Lösung zu U-Rohr mit Federn

Rohrlänge

Die Schwingungsdauer T₀ hängt von der Induktivität und der Gesamtkapazität C_U0 des U-Rohrs ohne Federn ab:

[math]T_O = 2 \ \pi \sqrt {L_V \ C_{UO}} = 2 \pi \sqrt {\frac {l} {2 g}} [/math]

Wir lösen die Formel für T₀, die schon in der Vorlesung hergeleitet worden ist, nach l auf und erhalten:

[math]l = 2 \ g \left( \frac {T_O} {2 \pi}\right)^2 = 2 \cdot 9.81 N/kg \left( \frac {1 s} {2 \pi}\right)^2 = 0.497 \ m[/math]

Induktivität

Die Induktivität des U-Rohrs berechnet sich gleich wie bei einem geraden Rohrstück. Sie beträgt:

[math]L_V = \frac {\rho l} {A} = \frac {13550 kg/m^3 \cdot 0.497 \ m} {0.000'06 \ m^2}= 1.12 \cdot 10^8\ kg/m^4 [/math]

Einzelkapazität mit Federn

Die neue Gesamtkapazität C_UF des U-Rohres mit Federn ergibt sich aus der halb so grossen Schwingungsdauer T_F

[math]C_{UF}=\frac {\left( \frac {T_{F}} {2 \pi} \right)^2} {L_V} = \ 5.65 \cdot 10^{-11} \ m^3/Pa[/math]

Durch die Feder an jedem Rohrende verkleinert sich die Kapazität. Es braucht mehr Druck, um das gleiche Volumen ins Rohrende zu drücken als ohne Feder, oder anders gesagt: Man kann bei gleichem Druck weniger Volumen hineindrücken als ohne Feder.

Die Gesamtkapazität des U-Rohrs C_UF ist die Serieschaltung der beiden Einzelkapazitäten C_RF am Rohrende. Bei einer Serieschaltung von Kapzitäten addieren sich ihre Kehrwerte:

[math]\frac {1} {C_{UF}} = \frac {1} {C_{RF}} + \frac {1} {C_{RF}}, \quad C_{UF} = \frac {C_{RF}} {2} \quad [/math] .

Weil die Rohrkapazitäten C_RF links und rechts gleich sind, ist die Gesamtkapazität gerade halb so gross wie eine Rohrkapazität. Also erhalten wir:

[math] C_{RF} = 2 \ C_{UF} = 1.13 \cdot 10^{-10} \ m^3/Pa [/math]

Wer mit der Regel für die Serieschaltung von Kapazitäten noch nicht vertraut ist, kann eine andere Überlegung anstellen. Verschiebt man ein Volumenelement ΔV von einem Schenkel des U-Rohres zum andern, führt dies in der einen Kapazität zu einer Druckverminderung Δp und in der andern zu einer gleich grossen Druckerhöhung Δp. Dadurch entsteht zwischen den Schenkeln eine Druckdifferenz von 2 Δp und die Kapazität wird dann:

[math]C_{UF}=\frac{\Delta V}{2\Delta p}=\frac{C_{RF}}{2}[/math]

Energie

Für die Berechnung der Energie wählen wir die Höhe der ruhenden Quecksilbersäule als Bezugshöhe. Die Energie der linken, angehobenen Quecksilbersäule beträgt dann:

[math] W_{R} = \frac {V^2} {2 \ C_{RF}} = \frac {A^2 \cdot h^2} {2 \ C_{RF}} [/math]

Die Energie der anderen Kapazität ist gleich gross, obwohl jetzt die Höhe h negativ ist. Wir erhalten also für die gesamte Energie im Rohr das doppelte der Energie im linken Rohr:

[math] W_{U} = \frac {A^2 \cdot h^2} {C_{RF}} = \frac {(0.000'06 \ m^2)^2 \cdot (0.02 \ m)^2} {1.13 \cdot 10^{-10} \ m^3/Pa}= 12.7 \ mJ [/math]

Oder wir berechnen die Energie aus der allgemeinen Formel und erhalten das selbe Resultat:

[math] W_{U} = \overline {\Delta p} \cdot V = \frac {\Delta p} {2} \cdot V = \frac {V^2} {2 \ C_{UF}} = \frac {A^2 \cdot h^2} {C_{RF}} [/math]

Max. Geschwindigkeit

Die Geschwindigkeit ist maximal, wenn sich die beiden Pegel der Säule auf gleicher Höhe befinden. Dann ist auch die Energie der Speicher gleich 0. Die gesamte Energie steckt dann in der Induktivität. Daraus können wir dann den Volumenstrom und daraus die Geschwindigkeit berechnen.

[math] W_{U} = W_{kapazitiv} + W_{induktiv} = konstant = 12.7 \ mJ [/math]

Zur Zeit, wo beide Pegel gleich hoch sind, ist also:

[math] W_{induktiv} = 12.7 \ mJ [/math]

Die Formel für die induktive Energie lösen wir nach dem Volumenstrom auf und erhalten dann die Geschwindigkeit:

[math] W_{induktiv} = \frac {L_V} {2} I_V^2 [/math]

[math]I_V = \sqrt {\frac {2 \cdot W_{induktiv}} {L_V}} = \sqrt {\frac {2 \cdot 12.7 \ mJ} {1.12 \cdot 10^8\ kg/m^4}} = 1.51 \cdot 10^{-5} \ m^3/s [/math]

[math] v = \frac {I_V} {A} = 0.25 \ m/s [/math]

Aufgabe