Lösung zu Aviatik 2015/2

Aufgabe 1

1. [math]x_{MMP}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}[/math] = 1.4 m
2. In 60 s fliessen 240 Nms von einem Zylinder in den andern, was zu einer Winkelgeschwindigkeit von -48 rad/s und 9.6 rad/s führt (Flüssigkeitsbild)
3. Schwungrad 2: [math]P_{max}=I_L\omega_{2max}[/math] = 38.4 W; [math]W_{rot}=\frac{J_2}{2}\omega_{2max}^2[/math] = 1152 J
4. Der Drehimpulsbeitrag eines Teilkörpers besteht in der Regel aus Eigendrehimpuls plus Bahndrehimpuls [math]J_2[/math] = (20 + 20*0.4² + 25 + 60*0.6² + 20*1.4²) kgm² = 109 kgm²; [math]\omega = \frac{L}{J_2}[/math] = 2.2 rad/s

Aufgabe 2

1. Die Geschwindigkeit ergibt sich aus Geschwindigkeit der Achse plus Umfangsgeschwindigkeit relativ zur Achse. Beide Geschwindigkeiten haben einen Betrag von 1.6 m/s, sthen in diesem Punkt aber normal zueinander: v = 2.26 m/s
2. Die Winkelbeschleunigung ergibt sich aus der Rollbedingung [math]\alpha = \frac{a}{r}[/math] = 5 rad/s²; Die Beschleunigung berechnet sich aus Beschleunigung der Achse plus Normal- und Tangentialbeschleunigung der Drehbewegung. Achsenbeschleunigung und Normalbeschleunigung (6.4 m/s²) zeigen gegeneinander und die Tangentialbeschleunigung (2 m/s²) steht normal dazu. Daraus ergibt sich für die Beschleunigung 4.83 m/s².
3. Auf das Rad wirken neben der Gewichtskraft eine Achskraft (vom Flugzeug, kann in Vertikal- und Horizontalkomponente zerlegt werden) sowie die Normal- und die Haftreibungskraft von der Piste. Die Bilanzgleichungen lauten
   1. [math]x: F_{Ax}-F_{HR}=ma[/math]
   2. [math]y: F_{Ay}+F_G-F_N=0[/math]
   3. [math]R: F_{HR}\cdot r=J\alpha[/math]
4. [math]F_{HR}=\frac{J\alpha}{r}[/math] = 150 N; [math]F_{Ax}=ma+F_{HR}[/math]= 210 N; [math]F_N=F_{Ay}+F_G[/math] = 4.29 kN

Aufgabe 3

1. Die Wärmekapazität beträgt C = 10 MW * 600 s pro Grad Celsius = 6 GJ/°C. Damit erhält man
   1. [math]\Delta H = C\Delta T[/math] = -480 GJ
   2. [math]\Delta S = C \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)[/math] = -632 MJ/K
2. Bei der Wärmepumpe kommt mehr Entropie an, als das Salz abgibt (bei diesem Wärmeübergang "fällt" die Entropie unkontrolliert hinunter). Die Energie bleibt dagegen erhalten
   1. [math]S_{WKM} = \frac{|\Delta H|}{T_{WKM{Eingang}}}[/math] =6.86 10⁸ J/K
   2. [math]W_{WKM} = S_{WKM}\Delta T_{WKM}[/math] = 274 GJ
3. Die total produzierte Entropie ist gleich der an die Umgebung abgeführten Entropie minus die Entropieabnahme im Salz. Die an die Umgebung abgeführte Entropie ist gleich der Abwärme (480 GJ - 274 GJ = 206 GJ)
   1. [math]S_{Umg}=\frac{W_{Umg}}{T_{Umg}}[/math] = 734 MJ/K
   2. [math]S_{prod} =S_{Umg}-|\Delta S|[/math] = 103 MJ/K
4. Bei absolut idealer Prozessführung wird keine Entropie erzeugt. Als geht die Entropie vom Salz ohne Zuwachs an die Umgebung weg und nimmt dabei folgende Energie mit
   1. [math]W_{Umg}=|\Delta S| T_{Umg}[/math] = 177 GJ. Der Unterschied zwischen der Enthalpieänderung und der von der Entropie an die Umgebung "verschleppten" Energie steht idealerweise zur Verfügung. Diese Energie heisst in der wissenschaftlichen Literatur oft auch Exergie
   2. [math]W_{ideal}=|\Delta H|-W_{Umg}[/math] = 303 GJ

Lösungsvideo

Aufgabe 4

1. Die beim Verdampfen vom Fluid aufgenommene Entrope lässt sich direkt aus der Graphik heraus lesen: 520 J/K. Die mit aufgenommene Wärmeenergie ist gleich der Fläche unter der Kurve (wie in der Animation gezeigt): 142 kJ.
2. Die beim Kondensieren abgegebene Entropie ist wiederum direkt ablesbar: -530 J/K. Die die Entropie begleitende Wärmeenergie ist wiederum gleich der Fläche unter der Kurve: -168 kJ. Die Pumparbeit entspricht der Differenz: 168 kJ - 142 kJ = 26 kJ.
3. Die Endtemperatur kann direkt mit der Formel für die isentrope Kompression des idealen Gases berechnet werden, womit man 315 K erhält.
4. Die Kompressionsarbeit ist gleich der Änderung der inneren Energie. Die molare Wärmekapazität kann aus dem Isentropenexponent bestimmt werden. Aus [math]\kappa = \frac{\hat c_p}{\hat c_V}=\frac{\hat c_V + R}{\hat c_V}[/math] folgt [math]\hat c_V = \frac{R}{\kappa - 1}[/math] = 64 J/(mol K). Damit erahalten wir für die Kompressionsarbeit [math]W_{mech} = \Delta W = n\hat c_V \Delta T [/math] = 26.9 kJ

Aufgabe 5

1. Die beiden Drehimpulskapazitäten (Massenträgheitsmomente) sind in Serie geschaltet und können durch eine Einzelkapazität ersetzt werden
   1. [math]J = \frac{J_1J_2}{J_1+J_2}[/math] = 16 kgm²
   2. Aus [math]T = 2\pi\sqrt{\frac{J}{D^*}}[/math] folgt [math]D*=\frac{4\pi^2J}{T^2}[/math] = 281 Nm/rad
2. Die Energie der Drehfeder ist bei einer Verdrehung von π/2 gleich [math]W_D=\frac{D^*}{2}\frac{\pi^2}{4}[/math] = 346 J
   1. Aus dem Flüssigkeitsbild kann man heraus lesen, dass der Drehimpuls von einem Schwungrad ins andere befördert wird. Zudem sieht man dort sofort, dass die Winkelgeschwindigkeiten oder die "Pumphöhen" bei gleichem Drehimpuls umgekehrt proportiona zum Massenträgheitsmoment ist. Die Energie wird deshalb im Verhältnis 1 : 4 auf die beiden Schwungräder übertragen.
   2. Aus [math]W_{rot} = \frac{J}{2}\omega^2[/math] folgt [math]\omega_1 = \sqrt{\frac{2 W_{{rot}_1}}{J_1}}[/math] = 1.32 rad/s, wobei für die Rotationsenergie 20% der Federenergie genommen wird.
3. Modellbildung in Video erklärt

Aufgabe