Stossende Kugeln - Versionsgeschichte

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2011-03-07T05:33:02Z

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	*[https://cast.switch.ch/vod/clips/kdtdjz9io/link_box Videovortrag]: systemdynamisches Modell		*[https://cast.switch.ch/vod/clips/kdtdjz9io/link_box Videovortrag]: systemdynamisches Modell
	*[http://www.youtube.com/watch?v=-MAqHqwoa4U Stossende Kugeln] in Zeitlupe		*[http://www.youtube.com/watch?v=-MAqHqwoa4U Stossende Kugeln] in Zeitlupe
			*[http://www.youtube.com/watch?v=lxLKfTx0YDs Analyse und Erklärung] auf Youtube
			*[http://www.youtube.com/watch?v=6oZfMysV_Qc systemdynamisches Modell] auf Youtube

	[[Kategorie:Trans]][[Kategorie:Rot]][[Kategorie:Modelle]][[Kategorie:TransMod]][[Kategorie:RotMod]]		[[Kategorie:Trans]][[Kategorie:Rot]][[Kategorie:Modelle]][[Kategorie:TransMod]][[Kategorie:RotMod]]

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2011-03-06T11:37:18Z

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	*[https://cast.switch.ch/vod/clips/24i90rsmyj/link_box Videovortrag]: Analyse und Erklärung		*[https://cast.switch.ch/vod/clips/24i90rsmyj/link_box Videovortrag]: Analyse und Erklärung
	*[https://cast.switch.ch/vod/clips/kdtdjz9io/link_box Videovortrag]: systemdynamisches Modell		*[https://cast.switch.ch/vod/clips/kdtdjz9io/link_box Videovortrag]: systemdynamisches Modell
			*[http://www.youtube.com/watch?v=-MAqHqwoa4U Stossende Kugeln] in Zeitlupe

	[[Kategorie:Trans]][[Kategorie:Rot]][[Kategorie:Modelle]][[Kategorie:TransMod]][[Kategorie:RotMod]]		[[Kategorie:Trans]][[Kategorie:Rot]][[Kategorie:Modelle]][[Kategorie:TransMod]][[Kategorie:RotMod]]

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2010-11-20T09:36:06Z

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	*[https://cast.switch.ch/vod/clips/20zuwnnvbw/link_box Videovortrag]		*[https://cast.switch.ch/vod/clips/20zuwnnvbw/link_box Videovortrag] (etwas mangelhafte Tonqualität)
			*[https://cast.switch.ch/vod/clips/24i90rsmyj/link_box Videovortrag]: Analyse und Erklärung
			*[https://cast.switch.ch/vod/clips/kdtdjz9io/link_box Videovortrag]: systemdynamisches Modell

	[[Kategorie:Trans]][[Kategorie:Rot]][[Kategorie:Modelle]][[Kategorie:TransMod]][[Kategorie:RotMod]]		[[Kategorie:Trans]][[Kategorie:Rot]][[Kategorie:Modelle]][[Kategorie:TransMod]][[Kategorie:RotMod]]

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2010-03-14T06:57:20Z

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	*[[https://cast.switch.ch/vod/clips/20zuwnnvbw/link_box Videovortrag]]		*[https://cast.switch.ch/vod/clips/20zuwnnvbw/link_box Videovortrag]

	[[Kategorie:Trans]][[Kategorie:Rot]][[Kategorie:Modelle]][[Kategorie:TransMod]][[Kategorie:RotMod]]		[[Kategorie:Trans]][[Kategorie:Rot]][[Kategorie:Modelle]][[Kategorie:TransMod]][[Kategorie:RotMod]]

Admin: /* systemdynamisches Modell */

2010-03-14T06:57:07Z

systemdynamisches Modell

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	Bild:Stossende Kugel FR1.png\|Gleitreibungskräfte		Bild:Stossende Kugel FR1.png\|Gleitreibungskräfte
	</gallery>		</gallery>

			==Links==
			*[[https://cast.switch.ch/vod/clips/20zuwnnvbw/link_box Videovortrag]]

	[[Kategorie:Trans]][[Kategorie:Rot]][[Kategorie:Modelle]][[Kategorie:TransMod]][[Kategorie:RotMod]]		[[Kategorie:Trans]][[Kategorie:Rot]][[Kategorie:Modelle]][[Kategorie:TransMod]][[Kategorie:RotMod]]

