Lösung zu Fallende Kugel

Der statische Auftrieb wird vernachlässigt, weil dieser kaum ins Gewicht fällt und in der Dichte eines Stoffes schon berücksichtigt ist. Kugelvolumen und -oberfläche: [math]\displaystyle{ V = \frac {4 \pi} {3} r^3, A = 4 \pi r^2 }[/math].

1. Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn der Impuls der Kugel nicht mehr zunimmt, d.h. [math]\displaystyle{ \dot p = 0 }[/math]. Dann sind die Impulsströme gleich: Der gravitativ zufliessende Impuls wird vollständig an die Luft abgeleitet. Die Gewichtskraft und der Strömungswiderstand halten die Kugel im Gleichgewicht [math]\displaystyle{ F_G-F_W=0 }[/math]. Man ersetzt die Gewichtskraft durch das Produkt aus Dichte des Materials, Volumen der Kugel und Gravitationsfeldstärke, also [math]\displaystyle{ F_G =\rho V g }[/math], sowie den Luftwiderstand durch die entsprechenden Einflussgrössen, nämlich [math]\displaystyle{ F_W = \frac {1} {2} \rho_L v^2 c_W A }[/math]. Nun löst man die erhaltene Gleichung nach v auf und gewinnt eine Formel für die Endgeschwindigkeit: [math]\displaystyle{ v = \sqrt {\frac {8 g}{3 c_W} \frac {\rho}{\rho_L}r} }[/math] = 175.8 m/s.
2. Die Beschleunigung ist: [math]\displaystyle{ a = \dot p / m = (F_G-F_W) / m = g - \frac {1} {2} \rho_L v^2 c_W A / m }[/math] [math]\displaystyle{ a = g - \frac {\rho_L A} {2 \rho V} v^2 c_W = g - \frac {3 \rho_L} {2 \rho r} c_W v^2 }[/math]. Bei der halben Endgeschwindigkeit beträgt der Luftwiderstand erst ein Viertel der Endgeschwindigkeit. Die resultierende Kraft beträgt folglich 75% der Gewichtskraft und die Beschleunigung beträgt 7.36 m/s².
3. Weil das Verhältnis von Dichte des Materials zu Dichte der Luft 15 mal kleiner geworden ist, muss der Durchmesser 15 mal grösser, also 1.5 m gross, gewählt werden.

Aufgabe