Lösung zu Widerstand einer Glühbirne

Die zu den Spannungswerten benötigten Widerstandswerte liest man aus dem R-U-Diagramm ab:

U / V	R / Ω
0	0.15
5	1.55
10	2.15
12	2.35
14	2.50

1. Die Stromstärke ist gleich Spannung durch Widerstand
   [math]I=\frac{U}{R}=\frac{12 V}{2.35 \Omega }[/math] = 5.11 A.
2. Die Leistung ist gleich Spannung über dem Draht mal Stromstärke durch den Draht
   [math]P=UI=\frac{U^2}{R}[/math] = 16.1 W, 46.5 W, 78.4 W.
3. Der kleinstmögliche Widerstand von etwa 0.15 Ω entspricht dem Kaltwiderstand R₂₀. Nun verwenden wir für den Widerstand die quadratische Gleichung mit der Temperaturerhöhung. Diese lösen wir nach der Temperaturerhöhung auf und erhalten dann 3 Werte für die Temperaturerhöhung: Δ T = 1641°C, 2156°C und 2430°C. Die gesuchten Drahttemperaturen betragen also 1661°C, 2176°C und 2450°C.
4. Die 3 absoluten Temperaturen 1934 K, 2449 K und 2723 K wurden mit 4 potenziert: 1.40*10¹³ K⁴, 3.60*10¹³ K⁴, 5.50*10¹³ K⁴. Diese Werte wurden mit den zugehörigen Leistungen ins nebenstehende Diagramm eingetragen. Es zeigt die 3 Werte nicht wie erwartet auf einer Geraden sondern auf einer leicht gekrümmten Kurve. Zu dieser kleinen Abweichung können verschiedene Effekte beitragen: Wärmeverluste durch Wärmeleitung über die Anschlussdrähte, Spannungsverlust bei den Anschlussdrähten, Konvektionsverluste an das Gas im Lampenkolben, ...

Glühbirne: Leistung gegen T⁴

Zum Lösen von quadratischen Gleichungen: Zuerst bringt man die gegebene Gleichung in Normalform: [math]ax^2+bx+c=0[/math]. Dann berechnet man die 2 möglichen Lösungen mit folgender Formel: [math]x_{1,2} = (-b \pm \sqrt {b^2-4ac})/(2a)[/math] und wählt dann daraus die physikalisch sinnvolle Lösung aus (hier ist es die positive Lösung, weil eine negative Temperaturerhöhung hier keinen Sinn ergibt). Oder einfacher mit einem Taschenrechner, der mit der Solve-Funktion quadratische Gleichungen auflöst.

Aufgabe