Lösung zu Impulstransport im Rohr: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 22. Februar 2010, 17:33 Uhr

Die Querschnittsflächen betragen: [math] A_1 = \pi / 4 \cdot (0.035 mm)^2 = 0.000'962 m^2, \quad A_2 = \pi / 4 \cdot (0.025 mm)^2 = 0.000'491 m^2[/math]

1. Die Strömungsgeschwindigkeiten sind durch die Kontinuitätsgleichung [math]I_{V1} = I_{V2} \Rightarrow A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2[/math] gegeben: [math]v = \frac {I_V}{A}[/math]. Also ist [math]v_1 = \frac {I_V}{A_1} = \frac {0.002 m^3/s}{0.000'962 m^2}[/math] = 2.08 m/s und [math]v_2 = \frac {0.002 m^3/s}{0.000'491 m^2}[/math] = 4.07 m/s.

2. Die Energiebilanz, das Gesetz von Bernoulli, liefert für den Druck im zweiten Querschnitt: [math]p_2 = p_1 + \frac{\rho}{2}(v_1^2 - v_2^2) = 15 kPa + \frac{850 kg/m^3}{2} \left((2.08 m/s)^2 - (4.07 m/s)^2 \right)[/math] = 9.80 kPa.

3. Die Flüssigkeit transportiert den Impuls leitungsartig und konvektiv, jedoch nicht feldartig, gravitativ (Annahme, dass A₁ und A₂ sich auf gleicher Höhe befinden). Man betrachtet die Flüssigkeit im Rohrstück als System. Der Leitungsanteil des Impulsstroms, der durch einen Querschnitt fliesst, besteht aus der Druckkraft, die die aussenliegende Flüssigkeit auf das System ausübt. Sie beträgt hier [math]F_1 = A_1 \cdot p_1 = 0.000'962 m^2 \cdot 15 kPa = 14.43 N [/math] und [math]F_2 = A_2 \cdot p_2 = 0.000'491 m^2 \cdot 9.8 kPa = 4.81 N [/math].

Dabei ist F1 nach rechts und F2 nach links gerichtet.

Der konvektive Anteil ist an den Volumenstrom gekoppelt: [math]I_{px1,konv} = v_{x1} \cdot I_m = \frac {I_V}{A_1} \cdot \rho \cdot I_V = \frac {\rho}{A_1} \cdot I_V ^2 = 3.53 N[/math] und [math]I_{px2,konv} = \frac {\rho}{A_2} \cdot I_V ^2 = 6.92 N[/math]. Zählt man beide Stromstärken zusammen, erhält man für die beiden Querschnittsflächen unterschiedliche Impulsstromstärken: I_px1 = 14.43 N + 3.53 N = 18.0 N und I_px2 = 4.81 N + 6.92 N = 11.7 N.

4. Die Differenz der beiden Impulsstromstärken von 6.3 N muss im konisch zulaufenden Teil von der Flüssigkeit an die Rohrwand abgegeben werden. Diese Differenz entspricht der x-Komponente der Kraft F_W, die die Wand auf die Flüssigkeit ausübt. Weil die Wand rotationssymmetrisch um die x-Achse verläuft, sind die über die ganze Wand aufsummierten Kräfte dF_Wand gleich einer zur x-Achse parallelen Kraft F_Wand.

