Lösung zu Aviatik 2006/3

1. Das Flugzeug befindet sich in einem Gleichgewichtszustand (der Impuls des Flugzeuges ändert sich nicht). Folglich ist die Summe über alle Kräfte gleich Null.

1. In vertikaler Richtung kompensiert die Auftriebskraft die Gewichtskraft (der z-Impuls fliesst vom Gravitationsfeld her zu und wird direkt an die Luft abgegeben. Somit gilt [math]F_A = F_G = mg [/math] = 4.41 MN.
2. In horizontaler Richtung kompensieren die Triebwerke den Luftwiderstand, d.h. die Summe über alle vier Schubkräfte entspricht dem Luftwiderstand [math]F_W = 4 F_S[/math] = 1.1 MN.
3. Die Leistung der Luftwiderstandskraft ist entgegengesetzt zur Leistung der Schubkräfte [math]P(F_W) = -4 P(F_S) = -F_W\cdot v[/math] = -275 MW (die Schubkräfte und somit auch die Leistung dürften bei dieser Geschwindigkeit um einiges kleiner sein).

2. Diese Aufgabe gilt der Anwendung des Gesetzes von Bernoulli

1. Das Gesetz von Bernoulli liefert für das Staurohr [math]\Delta p = \frac {\rho}{2}v^2[/math]. Also gilt [math]v = \sqrt{\frac{2 \Delta p}{\rho}}[/math] = 42.4 m/s.
2. Wendet man das Gesetz von Bernoulli auf das Venturirohr an, erhält man die Beziehung [math]\Delta p = \frac {\rho}{2}(v_2^2 - v_1^2)[/math]. Nun gilt zusätzlich die Volumenerhaltung längs des Stromes [math]I_V = v_1 A_1 = v_2 A_2[/math]. Setzt man die zweite Gleichung in die erste ein und löst dann nach der Druckdifferenz auf, folgt [math]v = \sqrt{\frac{2 \Delta p}{\rho(A_1^2/A_2^2 -1)}}[/math]. Damit die Geschwindigkeit bei dreifacher Druckdifferenz gleich gross ist, muss der Klammerausdruck unter der Wurzel gleich drei sein. Daraus folgt ein Querschnittverhältnis von 2:1.
3. Die Stärke des Massenstromes ist gleich Dichte mal Volumenstromstärke oder [math]I_m = \rho v_1 A_1 [/math] = 83 g/s. Der Eintrittsquerschnitt des Venturirohrs beträgt 19.6 cm².

3. In einer (Momentan-)Bilanz wird die Summe über alle Stromstärken gleich der Änderungsrate des Inhaltes gesetzt. Weil der Impuls leitungsartig über die Oberfläche, quellenartig über das Gravitationsfeld und konvektiv zusammen mit dem Massenstrom ausgetauscht werden kann, sieht die Impulsbilanz etwas komplizierter aus.

1. Die Impulsbilanz in vertikaler Richtung umfasst den Luftwiderstand, die Gewichtskraft und einen konvektiven Impulsstrom [math]F_W +F_G + v_m I_m = \dot p[/math]. Die Geschwindigkeit des Massenstromes ist gleich Geschwindigkeit der Rakete v minus Ausströmgeschwindigkeit c. Der Impulsinhalt darf als Masse mal Geschwindigkeit geschrieben werden. Somit gilt [math]F_W - mg + (v - c) I_m = \dot m v + m \dot v[/math]. Kombiniert man die Impulsbilanz mit der Massenbilanz [math]I_m = \dot m[/math] folgt [math]F_W - mg - c I_m = m \dot v[/math]. Diese Gleichung sieht aus wie das Aktionsprinzip von Newton, ist aber nicht direkt daraus ableitbar.
2. Die Impulsänderungsrate ergibt sich direkt aus der Impulsbilanz und beträgt bei einer Massenstromstärke von -2.36 kg/s 17.7 N.
3. Die Beschleunigung ist hier nicht gleich der Summe über alle Impulsströme dividiert durch die Masse. Die Beschleunigung lässt sich am einfachsten aus der letzten Umformung der Impulsbilanz bestimmen [math]\dot v = -g - \frac {F_W - c I_m}{m}[/math] = 130 m/s². Luftwiderstand und Stärke des Massenstromes nehmen hier negative Werte an.