Lösung zu Kreisprozess dreiteilig: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 10. April 2010, 17:13 Uhr

T-S-Diagramm
p-V-Diagramm

Im T-S-Diagramm verläuft die isochore Zustandsänderung exponentiell, die isentrope vertikal und die isotherme horizontal. Im p-V-Diagramm steigt die Kurve zuerst vertikal nach oben, läuft dann auf der [math]pV^k=p_0V_0^k[/math] - Kurve nach rechts unten und auf einer Hyperbel wieder nach links oben. Im T-S-Diagramm entspricht die Fläche unter der Kurve eines Teilprozesses der Wärme. Im p-V-Diagramm ergibt die entsprechende Fläche die (negativ genommene) Arbeit.
Die innere Energie eines idealen Gases hängt nur von der Temperatur ab. Im ersten Teilprozess (isochor) nimmt die innere Energie um [math]\Delta W_1 = n \hat c_V \Delta T = n \frac 3 2 R\Delta T[/math] = 50 mol * 1.5 * 8.31 J/K/mol * 300 K = 187 kJ zu. Um genau diesen Betrag nimmt die innere Energie im zweiten, isentropen Prozess wieder ab, weil das Gas wieder auf die Anfangstemperatur zurückgebracht wird: ΔW₂ = - 187 kJ. Im 3. Teilprozess ändert sich die innere Energie nicht mehr, weil die Temperatur konstant bleibt: ΔW₃ = 0.
Im ersten Teilprozess nimmt die Entropie um [math]\Delta S_1=n\hat c_V\ln{\frac{T_2}{T_1}}=n\frac 3 2 R\ln{\frac{T_2}{T_1}}[/math] = 50 mol * 1.5 * 8.31 J/K/mol * ln(500 K / 200 K) = 571 J/K zu. Im zweiten, isentropen Teilprozess bleibt die Entropie konstant. Und im dritten, isothermen Teilprozess, der das Gas wieder auf die Anfangstemperatur zurückbringt, nimmt sie um denselben Betrag wieder ab wie im ersten Teilprozess: ΔS₃ = - 571 J/K.
Die Arbeit, also die mechanisch abgegebene Energie, entspricht der Fläche, die vom Prozess im p-V-Diagramm eingeschlossen wird. Während des ersten Teilprozesses ist die Arbeit 0, weil sich das Volumen nicht ändert: W_mech,1 = 0. Im zweiten, isentropen Teilprozess ist die mechanisch abgeführte Energie gleich der Änderung der inneren Energie, weil keine thermische Energie ausgetauscht wird: W_mech,2 = ΔW₂ = - 187 kJ. Im dritten Teilprozess ändert sich die innere Energie nicht: ΔW₃ = W_mech,3 + W_therm,3 = 0. Deshalb ist die thermisch abgegebene Energie gleich der mechanisch zugeführten: W_mech,3 = - W_therm,3. Die thermisch abgeführte Energie können wir mit der abgeführten Entropie und der konstanten Temperatur berechnen: W_mech,3 = - W_therm,3 = - (- 571 J/K) * 200 K = 114 kJ. Die Kompressionsarbeit beträgt demnach 114 kJ. Durch Addition aller Arbeiten erhält man für den ganzen Zyklus eine mechanisch abgeführte Energie von W_mech,Prozess = W_mech,1 + W_mech,2 + W_mech,3 = - 187 kJ + 0 + 114 kJ = - 73 kJ.