Aufgabe

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 [[Bild:Impulstransport im Rohr.png|Konisches Rohrstück]]
-#Die Strömungsgeschwindigkeiten sind durch die [[Kontinuitätsgleichung]] <math>I_{V1} = I_{V2} \Rightarrow A_1 \cdot v_1  =  A_2 \cdot v_2</math> gegeben: <math>v = \frac {I_V}{A}</math>. Also ist <math>v_1 = \frac {I_V}{A_1} = \frac {0.002 m^3/s}{\pi / 4 \cdot (0.035 mm)^2}</math> = 2.08 m/s und <math>v_2 = \frac {0.002 m^3/s}{\pi / 4 \cdot (0.025 mm)^2}</math> = 4.07 m/s.
-#Die Energiebilanz, das [[Gesetz von Bernoulli]], liefert für den Druck im zweiten Querschnitt: <math>p_2 = p_1 + \frac{\rho}{2}(v_1^2 - v_2^2) = 15 kPa + \frac{850 kg/m^3}{2} \left((2.08 m/s)^2 - (4.07 m/s)^2 \right)</math> = 9.80 kPa.
+Die Querschnittsflächen betragen: <math> A_1 = \pi / 4 \cdot (0.035 mm)^2 = 0.000'962 m^2, \quad A_2 = \pi / 4 \cdot (0.025 mm)^2 = 0.000'491 m^2</math>
-#Die Flüssigkeit transportiert den [[Impuls]] [[leitungsartig]] und [[konvektiv]], jedoch nicht [[feldartig|feldartig]], gravitativ (Annahme, dass A<sub>1</sub> und A<sub>2</sub> sich auf gleicher Höhe befinden). Man betrachtet die Flüssigkeit im Rohrstück als System. Der Leitungsanteil des Impulsstroms, der durch einen Querschnitt fliesst, besteht aus der Druckkraft, die die aussenliegende Flüssigkeit auf das System ausübt. Sie beträgt hier <math>F_1 = A_1 \cdot p_1, F_2 = A_2 \cdot p_2</math>. Der konvektive Anteil ist an den Volumenstrom gekoppelt: <math>I_{px1,konv} = \rho \cdot v_{x1} \cdot I_V = \rho \cdot \frac {I_V}{A_1} \cdot I_V = \frac {\rho}{A_1} \cdot I_V ^2\ ,\  I_{px2,konv} = \frac {\rho}{A_2} \cdot I_V ^2</math>.  Zählt man beide Stromstärken zusammen, erhält man für die beiden Querschnittsflächen unterschiedliche Impulsstromstärken: <math>I_{px1} = p_1 \cdot A_1 + \frac {\rho}{A_1} \cdot I_V ^2 \ </math> = 17.97 N und I<sub>px2</sub> = 11.73 N.
+. Die Strömungsgeschwindigkeiten sind durch die [[Kontinuitätsgleichung]] <math>I_{V1} = I_{V2} \Rightarrow A_1 \cdot v_1  =  A_2 \cdot v_2</math> gegeben: <math>v = \frac {I_V}{A}</math>. Also ist <math>v_1 = \frac {I_V}{A_1} = \frac {0.002 m^3/s}{0.000'962 m^2}</math> = 2.08 m/s und <math>v_2 = \frac {0.002 m^3/s}{0.000'491 m^2}</math> = 4.07 m/s.
-#Die Differenz der beiden Impulsstromstärken von 6.24 N muss im konisch zulaufenden Teil von der Flüssigkeit an die Rohrwand abgegeben werden. Diese Differenz entspricht der x-Komponente der Kraft F<sub>W</sub>, die die Wand auf die Flüssigkeit ausübt. Weil die Wand rotationssymmetrisch um die x-Achse verläuft, sind die über die ganze Wand aufsummierten Kräfte dF<sub>Wand</sub> gleich einer zur x-Achse parallelen Kraft F<sub>Wand</sub>.
+. Die Energiebilanz, das [[Gesetz von Bernoulli]], liefert für den Druck im zweiten Querschnitt: <math>p_2 = p_1 + \frac{\rho}{2}(v_1^2 - v_2^2) = 15 kPa + \frac{850 kg/m^3}{2} \left((2.08 m/s)^2 - (4.07 m/s)^2 \right)</math> = 9.80 kPa.
+. Die Flüssigkeit transportiert den [[Impuls]] [[leitungsartig]] und [[konvektiv]], jedoch nicht [[feldartig|feldartig]], gravitativ (Annahme, dass A<sub>1</sub> und A<sub>2</sub> sich auf gleicher Höhe befinden). Man betrachtet die Flüssigkeit im Rohrstück als System. Der Leitungsanteil des Impulsstroms, der durch einen Querschnitt fliesst, besteht aus der Druckkraft, die die aussenliegende Flüssigkeit auf das System ausübt. Sie beträgt hier <math>F_1 = A_1 \cdot p_1 = 0.000'962 m^2 \cdot 15 kPa = 14.43 N </math> und <math>F_2 = A_2 \cdot p_2 = 0.000'491 m^2 \cdot 9.8 kPa = 4.81 N </math>.
+Dabei ist F1 nach rechts und F2 nach links gerichtet.
+Der konvektive Anteil ist an den Volumenstrom gekoppelt: <math>I_{px1,konv} = v_{x1} \cdot I_m = \frac {I_V}{A_1} \cdot \rho \cdot I_V = \frac {\rho}{A_1} \cdot I_V ^2 = 3.53 N</math> und <math>I_{px2,konv} = \frac {\rho}{A_2} \cdot I_V ^2 = 6.92 N</math>.  Zählt man beide Stromstärken zusammen, erhält man für die beiden Querschnittsflächen unterschiedliche Impulsstromstärken: ''I<sub>px1</sub>'' = 14.43 N + 3.53 N = 18.0 N und ''I<sub>px2</sub>'' = 4.81 N + 6.92 N  = 11.7 N.
+. Die Differenz der beiden Impulsstromstärken von 6.3 N muss im konisch zulaufenden Teil von der Flüssigkeit an die Rohrwand abgegeben werden. Diese Differenz entspricht der x-Komponente der Kraft F<sub>W</sub>, die die Wand auf die Flüssigkeit ausübt. Weil die Wand rotationssymmetrisch um die x-Achse verläuft, sind die über die ganze Wand aufsummierten Kräfte dF<sub>Wand</sub> gleich einer zur x-Achse parallelen Kraft F<sub>Wand</sub>.
 '''[[Impulstransport im Rohr|Aufgabe]]'''