Biegemoment: Unterschied zwischen den Versionen
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[[Drehimpuls]] ist eine [[Primärgrösse|mengenartige Grösse]], die gespeichert und transportiert werden kann. Sowohl der gespeicherte als auch der transportierte Drehimpuls lassen sich nicht direkt nachweisen. [[Drehimpulsstrom|Drehimpulsströme]] sind aber immer von [[Impulsstrom|Impulsströmen]] begleitet, d.h. Impulsströme bilden den Rand eines Drehimpulsstromes. So beranden bei einer [[Biegung]] Impulsströme, die in oder gegen ihre Bezugsrichtung fliessen, einen quer zu seiner Bezugsrichtung fliessenden Drehimpulsstrom. |
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Orientiert man das Koordinatensystem so, dass die ''x''-Achse parallel zum gebogenen Bauteil ausgerichtet ist und die ''z''-Achse in Richtung der Durchbiegung zeit, dann |
Orientiert man das Koordinatensystem so, dass die ''x''-Achse parallel zum gebogenen Bauteil ausgerichtet ist und die ''z''-Achse in Richtung der Durchbiegung zeit, dann werden im Bauteil sowohl ''y''-Drehimpuls als auch ''x''-Impuls in ''x''-Richtung transportiert. Die Änderung des in ''x''-Richtung fliessenden ''y''-Drehimpulsstromes längs der ''z''-Achse ist dann gleich des in ''x''-Richtung fliessenen ''x''-Impulsstromes. Dieser Zusammenhang lässt sich mit Hilfe der Stromdichten (Formelzeichen ''j'') mathematisch exakt formulieren |
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Die Stromdichte des in ''x''-Richtung fliessenden ''x''-Impulses ist gleich der Ableitung der ''x''-Komponente der ''y''-Drehimpulsstromdichte nach der ''z''-Koordinate. Die (negativ genommene) Stromdichte des Impulses heisst auch Spannungstensor. |
Die Stromdichte des in ''x''-Richtung fliessenden ''x''-Impulses ist gleich minus der Ableitung der ''x''-Komponente der ''y''-Drehimpulsstromdichte nach der ''z''-Koordinate. Die (negativ genommene) Stromdichte des Impulses heisst auch Spannungstensor. |
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==Bernoulli-Annahme== |
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In der vereinfachten Balkentheorie nach ''Jakob Bernoulli'' nimmt man an, dass ein ebener Querschnitt des nicht gebogenen Balkens unter [[Biegung]] weiterhin eine Ebene bildet. Setzt man zudem ein lineares Materialgesetz für den Zusammenhang zwischen Dehnung und Spannung ein, nehmen Zug- oder Druckspannung linear mit dem Abstand von den neutralen Fasern zu, d.h. die Impulsstromdichte ändert sich proportional mit der ''z''-Koordinate. Folglich ändert sich die Drehimpulsstromdichte quadratisch und erreicht bei der neutralen Faser ihren Maximalwert. |
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Aktuelle Version vom 31. März 2009, 08:53 Uhr
Das Biegemoment beschreibt die Stärke des in einem langen Bauteil (Balken, Träger, Bogen) quer zu seiner Bezugsrichtung fliessenden Drehimpulsstromes. Zeichnet man diese Stärke längs des Bauteils auf, nennt man dies den Biegemomentenverlauf.
Biegespannung
Drehimpuls ist eine mengenartige Grösse, die gespeichert und transportiert werden kann. Sowohl der gespeicherte als auch der transportierte Drehimpuls lassen sich nicht direkt nachweisen. Drehimpulsströme sind aber immer von Impulsströmen begleitet, d.h. Impulsströme bilden den Rand eines Drehimpulsstromes. So beranden bei einer Biegung Impulsströme, die in oder gegen ihre Bezugsrichtung fliessen, einen quer zu seiner Bezugsrichtung fliessenden Drehimpulsstrom.
Orientiert man das Koordinatensystem so, dass die x-Achse parallel zum gebogenen Bauteil ausgerichtet ist und die z-Achse in Richtung der Durchbiegung zeit, dann werden im Bauteil sowohl y-Drehimpuls als auch x-Impuls in x-Richtung transportiert. Die Änderung des in x-Richtung fliessenden y-Drehimpulsstromes längs der z-Achse ist dann gleich des in x-Richtung fliessenen x-Impulsstromes. Dieser Zusammenhang lässt sich mit Hilfe der Stromdichten (Formelzeichen j) mathematisch exakt formulieren
- [math]j_{p_{xx}}=-j_{L_{yx,z}}[/math]
Die Stromdichte des in x-Richtung fliessenden x-Impulses ist gleich minus der Ableitung der x-Komponente der y-Drehimpulsstromdichte nach der z-Koordinate. Die (negativ genommene) Stromdichte des Impulses heisst auch Spannungstensor.
Bernoulli-Annahme
In der vereinfachten Balkentheorie nach Jakob Bernoulli nimmt man an, dass ein ebener Querschnitt des nicht gebogenen Balkens unter Biegung weiterhin eine Ebene bildet. Setzt man zudem ein lineares Materialgesetz für den Zusammenhang zwischen Dehnung und Spannung ein, nehmen Zug- oder Druckspannung linear mit dem Abstand von den neutralen Fasern zu, d.h. die Impulsstromdichte ändert sich proportional mit der z-Koordinate. Folglich ändert sich die Drehimpulsstromdichte quadratisch und erreicht bei der neutralen Faser ihren Maximalwert.