Admin am 5. Oktober 2009 um 03:45 Uhr

2009-10-05T03:45:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. Oktober 2009, 03:45 Uhr
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	Lässt man eine gehärtete Stahlkugel auf eine Führungsschiene rollend gegen eine zweite prallen, bewegen sich danach beide Kugeln mit unterschiedlicher Geschwindigkeit weiter. Wählt man die Spurbreite der Führungsschiene genügend gross, kommt es zu Mehrfachstössen.		Lässt man eine gehärtete Stahlkugel auf eine Führungsschiene rollend gegen eine zweite prallen, bewegen sich danach beide Kugeln mit unterschiedlicher Geschwindigkeit weiter. Wählt man die Spurbreite der Führungsschiene genügend gross, kommt es zu Mehrfachstössen. Man kann auch zwei Kugeln gegeneinander rollen lassen, wie auf diesem [http://www.youtube.com/watch?v=-MAqHqwoa4U Video].

	==Einfache Analyse==		==Einfache Analyse==

Admin am 8. August 2009 um 05:25 Uhr

2009-08-08T05:25:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. August 2009, 05:25 Uhr
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	Lässt man eine gehärtete Stahlkugel auf eine Führungsschiene rollend gegen eine zweite prallen, bewegen sich beide Kugeln ~~danach~~ mit unterschiedlicher Geschwindigkeit weiter. Wählt man die Spurbreite der Führungsschiene genügend gross, kommt es zu Mehrfachstössen.		Lässt man eine gehärtete Stahlkugel auf eine Führungsschiene rollend gegen eine zweite prallen, bewegen sich danach beide Kugeln mit unterschiedlicher Geschwindigkeit weiter. Wählt man die Spurbreite der Führungsschiene genügend gross, kommt es zu Mehrfachstössen.

	==Einfache Analyse==		==Einfache Analyse==
	Eine rollende Kugel speichert [[Impuls]] und [[Drehimpuls]], ~~wobei die~~ beiden Mengen durch die [[Rollbedingung]] miteinander ~~verbknüpft sind~~. Nun zerlegen wir den Bewegungsablauf in die drei Phasen Rollen, Stossen und Rutschen. Beim Rollen sollen sich weder der Impuls- noch der Drehimpulsinhalt ändern. In der Stossphase wird nur Impuls übertragen und keine [[Energie]] [[Dissipation\|dissipiert]]. In der nachfolgenden Rutschphase wirkt die Gleitreibungskraft so lange auf die Kugel ein, bis die Rollbedingung wieder erfüllt ist.		Eine rollende Kugel speichert [[Impuls]] und [[Drehimpuls]]. Die beiden Mengen sind durch die [[Rollbedingung]] miteinander verknüpft. Nun zerlegen wir den ganzen Bewegungsablauf in die drei Phasen Rollen, Stossen und Rutschen. Beim Rollen sollen sich weder der Impuls- noch der Drehimpulsinhalt ändern. In der Stossphase wird nur Impuls übertragen und keine [[Energie]] [[Dissipation\|dissipiert]]. In der nachfolgenden Rutschphase wirkt die Gleitreibungskraft so lange auf die Kugel ein, bis die Rollbedingung wieder erfüllt ist.

