Lösung zu Wanne mit Abfluss - Versionsgeschichte

Thomas Rüegg am 18. Februar 2010 um 13:41 Uhr

2010-02-18T13:41:38Z

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	Das [[Gesetz von Bernoulli]] erlaubt es uns, längs einer reibungsfreien, instationären Strömung eines inkompessiblen [[Fluid]]s die Summe aus drei Termen (Energiebeladungsmass des Volumenstromes) gleich zu setzen. Folglich kann man für die drei ~~Punkte~~ Wasseroberfläche (1), ~~Ausfluss (2) und~~ zwei Meter über dem Ausfluss (3) den Bernoulli-Term formulieren, die drei Terme wahlweise gleichsetzen und nach der gesuchten Grösse auflösen. ~~Für die drei Punkte gilt (''h'' = 4 m, ''h<sub>3</sub>'' = 2 m)~~		Wir benennen die 4 relevanten Höhen mit h<sub>1</sub> = 4 m (Wasseroberfläche), h<sub>2</sub> = 3 m (Wannenboden), h<sub>3</sub> = 2 m (im Rohr 2 m oberhalb des Ausflusses) und h<sub>4</sub> = 0 m (Ausfluss). Das [[Gesetz von Bernoulli]] erlaubt es uns, längs einer reibungsfreien, instationären Strömung eines inkompessiblen [[Fluid]]s die Summe aus drei Termen (Energiebeladungsmass des Volumenstromes) gleich zu setzen. Folglich kann man für die drei Höhen Wasseroberfläche (1), zwei Meter über dem Ausfluss (3) und den Ausfluss (4) den Bernoulli-Term formulieren, die drei Terme wahlweise gleichsetzen und nach der gesuchten Grösse auflösen.

	:Wasseroberfläche: <math>p_1 + \frac {\rho}{2}v_1^2 + \rho g h_1 = p_L + \rho g h</math>		:Wasseroberfläche: <math>p_1 + \frac {\rho}{2}v_1^2 + \rho g h_1 = p_L + \rho g h_1, \quad v_1 = 0 </math>

	:~~Ausfluss~~: <math>~~p_2~~ + \frac {\rho}{2}~~v_2~~^2 + \rho g ~~h_2 = p_L + \frac {\rho}{2}v^2~~ </math>		:im Rohr: <math>p_3 + \frac {\rho}{2}v_3^2 + \rho g h_3 </math>

	:~~im Rohr~~: <math>~~p_3~~ + \frac {\rho}{2}~~v_3~~^2 + \rho g ~~h_3~~ = ~~p_3~~ + \frac {\rho}{2}~~v_3~~^2 ~~+ \rho g h_3~~</math>		:Ausfluss: <math>p_4 + \frac {\rho}{2}v_4^2 + \rho g h_4 = p_L + \frac {\rho}{2}v_4^2 </math>

	1. Setzt man die Terme ~~in den~~ ~~Punkten~~ 1 und 2 gleich, gewinnt man das [[Ausflussgesetz von Torricelli]] ~~und unter Beizug der [[Kontinuitätsgleichung]] die Stärke des Volumenstromes~~		1. Setzt man die Terme der Höhen h<sub>1</sub> und h<sub>4</sub> gleich, gewinnt man das [[Ausflussgesetz von Torricelli]]

	:<math>~~I_V~~ = Av = A \sqrt{2 g h}</math> = 6.26 l/s		:<math>v_4 = \sqrt{2 g h_1} = \sqrt{2 \cdot 9.81 m/s^2 \cdot 4 m} </math> = 8.86 m/s

	~~2. Der Druck im Punkt 3 folgt aus der Gleichsetzung der Bernoulli-Terme von 2~~ und ~~3 sowie~~ unter ~~Verwendung~~ der [[Kontinuitätsgleichung]] ~~für~~ ~~das~~ ~~Volumen.~~		und unter Beizug der [[Kontinuitätsgleichung]] die Stärke des Volumenstromes

			:<math>I_V = A_4 v_4 = \pi / 4 \cdot (0.03 m)^2 \cdot 8.86 m/s </math> = 6.26 l/s
⚫	:<math>p_3 = ~~p_L~~ + \frac {\rho}{2}v^2 - \frac {\rho}{2}v_3^2 - \rho g h_3 = p_L + \frac {\rho}{2}v^2 \left(1 - \frac{~~A_2~~^2}{A_3^2}\right) - \rho g h_3 = p_L + \rho g \left[ h \left( 1 - \frac{~~A_2~~^2}{A_3^2} \right) - h_3 \right]</math> ~~= 1.065 bar~~

			2. Der Druck auf der Höhe h<sub>3</sub> folgt aus der Gleichsetzung der Bernoulli-Terme für h<sub>3</sub> und h<sub>4</sub> sowie unter Verwendung der [[Kontinuitätsgleichung]] für das Volumen.
⚫	In der letzten Umformung ist ~~nochmals~~ ~~der Bernoulli-Term~~ von Punkt 1 verwendet worden. Im zylindrischen Teil des Rohres nimmt der Druck nach oben wie in einem ruhenden Gefäss ab.

