Lösung zu Rollkörper auf schiefer Ebene: Unterschied zwischen den Versionen

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Auf den Rollkörper wirken nur das Gravitationsfeld und die Unterlage ein. Die Wirkung des Gravitationsfeldes oder etwas präziser die Stärke der Impulsquelle heisst Gewichtskraft. Die Wirkung der Unterlage kann in eine [[Normalkraf]] und eine [[Haftreibungskraft]] zerlegt werden (die Rollreibung würde ein zusätzliches Drehmoment erzeugen).
Auf den Rollkörper wirken nur das [[Gravitationsfeld]] und die Unterlage ein. Die Wirkung des Gravitationsfeldes (Stärke der [[Impulsquelle]]) heisst Gewichtskraft. Die Wirkung der Unterlage kann in eine [[Normalkraft]] und eine [[Gleitreibung|Haftreibungskraft]] zerlegt werden (die Rollreibung würde ein zusätzliches Drehmoment erzeugen).


1. [[Bild:Schnittbild_Rollkoerper.png|thumb|Schnittbild (free body diagram)]] Das Schnittild zeigt die drei Kräfte, die auf den Rollkörper einwirken.
1. [[Bild:Schnittbild_Rollkoerper.png|thumb|Schnittbild (free body diagram)]] Das Schnittbild zeigt die drei Kräfte, die auf den Rollkörper einwirken.


2. In der Ebene kann ein starrer Körper nur zwei "Sorten" [[Impuls]] und eine "Sorte" [[Drehimpuls]] mit der Umgebung austauschen. Kombiniert man die Bilanzgesetze mit den zugehörigen kapazitiven Gesetze erhält man die Grundgesetze der Mechanik
2. In der Ebene kann ein starrer Körper nur zwei "Sorten" [[Impuls]] und eine "Sorte" [[Drehimpuls]] mit der Umgebung austauschen. Kombiniert man die Bilanzgesetze mit den zugehörigen kapazitiven Gesetze erhält man die Grundgesetze der Mechanik
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Die ''y''-Bilanz muss beigezogen werden, wenn man prüfen will, ob die Bedingung bezüglich Rollen (maximal mögliche Haftreibungskraft) nicht verletzt wird. Nachfolgend werden die Indices weggelassen.
Die ''y''-Bilanz muss beigezogen werden, wenn man prüfen will, ob die Bedingung bezüglich Rollen (maximal mögliche Haftreibungskraft) nicht verletzt wird. Nachfolgend werden die Indices weggelassen.


3.Die Rollbedingung verlangt, dass die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes gleich Winkelgeschwindigkeit mal Abrollradius ist. Leitet man diese Beziehung nach der Zeit ab, erhält man die analoge Aussage bezüglich Beschleunigung und Winkelbeschleunigung. Damit reduziert sich das Gleichungssystem auf
3. Die Rollbedingung verlangt, dass die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes gleich Winkelgeschwindigkeit mal Abrollradius ist. Leitet man diese Beziehung nach der Zeit ab, erhält man die analoge Aussage bezüglich Beschleunigung und Winkelbeschleunigung. Damit reduziert sich das Gleichungssystem auf


:''x''-Impulsbilanz: <math>mg\sin \beta -F_H_R = m \dot v</math>
:''x''-Impulsbilanz: <math>mg\sin \beta -F_H_R = m \dot v</math>
:''z''-Drehimpulsbilanz: <math>F_H_R \cdot r = = J \dot \omega = \frac {J}{r } \dot v</math>
:''z''-Drehimpulsbilanz: <math>F_H_R \cdot r = J \dot \omega = \frac {J}{r } \dot v</math>


oder aufgelöst nach der Beschleunigung des Massenmittelpunktes
oder aufgelöst nach der Beschleunigung des Massenmittelpunktes
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Setzt man den Faktor ''k'' gleich eins, erhält man die Beschleunigung eines reibungsfrei gleitenden Körpers.
Setzt man den Faktor ''k'' gleich eins, erhält man die Beschleunigung eines reibungsfrei gleitenden Körpers.


4. Der Weg über die [[Energiebilanz]] ist schneller, liefert aber keine Informationen zu den Zwangskräften ([[Normlakraft]] und Haftreibungskraft)
4. Der Weg über die [[Energiebilanz]] ist schneller, liefert aber keine Informationen zu den Zwangskräften ([[Normalkraft]] und [[Gleitreibung|Haftreibungskraft]])


:<math>\dot W_G + \dot W_{kin} + \dot W_{rot} = 0</math>
:<math>\dot W_G + \dot W_{kin} + \dot W_{rot} = 0</math>
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und daraus die gesuchte Formel.
und daraus die gesuchte Formel.