	Eine rollende Kugel stosse gegen eine ruhende. Während des zentralen, elastischen Stosses wird Impuls aber kein Drehimpuls übertragen. Danach bleibt die erste Kugel stehen und die zweite bewegt sich mit der Geschwindigkeit der ersten weiter. Weil beim Stoss kein Drehimpuls übertragen worden ist, dreht sich die erste Kugel unbeirrt weiter und die zweite rotiert noch gar nicht. Der nachfolgende Rutschprozess ist anhand der [[Bowling\|Bowlingkugel]] schon anderweitig beschrieben worden. ~~Die~~ rotierende, aber nun ruhende Kugel nimmt vom Boden her Impuls auf (Gleitreibungskraft), verliert aber gleichzeitig durch das seitwärts Fliessen dieses Impulses Drehimpuls ([[Hebelgesetz]]). ~~Die~~ zweite Kugel gibt Impuls an den Boden ab und nimmt über ~~diese~~ Hebelwirkung Drehimpuls auf. Die Rutschphasen sind beendet, sobald für beide Kugeln die Rollbedingung wieder erfüllt ist.		Eine rollende Kugel stosse gegen eine ruhende. Während des zentralen, elastischen Stosses wird Impuls aber kein Drehimpuls übertragen. Danach bleibt die erste Kugel stehen und die zweite bewegt sich mit der Geschwindigkeit der ersten weiter. Weil beim Stoss kein Drehimpuls übertragen worden ist, dreht sich die erste Kugel unbeirrt weiter und die zweite rotiert noch gar nicht. Der nachfolgende Rutschprozess ist anhand der [[Bowling\|Bowlingkugel]] schon anderweitig beschrieben worden: die rotierende, aber nun ruhende Kugel nimmt vom Boden her Impuls auf (Gleitreibungskraft), verliert aber gleichzeitig durch das seitwärts Fliessen dieses Impulses Drehimpuls ([[Hebelgesetz]]); die zweite Kugel gibt Impuls an den Boden ab und nimmt über die damit verbundene Hebelwirkung Drehimpuls auf. Die Rutschphasen sind beendet, sobald für beide Kugeln die Rollbedingung wieder erfüllt ist.

	Zeichnet man für beide Kugeln je zwei [[Flüssigkeitsbild]]er (eines für den Impuls und eines für den Drehimpuls), ergeben sich [[Hebelgesetz]] und [[Rollbedingung]] die ~~beiden~~ Bedingungen		Zeichnet man für beide Kugeln je zwei [[Flüssigkeitsbild]]er (eines für den Impuls und eines für den Drehimpuls), ergeben sich aus [[Hebelgesetz]] und [[Rollbedingung]] die nachfolgenden Bedingungen

	:Kugel 1: <math>\frac{-\Delta L}{\Delta p}=\frac{J(\omega_{1a}-\omega_{1e})}{mv_{1e}}=\frac{\frac{J}{r}(v_a-v_{1e})}{mv_{1e}}=r</math>		:Kugel 1: <math>\frac{-\Delta L}{\Delta p}=\frac{J(\omega_{1a}-\omega_{1e})}{mv_{1e}}=\frac{\frac{J}{r}(v_a-v_{1e})}{mv_{1e}}=r</math>
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	:Kugel 2: <math>\frac{\Delta L}{-\Delta p}=\frac{J\omega_{2e}}{m(v_a-v_{2e})}=\frac{J}{mr}\frac{v_{2e}}{v_a-v_{2e}}=r</math>		:Kugel 2: <math>\frac{\Delta L}{-\Delta p}=\frac{J\omega_{2e}}{m(v_a-v_{2e})}=\frac{J}{mr}\frac{v_{2e}}{v_a-v_{2e}}=r</math>

	Mit <math>v_a</math> ist hier die Geschwindigkeit der ersten Kugel vor und die der zweiten unmittelbar nach dem vollelastischen Stoss gemeint, ''r'' ist der Abrollradius. Formuliert man das Massenträgheitsmoment der Kugel mit Hilfe der Masse und dem Kugelradius ''R'', ~~erhält man für die beiden Endgeschwindigkeiten~~		Mit <math>v_a</math> ist hier die Geschwindigkeit der ersten Kugel vor und die der zweiten unmittelbar nach dem vollelastischen Stoss gemeint, ''r'' ist der Abrollradius. Formuliert man das Massenträgheitsmoment der Kugel mit Hilfe der Masse ''m'' und dem Kugelradius ''R'',

			:<math>J=\frac 52 mR^2</math>

			erhält man für die beiden Endgeschwindigkeiten

	:Kugel 1: <math>v_{1e}=v_a\frac{k}{1+k}</math>		:Kugel 1: <math>v_{1e}=v_a\frac{k}{1+k}</math>
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	:mit <math>k=\frac{2R^2}{5r^2}</math>		:mit <math>k=\frac{2R^2}{5r^2}</math>

