Dynamischer Auftrieb

Wieso ein Flugzeug fliegt

Ein Körper, der spezifisch schwerer ist als Luft, kann unter der alleinigen Wirkung des statischen Auftriebs nicht fliegen. Will man einen solchen Körper zu einem fliegenden Objekt machen, muss der gravitativ zuströmende z-Impuls (positive z-Richtung nach unten) vollständig über die Luft abfliessen können. Diese gelingt durch eine geschickt geführte Umströmung der Flügel (Flugzeug) oder der Rotoren (Hubschrauber).

Phänomenologische Betrachtung

Durch Experimente an verschieden geformten Flügeln kann man zeigen, dass die resultierende Kraft auf einen Flügel proportional zur Dichte der kinetischen Energie des anströmenden Mediums ist. Grösse und Richtung dieser Kraft hängen von der Form des Flügels und der Richtung der Anströmung ab. Wie zu erwarten, ist der Betrag dieser Kraft proportional zur Flügelfläche.

Man kann die resultierende Kraft der Luft (ohne statischen Auftrieb) in einen Anteil paralle zur Anströmung und in einen Anteil normal zur Anströmung zerlegen. Den parallelen nennt man Widerstand, den normalen Auftrieb. Die Parametrisierung erfolgt über zwei Kennzahlen, den Widerstandsbeiwert c_W und den Auftriebsbeiwert c_A

[math]F_W = c_W A_n \rho_W = \frac {\rho}{2} c_W A_n v^2[/math]

[math]F_A = c_A A_p \rho_W = \frac {\rho}{2} c_A A_p v^2[/math]

A_n misst den Flügelquerschnitt normal zur Anströmung (Querschnittsfläche), A_p parallel zur Anströmung.

Die Leistung der Widerstandskraft ist gleich F_W v, die der dynamischen Auftriebskraft gleich Null. Die phänomenologische Formel für den Strömungswiderstand kann deshalb über eine Energiebetrachtung hergeleitet werden.

Diese einfache, auf Experimenten und einfachen Energieüberlegungen beruhende Abschätzung der Kraft auf einen Flügel nützt wenig, wenn man Flügelprofile optimieren will. In den Anfängen der Fliegerei, als man noch keine Computer zur Verfügung hatte, modellierte man die Flügelströmung als laminare Strömung eines nicht reibungsbehafteten, inkompressiblen Fluids. Diese zweidimensionale Potezialströmung lässt sich in die Ebene der komplexen Zahlen eingebettet und kann dann mit Hilfe von konformen Abbildungen untersucht werden. Heute kann jeder, der die zugehörige Software besitzt, eine Flügelströmung mittels eines CFD-Programms (Computational Fluid Dynamics) modellieren.

Reibungsfreie Umströmung

Bei reibungsfreier Umströmung nimmt der Spannungszustand an der Körperoberfläche eine isotrope Form mit dem Druck als skalare Variable an. Die Berechnung der zugehörigen Oberflächenkraft reduziert sich dann auf das Integral über einen Skalar

[math]\vec F = \int p d\vec A[/math]

Man kann zeigen, dass diese Kraft bei einer reibungs- und wirbelfreien Umströmung, einer sogenannten Potenzialströmung, verschwindet.

Gesetz von Bernoulli

Das Gesetz von Bernoulli, das besagt, dass längs des Stromfadens einer reibungsfrei strömenden, inkompressiblen Flüssigkeit die Summe aus Druck, Dichte der kinetische Energie und Dichte der potenziellen Energie konstant bleibt, wird oft als Argument für das Zustandekommmen des dynamischen Auftriebes gebraucht. Nun kann man aber das Gesetz von Bernoulli nicht einfach auf einen Punkt über dem Flügel und einen Punkt unterhalb desselben anwenden. Auch wenn man die Strömung als reibungsfrei und die Luft als inkompressibel ansieht, gehören diese beiden Punkte nicht zum gleichen Stromfaden.

Das Gesetz von Bernoulli ist im ganzen Gebiet einer reibungsfreien strömenden, inkompressiblen Flüssigkeit anwendbar, falls die Strömung wirbelfrei ist, falls es sich um eine Potenzialströmung handelt. Wird aber ein Körper von einer Potenzialströmung umflossen, verschwindet - wie schon erwähnt - die gesamte Strömungskraft.

Satz von Kutta-Zhukhovski

Macht man ein zweidimensionales Modell der Flügelströmung, ist das durchströmte Gebiet nicht mehr einfach zusammenhängend (der Flügelquerschnitt bildet ein Loch im Strömungsgebiet). Zerlegt man nun die Strömung um den Flügel in eine Potenzialströmung und eine Wirbelströmung, darf der Satz von Bernoulli längs eines Stromfadens der Wirbleströmung angewendet werden.

Der Satz von Kutta-Zhukhovski liefert dann die Formel für die Kraft pro Länge

[math]F_A = \rho \Gamma[/math]

wobei mit Γ die Zirkulation (Einheit: m²/s), ein Wegintegral über die Strömungsgeschwindigkeit, gemeint ist

[math]\Gamma = \int \vec v \bullet d\vec s[/math]

induzierte Zirkulation

Wird ein Flügel laminar umströmt, bildet sich nährungsweise eine Potenzialströmung aus. Die Strömungskraft ist klein und es wirkt kein dynamischer Auftrieb. Die Asymmetrie des Flügelprofils wird durch die Strömung kompensiert, indem sich der hintere Staupunkt (Gebiet mit verschwindend kleiner Strömung) auf der Oberseite des Flügelprofils befindet.

Wird die Strömung stärker, bildet sich an der Hinterkante des Flügels eine Wirbelstrasse aus. Diese Wirbelstrasse trennt das obere und untere Strömungsgebiet. Nun kann man die Strömung ausserhalb der Wirbelstrasse näherungsweise als Überlagerung einer Potenzial- mit einer Wirbelströmung betrachten und den Satz von Kutta-Zhukhovski anwenden. Die Wirbelströmung heisst induziert, weil sie erst mit der Bildung der Wirbelstrasse entsteht.

Mit diesem Strömungsmodell, so idealisert es auch sein mag (ausserhalb der Wirbelstrasse eine reibungsfreie Laminarströmung eines inkompressiblen Fluidums), können einige Phänomene erklärt werden

• Beim Überschreiten der kritischen Strömung entsteht auf der Piste eine Wirbelwalze.
• Nach den Wirbelsätzen von Helmholtz bildet die Zirkulation um den Flügel, die an den Flügelenden mitgeschleppten Wirbelzöpfe und die Wirbelwalze auf der Startpiste einen geschlossenen Wirbelzopf.
• Ein Veränderung in der Wirbelstrasse in Form eines Strömungsabrisses (englisch: stall) infolge Vergrösserung des Anstellwinkels oder sehr hohe Geschwindigkeit kann den dynamischen Auftrieb dramatisch vermindern.