Winkelgeschwindigkeit - Versionsgeschichte

Admin am 17. Juni 2008 um 06:21 Uhr

2008-06-17T06:21:47Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. Juni 2008, 06:21 Uhr
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	Rotiert ein Körper um ein feste Achse, drehen sich alle Linien auf dem Körper in gleichen Zeiten um den gleichen Winkel ''Δ φ''. Die mittlere Winkelgeschwindigkeit auf dem Zeitabschnitt ''Δ t'' ist durch den folgenden Quotienten definiert		Rotiert ein Körper um ein feste Achse, drehen sich alle Linien auf dem Körper in gleichen Zeiten um den gleichen Winkel ''Δ φ''. Die mittlere Winkelgeschwindigkeit auf dem Zeitabschnitt ''Δ t'' ist durch den folgenden Quotienten definiert

	:<math>\overline {\omega} = \frac {\varphi_2 - \varphi_1}{t_2 - t_1} = \frac {\Delta \varphi}{\Delta t}</math>		:<math>\overline{\omega}=\frac{\varphi_2-\varphi_1}{t_2-t_1}=\frac {\Delta \varphi}{\Delta t}</math>

	Den Momentanwert der Winkelgeschwindigkeit erhält man durch einen Grenzübergang für ''Δt'' gegen 0		Den Momentanwert der Winkelgeschwindigkeit erhält man durch einen Grenzübergang für ''Δt'' gegen 0

	:<math>\omega = \lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta \varphi}{\Delta t}</math>		:<math>\omega=\lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta \varphi}{\Delta t}</math>

	Die Winkelgeschwindigkeit entspricht der Geschwindigkeit eines Punktes auf dem [[Einheitskreis]]. Die [[Schnelligkeit]] eines Punktes auf dem rotierenden Körper ist gleich Winkelgeschwindigkeit mal Abstand des Punktes von der Drehachse		Die Winkelgeschwindigkeit entspricht der Geschwindigkeit eines Punktes auf dem [[Einheitskreis]]. Die [[Schnelligkeit]] eines Punktes auf dem rotierenden Körper ist gleich Winkelgeschwindigkeit mal Abstand des Punktes von der Drehachse

	:<math>v = \omega r</math>		:<math>v=\omega r</math>

	Die Geschwindigkeit steht immer normal zur Drehachse und normal zum Abstandsvektor '''''r'''''.		Die Geschwindigkeit steht immer normal zur Drehachse und normal zum Abstandsvektor '''''r'''''.
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	Enthält der starre Körper keinen [[Impuls]], bleibt der [[Massenmittelpunkt]] an Ort. Die [[momentane Drehachse]], die Gerade, auf der alle im Moment ruhenden Punkte liegen, führt unter diesen Umständen zu jedem Zeitpunkt durch den Massenmittelpunkt. Die Winkelgeschwindigkeit darf als Vektor dargestellt werden, der in Richtung der momentanen Drehachse zeigt. Für die Geschwindigkeit eines Punktes auf dem starren Körper gilt		Enthält der starre Körper keinen [[Impuls]], bleibt der [[Massenmittelpunkt]] an Ort. Die [[momentane Drehachse]], die Gerade, auf der alle im Moment ruhenden Punkte liegen, führt unter diesen Umständen zu jedem Zeitpunkt durch den Massenmittelpunkt. Die Winkelgeschwindigkeit darf als Vektor dargestellt werden, der in Richtung der momentanen Drehachse zeigt. Für die Geschwindigkeit eines Punktes auf dem starren Körper gilt

	:<math>\vec v = \vec \omega \times \vec r</math>		:<math>\vec v=\vec\omega\times \vec r</math>

	Die Winkelgeschwindigkeit ist ein universelle Eigenschaft des starren Körpers. Zu jedem Zeitpunkt rotieren alle Linien auf dem starren Körper mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit. Deshalb gilt für die [[Geschwindigkeit]] zweier beliebigen Punkten ''A'' und ''B'' auf dem starren Körper		Die Winkelgeschwindigkeit ist ein universelle Eigenschaft des starren Körpers. Zu jedem Zeitpunkt rotieren alle Linien auf dem starren Körper mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit. Deshalb gilt für die [[Geschwindigkeit]] zweier beliebigen Punkten ''A'' und ''B'' auf dem starren Körper

	:<math>\vec v_B = \vec v_A + \vec \omega \times \vec r_{AB}</math>		:<math>\vec v_B=\vec v_A+\vec\omega\times\vec r_{AB}</math>

