Lösung zu U-Rohr mit Federn

1. Rohrlänge

Die Schwingungsdauer T hängt von der Induktivität und der Kapazität des U-Rohrs ab:

[math]T = 2 \pi \sqrt {L_V \ C_V} = 2 \pi \sqrt {\frac {l} {2 g}} [/math]

Wir lösen die Formel für T nach l auf und erhalten:

[math]l = 2 g \left( \frac {T} {2 \pi}\right)^2 = 0.5 \ m[/math]

2. Induktivität

Die Induktivität des U-Rohrs beträgt:

[math]L_V = \frac {\rho l} {A} = 1.13 \cdot 10^8\ kg/m^4 [/math]

3. Einzelkapazität mit Federn

Durch die Feder an jedem Rohrende verkleinert sich die Kapazität. Es braucht mehr Druck, um das gleiche Volumen ins Rohrende zu drücken als ohne Feder, oder anders gesagt: Man kann bei gleichem Druck weniger Volumen hineindrücken als ohne Feder. Die Gesamtkapazität des U-Rohrs ist die Serieschaltung der beiden Einzelkapazitäten am Rohrende. Bei einer Serieschaltung von Kapzitäten addieren sich ihre Kehrwerte:

[math]\frac {1} {C_{Vtot}} = \frac {1} {C_{Vlinks}} + \frac {1} {C_{Vrechts}}, \quad C_{Vtot} = \frac {C_{Vlinks}} {2} \quad [/math] , weil beide Einzelkapazitäten gleich sind: C_Vlinks = C_Vrechts

Wenn die Schwingungsdauer sich halbiert (bei gleicher Induktivität), ist die Kapazität nur noch 1 Viertel so gross wie ohne Federn. Also erhalten wir:

Die U-Rohrkapazität mit Federn bestimmen wir aus der Schwingungsdauer, wieder mit der obigen Formel:

[math] C_{Vlinks mit Feder} = 2 \ C_{Vtot mit Feder} = \frac {2 \ \left( \frac {T_{mit Feder}} {2 \pi} \right)^2} {L_V} = 0.0111 \ m^3/Pa [/math]

Aufgabe