Lösung zu Abfüllwaage: Unterschied zwischen den Versionen

Inhalt hinzugefügt Inhalt gelöscht

Inline

Aktuelle Version vom 23. Februar 2010, 09:32 Uhr

1. ohne Loch im Becherglas

Die Impulsbilanz bezüglich des Systems Becherglas lautet (positive Richtung nach unten)

[math]{-}F_N + F_G + I_{p2} = 0[/math]

Die Stärke des konvektiven Impulsstromes I_p2 ist gleich

[math]I_{p2} = \rho v_2 I_{V1} = \rho v_2 v_1 A_1 [/math]

Die Geschwindigkeiten beim Ausfluss v₁ und beim Auftreffen auf die Wasseroberfläche v₂ ergeben sich aus der Energiebilanz (Torricelli)

[math] v_1 = \sqrt{2gh_1} = 4.43 m/s, \quad v_2 = \sqrt{2gh_2} = 5.24 m/s[/math]

Bei einer Fläche A₁ = 0.000'314 m² beträgt der Volumenstrom I_V1 = v₁ * A₁ = 0.00139 m³/s:

Also gilt für den konvektiven Impulsstrom

[math]I_{p2} = 2 g \rho A_1 \sqrt{h_1 h_2}[/math] = 7.29 N

Bei einer totalen Masse von 2 kg + 1000 kg/m³ * 0.2 m * π/4 * (0.1 m)² = 3.57 kg und einer Gewichtskraft von 35.0 N hat die Normalkraft (entspricht der Waagenanzeige) einen momentanen Wert von

[math]F_N = F_G + I_{p2}[/math] = 42.3 N

2. mit Loch im Becherglas

Die Volumenströme I_V1 und I_V3 durch die beiden Ausflusslöcher sind gleich gross, weil der Wasserspiegel im Becherglas auf konstanter Höhe bleibt. Die Geschwindigkeit v₃ im Loch des Becherglases beträgt: [math] v_3 = \sqrt{2gh_3}[/math] = 1.98 m/s. Daraus kann man die Stärke des zweiten konvektiven Impulsstromes im Boden des Becherglases berechnen:

[math]I_{p3} = \rho v_3 I_{V3} = \rho \sqrt{2gh_3} I_{V1} = 2 \rho g \sqrt{h_3 h_1} A_1[/math] = 2.8 N

Aus der Impulsbilanz [math]{-}F_N + F_G + I_{p2} - I_{p3} = 0[/math] erhält man wieder die Festhaltekraft (oder Normalkraft)

[math]F_N = F_G + I_{p2} - I_{p3}[/math] = 39.5 N

Aufgabe

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
+[[Bild:Abfuellwaage.png]]
-===ohne Loch im Becherglas===
+===1. ohne Loch im Becherglas===
 Die Impulsbilanz bezüglich des Systems Becherglas lautet (positive Richtung nach unten)
-:<math>{-}F_N + F_G + I_p = 0</math>
+:<math>{-}F_N + F_G + I_{p2} = 0</math>
-Die Stärke des [[konvektiv]]en [[Impulsstrom]]es ''I<sub>p</sub>'' ist gleich
+Die Stärke des [[konvektiv]]en [[Impulsstrom]]es ''I<sub>p2</sub>'' ist gleich
-:<math>I_p = \rho v_2 I_{V1} = \rho v_2 v_1 A_1 </math>
+:<math>I_{p2} = \rho v_2 I_{V1} = \rho v_2 v_1 A_1 </math>
 Die Geschwindigkeiten beim Ausfluss ''v''<sub>1</sub> und beim Auftreffen auf die Wasseroberfläche ''v''<sub>2</sub> ergeben sich aus der Energiebilanz ([[Ausflussgesetz von Torricelli|Torricelli]])
-:<math> v = \sqrt{2gh}</math>
+:<math> v_1 = \sqrt{2gh_1} = 4.43 m/s, \quad v_2 = \sqrt{2gh_2} = 5.24 m/s</math>
+Bei einer Fläche A<sub>1</sub> = 0.000'314 m<sup>2</sup> beträgt der Volumenstrom I<sub>V1</sub> = v<sub>1</sub> * A<sub>1</sub> = 0.00139 m<sup>3</sup>/s:
-also gilt für den konvektiven Impulsstrom
+Also gilt für den konvektiven Impulsstrom
-:<math>I_p = 2 g \rho A_1 \sqrt{h_1 h_2}</math> = 7.29 N
+:<math>I_{p2} = 2 g \rho A_1 \sqrt{h_1 h_2}</math> = 7.29 N
-Bei einer Gewichtskraft von total 35 N hat die Normalkraft einen momentanen Wert von
+Bei einer totalen Masse von 2 kg + 1000 kg/m<sup>3</sup> * 0.2 m * &pi;/4 * (0.1 m)<sup>2</sup> = 3.57 kg und einer Gewichtskraft von 35.0 N hat die Normalkraft (entspricht der Waagenanzeige) einen momentanen Wert von
-:<math>F_N = F_G + I_p</math> = 42.3 N
+:<math>F_N = F_G + I_{p2}</math> = 42.3 N
-===mit Loch im Becherglas===
+===2. mit Loch im Becherglas===
+Die Volumenströme I<sub>V1</sub> und I<sub>V3</sub> durch die beiden Ausflusslöcher sind gleich gross, weil der Wasserspiegel im Becherglas auf konstanter Höhe bleibt. Die Geschwindigkeit v<sub>3</sub> im Loch des Becherglases beträgt: <math> v_3 = \sqrt{2gh_3}</math> = 1.98 m/s. Daraus kann man die Stärke des zweiten konvektiven Impulsstromes im Boden des Becherglases berechnen:
-Die Stärke des zweiten konvektiven Impulsstromes im Boden des Becherglases ist gleich
-:<math>I_{p2} = \rho v_3 I_{V2} = -\rho \sqrt{2gh_3} I_{V1} = - 2 \rho g \sqrt{h_3 h_1} A_1</math> = -2.8 N
+:<math>I_{p3} = \rho v_3 I_{V3} = \rho \sqrt{2gh_3} I_{V1} = 2 \rho g \sqrt{h_3 h_1} A_1</math> = 2.8 N
-Damit ist die Festhaltekraft (oder Normalkraft) gleich
+Aus der Impulsbilanz <math>{-}F_N + F_G + I_{p2} - I_{p3} = 0</math> erhält man wieder die Festhaltekraft (oder Normalkraft)
-:<math>F_N = F_G + I_{p1} + I_{p2}</math> = 39.5 N
+:<math>F_N = F_G + I_{p2} - I_{p3}</math> = 39.5 N
 '''[[Abfüllwaage|Aufgabe]]'''