		⚫	:<math>p_3 = p_4 + \frac {\rho}{2}v_4^2 + \rho g h_4 - \frac {\rho}{2} v_3^2 - \rho g h_3 = p_L + \frac {\rho}{2}v_4^2 \left(1 - \frac{A_4^2}{A_3^2}\right) - \rho g h_3 = p_L + \rho g \left[ h_1 \left( 1 - \frac{A_4^2}{A_3^2} \right) - h_3 \right] </math>

			:<math> p_3 = 92'000 Pa + 1000 kg/m^3 \cdot 9.81 m/s^2 \left[ 4 m \left( 1 - \frac{(0.03 m)^4}{(0.05 m)^4} \right) - 2 m \right]</math> = 1.065 bar

		⚫	In der letzten Umformung ist das Resultat von Punkt 1 verwendet worden. Im zylindrischen Teil des Rohres nimmt der Druck nach oben wie in einem ruhenden Gefäss ab, weil die Geschwindigkeit wegen des konstanten Durchmessers gleich bleibt.

	'''[[Wanne mit Abfluss\|Aufgabe]]'''		'''[[Wanne mit Abfluss\|Aufgabe]]'''

Thomas Rüegg am 26. Februar 2009 um 09:37 Uhr

2009-02-26T09:37:30Z

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	:im Rohr: <math>p_3 + \frac {\rho}{2}v_3^2 + \rho g h_3 = p_3 + \frac {\rho}{2}v_3^2 + \rho g h_3</math>		:im Rohr: <math>p_3 + \frac {\rho}{2}v_3^2 + \rho g h_3 = p_3 + \frac {\rho}{2}v_3^2 + \rho g h_3</math>

	1. Setzt man die Terme in den Punkten 1 und 2 gleich, gewinnt man das [[Ausflussgesetz von Torricelli]]und unter Beizug der [[Kontinuitätsgleichung]] die Stärke des Volumenstromes		1. Setzt man die Terme in den Punkten 1 und 2 gleich, gewinnt man das [[Ausflussgesetz von Torricelli]] und unter Beizug der [[Kontinuitätsgleichung]] die Stärke des Volumenstromes

	:<math>I_V = Av = A \sqrt{2 g h}</math> = 6.26 l/s		:<math>I_V = Av = A \sqrt{2 g h}</math> = 6.26 l/s

Admin am 13. April 2007 um 12:39 Uhr

2007-04-13T12:39:14Z

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	1. Setzt man die Terme in den Punkten 1 und 2 gleich, gewinnt man das [[Ausflussgesetz von Torricelli]]und unter Beizug der [[Kontinuitätsgleichung]] die Stärke des Volumenstromes		1. Setzt man die Terme in den Punkten 1 und 2 gleich, gewinnt man das [[Ausflussgesetz von Torricelli]]und unter Beizug der [[Kontinuitätsgleichung]] die Stärke des Volumenstromes

	:<math>I_V = Av = A \sqrt{~~\rho~~ g h}</math> = 6.26 l/s		:<math>I_V = Av = A \sqrt{2 g h}</math> = 6.26 l/s

	2. Der Druck im Punkt 3 folgt aus der Gleichsetzung der Bernoulli-Terme von 2 und 3 sowie unter Verwendung der [[Kontinuitätsgleichung]] für das Volumen.		2. Der Druck im Punkt 3 folgt aus der Gleichsetzung der Bernoulli-Terme von 2 und 3 sowie unter Verwendung der [[Kontinuitätsgleichung]] für das Volumen.

Admin am 14. März 2007 um 08:40 Uhr

2007-03-14T08:40:51Z

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Das [[Gesetz von Bernoulli]] erlaubt es uns, längs einer reibungsfreien, instationären Strömung eines inkompessiblen [[Fluid]]s die Summe aus drei Termen (Energiebeladungsmass des Volumenstromes) gleich zu setzen. Folglich kann man für die drei Punkte Wasseroberfläche (1), Ausfluss (2) und zwei Meter über dem Ausfluss (3) den Bernoulli-Term formulieren, die drei Terme wahlweise gleichsetzen und nach der gesuchten Grösse auflösen. Für die drei Punkte gilt (''h'' = 4 m, ''h<sub>3</sub>'' = 2 m)

:Wasseroberfläche: <math>p_1 + \frac {\rho}{2}v_1^2 + \rho g h_1 = p_L + \rho g h</math>

:Ausfluss: <math>p_2 + \frac {\rho}{2}v_2^2 + \rho g h_2 = p_L + \frac {\rho}{2}v^2 </math>

:im Rohr: <math>p_3 + \frac {\rho}{2}v_3^2 + \rho g h_3 = p_3 + \frac {\rho}{2}v_3^2 + \rho g h_3</math>

1. Setzt man die Terme in den Punkten 1 und 2 gleich, gewinnt man das [[Ausflussgesetz von Torricelli]]und unter Beizug der [[Kontinuitätsgleichung]] die Stärke des Volumenstromes

:<math>I_V = Av = A \sqrt{\rho g h}</math> = 6.26 l/s

2. Der Druck im Punkt 3 folgt aus der Gleichsetzung der Bernoulli-Terme von 2 und 3 sowie unter Verwendung der [[Kontinuitätsgleichung]] für das Volumen.

:<math>p_3 = p_L + \frac {\rho}{2}v^2 - \frac {\rho}{2}v_3^2 - \rho g h_3 = p_L + \frac {\rho}{2}v^2 \left(1 - \frac{A_2^2}{A_3^2}\right) - \rho g h_3 = p_L + \rho g \left[ h \left( 1 - \frac{A_2^2}{A_3^2} \right) - h_3 \right]</math> = 1.065 bar

In der letzten Umformung ist nochmals der Bernoulli-Term von Punkt 1 verwendet worden. Im zylindrischen Teil des Rohres nimmt der Druck nach oben wie in einem ruhenden Gefäss ab.

'''[[Wanne mit Abfluss|Aufgabe]]'''