Lösung zu U-Rohr mit Federn: Unterschied zwischen den Versionen
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:<math> C_{Vlinks mit Feder} = 2 \ C_{Vtot mit Feder} = \frac {2 \ \left( \frac {T_{mit Feder}} {2 \pi} \right)^2} {L_V} = 1.12 \cdot 10^{-10} \ m^3/Pa </math> |
:<math> C_{Vlinks mit Feder} = 2 \ C_{Vtot mit Feder} = \frac {2 \ \left( \frac {T_{mit Feder}} {2 \pi} \right)^2} {L_V} = 1.12 \cdot 10^{-10} \ m^3/Pa </math> |
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==4. Energie== |
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Für die Berechnung der Energie wählen wir die Höhe der ruhenden Quecksilbersäule als Bezugshöhe. Die Energie der linken, angehobenen Quecksilbersäule beträgt dann: |
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:<math> W_{links} = \frac {V^2} {2 \ C_{Vlinks mit Feder}} = \frac {A^2 \cdot h^2} {2 \ C_{Vlinks mit Feder}} </math> |
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Die Energie der anderen Kapazität ist gleich gross, obwohl jetzt die Höhe h negativ ist. Wir erhalten also für die gesamte Energie im Rohr das doppelte der Energie im linken Rohr: |
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:<math> W_{tot} = \frac {A^2 \cdot h^2} {C_{Vlinks mit Feder}} = 12.9 \ mJ </math> |
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Version vom 12. Oktober 2007, 10:15 Uhr
1. Rohrlänge
Die Schwingungsdauer T hängt von der Induktivität und der Kapazität des U-Rohrs ab:
- [math]T = 2 \pi \sqrt {L_V \ C_V} = 2 \pi \sqrt {\frac {l} {2 g}} [/math]
Wir lösen die Formel für T nach l auf und erhalten:
- [math]l = 2 g \left( \frac {T} {2 \pi}\right)^2 = 0.5 \ m[/math]
2. Induktivität
Die Induktivität des U-Rohrs beträgt:
- [math]L_V = \frac {\rho l} {A} = 1.13 \cdot 10^8\ kg/m^4 [/math]
3. Einzelkapazität mit Federn
Durch die Feder an jedem Rohrende verkleinert sich die Kapazität. Es braucht mehr Druck, um das gleiche Volumen ins Rohrende zu drücken als ohne Feder, oder anders gesagt: Man kann bei gleichem Druck weniger Volumen hineindrücken als ohne Feder. Die Gesamtkapazität des U-Rohrs ist die Serieschaltung der beiden Einzelkapazitäten am Rohrende. Bei einer Serieschaltung von Kapzitäten addieren sich ihre Kehrwerte:
- [math]\frac {1} {C_{Vtot}} = \frac {1} {C_{Vlinks}} + \frac {1} {C_{Vrechts}}, \quad C_{Vtot} = \frac {C_{Vlinks}} {2} \quad [/math] , weil beide Einzelkapazitäten gleich sind: CVlinks = CVrechts
Wenn die Schwingungsdauer sich halbiert (bei gleicher Induktivität), ist die Kapazität nur noch 1 Viertel so gross wie ohne Federn. Also erhalten wir:
Die U-Rohrkapazität mit Federn bestimmen wir aus der Schwingungsdauer, wieder mit der obigen Formel:
- [math] C_{Vlinks mit Feder} = 2 \ C_{Vtot mit Feder} = \frac {2 \ \left( \frac {T_{mit Feder}} {2 \pi} \right)^2} {L_V} = 1.12 \cdot 10^{-10} \ m^3/Pa [/math]
4. Energie
Für die Berechnung der Energie wählen wir die Höhe der ruhenden Quecksilbersäule als Bezugshöhe. Die Energie der linken, angehobenen Quecksilbersäule beträgt dann:
- [math] W_{links} = \frac {V^2} {2 \ C_{Vlinks mit Feder}} = \frac {A^2 \cdot h^2} {2 \ C_{Vlinks mit Feder}} [/math]
Die Energie der anderen Kapazität ist gleich gross, obwohl jetzt die Höhe h negativ ist. Wir erhalten also für die gesamte Energie im Rohr das doppelte der Energie im linken Rohr:
- [math] W_{tot} = \frac {A^2 \cdot h^2} {C_{Vlinks mit Feder}} = 12.9 \ mJ [/math]