	In dieser stark idealisierten Betrachtung ist die Summe der beiden Endgeschwindigkeiten gleich der Anfangsgeschwindigkeit der ersten Kugel. Setzt man den Abrollradius gleich dem Radius der Kugel, bewegt sich die erste Kugel nach dem Stoss mit 28.6% (2/7) der Anfangsgeschwindigkeit weiter und die Geschwindigkeit der zweiten erhöht sich auf 71.4%. ~~Sollten~~ sich die beiden Kugeln nach dem Stoss mit der gleicher Geschwindigkeit ~~bewegen, muss ''k'' gleich eins sein~~. ~~Dies~~ ergibt einen Abrollradius von 63.3% (Wurzel aus 2/5) des Kugelradius. Ein Experiment würde für diese Wahl der Parameter ein anderes Resultat zeigen, da die Reibung zwischen den Kugeln unberücksichtigt geblieben ist.		In dieser stark idealisierten Betrachtung ist die Summe der beiden Endgeschwindigkeiten gleich der Anfangsgeschwindigkeit der ersten Kugel. Setzt man den Abrollradius gleich dem Radius der Kugel, bewegt sich die erste Kugel nach dem Stoss mit 28.6% (2/7) der Anfangsgeschwindigkeit weiter und die Geschwindigkeit der zweiten erhöht sich von Null auf 71.4% des Startwerts der ersten Kugel. Setzt man ''k'' = 1, bewegen sich die beiden Kugeln nach dem Stoss mit der gleicher Geschwindigkeit weiter. Diese Bedingung ergibt einen Abrollradius von 63.3% (Wurzel aus 2/5) des Kugelradius. Wird ''k'' kleiner als eins gewählt, rollt die hintere Kugel schneller weiter und es kommt zu Mehrfachstössen. Ein Experiment würde für diese Wahl der Parameter ein anderes Resultat zeigen, da die Reibung zwischen den Kugeln unberücksichtigt geblieben ist.

	==Schnittbild==		==Schnittbild==
	[[Bild:Stossende Kugel SB.png\|thumb\|Schnittbild]]Zur weiteren Analyse des Problems erstellen wir das [[Schnittbild]] der auflaufenden Kugel während der Stossphase. Obwohl der Stossprozess hochdynamisch ist und der Impuls mit Schallgeschwindigkeit übertragen wird, betrachten wir die Kugeln weiterhin als [[starrer Körper\|starre Körper]]. Neben dem [[Gravitationsfeld]] wirken noch die Schiene und die zweite Kugel auf die erste Kugel ein. Die Einwirkung der zweiten Kugel und der ~~Unterlage~~ wird je in eine Normalkraft und eine Gleitreibungskraft zerlegt. Die drei Bilanzgleichungen lauten dann		[[Bild:Stossende Kugel SB.png\|thumb\|Schnittbild]]Zur weiteren Analyse des Problems erstellen wir das [[Schnittbild]] der auflaufenden Kugel während der Stossphase. Obwohl der Stossprozess hochdynamisch ist und der Impuls mit Schallgeschwindigkeit übertragen wird, betrachten wir die Kugeln weiterhin als [[starrer Körper\|starre Körper]]. Neben dem [[Gravitationsfeld]] wirken noch die Schiene und die zweite Kugel auf die erste Kugel ein. Die Einwirkung der zweiten Kugel und der Schiene wird je in eine Normalkraft und eine Gleitreibungskraft zerlegt. Die drei Bilanzgleichungen für den Horizontal- und den Vertikalimpuls sowie den Drehimpuls lauten dann

	:<math>F_{R1}-F_N=\dot p</math>		:<math>F_{R1}-F_N=\dot p</math>
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	Die Reibkraft hängt über einen empirisch zu bestimmenden Koeffizienten direkt mit der Normalkraft zusammen (Coulomb-Reibung)		Die Reibkraft hängt über einen empirisch zu bestimmenden Koeffizienten direkt mit der Normalkraft zusammen (Coulomb-Reibung)

	:<math>F_{R1}=\mu F_{N1}sgn(~~v_1-~~\omega_1 r)</math>		:<math>F_{R1}=\mu F_{N1}sgn(\omega_1 r-v_1)</math>

	:<math>F_R=\mu_SF_Nsgn(\omega_1+\omega_2)</math>		:<math>F_R=\mu_SF_Nsgn(\omega_1+\omega_2)</math>

