Lösung zu Luftspeicher: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 13. April 2010, 12:21 Uhr

T-S-Diagramm
p-V-Diagramm

Im T-S-Diagramm bilden die Isentropen vertikale Linien, die Isochoren verlaufen exponentiell in Funktion der Entropie oder logarithmisch mit der Temperatur. Im p-V-Diagramm schneiden die Isentropen die Isothermen unter einem spitzen Winkel, die Isochoren verlaufen vertikal.
Am Ende des ersten Teilprozesses beträgt der Druck [math]p_2=p_1\left(\frac {V_1}{V_2}\right)^\kappa[/math] = 1 bar * (20 l / 5 l)^1.4 = 6.96 bar und die Temperatur ist gleich [math]T_2=T_1\frac{p_2V_2}{p_1V_1}[/math] = 300 K * (6.96 bar * 5 l)/(1 bar * 20 l) = 522 K. Nach dem zweiten Teilprozess betragen das Volumen V₃ = 5 l, die Temperatur T₃ = 300 K und der Druck p₃ = p₁ * V₁ / V₃ = 1 bar * 20 l / 5 l = 4 bar. Nach dem dritten Teilprozess beträgt der Druck nur noch [math]p_4 = p_3\left(\frac {V_3}{V_4}\right)^\kappa[/math] = 4 bar * (5 l / 20 l)^1.4 = 0.574 bar und die Temperatur misst [math]T_4 = T_3 \frac{p_4 V_4}{p_3 V_3}[/math] = 300 K * (0.574 bar * 20 l)/(4 bar * 5 l) = 172 K. Für die Berechnung dieser Werte geht man am besten vom Anfangszustand des isentropen Teilprozesses aus und verwendet dann die Isentropengleichung und die thermische Zustandsgleichung.
Die Arbeit bei den isentropen Prozessen ist gleich der Änderung der inneren Energie. Diese hängt wiederum nur von der Temperatur ab [math]W_{tot}=W_{12}+W_{23}=n\hat c_V(T_2-T_1+T_4-T_3)=n\hat c_V(T_2+T_4-2T_1)[/math] = 1.57 MJ.
Im zweiten Teilprozess, der isochoren Auskühlung, beträgt die Änderung der inneren Energie [math]\Delta W=n\hat c_V(T_3-T_2)[/math] = -3.7 MJ. Die zugehörige Entropieänderung ist gleich [math]\Delta S=n\hat c_V\ln\left(\frac{T_3}{T_2}\right)[/math] = -9.2 kJ/K.

Aufgabe

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 #Im ''T-S-''Diagramm bilden die Isentropen vertikale Linien, die Isochoren verlaufen exponentiell in Funktion der Entropie oder logarithmisch mit der Temperatur. Im ''p-V-''Diagramm schneiden die Isentropen die Isothermen unter einem spitzen Winkel, die Isochoren verlaufen vertikal.
-#Am Ende des ersten Prozesses beträgt der Druck <math>p_2=p_1\left(\frac {V_1}{V_2}\right)^\kappa</math> = 6.96 bar und die Temperatur ist gleich <math>T_2=T_1\frac{p_2V_2}{p_1V_1}</math> = 522 K. Nach dem dritten Prozess beträgt der Druck nur noch 0.574 bar und die Temperatur misst 172 K. Für die Berechnung dieser Werte geht man am besten vom Anfangs- bzw. Endzustand aus und rechnet dann über die Isentrope rückwärts.
+#Am Ende des ersten Teilprozesses beträgt der Druck <math>p_2=p_1\left(\frac {V_1}{V_2}\right)^\kappa</math> = 1 bar * (20 l / 5 l)<sup>1.4</sup> = 6.96 bar und die Temperatur ist gleich <math>T_2=T_1\frac{p_2V_2}{p_1V_1}</math> = 300 K * (6.96 bar * 5 l)/(1 bar * 20 l) = 522 K. Nach dem zweiten Teilprozess betragen das Volumen V<sub>3</sub> = 5 l, die Temperatur T<sub>3</sub> = 300 K und der Druck p<sub>3</sub> = p<sub>1</sub> * V<sub>1</sub> / V<sub>3</sub> = 1 bar * 20 l / 5 l = 4 bar. Nach dem dritten Teilprozess beträgt der Druck nur noch <math>p_4 = p_3\left(\frac {V_3}{V_4}\right)^\kappa</math> = 4 bar * (5 l / 20 l)<sup>1.4</sup> = 0.574 bar und die Temperatur misst <math>T_4 = T_3 \frac{p_4 V_4}{p_3 V_3}</math> = 300 K * (0.574  bar * 20 l)/(4 bar * 5 l) = 172 K. Für die Berechnung dieser Werte geht man am besten vom Anfangszustand des isentropen Teilprozesses aus und verwendet dann die Isentropengleichung und die thermische Zustandsgleichung.
 #Die Arbeit bei den isentropen Prozessen ist gleich der Änderung der inneren Energie. Diese hängt wiederum nur von der Temperatur ab <math>W_{tot}=W_{12}+W_{23}=n\hat c_V(T_2-T_1+T_4-T_3)=n\hat c_V(T_2+T_4-2T_1)</math> = 1.57 MJ.
 #Im zweiten Teilprozess, der isochoren Auskühlung, beträgt die Änderung der inneren Energie <math>\Delta W=n\hat c_V(T_3-T_2)</math> = -3.7 MJ. Die zugehörige Entropieänderung ist gleich <math>\Delta S=n\hat c_V\ln\left(\frac{T_3}{T_2}\right)</math> = -9.2 kJ/K.