Impulsstrom

Transportarten

Impuls kann auf drei Arten durch den Raum transportiert werden: leitungsartig, feldartig und konvektiv. Beim leitungsartigen Transport fliesst der Impuls durch einen Stoff hindurch, beim feldartigen wird der Impuls vom Gravitations- oder vom elektromagnetischen Feld transportiert und beim konvektiven Transport strömt der Impuls zusammen mit einem Stoff durch den Raum.

Die Stärke eines leitungsartigen Stromes kann über die Verformung des durchströmten Soffes, die Stärke eines konvektiven Stromes über die Geschwindigkeit und die Masenstromstärke oder über Geschwindigkeit, Dichte und Volumenstromstärke gemessen werden. Für den Transport durch das elektromagnetische Feld liefern die Feldstärken die zur Berechnung des Impulstransportes notwendige Information.

Stromstärken und Quellen

Eine Stromstärke kann gemessen werden, sobald eine Referenzfläche ausgezeichnet wird. Die Orientierung der Referenzfläche bestimmt dann das Vorzeichen der Stromstärke. Nimmt man als Referenzfläche die Oberfläche eines Körpers, heisst die Impulsstromstärke Oberflächenkraft. Die Stärke einer Impulsquelle im Innern des Körpers nennt man Volumenkraft.

Festkörper leiten Impuls und Drehimpuls oft ohne Energieverlust weiter. Deshalb nehmen wir den Transport nicht wahr oder reden von Kraftflüssen. Um die Transportmöglichkeiten und die damit verbundenen Kopplungen einzuschränken, nimmt man oft Seile oder Pendelstützen als Impulsleiter. Legt man nun die x-Achse eines Koordinatensystem längs des Seils, fliesst der x-Impuls rückwärts, sobald das Seil gespannt wird. Das Seil wirkt bezüglich des Impulsstromes als Diode. Eine Pendelstütze leitet den x-Impuls bei Druck vorwärts und bei Zug rückwärts. Statische Systeme, die nur aus Pendelstützen bestehen, heissen Fachwerke. Leitungsartige Impulsströme misst man mit Federwaagen, Kraftmessdosen oder piezoelektrischen Sensoren.

Legt man die Referenzfläche A quer zur Feldstärke eines homogenen elektrischen oder magnetischen Feldes, kann die bezüglich der Feldrichtung rückwärts fliessende Impulsstromstärke berechnet werden

elektrisches Feld: [math]I_{px} = \frac {\epsilon_0}{2} E^2_x A[/math]

magnetisches Feld: [math]I_{px} = \frac {1}{2 \mu_0} B^2_x A[/math]

Die Stärke eines konvektiven Impulsstromes wird durch die Massenstromstärke oder Volumenstromstärke ausgedrückt

[math]\begin{pmatrix} I_{pxcon}\\ I_{pycon} \\ I_{pzcon}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_x\\ v_y \\ v_z\end{pmatrix} I_m = \rho \begin{pmatrix} v_x\\ v_y \\ v_z\end{pmatrix} I_V[/math]

Der Austausch zwischen Körper und Felder erfolgt über Quellen, deren Stärken Volumenkräfte heissen:

[math]\vec F_L = Q (\vec E + \vec v \times \vec B)[/math]

[math]\vec F_G = m \vec g [/math]

F_L, die Lorentzkraft, beschreibt die Impulsquelle des Körpers bezüglich des elektromagnetischen Feldes und F_G, die Schwer-, Gewichts- oder Gravitationskraft heisst, den volumenmässigen Impulsaustausch mit dem Gravitationsfeld.

Stromdichten

Die nachfolgenden Formeln sind in der Einstein-Notation geschrieben. Der Spannungstensor T_ij beschreibt den leitungsartige Impulstransport vollständig

[math]j_{pij} = - T_{ji}[/math]

Die Dichte des konvektiven Impulsstromes ist gleich Impulsdichte mal Volumenstromdichte, also gleich Massendichte mal das Tensorprodukt der Strömungsgeschwindigkeit

[math]j_{pijcon} = \rho v_i v_j[/math]

Für die Impulsstromdichte im elektromagnetischen Feld kann folgender Ausdruck hergeleitet werden

[math]j_{pij}^{EM}= \rho_W \delta_{ij} - [\epsilon_0 E_i E_j + \frac {1}{\mu_0} B_i B_j][/math]

wobei ρ_W für die Energiedichte im elektromagnetischen Feld steht

[math]\rho_W = \frac {1}{2} [\epsilon_0 E^2 + \frac {1}{\mu_0} B^2][/math]

Die Impulsstromdichte kann in einen isotropen und einen Gestaltänderungsanteil zerlegt werden

[math]j_{pij}^i = j_{pii} \delta_{ij}[/math]

[math]j_{pij}^g = j_{pij} - j_{pij}^i[/math]

Der isotrope Anteil, die Spur der Impulsstromdichte mal den Einheitstensor, beschreibt den hydrostatischen Druck

[math]p = \frac {1}{3}j_{pii}[/math]

Der Gestaltänderungsanteil ist bei isotropen Stoffen für die Änderung der Form, der Gestalt, verantwortlich.

Zusammenhang

Die Stromstärke wird durch Integration über die Referenzfläche aus der Stromdichte berechnet

[math]I_{pi} = \int j_{pij} dA_j[/math]

Folglich ist eine Oberflächenkraft gleich dem Intergral des Spannungstensor über das zu betrachtende Oberflächenstück

[math]F_i = \int T_{ji} dA_j[/math]

Volumenkräfte berechnen sich über das Volumenintergral aus der Quellendichte. Für die Gravitation gilt

[math]F_{Gi} = \int \rho g_i dV[/math]

Links

• Vortrag zu Impulsströmen
• Impulsstrom auf Youtube
• Impulsströme in der Statik auf Youtube