Lösung zu Wasseruhr: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 18. Februar 2010, 14:43 Uhr

Der Wasserspiegel dieser Uhr sinkt in der Stunde um 864 mm / 24 h = 36 mm/h, in der Minute um 0.6 mm und in der Sekunde um einen Hundertstel Millimeter (0.01 mm/s) ab. Die Systemkonstante beträgt demnach k = (0.01 mm/s)² / (2 * g) = 5.10 * 10^-12 m.

1. Um den oberen Durchmesser zu berechnen, lösen wir die Funktion h(r) nach r auf und setzen h = 0.864 m:

[math] r(h) = r_0 \left(\frac {h}{k} + 1 \right)^{1/4} [/math], d = 2 * r(0.864 m) = 3.21 m.

2. Auf halber Höhe hat der Behälter immer noch einen Durchmesser von 2.70 m (Formel aus 1 für h = 0.432 m anwenden).

3. Weil die Systemkonstante so klein ist, genügt die mit Torricelli hergeleitete Formel bei weitem

[math] V = \int A \ dh = \int \pi r(h)^2 dh \approx \frac{\pi r_0^2}{\sqrt k}\int\sqrt h \ dh = \frac{2\pi r_0^2}{3 \sqrt k} \ h^{3/2}[/math]

[math] V = \frac{2\pi (0.0025 \ m)^2}{3 \sqrt {5.10 \cdot 10^{-12} \ m}} \ (0.864 \ m)^{3/2} = 4.66 \ m^3[/math]

Aufgabe

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-Der Wasserspiegel dieser Uhr sinkt in der Stunde um 36 mm, in der Minute um 0.6 mm und in der Sekunde um einen Hundertstel Millimeter ab. Die Systemkonstante beträgt demnach ''k'' = 5 10<sup>-12</sup> m.
+Der Wasserspiegel dieser Uhr sinkt in der Stunde um 864 mm / 24 h = 36 mm/h, in der Minute um 0.6 mm und in der Sekunde um einen Hundertstel Millimeter (0.01 mm/s) ab. Die Systemkonstante beträgt demnach ''k'' = (0.01 mm/s)<sup>2</sup> / (2 * g) = 5.10 * 10<sup>-12</sup> m.
-#Der obere Durchmesser der Wasseruhr beträgt <math>d = d_0 \left( \frac {h}{k} + 1 \right)^{0.25}</math> = 3.224 m.
+. Um den oberen Durchmesser zu berechnen, lösen wir die Funktion h(r) nach r auf und setzen h = 0.864 m:
-#Auf halber Höhe hat der Behälter nur noch einen Durchmesser von 2.711 m.
-#Weil die Systemkonstante so klein ist, genügt die mit Torricelli hergeleitete Formel bei weitem
-:<math>V=\int Adh=\frac{\pi r_0^2}{\sqrt k}\int\sqrt h dh=\frac{2\pi r_0^2}{3 \sqrt k}h^{3/2}=4.7 m^3</math>
+:<math> r(h) = r_0  \left(\frac {h}{k} + 1 \right)^{1/4} </math>,  d = 2 * r(0.864 m) = 3.21 m.
+. Auf halber Höhe hat der Behälter immer noch einen Durchmesser von 2.70 m (Formel aus 1 für h = 0.432 m anwenden).
+. Weil die Systemkonstante so klein ist, genügt die mit Torricelli hergeleitete Formel bei weitem
+:
+:<math> V = \int A \ dh = \int \pi r(h)^2 dh \approx \frac{\pi r_0^2}{\sqrt k}\int\sqrt h \  dh = \frac{2\pi r_0^2}{3 \sqrt k} \ h^{3/2}</math>
+:<math> V = \frac{2\pi (0.0025 \ m)^2}{3 \sqrt {5.10 \cdot 10^{-12} \ m}} \ (0.864 \ m)^{3/2} = 4.66 \ m^3</math>
 '''[[Wasseruhr|Aufgabe]]'''