	Die erste Formel ist ein Spezialfall der zweiten mit '''''v'''<sub>A</sub>'' = 0.		Die erste Formel ist ein Spezialfall der zweiten mit '''''v'''<sub>A</sub>'' = 0.
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	In einem Kontinuum (Gas, Flüssigkeit oder Festkörper) kann die Winkelgeschwindigkeit lokal definiert werden. Dazu bildet man aus dem Geschwindigkeitsgradienten den antisymmetrischen Tensor ''Ω<sub>ij</sub>''		In einem Kontinuum (Gas, Flüssigkeit oder Festkörper) kann die Winkelgeschwindigkeit lokal definiert werden. Dazu bildet man aus dem Geschwindigkeitsgradienten den antisymmetrischen Tensor ''Ω<sub>ij</sub>''

	:<math>\Omega_{ij} = \frac {1}{2} (v_{i,j} - v_{j.i})</math>		:<math>\Omega_{ij}=\frac{1}{2}(v_{i,j}-v_{j.i})</math>

	Die Nichtdiagonalelemente können dann wie folgt dem Winkelgeschwindigkeitsvektor '''''ω''''' zugewiesen werden		Die Nichtdiagonalelemente können dann wie folgt dem Winkelgeschwindigkeitsvektor '''''ω''''' zugewiesen werden

	:<math>\Omega_{ij} = \begin{bmatrix} 0 \ & -\omega_z \ & \omega_y \\ \omega_z \ & 0 \ & -\omega_x \\ -\omega_y \ & \omega_x \ & 0 \end{bmatrix}</math>		:<math>\Omega_{ij}=\begin{bmatrix} 0 \ & -\omega_z \ & \omega_y \\ \omega_z \ & 0 \ & -\omega_x \\ -\omega_y \ & \omega_x \ & 0 \end{bmatrix}</math>

	Die Winkelgeschwindigkeit in Gestalt eines Vektors kann auch direkt aus der Geschwindigkeit berechnet werden		Die Winkelgeschwindigkeit in Gestalt eines Vektors kann auch direkt aus der Geschwindigkeit berechnet werden

	:<math>2 \vec \omega = rot(\vec v)</math>		:<math>2\vec\omega=rot(\vec v)</math>

	[[Kategorie: Rot]]		[[Kategorie: Rot]]

User am 29. Juli 2007 um 11:56 Uhr

2007-07-29T11:56:07Z

User: /* starrer Körper */

2007-07-29T11:54:48Z

starrer Körper

← Nächstältere Version		Version vom 29. Juli 2007, 11:54 Uhr
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	Enthält der starre Körper keinen [[Impuls]], bleibt der [[Massenmittelpunkt]] an Ort. Die [[momentane Drehachse]], die Gerade, auf der alle im Moment ruhenden Punkte liegen, führt unter diesen Umständen zu jedem Zeitpunkt durch den Massenmittelpunkt. Die Winkelgeschwindigkeit darf als Vektor dargestellt werden, der in Richtung der momentanen Drehachse zeigt. Für die Geschwindigkeit eines Punktes auf dem starren Körper gilt		Enthält der starre Körper keinen [[Impuls]], bleibt der [[Massenmittelpunkt]] an Ort. Die [[momentane Drehachse]], die Gerade, auf der alle im Moment ruhenden Punkte liegen, führt unter diesen Umständen zu jedem Zeitpunkt durch den Massenmittelpunkt. Die Winkelgeschwindigkeit darf als Vektor dargestellt werden, der in Richtung der momentanen Drehachse zeigt. Für die Geschwindigkeit eines Punktes auf dem starren Körper gilt

	<math>\vec v = \vec \omega \times \vec r</math>		:<math>\vec v = \vec \omega \times \vec r</math>

	Die Winkelgeschwindigkeit ist ein universelle Eigenschaft des starren Körpers. Zu jedem Zeitpunkt rotieren alle Linien auf dem starren Körper mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit. Deshalb gilt für die [[Geschwindigkeit]] zweier beliebigen Punkten ''A'' und ''B'' auf dem starren Körper		Die Winkelgeschwindigkeit ist ein universelle Eigenschaft des starren Körpers. Zu jedem Zeitpunkt rotieren alle Linien auf dem starren Körper mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit. Deshalb gilt für die [[Geschwindigkeit]] zweier beliebigen Punkten ''A'' und ''B'' auf dem starren Körper

	<math>\vec v_B = \vec v_A + \vec \omega \times \vec r_{AB}</math>		:<math>\vec v_B = \vec v_A + \vec \omega \times \vec r_{AB}</math>

	Die erste Formel ist ein Spezialfall der zweiten mit '''''v'''<sub>A</sub>'' = 0.		Die erste Formel ist ein Spezialfall der zweiten mit '''''v'''<sub>A</sub>'' = 0.

