Kapazität und Induktivität

Lernziele

In diesem Kapitel lernen Sie

• dass das elektromagnetisches Feld durch die elektrische und die magnetische Feldstärke (in Funktion von Ort und Zeit) beschrieben wird
• dass das elektromagnetisches Feld Energie, Impuls, Drehimpuls und Entropie speichern und transportieren kann
• dass das elektromagnetische Feld mit einer Kraft auf einen geladenen Körper einwirkt
• wie sich das elektrische Feldstärke eines geladenen Körpers mit der Abstand abschwächt
• wie die magnetische Feldstärke mit dem Abstand zu einem langen, geraden, stromdurchflossenen Draht abnimmt
• wie die Spannung im homogenen elektrischen Feld mit der Feldstärke zusammenhängt
• wie man die Ladung und die Energie eines Kondensators berechnet
• wie Stromstärke und Spannung bei der Induktivität zusammen hängen
• wie die Energie einer stromdurchflossenen Spule berechnet wird
• wie sich bei einem RC-Glied die Spannung über dem Kondensator in der Zeit ändert
• wie sich bei einem CL-Glied die Spannung über dem Kondensator in der Zeit ändert

elektromagnetisches Feld

• Video 15:25

Elektrische Felder (Feldstärke E) und magnetische Felder (Feldstärke B) wirken mit einer Kraft F_L auf elektrisch geladene Körper (Ladung Q) ein

[math]\vec F_L = Q(\vec E + \vec v \times \vec B)[/math]

Das elektrische Feld beschleunigt einen geladenen Körper in Feldrichtung (positive Ladung) oder gegen die Feldrichtung (negative Ladung). Die Kraftwirkung des Magnetfeldes steht normal zur Ebene, die von der Geschwindigkeit und der magnetischen Feldstärke aufgespannt wird. Bewegt sich der Körper parallel zu den magnetischen Feldvektoren (Feldlinien), wirkt keine Kraft. Das Kraftgesetz legt auch die Einheiten für die beiden Feldstärken fest: Newton pro Coulomb für die elektrsiche Feldstärke und Newton mal Sekunde pro Newton und Meter. Die Einheit für die magnetische Feldstärke heisst auch Tesla (T).

Ein kleiner, geladener Körper mit der elektrischen Ladung Q₀ erzeugt ein radialsymmetrisches Feld der Stärke

[math]E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_0}{r^2}[/math] wobei [math]\epsilon_0[/math] = 8.854 x 10^-12 F/m die elektrische Feldkonstante ist. Der Abstand von der Körpermitte bis zum Punkt, an dem man die Feldstärke misst, wird hier mit r bezeichnet. Bei positiver Ladung zeigt die Feldstärke vom Körper weg, bei negativer Ladung zum Körper hin.

Ein gerader stromdurchflossener Draht (Stromstärke I₀) erzeugt ein magnetisches Wirbelfeld, d.h. die magnetischen Feldlinien bilden konzentrische Kreise um den Draht herum, wobei die Orientierung der Feldstärkevektoren B der rechten-Hand-Regel gehorcht. Die Stärke des Magnetfeldes nimmt umgekehrt proportional mit dem Abstand zum sehr langen Draht ab

[math]B = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I_0}{r}[/math] wobei [math]\mu_0[/math] = 4π x 10^-7 H/m die magnetische Feldkonstante ist. Der Abstand von der Körpermitte bis zum Punkt, an dem man die Feldstärke misst, wird hier mit r bezeichnet.

Das Produkt der beiden Feldkonstanten ist gleich dem Reziprokwert der Lichtgeschwindigkeit im Quadrat. In der Elektrizitätslehre ist die Lichtgeschwindigkeit eine universelle Naturkonstante, was Einstein zu folgendem Postulat bewogen hat: die Lichtgeschwindigkeit ist in jedem Bezugssystem gleich gross.

