Hüpfender Tennisball

Ein Tennisball wird aus einer bestimmten Höhe über einem Betonboden losgelassen. Die nachfolgende Bewegung soll mit Hilfe eines eindimensionalen Modells simuliert werden.

Spezifikation

Die Tennisregeln der International Tennis Federation (ITF) schreiben für Bälle folgendes vor:

• Die äussere Hülle des Balles muss gleichförmig und nahtlos, seine Farbe weiss oder gelb sein.
• Der Ball muss diesen Anforderungen entsprechen und eine Masse von mehr als 56,7 g und weniger als 58,5 g aufweisen.
• Der Durchmesser muss mehr als 6,35 cm und weniger als 6,67 cm betragen.
• Es gibt mehrere spezifizierte Ballarten. Jeder Ball muss eine Sprunghöhe von mehr als 134,62 cm und weniger als 147,32 cm aufweisen, wenn er aus einer Höhe von 254 cm auf eine ebene, harte Fläche, z. B. Beton, fallen gelassen wird.

Aus diesen Regeln werden folgende Spezifikationen abgeleitet

• Masse 0.058 kg
• Radius 0.0325 m
• Widerstandsbeiwert 0.4
• Stosszahl 0.55

Modell

Systemdiagramm

Die Impulsbilanz bildet das Rückgrat dieses Modells zur eindimensionalen Translationsmechanik. Die positive Richtung zeige nach oben. Deshalb entzieht das Gravitationsfeld dem Tennisball mit der konstanten Rate F_G = m*g Impuls. Der Ball gibt mit zunehmender Geschwindigkeit immer mehr Impuls an die Luft ab. Ist die Geschwindigkeit negativ, führt die Luft Impuls zu. Um dieses Verhalten sauber zu modellieren, formulieren wir den Luftwiderstand statt mit dem Quadrat der Geschwindigkeit mit dem Produkt aus der Geschwindigkeit und ihrem Betrag

[math]F_W=\frac{\varrho_L}{2}c_WA\left|v\right|v[/math]

Der statische Auftrieb, der auch in Luft wirkt, ist hier nicht berücksichtigt bzw. mit der Masse des Balls verrechnet worden.

Die Geschwindigkeit eines Körper ist dynamisch durch den Quotienten aus Impuls und Masse festgelegt. Weil die Geschwindigkeit kinematisch als Änderungsrate des Ortes definiert ist, kann die Höhe mittels einer "Rohr-Topf-Anordnung" berechnet werden. In diesem Fall muss das Rohr (flow) in den Topf (Reservoir) hinein orientiert sein. Weil die positive Richtung nach oben zeigt, nimmt die Höhe zuerst bis zum Aufschlag ab.

Um den Aufschlag zu modellieren, wird zuerst eine positive Strecke (Delta_z)

Delta_z = if z>0 then 0 else -z

definiert. Die eigentliche Aufschlagdynamik basiert auf einer starken Feder, deren Federkonstante oder Richtgrösse D beim Entspannen um die Stosszahl kleiner als beim Zusammendrücken ist

FF = if v<0 then D*Delta_z else Stosszahl*D*Delta_z

Simulation

Höhe und Geschwindigkeit

Würde man den Tennisball im Vakuum fallen lassen, wäre die Beschleunigung betragsmässig gleich der Gravitationsfeldstärke. Die Geschwindigkeit des Balls würde jede Sekunde um 9.81 m/s abnehmen. Seine Endgeschwindigkeit wäre dann bei einer Fallhöhe von 2.54 m gleich

[math]v_e=\sqrt{2gh}[/math] = -7.06 m/s

was eine Fallzeit von

[math]t=\frac{v_e}{g}[/math] = 0.7196 s

ergäbe. Die Simulation liefert eine Endgeschwindigkeit von -6.96 m/s bei einer Fallzeit von 0.724 s. Der Unterschied rührt von der Wirkung des Luftwiderstandes. Der Luftwiderstand bewirkt auch, dass der Ball nach dem ersten Aufprall nur noch 131.7 cm hoch springt. Um die Forderung der ITF zu erfüllen, müsste die Stosszahl etwas erhöht werden.

Weil der Boden als harte, teilelastische Feder (Federkonstante 10 kN/m) modelliert worden ist, muss der Zeitschritt der Simulation sehr klein gewählt werden. Nimmt man einen Zeitschritt von 10 Mikrosekunden (0.00001 s), müssen 500'000 Schritte ausgeführt werden, wozu ein Laptop aus dem Jahre 2007 0.28 Sekunden benötigt.

Boden modellieren

Federkennlinie

Die Graphik zeigt das Kraft-Verformungs-Diagramm der teilelastischen Feder, mit welcher der Boden modelliert worden ist. Nimmt man die Hälfte der im ersten Aufschlag erzeugten Verformung von 0.016 m und dividiert diese 8 mm durch die Aufprallgeschwindigkeit von 7 m/s, erhält man für die Bremszeit etwa 1.1 Millisekunden. Diese Abschätzung zeigt, dass der Zeitschritt bis etwa auf eine Millisekunde angehoben werden darf, ohne dass die Genauigkeit der Rechnung leidet. In diesem Fall muss der Rechner "nur" 5000 Schritte ausführen.

Der Aufschlag am Boden könnte mit einem realistischeren Modell simuliert werden. Nur sind solche Modelle häufig komplex, rechenintensiv und nur unter grossem Aufwand zu validieren.