Admin: /* starrer Körper */

2007-01-23T09:18:59Z

starrer Körper

← Nächstältere Version		Version vom 23. Januar 2007, 09:18 Uhr
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	<math>\vec v = \vec \omega \times \vec r</math>		<math>\vec v = \vec \omega \times \vec r</math>

	Die Winkelgeschwindigkeit ist ein universelle Eigenschaft des starren Körpers. Zu jedem Zeitpunkt rotieren alle Linien auf dem starren Körper mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit. Deshalb gilt ~~zwischen~~ ~~zwei~~ beliebigen Punkten ''A'' und ''B'' auf dem starren Körper		Die Winkelgeschwindigkeit ist ein universelle Eigenschaft des starren Körpers. Zu jedem Zeitpunkt rotieren alle Linien auf dem starren Körper mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit. Deshalb gilt für die [[Geschwindigkeit]] zweier beliebigen Punkten ''A'' und ''B'' auf dem starren Körper

	<math>\vec v_B = \vec v_A + \vec \omega \times \vec r_{AB}</math>		<math>\vec v_B = \vec v_A + \vec \omega \times \vec r_{AB}</math>

Admin: /* Kontinuum */

2007-01-07T16:57:16Z

Kontinuum

← Nächstältere Version		Version vom 7. Januar 2007, 16:57 Uhr
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	Die Nichtdiagonalelemente können dann wie folgt dem Winkelgeschwindigkeitsvektor '''''ω''''' zugewiesen werden		Die Nichtdiagonalelemente können dann wie folgt dem Winkelgeschwindigkeitsvektor '''''ω''''' zugewiesen werden

	<math>\Omega_{ij} = \begin{bmatrix} 0 \ \omega_z \ -\omega_y \\ -\omega_z \ 0 \ \omega_x \\ \omega_y \ -\omega_x \ 0 \end{bmatrix}</math>		<math>\Omega_{ij} = \begin{bmatrix} 0 \ & -\omega_z \ & \omega_y \\ \omega_z \ & 0 \ & -\omega_x \\ -\omega_y \ & \omega_x \ & 0 \end{bmatrix}</math>

	Die Winkelgeschwindigkeit in Gestalt eines Vektors kann auch direkt aus der Geschwindigkeit berechnet werden		Die Winkelgeschwindigkeit in Gestalt eines Vektors kann auch direkt aus der Geschwindigkeit berechnet werden

Admin: /* Kontinuum */

2007-01-05T14:42:01Z

Kontinuum

← Nächstältere Version		Version vom 5. Januar 2007, 14:42 Uhr
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	Die Nichtdiagonalelemente können dann wie folgt dem Winkelgeschwindigkeitsvektor '''''ω''''' zugewiesen werden		Die Nichtdiagonalelemente können dann wie folgt dem Winkelgeschwindigkeitsvektor '''''ω''''' zugewiesen werden

	<math>\Omega_{ij} = \begin{bmatrix} 0 \ -\omega_z \ \omega_y \\ \omega_z \ 0 \ -\omega_x \\ -\omega_y \ \omega_x \ 0 \end{bmatrix}</math>		<math>\Omega_{ij} = \begin{bmatrix} 0 \ \omega_z \ -\omega_y \\ -\omega_z \ 0 \ \omega_x \\ \omega_y \ -\omega_x \ 0 \end{bmatrix}</math>

	Die Winkelgeschwindigkeit in Gestalt eines Vektors kann auch direkt aus der Geschwindigkeit berechnet werden		Die Winkelgeschwindigkeit in Gestalt eines Vektors kann auch direkt aus der Geschwindigkeit berechnet werden

Admin: /* Kontinuum */

2007-01-04T22:03:13Z

Kontinuum

← Nächstältere Version		Version vom 4. Januar 2007, 22:03 Uhr
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	==Kontinuum==		==Kontinuum==
	In einem Kontinuum (Gas, Flüssigkeit oder Festkörper) kann die Winkelgeschwindigkeit lokal definiert werden. Dazu bildet man aus dem Geschwindigkeitsgradienten den antisymmetrischen Tensor Ω<sub>ij</sub>		In einem Kontinuum (Gas, Flüssigkeit oder Festkörper) kann die Winkelgeschwindigkeit lokal definiert werden. Dazu bildet man aus dem Geschwindigkeitsgradienten den antisymmetrischen Tensor ''Ω<sub>ij</sub>''

