Lösung zu Eisenbahn auf Kurvenfahrt: Unterschied zwischen den Versionen

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#Die Vertikalkomponente der Gleiskraft kompensiert die Wirkung der Gewichtskraft, ist also gleich m*g. Der horizontale Anteil verursacht die Normalbeschleunigung in der Kurvenfahrt, ist also gleich m*a. Die Richtung der Gleiskraft ist hier normal zur Gleisebene. Deshalb stehen die beiden Komponenten der Gleiskraft im Verhältnis des tan(&phi;) = 160 mm / 1435 mm = 0.1115, &phi; = 6.36° zueinander: <math>\frac {F_{Luft_h}}{F_{Luft_v}} = 0.1115 = \frac {m a}{m g}</math>. Also ist die Beschleunigung des Flugzeuges <math>a = g 0.1115 </math>. Daraus kann mit Hilfe der Formel für die Beschleunigung bei [[gleichmässige Kreisbewegung|gleichmässiger Kreisbewegung]] der Kreisradius berechnet werden <math>r = \frac {v^2}{a} = \frac {v^2}{g 0.1115} </math> = 2.16 km.
#Auf einen Eisenbahnwagen wirken 2 Kräfte: die Gewichtskraft vertikal nach unten und die Gleiskraft schräg nach oben und innen. Den Luftwiderstand vernachlässigen wir. Die Gleiskraft steht im rechten Winkel zur Gleisebene, weil keine Querkräfte auf die Räder wirken. Die Vektorsumme beider Kräfte ergibt die resultierende Kraft. Weil die Kurve einem horizontalen Kreisbogen entspricht, muss auch die Resultierende horizontal sein. Wir zerlegen alle Kräfte in eine horizontale und eine vertikale Komponenten und setzen die Resultierende ebenfalls aus solchen Komponenten zusammen. Das heisst dann, dass die Vertikalkomponente der Gleiskraft gleich lang sein muss wie die Gewichtskraft, also gleich m*g ist. Und die horizontale Komponente entspricht dann gerade der Resultierenden und verursacht die Normalbeschleunigung in der Kurvenfahrt, ist also gleich m*a (Die vertikale Komponente der Resultierenden ist 0). Weil die Richtung der Gleiskraft normal zur Gleisebene ist, stehen ihre beiden Komponenten im Verhältnis des tan(&phi;) zueinander. Den Winkel &phi; erhalten wir aus der Gleisüberhöhung: sin(&phi;) = 160 mm / 1435 mm = 0.1115, &phi; = 6.40°. Das Komponentenverhältnis ist also <math>\frac {F_{Gleis, hor}}{F_{Gleis, ver}} = tan(6.40 ^\circ ) = 0.1122 = \frac {m a}{m g}</math>. Also ist die Beschleunigung des Zuges <math>a = 0.1122 * g </math> = 1.101 m/s<sup>2</sup>. Daraus kann mit Hilfe der Formel für die Beschleunigung bei [[gleichmässige Kreisbewegung|gleichmässiger Kreisbewegung]] der Kreisradius berechnet werden <math>r = \frac {v^2}{a} </math> = (30 m/s)<sup>2</sup> / (1.101 m/s<sup>2</sup>) = 817 m.
#Die Beschleunigung des Flugzeuges erzeugt im Innern ein zusätzliches Gravitationsfeld g<sub>t</sub> = - a. Dieses Feld ist horizontal und ist mit dem Gravitationsfeld der Erde zu überlagern (zu superponieren). Die im Flugzeug wahrnehmbare Gravitationsfeldstärke ist demnach gleich <math>g' = \sqrt{g^2 + g_t^2} = g \sqrt{1 + (\tan 40^\circ)^2} </math> = 12.8 N/kg.
#Die Beschleunigung des Zuges erzeugt im Innern ein zusätzliches Gravitationsfeld g<sub>t</sub> = - a. Dieses Feld ist horizontal und ist mit dem Gravitationsfeld der Erde zu überlagern (zu superponieren). Die im Zug wahrnehmbare Gravitationsfeldstärke ist demnach gleich <math>g' = \sqrt{g^2 + g_t^2} = g \sqrt{1 + 0.1122^2} </math> = 9.87 N/kg, das sind nur 0.6% mehr als in der Geradeausfahrt. Man spürt hier also nicht die Zunahme, sondern die Richtungsänderung der Schwerkraft.


'''[[Flugzeug auf Kreisbahn|Aufgabe]]'''
'''[[Eisenbahn auf Kurvenfahrt|Aufgabe]]'''

Aktuelle Version vom 14. März 2012, 07:39 Uhr

  1. Auf einen Eisenbahnwagen wirken 2 Kräfte: die Gewichtskraft vertikal nach unten und die Gleiskraft schräg nach oben und innen. Den Luftwiderstand vernachlässigen wir. Die Gleiskraft steht im rechten Winkel zur Gleisebene, weil keine Querkräfte auf die Räder wirken. Die Vektorsumme beider Kräfte ergibt die resultierende Kraft. Weil die Kurve einem horizontalen Kreisbogen entspricht, muss auch die Resultierende horizontal sein. Wir zerlegen alle Kräfte in eine horizontale und eine vertikale Komponenten und setzen die Resultierende ebenfalls aus solchen Komponenten zusammen. Das heisst dann, dass die Vertikalkomponente der Gleiskraft gleich lang sein muss wie die Gewichtskraft, also gleich m*g ist. Und die horizontale Komponente entspricht dann gerade der Resultierenden und verursacht die Normalbeschleunigung in der Kurvenfahrt, ist also gleich m*a (Die vertikale Komponente der Resultierenden ist 0). Weil die Richtung der Gleiskraft normal zur Gleisebene ist, stehen ihre beiden Komponenten im Verhältnis des tan(φ) zueinander. Den Winkel φ erhalten wir aus der Gleisüberhöhung: sin(φ) = 160 mm / 1435 mm = 0.1115, φ = 6.40°. Das Komponentenverhältnis ist also [math]\frac {F_{Gleis, hor}}{F_{Gleis, ver}} = tan(6.40 ^\circ ) = 0.1122 = \frac {m a}{m g}[/math]. Also ist die Beschleunigung des Zuges [math]a = 0.1122 * g [/math] = 1.101 m/s2. Daraus kann mit Hilfe der Formel für die Beschleunigung bei gleichmässiger Kreisbewegung der Kreisradius berechnet werden [math]r = \frac {v^2}{a} [/math] = (30 m/s)2 / (1.101 m/s2) = 817 m.
  2. Die Beschleunigung des Zuges erzeugt im Innern ein zusätzliches Gravitationsfeld gt = - a. Dieses Feld ist horizontal und ist mit dem Gravitationsfeld der Erde zu überlagern (zu superponieren). Die im Zug wahrnehmbare Gravitationsfeldstärke ist demnach gleich [math]g' = \sqrt{g^2 + g_t^2} = g \sqrt{1 + 0.1122^2} [/math] = 9.87 N/kg, das sind nur 0.6% mehr als in der Geradeausfahrt. Man spürt hier also nicht die Zunahme, sondern die Richtungsänderung der Schwerkraft.

Aufgabe

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