Barometrische Höhenformel

Die barometrische Höhenformel beschreibt die Änderung des Luftdruckes mit der Höhe (vertikaler Druckgradient). In der einfachsten Form wird angenommen, dass der Luftdruck in der Nähe des Meeresspiegels pro acht Meter Höhenzunahme ein Hektopascal (Millibar) abnimmt.

Hydrostatik

Die Luft wird im Gegensatz zu Wasser durch das eigene Gewicht massiv zusammengedrückt. Deshalb nimmt die Dichte der Luft mit der Höhe ab. Schneiden wir ein dünne, horizontal ausgerichtete Scheibe aus der Atmosphäre heraus, darf die Dichte der Luft innerhalb dieser Scheibe als konstant angenommen werden. Folglich kann höhenbedingte Druckabnahme durch die hydrostatische Formel beschrieben werden

[math]dp = -\rho g dh[/math]

Die Gravitationsfeldstärke g kann als konstant angenommen werden, weil sich das Gravitationsfeld im Bereich der Atmosphäre nicht stark abschwächt.

Die Luft (78% Stickstoff, 21% Sauerstoff, Argon, Kohlenstoffdioxid und Wasser) verhält sich in guter Näherung als ideales Gas. Folglich gilt die universelle Gasgleichung

[math]\frac {pV}{m} = \frac {p}{\rho} = \frac {nRT}{m} = \frac {RT}{\hat m}[/math]

wobei für Stoffmenge und Masse die entsprechenden Mischwerte einzusetzen sind. Löst man die Gasgleichung nach der Dichte auf und setzt den so gewonnenen Ausdruck in die hydrostatische Formel ein, kann diese nach dem Druck separiert werden

[math]\frac {dp}{p} = -\frac {\hat mg}{RT}dh[/math]

Den Druck p in beliebiger Höhe h erhält man durch eine Integration

[math]\ln(p/p_0) = \frac {\hat mg}{R} \int_h^0\frac{1}{T(h)}dh[/math]

Die Temperatur T variiert in komplizierter und kaum vorhersagbarer Weise mit der Höhe. Deshalb müssen bestimmte Annahmen über den Temperaturverlauf T(h) gemacht werden.

isotherme Atmosphäre

Würde sich die Luft nur langsam mischen und wäre sie zudem ein guter Wärmeleiter, so wäre die Atmosphäre im thermischen Gleichgewicht überall gleich warm (isotherm). Bei isothermen Vorgängen gehorcht das ideale Gas dem Boyle-Mariotte'schen Gesetz, wonach das Produkt aus Volumen und Druck konstant bleibt. Entsprechend nimmt der Quotient aus Druck und Dichte einen festen Wert an

[math]\frac {p}{\rho} = \frac {p_0}{\rho_0}[/math]

Löst man diesen Ausdruck nach der Dichte auf, setzt ihn in die hydrostatische Formel ein und separiert nach dem Druck, erhält man die Gleichung

[math]\frac{dp}{p} = -\frac {g\rho_0}{p_0}dh = -\frac {dh}{h_0}[/math]

Die Konstante h₀ entspricht der Tiefe eines Sees, der mit einem Fluid gefüllt ist, das die gleich Dichte wie die Luft am Boden aufweist, und dessen Bodendruck gleich gross wie bei der Atmosphäre ist. Wäre also die Atmosphäre inkompressibel, entspräche ihre Höhe dem Wert h₀ = p₀ / (g ρ₀). Bei einer 15°C warmen Atmosphäre und einem Druck auf Meereshöhe von 1013 Hektopascal ist h₀ = 8.43 km.

Integriert man diese Gleichung vom Boden her und wendet beidseits die Exponentialfunktion an, erhält man die barometrische Höhenformel für die isotherme Atmosphäre

[math]p = p_0 e^{-h/h_0}[/math]

Der Druck der isothermen Atmosphäre sinkt bei h₀ auf den Wert p₀/e.

isentrope Atmosphäre

Die Luft mischt sich infolge Konvektion sehr rasch und leitet die Wärme schlecht. Deshalb ist die tockene Gleichgewichtsatmosphäre nicht überall gleich warm, sondern enthält überall gleich viel Entropie pro Kilogramm Luft, d.h. die trockene Atmosphäre ist im thermischen Gleichgewicht isentrop.

