Lösung zu Volumentransport

Volksschule

1. Der Brunnenmeister spricht vielleicht von Minutenlitern, korrekt ist aber Liter pro Minute.
   1. Pro Sekunde fliessen vier Deziliter durch die Leitung.
   2. Es dauert 13 Minuten und 30 Sekunden, bis 324 Liter durch die Leitung geflossen sind.
2. Dem Teich müssen 6000 Liter zugeführt werden.
   1. Durch die Zuleitung müssen 60 Liter pro Minute fliessen, damit in 100 Minuten 6000 Liter geflossen sind.
   2. Weil nach der ersten Stunde bloss 1200 Liter durch die Leitung geflossen sind, müssen in der zweiten noch 4800 geliefert werden. Dazu benötigt man einen Wasserstrom von 80 Litern pro Minute.

Mittelschule

1. Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit (die Volumenstromdichte) ist gleich Volumenstromstärke durch Querschnitt [math]v = \frac {I_V}{\pi d^2/4} = 4.13 m/s[/math]
2. Weil das Produkt aus Querschnitt und mittlerer Strömungsgeschwindigkeit konstant bleibt, verhalten sich die Geschwindigkeiten reziprok zum Quadrat der Durchmesser. Im engeren Rohr strömt das Wasser im Mittel um 58.6 % schneller, weil das Quadrat des Durchmesserverhältnisses gleich 1.586 ist.
3. Das Volumenstromstärke-Zeit-Verhalten ist linear, die Stärke des Volumenstromes ändert sich linear in der Zeit.
   1. Nach dreissig Minuten hat der Volumenstrom ein Stärke von 16 l/min + 0.5 dl/min² * 30 min = 31 l/min erreicht.
   2. In dieser halben Stunde sind 23.5 l/min * 30 min = 705 Liter durch die Leitung geflossen.
   3. Man sollte die Funktion auf möglichst viele Arten wie zum Beispiel [math]I_V = \alpha + \beta\cdot t [/math] schreiben, damit man die Struktur und nicht einfach die Buchstaben sieht.

Hochschule

1. Die Volumen-Zeit-Funktion ist das unbestimmte Integral der Volumenstromstärke-Zeit-Funktion.
   1. [math]V_{trans} = At+\frac{B}{\omega}\sin(\omega\cdot t) + C[/math]
   2. Die Volumen-Zeit-Funktion ist monoton steigend, falls der Strom nie zurück fliesst, wenn also B nicht grösser als A ist.
2. Die Volumenstromstärke nimmt exponentiell ab: [math]I_V = I_{V0}e^{-t/\tau}[/math] mit [math]\tau = -\frac {60 s}{\ln(0.99)}[/math] = 5970 s.
   1. [math]I_V = I_{V0}e^{-14400/5970[/math]= 0.717 l/min
   2. t = -τ ln(0.5) = 4138 s.
   3. [math]V = \tau I_0(1-e^{-3600/5970})[/math] = 0.36 m³
   4. [math]t = -\tau \ln(1-\frac{V}{\tau I_{V0}})[/math] = 8367 s

Aufgabe