Ladung erzeugt ein elektrisches Feld und Strom erzeugt ein magnetisches Feld. Weil Strom und Ladung über die Bilanz miteinander verknüpft sind, bilden auch das elektrische und das magnetische Feld eine untrennbare Einheit, das elektromagnetische Feld. Dieses Feld ist wie die "Materie" ein eigenständiges physikalisches System, welches Energie, Impuls, Drehimpuls und Entropie speichern und transportieren kann.

Das elektrische Feld erzeugt eine Spannung, die im homogenen Feld wie folgt berechnet wird: die Spannung zwischen zwei Punkten ist gleich Feldstärke mal Abstand gemessen in Feldrichtung. Indem man das elektrische Feld mit dem Gravitationsfeld vergleicht, kann man diese Berechnungsformel gut verstehen

Gravitationsfeld [math]U_G = g\Delta h[/math]

elektrisches Feld [math]U = E\Delta s[/math]

Die elektrische Spannung wird durch ein elektrisches Feld erzeugt, das wiederum von einer elektrischen Ladung aufgebaut wird. Deshalb wird der Draht einer Hochspannungsleitung in einer fünfzigstel Sekunde einmal positiv und einmal negativ aufgeladen. Dabei entsteht ein starkes elektrisches Feld, das die umgebende Luftmoleküle oft sogar ionisieren kann. Energie wird aber erst transportiert, wenn gleichzeitig noch ein Strom durch den Leiter fliesst, der dann ein magnetisches Feld aufbaut. Nach den heutigen Vorstellungen wird die elektrische Energie nicht durch den Draht sondern durch das elektromagnetischen Feld transportiert.

Der Kondensator

• Video 11:41

Elektrisch geladene Kugeln speichern entsprechend dem gemessenen Potential Ladung und Energie. Die elektrische Ladung sitzt auf der Kugeloberfläche, die Energie im elektrischen Feld. Übersetzt man ein System bestehend aus zwei gegensätzlich geladenen Kugeln ins Flüssigkeitsbild, werden aus den Kugeln zylinderförmige Töpfe mit der Kapazität als Querschnittfläche und dem Potential als Füllhöhe. Die beiden Töpfe stehen in einem riesigen See drin, mit dem beliebig viel Ladung ausgetauscht werden kann. Der See, der das Nullniveau für die Füllhöhe festlegt, steht für die Erde.

Nun gehen wir von ungeladenen Kugeln aus, entnehmen der einen Kugel eine kleine Ladung und führen sie der Erde zu. Je mehr Ladung wir der Kugel entnommen haben, umso mehr Energie brauchen wir für die nächste Ladungsmenge. Führen wir der andern Kugel Ladung von der Erde her zu, machen wir die gleiche Erfahrung. Der Grund für diese Zunahme der Energie können wir direkt dem Flüssigkeitsbild entnehmen: je mehr Ladung ein Körper enthält, desto höher müssen wir die nächste Ladungsportion, die wir der Erde entnehmen, "pumpen". Beim negativ geladenen Körper gilt die spiegelbildliche Aussage: je weniger Ladung der Körper enthält, desto höher müssen wir die nächste Ladungsportion, die wir der Erde zuführen, "pumpen".

Die Analogie geht noch ein Stück weiter. Im Flüssigkeitsbild stellen wir uns eine Flüssigkeit vor, die im Schwerefeld der Erde gepumpt wird. Bei den elektrisch geladenen Kugeln "pumpen" wir gegen das elektrische Feld. Ersetzt man die Kugeln durch je zwei sehr grosse Platten, die durch ein Dielektrikum getrennt sind, wird die Analogie mathematisch noch stimmiger. Dazu verbinden wir die eine Platte mit der Erde. Die Ladung der andern Platte ist dann die Kondensatorladung, die wir ins Flüssigkeitsbild übertragen. Die nachfolgende Tabelle beschreibt die Analogie, wobei in der Elektirzitätslehre von einem Plattenkondensator ausgegangen wird.

