Kontinuitätsgleichung

Unter dem Begriff Kontinuitätsgleichung versteht man einerseits die Bilanzgleichung für eine mengenartige Grösse (meistens für das Volumen) bezüglich eines stationären Rohrströmung. Andererseits meint man mit dem Begriff Kontinuitätsgleichung die lokale Bilanzgleichung für eine mengenartige Grösse.

Rohrströmung

Die Volumenstromstärke in einem Rohr mit veränderlichem Durchmesser ist bei Durchströmung mit einem inkompressiblen Fluid konstant. Verringert sich der Durchmesser, so muss sich die Fliessgeschwindigkeit erhöhen, ebenso im umgekehrten Fall:

[math] I_{V1} = I_{V2} \Rightarrow A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2[/math]

Im Falle eines Gases nimmt man die Masse statt des Volumens als Bilanzgrösse. Weil das Rohr infolge der Kompression des Gass nun eine Kapaziät bezüglich der Grösse Masse besitzt, gilt die Kontinuiätsgleichung nun nur noch für stationäre Strömungen

[math]I_{m1} = I_{m2} \Rightarrow \rho_1 \cdot A_1 \cdot v_1 = \rho_2 \cdot A_2 \cdot v_2[/math]

Längs eines stromdurchflossenen Drahtes gilt die analoge Überlegung für die elektrische Ladung

[math]I_1 = I_2 \Rightarrow A_1 \cdot j_1 = A_2 \cdot j_2[/math]

j steht für die Stromdichte der elektrischen Ladung. Analog dazu kann man die Strömungsgeschwindigkeit als Volumenstromdichte und das Produkt aus Dichte und Strömungsgeschwindigkeit als Massenstromdichte bezeichnen.

lokale Bilanzgleichung

Die Bilanz einer mengenartigen Grösse lässt sich statt bezüglich eines Systems auch lokal, also bezüglich eines ausgewählten Punktes innerhalb eines Kontinuums, formulieren:

• Die Änderungsrate der Dichte und die Divergenz über die Stromdichte sind gleich der Summe aus Quellendichte und Dichte der Erzeugungsrate

Diese Bilanzgleichung für die Menge M wird in der Literatur auf drei Arten formalisiert:

• Schreibweise aus der Vektoranalysis: [math]\dot \rho_M + div(\vec j_M) = \sigma_M + \pi_M[/math]

• Schreibweise aus der Physik: [math]\dot \rho_M + \vec{\nabla} \cdot \vec j_M) = \sigma_M + \pi_M[/math]

• Einstein-Notation: [math]\rho_{M_{,t}} + j_{M_{i,i}} = \sigma_M + \pi_M[/math] mit i = x, y oder z

In der Einstein-Notation, die in der Tensoranalysis weit verbreitet ist, bedeutet ein Komma vor dem Index, dass die Grösse nach der indizierten Variablen abzuleiten ist. Zudem gilt die Konvention, wonach über gleiche Indices zu summieren ist. Nachfolgend wird nur noch von der Einstein-Notation gebrauch gemacht.

elektrische Ladung

Die elektrische Ladung ist eine skalare, erhaltene Grösse, die weder quellenartig noch feldartig ausgetauscht werden kann. Folglich reduziert sich die Kontinuitätsgleichung für die Ladung auf zwei Terme

[math]\dot \rho_{Q_t} + j_{i,i} = 0[/math]

In einem elektrischen Leiter die (negative) Divergenz der Stromdichte zu einer Änderungsrate der Ladungsdichte. Weil ein Leiter kaum Ladung zu speichern vermag, lautet die Kontinuitätsgleichung oft nur

[math]j_{i,i} = 0[/math]

Das Strömungsfeld der elektrischen Ladung ist dann quellenfrei.

Masse

Die Masse ist in der nichtrelativistischen Physik eine skalare, erhaltene Grösse, die weder quellenartig oder feldartig ausgetauscht werden kann. Folglich reduziert sich die Kontinuitätsgleichung für die Ladung auf zwei Terme

[math]\dot \rho_t} + j_{M_{i,i}} = 0[/math]

Zudem kann die Masse nur konvektiv, also zusammen mit dem Volumen ausgetauscht werden. Die Massenstromdichte lässt sich deshalb mit Hilfe der Strömungsgeschwindigkeit, der Volumenstromdichte, formulieren

[math]\dot \rho_t} + (\rho v_i)_{,i}} = \dot \rho_t} + \rho,i v_i + \rho v_{i,i}= 0[/math]