Kreisbewegung

Geometrie

Die Bewegung eines Körpers auf einer Kreisbahn beschreibt man am einfachsten durch die Polarkoordinaten r und φ. Für die Umrechnung des Ortsvektors von Polarkoordinaten in kartesische Korrdinaten gilt

[math]\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} \cos \varphi \\ \sin \varphi \end{pmatrix}[/math]

Bei der Kreisbewegung ist r ein Parameter und φ eine Funktion der Zeit. Die Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit liefert den Geschwindigkeitsvektor des kreisenden Referenzpunktes

[math]\begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} \dot \varphi[/math] oder [math]\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix} = r \omega \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} = v \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix}[/math]

Der Geschwindigkeitsvektor steht normal zum Radius. Sein Betrag ist gleich dem Produkt aus dem Betrag des Radius und der Winkelgeschwindigkeit.

Impulsbilanz

Über das Kapazitivgesetz kann aus der Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes der Impulsinhalt des Körpers berechnet werden

[math]\begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} = p \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix}[/math]

Für den Betrag des Impulsvektors gilt: p = m v = m ω r

Die Impulsänderungsrate erhält man durch nochmaliges Ableiten nach der Zeit

[math]\begin{pmatrix} \dot p_x \\ \dot p_y \end{pmatrix} = \dot p \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -\cos \varphi \\ -\sin \varphi \end{pmatrix} \dot \varphi = \dot p \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} + \omega p \begin{pmatrix} -\cos \varphi \\ -\sin \varphi \end{pmatrix}[/math]

Der erste Term beschreibt die Änderunsrate des Impulsbetrages, der zweite Term die durch die Kreisbahn erzwungene Schwenkbewegung des Impulsvektors. Die Impulsbilanz setzt nun die Impulsänderungsrate gleich der Summe über alle Impulsstromstärke plus die Impulsquellenstärke. In der Punktmechanik sagt man dieser Summe resultierende Kraft und schreibt die Gleichung oft koordinatenunabhängig hin

[math]\vec F_{res} = \dot p \frac {\vec p} {p} + \vec \omega \times \vec p[/math]

Mit p ist der Betrag des Impulsvektors gemeint. Dass die Winkelgeschwindigkeit als Vektor geschrieben werden darf, ist mathematisch nicht einfach zu begründen. Dieser Vektor steht nach der Rechten-Hand-Regel normal zur Kreisbahnebene. Die Rechte-Hand-Regel besagt hier, dass der Daumen der rechten Hand die Richtung der Winkelgeschwindgigkeit anzeigt, wenn die Finger im Drehsinn auf den Kreis gelegt werden.

Falls die Winkelgeschwindigkeit konstant ist, also bei einer gleichförmigen Kreisbewegung, entfällt der erste Term

[math]\vec F_{res} = \vec \omega \times \vec p = -\omega p \frac {\vec r} {r}[/math]

Bei der gleichförmigen Kreisbewegung zeitgt der Vektor der resultierenden Kraft gegen das Kreiszentrum und sein Betrag ist gleich dem Produkt aus Winkelgeschwindigkeit und Impulsinhalt des Körpers.

Beispiele

• Körper bewegt sich an einem Seil festgebunden auf Glatteis im Kreis: Seilkraft ist resultierende Kraft
• Auto durchfährt mit konstanter Tachoanzeige eine Kurve: resultierende Kraft setzt sich aus Luftwiderstand und Haftreibung zusammen
• Flugzeug kreist über dem Rheinfall: resultierende Kraft setzt sich aus Kraft der Luft (Auftrieb und Widerstand) und der Gewichtskraft zusammen
• Geostationärer Satellit kreist um die Erde: resultierende Kraft ist die Gewichts- oder Gravitationskraft (ein antriebsloser Satellit fällt um die Erde)

Energiebetrachtung

Wird die Kreisbewegung durch einen einzigen Impulsstrom, eine einzige Kraft, verursacht, kann der zugeordnete Energiestrom berechnet werden

[math]I_W = v_x I_{Wx} + v_y I_{Wy} + v_z I_{Wz} = v \dot p [\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi] + v \omega p [\sin \varphi \cos \varphi - \cos \varphi \sin \varphi] = v \dot p[/math]

Der zugeordnete Energiestrom ist gleich dem Produkt der Schnelligkeit (Betrag der Geschwindigkeit) mal die Änderungsrate des Impulsbetrages. Der Energiestrom verschwindet bei einer gleichförmigen Kreisbewegung. Sobald mehrere Impulsströme im Spiel sind (kreisendes Flugzeug, Kurvenfahrt eines Schnellzuges) verschwindet dann auch die Summe aller über alle Energieströme, nicht aber die den einzelnen Impulsströmen zugeordneten Energieströme.

Setzt man den resultierenden Energiestrom in die Energiebilanz ein, bekommt man die Änderungsrate der kinetischen Energie

[math]I_W = v \dot p = \dot W_{kin}^2 = (0.5 m v^2\dot) = m v \dot v = v \dot p[/math]

Die Energiebilanz folg - wie in der ganzen Mechanik der homogenen Systeme - direkt aus der Impulsbilanz.

Ein Körper, der auf einer Kreisbahn gehalten ist, tauscht dauernd Impuls mit der Umgebung aus. Aber nur wenn sich der Betrag des Impulsinhaltes ändert, tauscht er netto auch Energie aus.