Begriff	Gravitation	Elektrizität
Menge	schwere Masse m (kg)	elektrische Ladung Q(C)
Potential	UG = gh	U = Es
Kapazität	Cm = ρ A/g	C = εrε0A/d
gespeicherte Menge	m = CmUG	Q = CU
gespeicherte Energie	WG = mUG/ 2 = CmUG2/ 2 = Cm/ (2 m2)	WE = QU/ 2 = CU2/ 2 = C/ (2 Q2)

ε_r ist eine Zahl grösser 1 und heisst relative Permittivität (auch Dielektrizitätszahl); ε = 8.85 10^-12 F/m ist die elektrische Feldkonstante.

Kapazität und Induktivität

• Video 8:58

Kapazität und Induktivität sind die beiden Gegenspieler in dynamisch-elektrischen Systemen. Kapazität ist die Eigenschaft der Kondensatoren und Induktivität die der (idealen) Spulen. Beide Systeme können Energie speichern, wobei die Energie beim Kondensator im elektrischen und bei der Spule im magnetischen Feld gespeichert wird. Die konstitutiven Gesetze für die beiden linearen Systeme lauten

Kapazität [math]I = C\dot U[/math] aus [math]Q = CU[/math]

Induktivität [math]U = L\dot I[/math]

Kapazitäten werden in Farad (F) und Induktivitäten in Henry (H) gemessen. Die kapazitiv gespeicherte Energie ist proportional zur Ladung im Quadrat und die induktiv gespeicherte Energie proportional zur Stromstärke im Quadrat

Kapazität [math]W_C = \frac{Q^2}{2C} = \frac{CU^2}{2}[/math]

Induktivität [math]W_L = \frac{LI^2}{2}[/math]

Sowohl Farad als auch Henry sind recht grosse Einheiten. Superkondensatoren (Supercaps) können Kapazitäten von Kilofarad (kF) erreichen, wobei die Spannung nur einige wenige Volt betragen darf.

RC-Glied

• Video 12:00

Ein geladener Kondensator, der über einen Widerstand entladen wird, kann mit einem gefüllten Topf verglichen werden, aus dem die Flüssigkeit laminar durch ein horizontal ausgerichtetes Rohr abfliesst. Der elektrische Stromkreis sei so auf Erde geschaltet, dass die eine Seite des Kondensators andauernd das Potential null hat. Die Kondensatorladung entspricht dann dem Volumen, die Spannung dem Überdruck beim Boden des Topfs und der Widerstand dem Strömungswiderstand im Abflussrohr. Denkt man sich einen kleinen Drucksensor, der im Topf bis zum Boden eingetaucht und dann durch das Abflussrohr geführt wird, würde man beim Abtauchen einen Druckanstieg und längs des Abflussrohres einen Druckabfall bemerken. Genauso verhält es sich beim elektrischen Analogon. Geht man vom geerdeten Teil des Kondensators aus, steigt das Potential bis zum Maximalwert beim andern Teil des Kondensators an. Das Potential nimmt dann längs des Widerstandes wieder ab. Der Druck beim Gefässboden und das Potential auf dem zweiten Teil des Kondensators nehmen infolge des Entladevorgangs ab. Die Aussage, wonach der hydrostatische Druckaufbau im Topf immer gleich dem Druckabbau im Rohr bzw. die Spannung über dem Kondensator gleich der Spannung über dem Widerstand ist, bleibt bestehen.

Nun formulieren wir die Bilanzgleichung bezüglich dem nicht geerdeten Teil des Kondensators

[math]-I = \dot Q[/math]

Das Minuszeichen hängt von der Wahl des "Strompfeils" ab. Wenn wir die Stromstärke durch den Widerstand als positiv annehmen, dann müssen wir diese Stromstärke in der Bilanz negativ einsetzen. Nun ersetzen wir die Stromstärke durch Spannung geteilt durch Widerstand

[math]I = \frac{U}{R}[/math]

und die Kondensatorladung durch die Kapazität mal Spannung

[math]Q = CU[/math] oder [math]\dot Q = C\dot U[/math]

und multiplizieren die Gleichung mit dem Widerstand

[math]-U = RC\dot U[/math]