Admin: /* systemdynamisches Modell */

2009-08-07T16:04:48Z

systemdynamisches Modell

← Nächstältere Version		Version vom 7. August 2009, 16:04 Uhr
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	==systemdynamisches Modell==		==systemdynamisches Modell==
	Die [[Gleitreibung\|Reibungskräfte]] werden wie gewohnt mit dem Tangenshyperbolicus modelliert. Die Bilder zeigen das [[Systemdiagramm]], das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm und den zeitlichen Verlauf der Reibkräfte für die Parameter		Die [[Gleitreibung\|Reibungskräfte]] werden wie gewohnt mit dem Tangenshyperbolicus modelliert. Die Bilder zeigen das [[Systemdiagramm]], das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm und den zeitlichen Verlauf der Reibkräfte vom Boden auf die beiden Kugeln für die Parameter
	*Kugelradius ''R'' = 2 cm		*Kugelradius ''R'' = 2 cm
	*Abrollradius ''r'' = 0.5 cm		*Abrollradius ''r'' = 0.5 cm
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	<gallery>		<gallery>
			Bild:Stossende Kugel SD.jpg\|Systemdiagramm
			Bild:Stossende Kugel v1.png\|''v-t-''Diagramm
			Bild:Stossende Kugel FR1.png\|Gleitreibungskräfte
	</gallery>		</gallery>

Admin: /* systemdynamisches Modell */

2009-08-07T15:59:42Z

systemdynamisches Modell

← Nächstältere Version		Version vom 7. August 2009, 15:59 Uhr
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	==systemdynamisches Modell==		==systemdynamisches Modell==
			Die [[Gleitreibung\|Reibungskräfte]] werden wie gewohnt mit dem Tangenshyperbolicus modelliert. Die Bilder zeigen das [[Systemdiagramm]], das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm und den zeitlichen Verlauf der Reibkräfte für die Parameter
			*Kugelradius ''R'' = 2 cm
			*Abrollradius ''r'' = 0.5 cm
			*Gleitreibungszahl ''μ'' = 0.2 (Kugel-Unterlage und Kugel-Kugel)
			*Federkonstante ''D'' = 100 kN/m (Stosszone)

			<gallery>
			</gallery>

	[[Kategorie:Trans]][[Kategorie:Rot]][[Kategorie:Modelle]][[Kategorie:TransMod]][[Kategorie:RotMod]]		[[Kategorie:Trans]][[Kategorie:Rot]][[Kategorie:Modelle]][[Kategorie:TransMod]][[Kategorie:RotMod]]

Admin: /* Schnittbild */

2009-08-07T15:32:44Z

Schnittbild

← Nächstältere Version		Version vom 7. August 2009, 15:32 Uhr
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	==Schnittbild==		==Schnittbild==
	Zur weiteren Analyse des Problems erstellen wir das Schnittbild der auflaufenden Kugel während der Stossphase. Obwohl der Stossprozess hochdynamisch ist und der Impuls ~~während der Stossphase~~ mit Schallgeschwindigkeit übertragen wird, betrachten wir die Kugeln weiterhin als [[starrer Körper\|starre Körper]]. Neben dem [[Gravitationsfeld]] wirken noch die Schiene und die zweite Kugel auf die erste Kugel ein. Die Einwirkung der zweiten Kugel und der Unterlage wird je in eine Normalkraft und eine Gleitreibungskraft zerlegt. Die drei Bilanzgleichungen lauten dann		[[Bild:Stossende Kugel SB.png\|thumb\|Schnittbild]]Zur weiteren Analyse des Problems erstellen wir das [[Schnittbild]] der auflaufenden Kugel während der Stossphase. Obwohl der Stossprozess hochdynamisch ist und der Impuls mit Schallgeschwindigkeit übertragen wird, betrachten wir die Kugeln weiterhin als [[starrer Körper\|starre Körper]]. Neben dem [[Gravitationsfeld]] wirken noch die Schiene und die zweite Kugel auf die erste Kugel ein. Die Einwirkung der zweiten Kugel und der Unterlage wird je in eine Normalkraft und eine Gleitreibungskraft zerlegt. Die drei Bilanzgleichungen lauten dann

	:<math>F_{R1}-F_N=\dot p</math>		:<math>F_{R1}-F_N=\dot p</math>

	:<math>F_{G1}-F{N1}-F_{R}=0</math>		:<math>F_{G1}-F_{N1}-F_{R}=0</math>

	:<math>-F_RR-F_{R1}r=\dot L</math>		:<math>-F_RR-F_{R1}r=\dot L</math>