	<math>\Omega_{ij} = \frac {1}{2} (v_{i,j} - v_{j.i})</math>		<math>\Omega_{ij} = \frac {1}{2} (v_{i,j} - v_{j.i})</math>

Admin: /* starrer Körper */

2007-01-04T22:02:11Z

starrer Körper

← Nächstältere Version		Version vom 4. Januar 2007, 22:02 Uhr
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	<math>\vec v = \vec \omega \times \vec r</math>		<math>\vec v = \vec \omega \times \vec r</math>

			Die Winkelgeschwindigkeit ist ein universelle Eigenschaft des starren Körpers. Zu jedem Zeitpunkt rotieren alle Linien auf dem starren Körper mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit. Deshalb gilt zwischen zwei beliebigen Punkten ''A'' und ''B'' auf dem starren Körper

			<math>\vec v_B = \vec v_A + \vec \omega \times \vec r_{AB}</math>

			Die erste Formel ist ein Spezialfall der zweiten mit '''''v'''<sub>A</sub>'' = 0.

	==Kontinuum==		==Kontinuum==

Admin am 4. Januar 2007 um 21:54 Uhr

2007-01-04T21:54:55Z

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Unter der Winkelgeschwindigkeit versteht man die Änderungsrate des Drehwinkels. Als Formelzeichen verwendet man den letzten Buchstaben des griechischen Alphabets, das ''ω''. Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist Radiant pro Sekunde oder einfach nur 1/s.

==feste Achse==
Rotiert ein Körper um ein feste Achse, drehen sich alle Linien auf dem Körper in gleichen Zeiten um den gleichen Winkel ''Δ φ''. Die mittlere Winkelgeschwindigkeit auf dem Zeitabschnitt ''Δ t'' ist durch den folgenden Quotienten definiert

<math>\overline {\omega} = \frac {\varphi_2 - \varphi_1}{t_2 - t_1} = \frac {\Delta \varphi}{\Delta t}</math>

Den Momentanwert der Winkelgeschwindigkeit erhält man durch einen Grenzübergang für ''Δt'' gegen 0

<math>\omega = \lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta \varphi}{\Delta t}</math>

Die Winkelgeschwindigkeit entspricht der Geschwindigkeit eines Punktes auf dem [[Einheitskreis]]. Die [[Schnelligkeit]] eines Punktes auf dem rotierenden Körper ist gleich Winkelgeschwindigkeit mal Abstand des Punktes von der Drehachse

<math>v = \omega r</math>

Die Geschwindigkeit steht immer normal zur Drehachse und normal zum Abstandsvektor '''''r'''''.

==starrer Körper==
Enthält der starre Körper keinen [[Impuls]], bleibt der [[Massenmittelpunkt]] an Ort. Die [[momentane Drehachse]], die Gerade, auf der alle im Moment ruhenden Punkte liegen, führt unter diesen Umständen zu jedem Zeitpunkt durch den Massenmittelpunkt. Die Winkelgeschwindigkeit darf als Vektor dargestellt werden, der in Richtung der momentanen Drehachse zeigt. Für die Geschwindigkeit eines Punktes auf dem starren Körper gilt

<math>\vec v = \vec \omega \times \vec r</math>

==Kontinuum==
In einem Kontinuum (Gas, Flüssigkeit oder Festkörper) kann die Winkelgeschwindigkeit lokal definiert werden. Dazu bildet man aus dem Geschwindigkeitsgradienten den antisymmetrischen Tensor Ω<sub>ij</sub>

<math>\Omega_{ij} = \frac {1}{2} (v_{i,j} - v_{j.i})</math>

Die Nichtdiagonalelemente können dann wie folgt dem Winkelgeschwindigkeitsvektor '''''ω''''' zugewiesen werden

<math>\Omega_{ij} = \begin{bmatrix} 0 \ -\omega_z \ \omega_y \\ \omega_z \ 0 \ -\omega_x \\ -\omega_y \ \omega_x \ 0 \end{bmatrix}</math>

Die Winkelgeschwindigkeit in Gestalt eines Vektors kann auch direkt aus der Geschwindigkeit berechnet werden

