Lösung zu Segelflugzeug

Zuerst beschreiben wir die Bahn mit einem Radiusvektor [math]\vec r(t)[/math] als Funktion von t. Die z-Achse des x-y-z-Koordinatensystems ist nach oben gerichtet und fällt mit der Achse der Schraubenlinie zusammen.

[math]\vec r=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r \cos(\omega t)\\ r \sin(\omega t) \\ v_z t\end{pmatrix}[/math].

Mit T = 45 s beträgt die Kreisfrequenz ω = 2 π / T = 2 π / 45 s = 0.140 s^-1, die Vertikalkomponente der Geschwindigkeit v_z = -30 m / 45 s = -0.667 m/s und der Radius r = 200 m.

1. Weil die Schnelligkeit konstant ist, hat die Beschleunigung keine Komponente in Bahnrichtung, also weder nach vorne noch nach unten. Deshalb steht die Beschleunigung immer normal zur Geschwindigkeit und zeigt horizontal gegen die Achse der Schraubenlinie.
2. Der Betrag der Beschleunigung ist: [math]\quad a_n = \frac {v_{horiz}^2}{r} = \frac {v_x^2 + v_y^2}{r} = \omega^2 r = \frac {(2 \pi r)^2}{T^2 r} = \frac {4 \pi ^2 r}{T^2} = 3.90 m/s^2[/math].
3. Das Flugzeug kann nur mit dem Gravitationsfeld und der Luft Impuls austauschen. Folglich muss die Summe aus der Gravitationskraft und der Luftkraft (Auftrieb und Widerstand) gleich der Impulsänderungsrate, also gleich Masse mal Beschleunigung sein. Die Vertikalkomponente der Luftkraft kompensiert demnach die Gewichtskraft und die horizontale Komponente ist gleich Masse mal Beschleunigung [math]F_{Luft} = \sqrt{F_G^2 + (m a)^2} = m \sqrt{g^2 + a_n^2} [/math] = 2956 N

Um die Fragen 1 und 2 zu beantworten, kann man den Radiusvektor auch 2-mal ableiten. Dadurch erhält man den Beschleunigungsvektor

[math]\vec a=\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix}=-r\omega^2\begin{pmatrix}\cos(\omega t)\\ \sin(\omega t) \\ 0 \end{pmatrix}[/math].

Man sieht, dass dieser Vektor wie bei einer Kreisbahn immer auf die Schraubenachse zeigt und den selben Betrag r * ω² = 4π² r / T² hat wie die obige Beschleunigung.

Aufgabe