Lösung zu Fadenspule

1.

Schnittbild der Fadenspule

Auf die Fadenspule wirkt neben dem Faden nur noch das Gravitationsfeld (Gewichtskraft) und die Unterlage (Normalkraft und Reibungskraft) ein.

2. Ein Teil des mit dem Faden zugeführten x-Impuls bleibt in der Spule, der Rest geht an die Unterlage (Reibung) weg. Der vom Graviationsfeld zufliessende y-Impuls (Gewichtskraft) geht unmittelbar an die Unterlage (Normalkraft) weg. Der x-Impuls, der in der Fadenspule in y-Richtung fliessen muss, erzeugt Quellen und Senken des z-Drehimpulses (der in der Fadenspule verbleibende x-Impuls wird im räumlichen Mittel im Massenmittelpunkt gespeichert). Diese Überlegungen bilden den Kern der Impuls- und Drehimpulsbilanzen

x-Impuls: [math]F-F_R=\dot p_x = m\dot v_x[/math]

y-Impuls: [math]F_G-F_N=\dot p_y=0[/math]

z-Drehimpuls: [math]F_RR-Fr=\dot L_z=J\dot\omega_y[/math]

r = Wickelradius, R = Abrollradius

3. In der Rollphase gillt die Rollbedingung [math]v_x=\omega R[/math], in der Gleitphase das Gleitreibungsgesetz [math]F_R=\mu F_N[/math]. Statt des Gleitreibungsgesetzes ist hier direkt die maximal mögliche Haftreibungskraft bzw. die Gleitreibungskraft gegeben.

4. Die Rolle beginnt zu rutschen, sobald die Haftreibungskraft die Haftreibungsgrenze (maximale Haftreibungskraft) erreicht hat. Die maximale Haftreibungskraft ist in der Regel etwas grösser als die Gleitreibungskraft, was hier vernachlässigt wird. Beim Übergang von der Roll- in die Rutschphase gelten sowohl die Rollbedingung als auch das Gleitreibungsgesetz. Aus diesen insgesamt fünf Gleichungen lässt sich die kritische Fadenkraft berechnen. Weil hier direkt die maximal mögliche Haftreibungskraft bzw. die Gleitreibungskraft gegeben sind, müssen lediglich drei Gleichungen gelöst werden

x-Impuls: [math] F_{krit} - F_R = m \dot v [/math]

z-Drehimpuls: [math]F_R R - F_{krit} r = J \dot\omega [/math]

Rollbedingung: [math]v = \omega R [/math] oder [math] \dot v = \dot \omega R [/math]

Löst man dieses System von 3 Gleichungen mit den 4 Unbekannten F, F_R, [math]\dot v[/math] und [math]\dot\omega[/math] nach der Seilkraft F auf, erhält man

[math]F = F_R \frac{1+ mR^2/J}{1+mRr/J} [/math]

Um den kritischen Wert zu erhalten, setzt man F_R = 10 N und erhält F_krit = 10 N * (1 + 4 kg * (0.3 m)² / 0.1 kgm²) / (1 + 4 kg * 0.3 m * 0.2 m / 0.1 kgm²) = 13.5 N. Diese Kraft wird nach 13.5 N / (20 N / 4 s) = 2.7 Sekunden erreicht.

5. Die Endgeschwindigkeit ergibt sich aus der Impulsbilanz: der über den Faden zugeflossene minus den an die Unterlage abgegebenen Impuls ergibt den Impulsinhalt. Dividiert man den Impulsinhalt durch die Masse, erhält man die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes. In der Rollphase sind die Haft- und die Fadenkraft zueinander proportional (vgl. die obere Gleichung für F) und haben ein festes Verhältnis von 10 N : 13.5 N zueinander. Danach bleibt die Gleitreibungskraft konstant und die Fadenkraft nimmt weiter zu. Über das Seil fliessen insgesamt 0.5 * 2.7 s * 13.5 N + 1.3 s * (13.5 N + 20 N) /2 = 40 Ns x-Impuls zu (Fläche unter dem Kraft-Zeit-Diagramm). An den Boden gehen 0.5 * 2.7 s * 10 N + 1.3 s * 10 N = 26.5 Ns weg. Damit verbleiben in der Fadenspule noch 40 Ns - 26.5 Ns = 13.5 Ns, was eine Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes von 13.5 Ns / 4 kg = 3.38 m/s ergibt.

Aufgabe