<math>2 \vec \omega = rot(\vec v)</math>

[[Kategorie: Rot]]

← Nächstältere Version		Version vom 29. Juli 2007, 11:56 Uhr
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	Rotiert ein Körper um ein feste Achse, drehen sich alle Linien auf dem Körper in gleichen Zeiten um den gleichen Winkel ''Δ φ''. Die mittlere Winkelgeschwindigkeit auf dem Zeitabschnitt ''Δ t'' ist durch den folgenden Quotienten definiert		Rotiert ein Körper um ein feste Achse, drehen sich alle Linien auf dem Körper in gleichen Zeiten um den gleichen Winkel ''Δ φ''. Die mittlere Winkelgeschwindigkeit auf dem Zeitabschnitt ''Δ t'' ist durch den folgenden Quotienten definiert

	<math>\overline {\omega} = \frac {\varphi_2 - \varphi_1}{t_2 - t_1} = \frac {\Delta \varphi}{\Delta t}</math>		:<math>\overline {\omega} = \frac {\varphi_2 - \varphi_1}{t_2 - t_1} = \frac {\Delta \varphi}{\Delta t}</math>

	Den Momentanwert der Winkelgeschwindigkeit erhält man durch einen Grenzübergang für ''Δt'' gegen 0		Den Momentanwert der Winkelgeschwindigkeit erhält man durch einen Grenzübergang für ''Δt'' gegen 0

	<math>\omega = \lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta \varphi}{\Delta t}</math>		:<math>\omega = \lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta \varphi}{\Delta t}</math>

	Die Winkelgeschwindigkeit entspricht der Geschwindigkeit eines Punktes auf dem [[Einheitskreis]]. Die [[Schnelligkeit]] eines Punktes auf dem rotierenden Körper ist gleich Winkelgeschwindigkeit mal Abstand des Punktes von der Drehachse		Die Winkelgeschwindigkeit entspricht der Geschwindigkeit eines Punktes auf dem [[Einheitskreis]]. Die [[Schnelligkeit]] eines Punktes auf dem rotierenden Körper ist gleich Winkelgeschwindigkeit mal Abstand des Punktes von der Drehachse

	<math>v = \omega r</math>		:<math>v = \omega r</math>

	Die Geschwindigkeit steht immer normal zur Drehachse und normal zum Abstandsvektor '''''r'''''.		Die Geschwindigkeit steht immer normal zur Drehachse und normal zum Abstandsvektor '''''r'''''.
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	In einem Kontinuum (Gas, Flüssigkeit oder Festkörper) kann die Winkelgeschwindigkeit lokal definiert werden. Dazu bildet man aus dem Geschwindigkeitsgradienten den antisymmetrischen Tensor ''Ω<sub>ij</sub>''		In einem Kontinuum (Gas, Flüssigkeit oder Festkörper) kann die Winkelgeschwindigkeit lokal definiert werden. Dazu bildet man aus dem Geschwindigkeitsgradienten den antisymmetrischen Tensor ''Ω<sub>ij</sub>''

	<math>\Omega_{ij} = \frac {1}{2} (v_{i,j} - v_{j.i})</math>		:<math>\Omega_{ij} = \frac {1}{2} (v_{i,j} - v_{j.i})</math>

	Die Nichtdiagonalelemente können dann wie folgt dem Winkelgeschwindigkeitsvektor '''''ω''''' zugewiesen werden		Die Nichtdiagonalelemente können dann wie folgt dem Winkelgeschwindigkeitsvektor '''''ω''''' zugewiesen werden

	<math>\Omega_{ij} = \begin{bmatrix} 0 \ & -\omega_z \ & \omega_y \\ \omega_z \ & 0 \ & -\omega_x \\ -\omega_y \ & \omega_x \ & 0 \end{bmatrix}</math>		:<math>\Omega_{ij} = \begin{bmatrix} 0 \ & -\omega_z \ & \omega_y \\ \omega_z \ & 0 \ & -\omega_x \\ -\omega_y \ & \omega_x \ & 0 \end{bmatrix}</math>

	Die Winkelgeschwindigkeit in Gestalt eines Vektors kann auch direkt aus der Geschwindigkeit berechnet werden		Die Winkelgeschwindigkeit in Gestalt eines Vektors kann auch direkt aus der Geschwindigkeit berechnet werden

	<math>2 \vec \omega = rot(\vec v)</math>		:<math>2 \vec \omega = rot(\vec v)</math>

	[[Kategorie: Rot]]		[[Kategorie: Rot]]