Lösung zu U-Rohr mit Federn

Rohrlänge

Die Schwingungsdauer T hängt von der Induktivität und der Kapazität des U-Rohrs ab:

[math]T = 2 \pi \sqrt {L_V \ C_V} = 2 \pi \sqrt {\frac {l} {2 g}} [/math]

Wir lösen die Formel für T, die schon in der Vorlesung hergeleitet worden ist, nach l auf und erhalten:

[math]l = 2 g \left( \frac {T} {2 \pi}\right)^2 = 0.5 \ m[/math]

Induktivität

Die Induktivität des U-Rohrs berechnet sich gleich wie bei einem geraden Rohrstück. Sie beträgt:

[math]L_V = \frac {\rho l} {A} = 1.13 \cdot 10^8\ kg/m^4 [/math]

Einzelkapazität mit Federn

Die neue Gesamtkapazität ergibt sich aus der Schwingungsdauer

[math]C_{Vtot mit Feder}=\frac {\left( \frac {T_{mit Feder}} {2 \pi} \right)^2} {L_V} = \ 5.60 \cdot 10^{-11} \ m^3/Pa[/math]

Durch die Feder an jedem Rohrende verkleinert sich die Kapazität. Es braucht mehr Druck, um das gleiche Volumen ins Rohrende zu drücken als ohne Feder, oder anders gesagt: Man kann bei gleichem Druck weniger Volumen hineindrücken als ohne Feder.

Die Gesamtkapazität des U-Rohrs ist die Serieschaltung der beiden Einzelkapazitäten am Rohrende. Bei einer Serieschaltung von Kapzitäten addieren sich ihre Kehrwerte:

[math]\frac {1} {C_{Vtot}} = \frac {1} {C_{Vlinks}} + \frac {1} {C_{Vrechts}}, \quad C_{Vtot} = \frac {C_{Vlinks}} {2} \quad [/math] , weil beide Einzelkapazitäten gleich sind: C_Vlinks = C_Vrechts

Die Gesamtkapazität des System U-Rohr (die man in der Formel für T verwendet) ist also halb so gross wie die Kapzität eines U-Rohr-Schenkels. Also erhalten wir:

[math] C_{Vlinks mit Feder} = 2 \ C_{Vtot mit Feder} = \frac {2 \ \left( \frac {T_{mit Feder}} {2 \pi} \right)^2} {L_V} = 1.12 \cdot 10^{-10} \ m^3/Pa [/math]

Wer mit der Regel für die Serieschaltung von Kapazitäten noch nicht vertraut ist, kann eine andere Überlegung anstellen. Verschiebt man ein Volumenelement ΔV von einem Schenkel des U-Rohres zum andern, führt dies in der einen Kapazität zu einer Druckverminderung Δp und in der andern zu einer gleich grossen Druckerhöhung Δp. Dadurch entsteht zwischen den Schenkeln eine Druckdifferenz von 2 Δp und die Kapazität wird dann:

[math]C_{V_{tot}}=\frac{\Delta V}{2\Delta p}=\frac{C_{V_{einzel}}}{2}[/math]

Energie

Für die Berechnung der Energie wählen wir die Höhe der ruhenden Quecksilbersäule als Bezugshöhe. Die Energie der linken, angehobenen Quecksilbersäule beträgt dann:

[math] W_{links} = \frac {V^2} {2 \ C_{Vlinks mit Feder}} = \frac {A^2 \cdot h^2} {2 \ C_{Vlinks mit Feder}} [/math]

Die Energie der anderen Kapazität ist gleich gross, obwohl jetzt die Höhe h negativ ist. Wir erhalten also für die gesamte Energie im Rohr das doppelte der Energie im linken Rohr:

[math] W_{tot} = \frac {A^2 \cdot h^2} {C_{Vlinks mit Feder}} = 12.9 \ mJ [/math]

Max. Geschwindigkeit

Die Geschwindigkeit ist maximal, wenn sich die beiden Pegel der Säule auf gleicher Höhe befinden. Dann ist auch die Energie der Speicher gleich 0. Die gesamte Energie steckt dann in der Induktivität. Daraus können wir dann den Volumenstrom und daraus die Geschwindigkeit berechnen.

[math] W_{tot} = W_{kapazitiv} + W_{induktiv} = konstant = 12.9 \ mJ [/math]

Zur Zeit, wo beide Pegel gleich hoch sind, ist also:

[math] W_{induktiv} = 12.9 \ mJ [/math]

Die Formel für die induktive Energie lösen wir nach dem Volumenstrom auf und erhalten dann die Geschwindigkeit:

[math] W_{induktiv} = \frac {L_V} {2} I_V^2,\quad I_V =\sqrt {\frac {2 \cdot W_{induktiv}} {L_V}} = 1.51 \cdot 10^{-5} \ m^3/s, \quad v = \frac {I_V} {A} = 0.25 \ m/s [/math]

Aufgabe