Zentrifugalfeld

In einem rotierenden Bezugssystem sind zwei zusätzliche, gravitationsähnliche Trägheitskräfte, die Zentrifugalkraft und die Corioliskraft einzuführen. Die Zentrifugalkraft hängt nur vom Ort und die Corioliskraft nur von der Geschwindigkeit des Körpers relativ zum gewählten Bezugssystem ab. Die Zentrifugalkraft kann als Masse mal Stärke eines Zentrifugalfeldes geschrieben werden

[math]\vec F_Z=m\vec g_Z[/math]

wobei die Stärke des Zentrifugalfeldes linear mit Radius, dem Abstand von der Drehachse des rotierenden Systems, ansteigt

[math]\vec g_Z=\omega^2 \vec r[/math]

Das Zentrifugalfeld besitzt ein Potenzial. Falls man den Nullpunkt auf der Drehachse wählt, gilt

[math]\varphi_Z=-\frac{\omega^2}{2}r^2[/math]

Im rotierenden Bezugssystem nimmt die potentielle Energie quadratisch mit dem Abstand von der Drehachse ab.

rotierendes Gefäss

Läss man ein mit Wasser gefülltes Gefäss um eine senkrecht ausgerichtete Achse rotieren, steigt die Wasseroberfläche an den Rändern des Gefässes hoch, bis sich eine relativ zum Gefäss ruhende, konkave Oberfläche ausgebildet hat. Welche Form weist diese Fläche auf?

Eine im System ruhende Wasseroberfläche richtet sich immer normal zum lokal nachweisbaren Gravitationsfeld aus. Im rotierenden Gefäss setzt sich das Gravitationsfeld aus dem recht homogenen Feld der Erdoberfläche und dem Zentrifugalfeld zusammen. Bezüglich den Zylinderkoordinaten h und r nehmen die Komponenten dieses Gravitationsfeldes folgende Gestalt an

[math]\begin{pmatrix}g_h\\g_r\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}g\\\omega^2r\end{pmatrix}[/math]

Das zugehörige Potenzial ist gleich

[math]\varphi_G=gh-\frac{\omega^2}{2}r^2[/math]

Nun ist jede Fläche, die überall normal zur Gravitationsfeldstärke verläuft eine Fläche gleichen Potenzials (Äquipotenzialfläche). Die Oberfläche einer ruhenden Flüssigkeit bildet deshalb immer eine Äquipotenzialfläche des lokal nachweisbaren Gravitationsfeldes aus. Im rotierenden Gefäss ist die Äquipotenzialfläche ein Rotationsparaboloid, das durch die Funktion

[math]h(r)=h_0+\frac{\omega^2}{2g}r^2[/math]