Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn der [[Impuls]] der Kugel nicht mehr zunimmt, d.h. <math>\dot p = 0</math>. Dann ~~ist~~ sind die Impulsströme gleich: Der gravitativ zufliessende Impuls wird vollständig an die Luft abgeleitet. Die Gewichtskraft und der [[Strömungswiderstand]] halten die Kugel im Gleichgewicht <math>F_G - F_W = 0</math>. Ersetzt man die Gewichtskraft durch das Produkt aus Dichte des Materials, Volumen der Kugel und Gravitationsfeldstärke sowie den [[Strömungswiderstand\|Luftwiderstand]] durch die entsprechenden Einflussgrössen, gewinnt man eine Formel für die Endgeschwindigkeit: <math>v = \sqrt {\frac {8 g}{3 c_W} \frac {\rho}{\rho_L}r}</math> = 175.8 m/s.		#Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn der [[Impuls]] der Kugel nicht mehr zunimmt, d.h. <math>\dot p = 0</math>. Dann sind die Impulsströme gleich: Der gravitativ zufliessende Impuls wird vollständig an die Luft abgeleitet. Die Gewichtskraft und der [[Strömungswiderstand]] halten die Kugel im Gleichgewicht <math>F_G - F_W = 0</math>. Ersetzt man die Gewichtskraft durch das Produkt aus Dichte des Materials, Volumen der Kugel und Gravitationsfeldstärke sowie den [[Strömungswiderstand\|Luftwiderstand]] durch die entsprechenden Einflussgrössen, gewinnt man eine Formel für die Endgeschwindigkeit: <math>v = \sqrt {\frac {8 g}{3 c_W} \frac {\rho}{\rho_L}r}</math> = 175.8 m/s.
	#Bei der halben Endgeschwindigkeit beträgt der Luftwiderstand erst ein Viertel der Endgeschwindigkeit. Die resultierende Kraft beträgt folglich 75% der Gewichtskraft und die Beschleunigung beträgt 7.36 m/s<sup>2</sup>.		#Bei der halben Endgeschwindigkeit beträgt der Luftwiderstand erst ein Viertel der Endgeschwindigkeit. Die resultierende Kraft beträgt folglich 75% der Gewichtskraft und die Beschleunigung beträgt 7.36 m/s<sup>2</sup>.
	#Weil das Verhältnis von Dichte des Materials zu Dichte der Luft 15 mal kleiner geworden ist, muss der Durchmesser 15 mal grösser, also 1.5 m gross, gewählt werden.		#Weil das Verhältnis von Dichte des Materials zu Dichte der Luft 15 mal kleiner geworden ist, muss der Durchmesser 15 mal grösser, also 1.5 m gross, gewählt werden.