Loch im Topf

In den Boden einer Büchse (Querschnitt A = ) ist ein Kreisrundes Loch (Durchmesser d = ) gebohrt worden. Wie verändert sich die Füllhöhe mit in der Zeit, falls die Büchse anfänglich 10 cm hoch mit Wasser gefüllt worden ist?

Theorie

Schon Evangelista Torricelli konnte zeigen, dass das ausfliessende Wasser die gleiche Geschwindigkeit aufweist, wie ein Körper, der von der Wasseroberfläche um die gleiche Höhe hinunter gefallen ist. Somit gilt

[math]v=\sqrt{2gh}[/math]

wobei h für die Füllhöhe steht und mit g die Gravitationsfeldstärke gemeint ist.

Die Stärke des ausfliessenden Volumenstromes ist gleich Querschnitt des Wasserstrahls mal Austströmgeschwindigkeit

[math]I_V=A_S v[/math]

Man beachte, dass der Strahlquerschnitt oft kleiner als die Bohrung ist. Bei einem scharfkantigen Loch macht die Einschnürung etwa 40 % aus. Der Querschnitt des Strahls beträgt dann nur noch etwa 60 % des Querschnitts des Lochs.

Modell

Die Volumenbilanz bildet den Kern des Modells. Folglich zeichnet man im Systemdiagramm (flowchart) einen Topf (reservoir) und hängt eine Leitung (flow) mit Bezugsrichtung nach aussen an. Dividiert man das gespeicherte Volumen durch den Querschnitt der Büchse oder des Topfs, erhält man die aktuelle Füllhöhe. Umgekehrt kann das Anfangsvolumen als Querschnitt mal anfängliche Füllhöhe geschrieben werden. Mit Hilfe des Ausflussgesetzes von Torricelli lässt sich die Ausflussgeschwindigkeit berechnen. Die Stärke des Volumenstroms ist dann gleich Ausflussgeschwindigkeit mal Querschnitt des Freistrahls.

Damit dieses Modell berechnet werden kann, müssen alle Parameter gesetzt werden. Nimmt man eine Blechbüchse für Elisenlebkuchen und bohrt ein Loch mit einem Durchmesser von 5 mm hinein, gelten etwa folgende Werte

• Querschnitt der Büchse 0.01 m²
• Querschnitt des Freistrahls 1.5 10^-5 m²
• Füllhöhe 0.09 m