Bei isentropen Vorgängen nimmt die Dichte überproportional mit dem Druck zu

[math]\frac {p}{p_0} = \frac {\rho^\kappa}{\rho_0^\kappa}[/math]

wobei κ den Isentropen- oder Adiabatenexponenten symbolisiert.

Löst man diesen Ausdruck nach der Dichte auf, setzt ihn in die hydrostatische Formel ein und separiert nach dem Druck, erhält man die Gleichung

[math]\frac{dp}{p^{-1/\kappa}} = -\frac {g\rho_0}{p_0^{-1/\kappa}}dh[/math]

Integriert man diese Gleichung vom Boden her und löst sie nach dem Druck auf, erhält man die barometrische Höhenformel für die trockene, isentrope Atmosphäre, die sogenannte Trockenadiabate

[math]p = p_0 \left ( 1 - \frac {\kappa -1}{\kappa} \frac {h}{h_0}\right )^{\frac {\kappa}{\kappa -1} }[/math]

Da der Isentopenexponent (κ) für Luft 1.4 beträgt, sinkt der Druck unter den Wert Null, sobald die Höhe über 3.5*h₀ steigt. Die isentrope Atmosphäre hat im Gegensatz zu isothermen auf einer Höhe von etwa 30 km eine obere Grenze. In der Realität liegt diese Höhe über der Troposphäre, dem Bereich der Atmospäre, der mit einfacher Thermodynamik beschrieben werden kann.

Ersetzt man das Druckverhalten über die Formel für die isentrope Expansion durch das Temperaturverhalten, sieht man, dass die Temperatur unabhängig vom Anfangswert um etwa 1 Kelvin pro 100 Meter Höhe abnimmt

[math]T = T_0 - \frac {\kappa -1}{\kappa} \frac {\hat m g}{R} h[/math]

Der wahre Temperaturverlauf kann in ein Temperatur-Höhen-Diagramm eingetragen werden. In diesem Diagramm bilden die Isentropen oder Trockenadiabaten ein Raster. Verläuft das gemessene Profil in trockener Luft ein Stück weit entlang einer Trockenadiabaten, ist die zugehörige Luftschicht im thermodynamischen Gleichgewicht.

Infolge Sonneneinstrahlung und horizontaler Luftverschiebungen befindet sich die Atmosphäre selten im thermodynamischen Gleichgewicht. Die Temperatur der Luft wird zudem durch das Verhalten des Wassers beträchtlich beeinflusst. Kondensiert oder gefriert der Wasserdampf, verliert das System Luft an Stoffmenge und muss gleichzeitig vom ausscheidenden Wasser ziemlich viel Enttropie übernehmen. Beginnt also der Wasserdampf in aufsteigender Luft zu kondensieren, sinkt die Temperatur infolge der Kondendationsentropie des Wassers bedeutend langsamer ab als bei trockener Luft.

Internationale Höhenformel

Setzt man die Referenzhöhe h₀ auf Meereshöhe und nimmt für die dortige Atmosphäre einen mittleren Zustand an, wie er durch die Internationale Standardatmosphäre beschrieben wird (Temperatur 15 °C = 288,15 K, Luftdruck 1013,25 hPa, Temperaturgradient 0,65 K pro 100 m), so erhält man die Internationale Höhenformel für die Troposphäre (gültig bis 11 km Höhe):

[math]p(h) = 1013{,}25 \left( 1 - \frac{0{,}0065 \cdot \{ h \}}{288{,}15} \right)^{5{,}255} \mathrm{hPa}[/math]

Diese Formel erlaubt die Berechnung des Luftdrucks auf einer gegebenen Höhe, ohne dass Temperatur und Temperaturgradient bekannt sind. Die Genauigkeit im konkreten Anwendungsfall ist allerdings begrenzt, da der Berechnung statt des aktuellen Atmosphärenzustands eine mittlere Atmosphäre zugrunde gelegt wird. (Quelle: Wikipedia)