5. Die Kugel wird ums stärker beschleunigt, je weniger der Faktor ''k'' von eins abweicht, je grösser das Verhältnis des Massenträgheitsmoment zu Masse mal Quadrat des Abrollradius ist
5. Die Kugel wird ums stärker beschleunigt, je weniger der Faktor ''k'' von eins abweicht, je grösser das Verhältnis des Massenträgheitsmoment zu Masse mal Quadrat des Abrollradius ''r'' ist


:<math><math>k = 1 + \frac {2 R^2}{5 r^2}</math></math>
:<math>k = 1 + \frac {2 R^2}{5 r^2}</math>


Die Kugel ist somit um so schneller, je kleiner die vom U-Profile gebildete "Spurweite" ist.
Die Kugel ist somit um so schneller, je kleiner die vom U-Profil gebildete "Spurweite" ist.


'''[[Rollkörper auf schiefer Ebene|Aufgabe]]'''
'''[[Rollkörper auf schiefer Ebene|Aufgabe]]'''

Version vom 12. Mai 2007, 09:44 Uhr

Auf den Rollkörper wirken nur das Gravitationsfeld und die Unterlage ein. Die Wirkung des Gravitationsfeldes (Stärke der Impulsquelle) heisst Gewichtskraft. Die Wirkung der Unterlage kann in eine Normalkraft und eine Haftreibungskraft zerlegt werden (die Rollreibung würde ein zusätzliches Drehmoment erzeugen).

1.

Schnittbild (free body diagram)

Das Schnittbild zeigt die drei Kräfte, die auf den Rollkörper einwirken.

2. In der Ebene kann ein starrer Körper nur zwei "Sorten" Impuls und eine "Sorte" Drehimpuls mit der Umgebung austauschen. Kombiniert man die Bilanzgesetze mit den zugehörigen kapazitiven Gesetze erhält man die Grundgesetze der Mechanik

x-Impuls: [math]F_G \sin \beta - F_H_R = \dot p_x = m \dot v_x[/math]
y-Impuls: [math]F_G \cos \beta - F_N = \dot p_y = 0[/math]
z-Drehimpuls: [math]F_H_R \cdot r = \dot L_z = J_z \dot \omega_z[/math]

Die y-Bilanz muss beigezogen werden, wenn man prüfen will, ob die Bedingung bezüglich Rollen (maximal mögliche Haftreibungskraft) nicht verletzt wird. Nachfolgend werden die Indices weggelassen.

3. Die Rollbedingung verlangt, dass die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes gleich Winkelgeschwindigkeit mal Abrollradius ist. Leitet man diese Beziehung nach der Zeit ab, erhält man die analoge Aussage bezüglich Beschleunigung und Winkelbeschleunigung. Damit reduziert sich das Gleichungssystem auf

x-Impulsbilanz: [math]mg\sin \beta -F_H_R = m \dot v[/math]
z-Drehimpulsbilanz: [math]F_H_R \cdot r = J \dot \omega = \frac {J}{r } \dot v[/math]

oder aufgelöst nach der Beschleunigung des Massenmittelpunktes

[math]\dot v = \frac {g}{k} \sin \beta[/math] mit dem Faktor [math]k = 1 + \frac {J}{mr^2}[/math]

Setzt man den Faktor k gleich eins, erhält man die Beschleunigung eines reibungsfrei gleitenden Körpers.

4. Der Weg über die Energiebilanz ist schneller, liefert aber keine Informationen zu den Zwangskräften (Normalkraft und Haftreibungskraft)

[math]\dot W_G + \dot W_{kin} + \dot W_{rot} = 0[/math]
[math]mg\dot h + mv\dot v + J\omega\dot\omega = 0[/math]

Hier ist die Geschwindigkeit gleich minus Änderungsrate der Höhe mal Sinus des Neigungswinkels. Zusammen mit der Rollbedingung erhält man

[math]mg\sin \beta\dot v = m v\dot v + \frac {J}{mr^2} v\dot v[/math]

und daraus die gesuchte Formel.

5. Die Kugel wird ums stärker beschleunigt, je weniger der Faktor k von eins abweicht, je grösser das Verhältnis des Massenträgheitsmoment zu Masse mal Quadrat des Abrollradius r ist

[math]k = 1 + \frac {2 R^2}{5 r^2}[/math]

Die Kugel ist somit um so schneller, je kleiner die vom U-Profil gebildete "Spurweite" ist.

Aufgabe