Lösung zu Rollkörper auf schiefer Ebene

Auf den Rollkörper wirken nur das Gravitationsfeld und die Unterlage ein. Die Wirkung des Gravitationsfeldes (Stärke der Impulsquelle) heisst Gewichtskraft. Die Wirkung der Unterlage kann in eine Normalkraft und eine Haftreibungskraft zerlegt werden (die Rollreibung würde ein zusätzliches Drehmoment erzeugen).

1.

Schnittbild (free body diagram)

Das Schnittbild zeigt die drei Kräfte, die auf den Rollkörper einwirken.

2. In der Ebene kann ein starrer Körper nur zwei "Sorten" Impuls und eine "Sorte" Drehimpuls mit der Umgebung austauschen. Kombiniert man die Bilanzgesetze mit den zugehörigen kapazitiven Gesetze erhält man die Grundgesetze der Mechanik

x-Impuls: [math]F_G \sin \beta - F_H_R = \dot p_x = m \dot v_x[/math]

y-Impuls: [math]F_G \cos \beta - F_N = \dot p_y = 0[/math]

z-Drehimpuls: [math]F_H_R \cdot r = \dot L_z = J_z \dot \omega_z[/math]

Die y-Bilanz muss beigezogen werden, wenn man prüfen will, ob die Bedingung bezüglich Rollen (maximal mögliche Haftreibungskraft) nicht verletzt wird. Nachfolgend werden die Indices weggelassen.

3. Die Rollbedingung verlangt, dass die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes gleich Winkelgeschwindigkeit mal Abrollradius ist. Leitet man diese Beziehung nach der Zeit ab, erhält man die analoge Aussage bezüglich Beschleunigung und Winkelbeschleunigung. Damit reduziert sich das Gleichungssystem auf

x-Impulsbilanz: [math]mg\sin \beta -F_H_R = m \dot v[/math]

z-Drehimpulsbilanz: [math]F_H_R \cdot r = J \dot \omega = \frac {J}{r } \dot v[/math]

oder aufgelöst nach der Beschleunigung des Massenmittelpunktes

[math]\dot v = \frac {g}{k} \sin \beta[/math] mit dem Faktor [math]k = 1 + \frac {J}{mr^2}[/math]

Setzt man den Faktor k gleich eins, erhält man die Beschleunigung eines reibungsfrei gleitenden Körpers.

4. Der Weg über die Energiebilanz ist schneller, liefert aber keine Informationen zu den Zwangskräften (Normalkraft und Haftreibungskraft)

[math]\dot W_G + \dot W_{kin} + \dot W_{rot} = 0[/math]

[math]mg\dot h + mv\dot v + J\omega\dot\omega = 0[/math]

Hier ist die Geschwindigkeit gleich minus Änderungsrate der Höhe mal Sinus des Neigungswinkels. Zusammen mit der Rollbedingung erhält man

[math]mg\sin \beta\dot v = m v\dot v + \frac {J}{mr^2} v\dot v[/math]

und daraus die gesuchte Formel.

5. Die Kugel wird ums stärker beschleunigt, je weniger der Faktor k von eins abweicht, je grösser das Verhältnis des Massenträgheitsmoment zu Masse mal Quadrat des Abrollradius r ist

[math]k = 1 + \frac {2 R^2}{5 r^2}[/math]

Die Kugel ist somit um so schneller, je kleiner die vom U-Profil gebildete "Spurweite" ist.

Aufgabe