Lösung zu Wasseruhr

Der Wasserspiegel dieser Uhr sinkt in der Stunde um 864 mm / 24 h = 36 mm/h, in der Minute um 0.6 mm und in der Sekunde um einen Hundertstel Millimeter (0.01 mm/s) ab. Die Systemkonstante beträgt demnach k = (0.01 mm/s)² / (2 * g) = 5.10 * 10^-12 m.

1. Um den oberen Durchmesser zu berechnen, lösen wir die Funktion h(r) nach r auf und setzen h = 0.864 m:

[math] r(h) = r_0 \left(\frac {h}{k} + 1 \right)^{1/4} [/math], d = 2 * r(0.864 m) = 3.21 m.

2. Auf halber Höhe hat der Behälter immer noch einen Durchmesser von 2.70 m (Formel aus 1 für h = 0.432 m anwenden).

3. Weil die Systemkonstante so klein ist, genügt die mit Torricelli hergeleitete Formel bei weitem

[math] V = \int A \ dh = \int \pi r(h)^2 dh \approx \frac{\pi r_0^2}{\sqrt k}\int\sqrt h \ dh = \frac{2\pi r_0^2}{3 \sqrt k} \ h^{3/2}[/math]

[math] V = \frac{2\pi (0.0025 \ m)^2}{3 \sqrt {5.10 \cdot 10^{-12} \ m}} \ (0.864 \ m)^{3/2} = 4.66 \ m^3[/math]

Aufgabe