Mechanik des starren Körpers

Die Mechanik des starren Körpers sollte von jeder Ingenieurin und jedem Ingenieur im Prinzip verstanden werden (der Ingenieur unterscheidet sich vom Techniker durch ein tieferes Verständnis der mathematisch-naturwissenschaftlichen Grundlagen). In dieser Vorlesung wird aber nur die Bewegung in der Ebene besprochen. Das zugehörige Lösungsverfahren ist so grundlegend, dass Sie es wie ein Rezept beherrschen müssen.

Struktur

Bilanzgleichungen

Ein Körper vermag Impuls und Drehimpuls zu speichern. Beide Grössen dürfen bezüglich eines raumfesten Bezugssystem in sechs skalare Mengen aufgespalten werden, die einzeln zu bilanzieren sind. Folglich müssen für eine vollständige Bilanz sechs Töpfe ins Systemdiagramm gezeichnet werden. Die zugehörigen Stromstärken bezüglich eines ausgewählten Systems heissen Kräfte bzw. Drehmomente. Man Unterscheidet zwei Arten von Kräften, die Oberflächenkräfte und die Gewichtskraft. Bei den Oberflächenkräften fliesst der Impuls leitungsartig, also durch das Material hindurch, über die Systemgrenze. Im Falle der Gewichtskraft tauscht der Körper über sein ganzes Volumen verteilt Impuls mit dem Gravitationsfeld aus. Die Impulsbilanz beschreibt somit den Zusammenhang zwischen den Stromstärken (Kräften) und der Änderung des Inhalts

[math] \sum_i\vec F_i+m\vec g=\dot{\vec p}[/math]

Hier sind nur die Stärken der Impulsströme als Kräfte bezeichnet worden. Die gravitative Impulsquelle wird direkt als (schwere) Masse mal Gravitationsfeldstärke in die Bilanz eingebracht.

Die Drehimpulsbilanz kennt eine ähnliche Unterscheidung wie die Impulsbilanz. Weil jeder Impulsstrom, der im Körper quer zu seiner Bezugsrichtung fliesst, eine Drehimpulsquelle bildet, unterscheidet man zwei Arten von Drehimpulsströmen (Drehmomenten). Reine Drehmomente werden von verdrehten Wellen oder vom elektromagnetischen Feld direkt erzeugt. Drehmoment können aber auch als Begleiterscheinung von Kräften auftreten. Das einer Kraft zugeordnete Drehmoment ist gleich Kraft mal Abstand des Massenmittelpunktes von der Wirklinie der Kraft. Damit nimmt die Drehimpulsbilanz die folgende Gestalt an

[math] \sum_i\vec M_i+\sum_j(\vec r_j\times\vec F_j)=\dot{\vec L}[/math]

wobei der Vektor im Kreuzprodukt vom Massenmittelpunkt zum "Angriffspunkt" der Kraft zeigt.

Kontrollfragen

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