Lösung zu Satellit 2: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 24. März 2010, 19:13 Uhr

Im Freiflug ist die Beschleunigung gleich der Gravitationsfeldstärke. Somit gilt [math]a_n = \frac {v^2}{r_0} = g_0[/math]. Daraus folgt [math]v = \sqrt {g_0 r_0}[/math] = 7.91 km/s (g₀ = 9.81 N/kg).
Beim Start auf der Erdoberfläche müssen die kinetische Energie und die Gravitationsenergie bezüglich eines weit entfernten Punktes zusammen mindestens Null ergeben [math]W_{kin} + W_G = \frac {m}{2}v^2 + m \varphi_G = 0[/math]. Dabei ist die potenzielle Energie negativ. Die Funktion des Gravitationspotentials lässt sich durch die Feldstärke g₀ auf der Erdoberfläche ausdrücken [math]\varphi_G (r) = -G \frac {m_E}{r} = - \frac {g_0 r_0^2}{r}[/math]. Dabei wurde G * m_E durch g₀ * r₀² ersetzt, was man aus [math] g_0 = \left| \varphi_G (r_0) \right| = \left| - G \frac {m_E}{r_0^2} \right| [/math] erhält. Damit ein Körper die Erdoberfläche (r = r₀) für immer verlassen kann, muss somit [math] \frac {m}{2}v^2 + m \varphi_G (r_0) = m ( \frac {1}{2}v^2 - g_0 r_0) = 0 [/math] gelten. Daraus folgt [math]\frac {v^2}{2} - g_0 r_0 = 0[/math]. Die Fluchtgeschwindigkeit von der Erdoberfläche beträgt demnach [math]v = \sqrt {2 g_0 r_0}[/math] = 11.2 km/s. Heliumatome können diese Geschwindigkeit durch thermische Anregung erreichen und von der Erde "verdampfen".

Aufgabe

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 #Im Freiflug ist die Beschleunigung gleich der Gravitationsfeldstärke. Somit gilt <math>a_n = \frac {v^2}{r_0} = g_0</math>. Daraus folgt <math>v = \sqrt {g_0 r_0}</math> = 7.91 km/s (g<sub>0</sub> = 9.81 N/kg).
-#Beim Start auf der Erdoberfläche müssen die kinetische Energie und die Gravitationsenergie bezüglich eines weit entfernten Punktes zusammen mindestens Null ergeben <math>W_{kin} + W_G = \frac {m}{2}v^2 + m \varphi_G = 0</math>. Dabei ist die potenzielle Energie negativ. Die Funktion des Gravitationspotentials lässt sich durch die Feldstärke g<sub>0</sub> auf der Erdoberfläche ausdrücken <math>\varphi_G (r) = -G \frac {m_E}{r} = - \frac {g_0 r_0^2}{r}</math>. Dabei wurde <math> g_0 = -G \frac {m_E}{r_0^2} </math> eingesetzt. Damit ein Körper die Erdoberfläche (''r'' = ''r<sub>0</sub>'') für immer verlassen kann, muss somit gelten <math> \frac {m}{2}v^2 + m \varphi_G (r_0) = m ( \frac {1}{2}v^2 - g_0 r_0) = 0 </math>. Daraus folgt <math>\frac {v^2}{2} - g_0 r_0 = 0</math>. Die Fluchtgeschwindigkeit von der Erdoberfläche beträgt demnach <math>v = \sqrt {2 g_0 r_0}</math> = 11.2 km/s. Heliumatome können diese Geschwindigkeit durch thermische Anregung erreichen und von der Erde "verdampfen".
+#Beim Start auf der Erdoberfläche müssen die kinetische Energie und die Gravitationsenergie bezüglich eines weit entfernten Punktes zusammen mindestens Null ergeben <math>W_{kin} + W_G = \frac {m}{2}v^2 + m \varphi_G = 0</math>. Dabei ist die potenzielle Energie negativ. Die Funktion des Gravitationspotentials lässt sich durch die Feldstärke g<sub>0</sub> auf der Erdoberfläche ausdrücken <math>\varphi_G (r) = -G \frac {m_E}{r} = - \frac {g_0 r_0^2}{r}</math>. Dabei wurde G * m<sub>E</sub> durch g<sub>0</sub> * r<sub>0</sub><sup>2</sup> ersetzt, was man aus <math> g_0 =  \left| \varphi_G (r_0) \right| = \left| - G \frac {m_E}{r_0^2} \right| </math> erhält. Damit ein Körper die Erdoberfläche (''r'' = ''r<sub>0</sub>'') für immer verlassen kann, muss somit <math> \frac {m}{2}v^2 + m \varphi_G (r_0) = m ( \frac {1}{2}v^2 - g_0 r_0) = 0 </math> gelten. Daraus folgt <math>\frac {v^2}{2} - g_0 r_0 = 0</math>. Die Fluchtgeschwindigkeit von der Erdoberfläche beträgt demnach <math>v = \sqrt {2 g_0 r_0}</math> = 11.2 km/s. Heliumatome können diese Geschwindigkeit durch thermische Anregung erreichen und von der Erde "verdampfen".
 '''[[Satellit 2|Aufgabe]]'''