Das Produkt aus Widerstand und Spannung hat die Einheit Sekunde. Wir bezeichnen diese Grösse deshalb als Zeitkonstante mit dem Formelzeichen τ

[math]\tau\dot U+U=0[/math]

Damit erhalten wir eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstantem Koeffizienten. Wie man diese Gleichung löst, lernen Sie später in der Mathematik. Die Lösung dieser Gleichung für die Spannung U

[math]U(t)=U_0 e^{-t/\tau}[/math]

ist einfach zu interpretieren: weil die Spannung gleichzeitig proportional zur Kondensatorladung und proportional zur Änderungsrate ist, muss der Entladevorgang mit der Zeit immer schwächer werden.

Die Exponentialfunktion hat eine interessante Eigenschaft. Würde der Strom so stark fliessen, wie zu Beginn des Entladevorgangs, wäre der Kondensator nach einer Zeitkonstanten vollständig entladen. Im Graphen für die Spannungs-Zeit-Funktion bedeutet dies, dass die Tangente an die Kurve die Zeitachse nach einer Zeitkonstante schneidet. Diese Konstruktion funktioniert zu jedem Zeitpunkt. Die eigentliche Spannung ist nach einer Zeitkonstante auf den e-ten Teil abgesunken.

Dieses einfache System sollten Sie in kurzer Zeit und mit wenig Aufwand mit Berkeley Madonna selber modellieren können (versuchen Sie es!). Sie werden dann erkennen, dass die Rückkopplung im Modell (feedback loop) von der Ladung über Spannung und Stromstärke zur Änderungsrate der Ladung die Differentialgleichung erzeugt.

LC-Glied

• Video 14:18

Zwei Gefässe, die unterschiedlich hoch mit Wasser gefüllt sind, gleichen ihre Füllhöhe an, sobald man sie miteinander verbindet. Modelliert man dieses System mit Berkeley Madonna, sieht man, dass sich die beiden Füllhöhen exponentiell mit der Zeit angleichen, falls das Widerstandsgesetz linear modelliert wird. Verkleinert man den Widerstand, wird die Zeitkonstante immer kleiner, d.h. der Prozess läuft immer schneller ab. Um eine Schwingung, wie sie beim U-Rohr zu beobachten ist, zu erzeugen, brauchen wir aber ein weiteres Element, die Induktivität, d.h. wir müssen die Trägheit der Flüssigkeitssäule dazu nehmen. Ein entsprechendes Modell mit Berkeley Madonna haben Sie oder werden Sie noch im Praktikum erstellen.

Eine analoge Aussage gilt auch in der Elektrizitätslehre: ein Schwingkreis besteht aus Kondensator (Kapazität C, Einheit Farad F) und Spule (Widersand R, Einheit Ohm und Induktivität L, Einheit Henry). Nun erden wir den einen Teil des Kondensators und formulieren für den andern Teil die Bilanzgleichung

[math]-I = \dot Q[/math]

Ladung und Stromstärke können wir wie beim RC-Glied durch die Spannung über dem Kondensator und die Spannung über dem Widerstand ersetzen

[math]-\frac{U_R}{R} = C\dot U_C[/math]

Die beiden Spannungen sind aber nicht mehr gleich gross. Zudem stellt sich die Frage, wie wir hier das induktive Gesetz [math]U_L = L\dot I[/math] einbringen können. Dazu leiten wir die Bilanz nach der Zeit ab, d.h. wir bilden die Änderungsrate der Bilanzgleichung

[math]-\dot I = \ddot Q[/math]

ersetzen die Ladung über das kapazitive Gesetz und die Änderungsrate des Stromes über das induktive Gesetz

[math]-\frac{U_L}{L} = C\ddot U_C[/math]

Damit auf beiden Seiten die gleiche Spannung steht, ersetzen wir die Spannung über der Induktivität durch [math]U_C = U_R+U_L[/math]

