Lösung zu Kreisprozess mit Helium: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 1. April 2008, 09:36 Uhr

Im T-S-Diagramme verläuft die isochore Zustandsänderung exponentiell, die isotherme horizontal und die isobare wiederum exponentiell. Im p-V-Diagramm steigt die Kurve zuerst vertikal nach oben, läuft dann auf einer Hyperbel ([math]pV=p_0V_0[/math]) nach rechts unten und zum Schluss auf einer Horizontalen nach links. Im T-S-Diagramm entspricht die Fläche unter der Kurve eines Teilprozesses der Wärme. Im p-V-Diagramm ergibt die entsprechende Fläche die (negativ genommene) Arbeit.
Das universelle Gasgesetz liefert für den unteren Druck einen Wert von 249 bar. Der Druck nach dem Aufheizen beträgt 748 bar.
Im ersten Prozess nimmt die Entropie um [math]\Delta S=n\hat c_V\ln{\frac{T_2}{T_1}}=\frac 3 2 nR\ln{\frac{T_2}{T_1}}[/math] = 137 kJ/K zu. Im dritten, isobaren Teilprozess nimmt die Entropie um 5/3 dieses Wertes, also um 228 kJ/K ab, weil die Wärmekapazität bei konstantem Druck um diesen Wert grösser als die Wärmekapazität bei konstantem Volumen ist. Die Differenz von 91 kJ/K muss im isothermen Prozess aus einem Wärmebad zugeführt werden.
Im ersten Prozess nimmt die innere Energie des Heliums um [math]\Delta W=\frac{3}{2}nR\Delta T[/math] = 74.8 MJ zu. In der isothermen Zustandsänderung muss dem Gas zusätzliche Energie in Form von Wärme zugeführte werden [math]W_{therm}=nRT_2\ln{\frac{V_2}{V_3}}[/math] = 82.2 MJ (bei einer isothermen Expansion bleibt die Entropie, welche die Energie trägt, im Gas drin; die Energie geht dagegen direkt in Form von Arbeit weg). Um die Energie für diese beiden Teilprozesse aus dem Ofen abzutransportieren, muss der Ofen die folgende Entropiemenge abgeben [math]S_{Ofen}=\frac{W_{therm}}{T_{Ofen}}=\frac{157 kJ}{1000 K}[/math] = 157 J/K. Im dritten Teilprozess, dem isobaren, muss Energie in Form von Wärme abgeführt werden [math]W_{therm}=\frac 5 2 nR \Delta T[/math] = 125 MJ. Diese Energie muss bei einer Temperatur von 280 K von der Entropie [math]S_{Um}=\frac{W_{therm}}{T_{Um}}[/math] = 445 kJ/K in die Umwelt hinein getragen werden. Die Differenz von 288 kJ/K ist im ganzen Vorgang erzeugt worden.

Aufgabe

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-#Im ''T-S-''Diagramme verläuft die isochore Zustandsänderung exponentiell, die isotherme horizontal und die isobare wiederum exponentiell. Im ''p-V-''Diagramm steigt die Kurve zuerst vertikal nach oben, läuft dann auf einer Hyperbel (<math>pV=p_0V_0</math>) nach rechts unten und zum Schluss auf einer Horizontalen nach links. Im T-S-Diagramm entspricht die Fläche unter der Kurve eines Teilprozesses der Wärme. Im p-V-Diagramm ergibt die entsprechende Fläche die (negativ genommene) Arbeit.
+#Im ''T-S-''Diagramme verläuft die isochore Zustandsänderung exponentiell, die isotherme horizontal und die isobare wiederum exponentiell. Im ''p-V-''Diagramm steigt die Kurve zuerst vertikal nach oben, läuft dann auf einer Hyperbel (<math>pV=p_0V_0</math>) nach rechts unten und zum Schluss auf einer Horizontalen nach links. Im ''T-S-''Diagramm entspricht die Fläche unter der Kurve eines Teilprozesses der Wärme. Im ''p-V-''Diagramm ergibt die entsprechende Fläche die (negativ genommene) Arbeit.
 #Das [[ideales Gas|universelle Gasgesetz]] liefert für den unteren Druck einen Wert von 249 bar. Der Druck nach dem Aufheizen beträgt 748 bar.
 #Im ersten Prozess nimmt die Entropie um <math>\Delta S=n\hat c_V\ln{\frac{T_2}{T_1}}=\frac 3 2 nR\ln{\frac{T_2}{T_1}}</math> = 137 kJ/K zu. Im dritten, isobaren Teilprozess nimmt die Entropie um 5/3 dieses Wertes, also um 228 kJ/K ab, weil die Wärmekapazität bei konstantem Druck um diesen Wert grösser als die Wärmekapazität bei konstantem Volumen ist. Die Differenz von 91 kJ/K muss im isothermen Prozess aus einem Wärmebad zugeführt werden.
-#Im ersten Prozess nimmt die innere Energie des Heliums um <math>\Delta W=\frac{3}{2}nR\Delta T</math> = 74.8 MJ zu. In der isothermen Zustandsänderung muss dem Gas zusätzliche Energie in Form von Wärme zugeführte werden <math>W_{therm}=nRT_2\ln{\frac{V_2}{V_3}}</math> = 82.2 MJ (die Entropie, welche diese Energie trägt, bleibt im Helium; die Energie geht dagegen direkt in Form von Arbeit weg). Um diese Energie aus dem Ofen abzutransportieren, muss der Ofen die folgende Entropiemenge abgeben <math>S_{Ofen}=\frac{W_{therm}}{T_{Ofen}}=\frac{157 kJ}{1000 K}</math> = 157 J/K. Im dritten Teilprozess, dem isobaren, muss Energie in Form von Wärme abgeführt werden <math>W_{therm}=\frac 5 2 nR \Delta T</math> = 125 MJ. Diese Energie muss bei einer Temperatur von 280 K von der Entropie <math>S_{Um}=\frac{W_{therm}}{T_{Um}}</math> = 445 kJ/K in die Umwelt hinein getragen werden. Die Differenz von 288 kJ/K ist im ganzen Vorgang erzeugt worden.
+#Im ersten Prozess nimmt die innere Energie des Heliums um <math>\Delta W=\frac{3}{2}nR\Delta T</math> = 74.8 MJ zu. In der isothermen Zustandsänderung muss dem Gas zusätzliche Energie in Form von Wärme zugeführte werden <math>W_{therm}=nRT_2\ln{\frac{V_2}{V_3}}</math> = 82.2 MJ (bei einer isothermen Expansion bleibt die Entropie, welche die Energie trägt, im Gas drin; die Energie geht dagegen direkt in Form von Arbeit weg). Um die Energie für diese beiden Teilprozesse aus dem Ofen abzutransportieren, muss der Ofen die folgende Entropiemenge abgeben <math>S_{Ofen}=\frac{W_{therm}}{T_{Ofen}}=\frac{157 kJ}{1000 K}</math> = 157 J/K. Im dritten Teilprozess, dem isobaren, muss Energie in Form von Wärme abgeführt werden <math>W_{therm}=\frac 5 2 nR \Delta T</math> = 125 MJ. Diese Energie muss bei einer Temperatur von 280 K von der Entropie <math>S_{Um}=\frac{W_{therm}}{T_{Um}}</math> = 445 kJ/K in die Umwelt hinein getragen werden. Die Differenz von 288 kJ/K ist im ganzen Vorgang erzeugt worden.
 '''[[Kreisprozess mit Helium|Aufgabe]]'''