Lösung zu Hubschrauber auf Waage: Unterschied zwischen den Versionen

Inhalt hinzugefügt Inhalt gelöscht

Inline

Aktuelle Version vom 27. Februar 2010, 19:07 Uhr

Der Glaskasten bildet ein geschlossenes System und die Summe über alle leitungsartigen Impulsströme (Oberflächenkräfte) plus die Stärke der Impulsquelle (Gewichtskraft) ist gleich der Änderungsrate des Impulsinhaltes. Vernachlässigt man die Impuls-Speicherfähigkeit der bewegten Luft, kann nur der Hubschrauber seinen Impulsinhalt ändern, die Impulsänderungsrate des Kastens [math] \dot p_{z K}[/math] ist also 0. Bezogen auf das System Glaskasten lautet die Bilanzgleichung für die Vertikalkomponente des Impulses (z-Achse gegen oben, Gravitationkraft als Impulsabfluss oder Impulssenke)

[math]F_N - m_{total} \cdot g = \dot p_{z total} = \dot p_{z K} + \dot p_{z H} = m_H \dot v_{zH}, \quad m_{total} = m_K + m_H [/math]

F_N ist die Stärke des durch die Waage fliessenden Impulsstromes (bezogen auf das System Glaskasten), also die durch die Waage auf den Kasten ausgeübte Kraft F_N. Normalerweise legen wir eine Masse m auf die Waage und können dann den Wert der Masse in kg ablesen. Die Waage misst aber nicht direkt die Masse, sondern die Kraft, mit der das Wägegut auf die Waage drückt und diese Kraft ist normalerweise m * g. Hier können wir also für F_N folgendes ansetzen:

[math]F_N = Anzeige \cdot g[/math]

Wir setzen dies nun in die obige Impulsbilanz ein und erhalten:

[math] Anzeige \cdot g - m_{total} \cdot g = m_H \cdot \dot v_{zH}[/math]

[math] Anzeige = m_{total} + m_H \frac {\dot v_{zH}} {g}[/math]

Die Anzeige hängt also von der zu g relativen Geschwindigkeitsänderung des Hubschraubers ab.

Während der Steigphase des Hubschraubers nimmt die Geschwindigkeit von 0 auf ca. 0.2 m/s (Tangentensteigung der Höhen-Zeit-Kurve zwischen 0.2 und 0.8 s). Zwischen 0 und 0.2 s ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit deshalb positiv. Zwischen 0.8 und 1.0 s sinkt die Geschwindigkeit wieder auf 0 und dann bis 1.2 s auf - 0.2 m/s. In dieser Phase ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit also negativ. Kurz vor der Landung, d.h. ab 1.8 s, steigt die Geschwindigkeit wieder von - 0.2 m/s auf 0. Die Änderungsrate der Geschwindigkeit ist also nochmals positiv. Die Waage zeigt deshalb kurz nach dem Start und kurz vor der Landung mehr als 2500 g an (Impulsinhalt des Hubschraubers wird grösser). Kurz vor und nach dem Erreichen des höchsten Punktes zeigt die Waage hingegen etwas weniger als 2500 g an (Hubschrauber gibt Impuls ab). Zwischen diesen 3 Phasen zeigt die Waage 2500 g an, weil dann die Änderungsrate der Geschwindigkeit 0 ist.
Dem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm des Hubschraubers ist zu entnehmen, wann der Impulsinhalt wie zu- oder abnimmt (das v-t-Diagramm ist das Höhen-Zeit-Diagramm im Flüssigkeitsbild). In den ersten 0.2 s und den letzten 0.2 s beträgt die Beschleunigung ca. 1 m/s², das sind 10% von g. Folglich zeigt die Waage dann ca. 2500 g + 500 g * 1 m/s² / 9.81 m/s² = 2550 g an. Zwischen den Zeitpunkten 0.8 s und 1.2 s beträgt die Beschleunigung -1 m/s² und die Waage zeigt ca. 2450 g an.