[math]U_L = U_C-U_R = U_C-RI=U_C+RC\dot U_C [/math]

Bei der zweiten Umformung ist die Stromstärke über die Bilanz durch die Kapazität ersetzt worden. Zusammenfassend erhalten wir

[math]U_C+RC\dot U_C + LC\ddot U_C = 0[/math]

Diese Herleitung, die sich stark an der Modellbildung orientiert, müssen Sie nicht bis ins letzte Detail begriffen haben. Zudem geht man in der Elektrotechnik direkt von der Spannung aus, was die Herleitung vereinfacht. Aber Sie sollten verstehen, dass ein systemdynamisches Modell, das über zwei "Topfstrukturen" hinweg rückkoppelt, schwingungsfähig ist und mathematisch zu einer Differentialgleichung zweiter Ordnung führt.

Wie in der Hydraulik soll hier nur die Lösung für den ungedämpften Schwingkreis formuliert werden

[math]U_C = U_0 cos(\omega t)[/math]

wobei ω Kreisfrequenz heisst und um 2π grösser ist als die Frequenz oder der Reziprokwert der Schwingungsdauer (Periode). Für die Kreisfrequenz findet man

[math]\omega^2 = \frac{1}{LC}[/math]

und somit für die Schwingungsdauer

[math]T = 2\pi\sqrt{LC}[/math]

Kontrollfragen

1. Mit welchen Einheiten werden Kapazität, Widerstand, Induktivität und elektrische Feldstärke gemessen?
2. Wie bestimmt man mit Hilfe der Kapazität und der Spannung die Kondensatorladung?
3. Wann misst man über einer Induktivität (ideale Spule) eine Spannung und wie ist die gerichtet?
4. Wie berechnet man die induktiv gespeicherte Energie einer Spule?
5. Wie berechnet man die Zeitkonstante bei einem RC-Glied?
6. Was sagt uns die Zeitkonstante?
7. Wie berechnet man die Schwingungsdauer eines idealen Schwingkreises (nur Kapazität und Induktivität, kein Widerstand)?
8. Welche Einheit ergibt sich aus dem Produkt von Ohm und Farad?
9. Welche Einheit ergibt sich aus dem Produkt von Henry und Farad?

Antworten zu den Kontrollfragen

1. Farad (F), Ohm (Ω), Henry (H), N/C oder V/m
2. Die Ladung auf dem Kondensator ist gleich dem Produkt aus Kapaztität und Spannung (Flüssigkeitsbild).
3. Bei einer Induktivität miss man nur dann eine Spannung, wenn sich die Stromstärke mit der Zeit ändert. Nimmt der Betrag der Stromstärke zu, verhält sich die Spule wie ein Energieverbraucher (Magnetfeld wird stärker und nimmt Energie auf). Nimmt der Betrag der Stromstärke ab, verhält sich die Spule wie eine Energielieferant (Magnetfeld wird schwächer und gibt Energie ab).
4. Die induktiv gespeicherte Energie einer Spule ist gleich Induktivität geteilt durch 2 mal die Stromstärke im Quadrat.
5. Die Zeitkonstante ist gleich dem Produkt aus Widerstand R und Kapazität C.
6. Die Zeitkonstante sagt uns, wann sicht die Stromstärke oder die Spannung auf den e-ten Teil abgeschwächt haben. Teilt man die Ladung durch die Zeitkonstante, bekommt man die anfängliche Stärke des Entladestromes.
7. Die Schwingungsdauer eines idealen Schwingkreises ist gleich zwei mal pi mal die Wurzel aus dem Produkt von Kapazität und Induktivität.
8. Aus der Berechungsformel für die Zeitkonstante folgt, dass das Produkt aus Ohm und Farad gleich Sekunde sein muss
9. Aus der Berechungsformel für die Schwingungsdauer folgt, dass das Produkt aus Henry und Farad gleich Sekunde im Quadrat sein muss.

Materialien

Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014

Physik und Systemwissenschaft in Aviatik