Lösung zu Doppelzylindersatellit: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 7. April 2016, 14:49 Uhr

Der Käfig rotiert um den eigenen Massenmittelpunkt, die beiden Zylinderachsen bewegen sich synchron auf Kreisen.
Der erste Motor pumpt 6000 Nms Drehimpuls in den ersten Zylinder hinein. Diesen Drehimpuls entnimmt er dem Käfig (Speicher besteht aus Eigendrehimpuls des Käfigs und den Bahndrehimpulsen der beiden Zylinder). Der zweite Zylinder macht zwar eine Kreisbahn, rotiert aber nicht und hat deshalb auch keinen Eigendrehimpuls gespeichert. Weil der Käfig zehn Mal langsamer in Gegenrichtung dreht, muss das zugehörige Massenträgheitsmoment zehn Mal grösser sein, also 300 kgm². Der zweite Motor fördert später Drehimpuls aus dem zweiten Zylinder in den Käfig hinein, sodass der Käfig-Drehimpuls wieder 0 wird. Dafür muss er gleich viel Drehimpuls in den Käfig hineinpumpen, wie der erste Motor herausgepumpt hat, also ebenfalls 6000 Nms.
Der erste Motor hebt die 6000 Nms Drehimpuls im Mittel um eine Winkelgeschwindigkeitsdifferenz von (200 rad/s - (- 20 rad/s)) / 2 = 110 rad/s hinauf. Dazu muss er mindestens 110 rad/s * 6000 Nms = 660 kJ Energie aufwenden.
Der zweite Motor fördert ebenfalls 6000 Nms Drehimpuls. Diese entnimmt er dem zweiten Zylinder, der sich danach mit einer Winkelgeschwindigkeit von - 6 kNms / 20 kgm² = - 300 rad/s dreht. Die Differenz der Winkelgeschwindigkeit ist zu Beginn - 20 rad/s - 0 rad/s = -20 rad/s und am Ende 0 rad/s und -300 rad/s = 300 rad/s. Die mittlere Pumphöhe beträgt deshalb (- 20 rad/s + 300 rad/s) / 2 = 140 rad/s. Dadurch erhöht sich die aufzuwendende Energie auf 140 rad/s * 6 kNms = 840 kJ. In der ersten Phase des zweiten Prozesses (bis der zweite Zylinder mit stärker negativer Winkelgeschw. als der Käfig dreht) fliesst der Drehimpuls hinunter. In dieser Phase muss der Motor als Generator arbeiten, damit er insgesamt nur 840 kJ Energie frei setzen muss.
Die beiden Zylinder speichern neben dem Eigendrehimpuls auch noch Bahndrehimpuls [math]L_B = mr^2 \omega[/math]. Weil die beiden Zylinderachsen gemeinsam mit dem Käfig rotieren, tragen sie einen Beitrag von je [math]mr^2[/math] = 100 kg * (1 m)² = 100 kgm² zum Massenträgheitsmoment bei. Der Käfig besitzt folglich ein Massenträgheitsmoment von 300 kgm² - 2 * 100 kgm² = 100 kgm².

Aufgabe

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 [[Bild:Doppelzylindersatellit_FB.png|thumb|Flüssigkeitsbild]]
+#Der Käfig rotiert um den eigenen Massenmittelpunkt, die beiden Zylinderachsen bewegen sich synchron auf Kreisen.
-#Der erste Motor pumpt 6000 Nms [[Drehimpuls]] in den einen Zylinder hinein. Weil der Rest ohne den zweiten Zylinder zehn Mal langsamer in Gegenrichtung dreht, muss das zugehörige Massenträgheitsmoment zehn Mal grösser sein. Der zweit Motor pumpt danach ebenfalls 6000 Nms Drehimpuls aus dem zweiten Zylinder in den Rest des Satelliten hinein.
+#Der erste Motor pumpt 6000 Nms [[Drehimpuls]] in den ersten Zylinder hinein. Diesen Drehimpuls entnimmt er dem Käfig (Speicher besteht aus Eigendrehimpuls des Käfigs und den Bahndrehimpulsen der beiden Zylinder). Der zweite Zylinder macht zwar eine Kreisbahn, rotiert aber nicht und hat deshalb auch keinen Eigendrehimpuls gespeichert.  Weil der Käfig zehn Mal langsamer in Gegenrichtung dreht, muss das zugehörige Massenträgheitsmoment zehn Mal grösser sein, also 300 kgm<sup>2</sup>. Der zweite Motor fördert später Drehimpuls aus dem zweiten Zylinder in den Käfig hinein, sodass der Käfig-Drehimpuls wieder 0 wird. Dafür muss er gleich viel Drehimpuls in den Käfig hineinpumpen, wie der erste Motor herausgepumpt hat, also ebenfalls 6000 Nms.
-#Der erste Motor pumpt die 6000 Nms Drehimpuls im Mittel um eine [[Winkelgeschwindigkeit]] von 110 s<sup>-1</sup> hinauf. Dazu muss er mindestens 660 kJ [[Energie]] aufwenden.
-#Der zweite Motor pumpt ebenfalls 6000 Nms Drehimpuls. Weil die mittlere Pumphöhe diesmal 290 s<sup>-1</sup> beträgt, erhöht sich die aufzuwendende Energie auf
+#Der erste Motor hebt die 6000 Nms Drehimpuls im Mittel um eine [[Winkelgeschwindigkeit]]sdifferenz von (200 rad/s - (- 20 rad/s)) / 2 = 110 rad/s hinauf. Dazu muss er mindestens 110 rad/s * 6000 Nms = 660 kJ [[Energie]] aufwenden.
+#Der zweite Motor fördert ebenfalls 6000 Nms Drehimpuls. Diese entnimmt er dem zweiten Zylinder, der sich danach mit einer Winkelgeschwindigkeit von - 6 kNms / 20 kgm<sup>2</sup> = - 300 rad/s dreht. Die Differenz der Winkelgeschwindigkeit ist zu Beginn - 20 rad/s - 0 rad/s = -20 rad/s und am Ende 0 rad/s und -300 rad/s = 300 rad/s. Die mittlere Pumphöhe beträgt deshalb (- 20 rad/s + 300 rad/s) / 2 = 140 rad/s. Dadurch erhöht sich die aufzuwendende Energie auf 140 rad/s * 6 kNms = 840 kJ. In der ersten Phase des zweiten Prozesses (bis der zweite Zylinder mit stärker negativer Winkelgeschw. als der Käfig dreht) fliesst der Drehimpuls hinunter. In dieser Phase muss der Motor als Generator arbeiten, damit er insgesamt nur 840 kJ Energie frei setzen muss.
+#Die beiden Zylinder speichern neben dem Eigendrehimpuls auch noch [[Bahndrehimpuls]] <math>L_B = mr^2 \omega</math>. Weil die beiden Zylinderachsen gemeinsam mit dem Käfig rotieren, tragen sie einen Beitrag von je <math>mr^2</math> = 100 kg * (1 m)<sup>2</sup> = 100 kgm<sup>2</sup> zum Massenträgheitsmoment bei. Der Käfig besitzt folglich ein Massenträgheitsmoment von 300 kgm<sup>2</sup> - 2 * 100 kgm<sup>2</sup> = 100 kgm<sup>2</sup>.
+'''[[Doppelzylindersatellit|Aufgabe]]'''