Aufgabe

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
+[[Bild:Hubschrauber_auf_Waage.png|Hubschrauber auf Waage]]
-Der Glaskasten bildet ein geschlossenes System und die Summe über alle leitungsartigen [[Impulsstrom|Impulsströme]] (Oberflächenkräfte) plus die Stärke der [[Impulsquelle]] (Gewichtskraft) ist gleich der Änderungsrate des Impulsinhaltes. Vernachlässigt man die Impuls-Speicherfähigkeit der bewegten Luft, kann nur der Hubschrauber seinen Impulsinhalt ändern. Bezogen auf das System Glaskasten lautet die Bilanzgleichung für die Vertikalkomponente des Impulses (''z''-Achse gegen oben, Gravitationkraft als Impulsabfluss oder Impulssenke)
-:<math>F_N - m*g = \dot p_z = m \dot v_z</math>
-''F<sub>N</sub>'' ist die Stärke des durch die Waage fliessenden Impulsstromes (bezogen auf das System Glaskasten). Weil die Waage mit leerem Glaskasten auf Null eingestellt worden ist, steht ''m'' für die Masse des Hubschraubers. Zudem zeigt die Waage ''F<sub>N</sub>'' in Gramm an
+Der Glaskasten bildet ein geschlossenes System und die Summe über alle leitungsartigen [[Impulsstrom|Impulsströme]] (Oberflächenkräfte) plus die Stärke der [[Impulsquelle]] (Gewichtskraft) ist gleich der Änderungsrate des Impulsinhaltes. Vernachlässigt man die Impuls-Speicherfähigkeit der bewegten Luft, kann nur der Hubschrauber seinen Impulsinhalt ändern, die Impulsänderungsrate des Kastens <math> \dot p_{z K}</math> ist also 0. Bezogen auf das System Glaskasten lautet die Bilanzgleichung für die Vertikalkomponente des Impulses (''z''-Achse gegen oben, Gravitationkraft als Impulsabfluss oder Impulssenke)
-:<math>G = \frac {F_N}{m} = m(1 + \frac {\dot v_z}{g})</math>
+:<math>F_N - m_{total} \cdot g = \dot p_{z total} = \dot p_{z K} + \dot p_{z H} = m_H \dot v_{zH}, \quad m_{total} = m_K + m_H  </math>
+''F<sub>N</sub>'' ist die Stärke des durch die Waage fliessenden Impulsstromes (bezogen auf das System Glaskasten), also die durch die Waage auf den Kasten ausgeübte Kraft F<sub>N</sub>. Normalerweise legen wir eine Masse m auf die Waage und können dann den Wert der Masse in kg ablesen. Die Waage misst aber nicht direkt die Masse, sondern die Kraft, mit der das Wägegut auf die Waage drückt und diese Kraft ist normalerweise m * g. Hier können wir also für F<sub>N</sub> folgendes ansetzen:
+:<math>F_N = Anzeige \cdot g</math>
+Wir setzen dies nun in die obige Impulsbilanz ein und erhalten:
+:<math> Anzeige \cdot g - m_{total} \cdot g = m_H \cdot \dot v_{zH}</math>
+:<math> Anzeige = m_{total} + m_H \frac {\dot v_{zH}} {g}</math>
+Die Anzeige hängt also von der zu g relativen Geschwindigkeitsänderung des Hubschraubers ab.
 [[Bild:Hubschrauber_v_t.png|thumb|Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm des Hubschraubers]]
-#Nach dem Start und und kurz vor der Landung zeigt die Waage mehr als 500 g an (Impulsinhalt des Hubschraubers wird grösser). Kurz vor dem Erreichen des höchsten Punktes und in der ersten Phase des Absinkens zeigt die Waage weniger als 500 g an (Hubschrauber nimmt Impuls auf).
+#Während der Steigphase des Hubschraubers nimmt die Geschwindigkeit von 0 auf ca. 0.2 m/s (Tangentensteigung der Höhen-Zeit-Kurve zwischen 0.2 und 0.8 s). Zwischen 0 und 0.2 s ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit deshalb positiv. Zwischen 0.8 und 1.0 s sinkt die Geschwindigkeit wieder auf 0 und dann bis 1.2 s auf - 0.2 m/s. In dieser Phase ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit also negativ. Kurz vor der Landung, d.h. ab 1.8 s, steigt die Geschwindigkeit wieder von - 0.2 m/s auf 0. Die Änderungsrate der Geschwindigkeit ist also nochmals positiv. Die Waage zeigt deshalb kurz nach dem Start und kurz vor der Landung mehr als 2500 g an (Impulsinhalt des Hubschraubers wird grösser). Kurz vor und nach dem Erreichen des höchsten Punktes zeigt die Waage hingegen etwas weniger als 2500 g an (Hubschrauber gibt Impuls ab). Zwischen diesen 3 Phasen zeigt die Waage 2500 g an, weil dann die Änderungsrate der Geschwindigkeit 0 ist.
-#Dem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm des Hubschraubers ist zu entnehmen, wann der Impulsinhalt wie zu- oder abnimmt (das ''v-t-''Diagramm ist das Höhen-Zeit-Diagramm im [[Flüssigkeitsbild]]). In den ersten 0.2 s und den letzten 0.2 s beträgt die Beschleunigung 1 m/s<sup>2</sup> (0.1 g). Folglich zeigt die Waage dann 550 g an. Zwischen den Zeitpunkten 0.8 s und 1.2 s beträgt die Beschleunigung -1 m/s<sup>2</sup> (-0.1 g) und die Waage zeigt 450 g an.
+#Dem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm des Hubschraubers ist zu entnehmen, wann der Impulsinhalt wie zu- oder abnimmt (das ''v-t-''Diagramm ist das Höhen-Zeit-Diagramm im [[Flüssigkeitsbild]]). In den ersten 0.2 s und den letzten 0.2 s beträgt die Beschleunigung ca. 1 m/s<sup>2</sup>, das sind 10% von g. Folglich zeigt die Waage dann ca. 2500 g + 500 g * 1 m/s<sup>2</sup> / 9.81 m/s<sup>2</sup> = 2550 g an. Zwischen den Zeitpunkten 0.8 s und 1.2 s beträgt die Beschleunigung -1 m/s<sup>2</sup> und die Waage zeigt ca. 2450 g an.
 '''[[Hubschrauber auf Waage|Aufgabe]]'''