Aufgabe

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 #Die [[innere Energie]] eines idealen Gases hängt nur von der Temperatur ab. Im ersten Teilprozess (isochor) nimmt die innere Energie um <math>\Delta W_1 = n \hat c_V \Delta T = n \frac 3 2 R\Delta T</math> = 50 mol * 1.5 * 8.31 J/K/mol * 300 K = 187 kJ zu. Um genau diesen Betrag nimmt die innere Energie im zweiten, isentropen Prozess wieder ab, weil das Gas wieder auf die Anfangstemperatur zurückgebracht wird: &Delta;W<sub>2</sub> = - 187 kJ. Im 3. Teilprozess ändert sich die innere Energie nicht mehr, weil die Temperatur konstant bleibt: &Delta;W<sub>3</sub> = 0.
 #Im ersten Teilprozess nimmt die Entropie um <math>\Delta S_1=n\hat c_V\ln{\frac{T_2}{T_1}}=n\frac 3 2 R\ln{\frac{T_2}{T_1}}</math> = 50 mol * 1.5 * 8.31 J/K/mol * ln(500 K / 200 K)  = 571 J/K zu. Im zweiten, isentropen Teilprozess bleibt die Entropie konstant. Und im dritten, isothermen Teilprozess, der das Gas wieder auf die Anfangstemperatur zurückbringt, nimmt sie um denselben Betrag wieder ab wie im ersten Teilprozess: &Delta;S<sub>3</sub> = - 571 J/K.
-#Die Arbeit, also die mechanisch abgegebene Energie, entspricht der Fläche, die vom Prozess im p-V-Diagramm eingeschlossen wird. Während des ersten Teilprozesses ist die Arbeit 0, weil sich das Volumen nicht ändert: W<sub>mech,1</sub> = 0. Im zweiten, isentropen Teilprozess ist die mechanisch abgeführte Energie gleich der Änderung der inneren Energie, weil keine thermische Energie ausgetauscht wird: W<sub>mech,2</sub> = &Delta;W<sub>2</sub> = - 187 kJ. Im dritten Teilprozess ändert sich die innere Energie nicht &Delta;W<sub>3</sub> = W<sub>mech,3</sub> + W<sub>therm,3</sub>. Deshalb ist die thermisch abgegebene Energie gleich der mechanisch zugeführten: W<sub>mech,3</sub> = - W<sub>therm,3</sub>. Die thermisch abgeführte Energie ist gleich abgeführte Entropie mal herrschende Temperatur, also gleich -571 J/K * 200 K = -114 kJ. Die Kompressionsarbeit beträgt demnach 114 kJ. Durch Addition der beiden Arbeiten erhält man für den ganzen Zyklus eine mechanisch abgeführte Energie von -73 kJ.
+#Die Arbeit, also die mechanisch abgegebene Energie, entspricht der Fläche, die vom Prozess im p-V-Diagramm eingeschlossen wird. Während des ersten Teilprozesses ist die Arbeit 0, weil sich das Volumen nicht ändert: W<sub>mech,1</sub> = 0. Im zweiten, isentropen Teilprozess ist die mechanisch abgeführte Energie gleich der Änderung der inneren Energie, weil keine thermische Energie ausgetauscht wird: W<sub>mech,2</sub> = &Delta;W<sub>2</sub> = - 187 kJ. Im dritten Teilprozess ändert sich die innere Energie nicht: &Delta;W<sub>3</sub> = W<sub>mech,3</sub> + W<sub>therm,3</sub> = 0. Deshalb ist die thermisch abgegebene Energie gleich der mechanisch zugeführten: W<sub>mech,3</sub> = - W<sub>therm,3</sub>. Die thermisch abgeführte Energie können wir mit der abgeführten Entropie und der konstanten Temperatur berechnen: W<sub>mech,3</sub> = - W<sub>therm,3</sub> = - (- 571 J/K) * 200 K = 114 kJ. Die Kompressionsarbeit beträgt demnach 114 kJ. Durch Addition aller Arbeiten erhält man für den ganzen Zyklus eine mechanisch abgeführte Energie von W<sub>mech,Prozess</sub> = W<sub>mech,1</sub> + W<sub>mech,2</sub> + W<sub>mech,3</sub> = - 187 kJ + 0 + 114 kJ = - 73 kJ.
 '''[[Kreisprozess dreiteilig|Aufgabe]]'''